দশম শ্রেণী – সপ্তম অধ্যায় : বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 7.1

All Answers will Come Soon…

1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC = 100° হলে ∠ABC ও ∠ABO-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

△BOC থেকে পাই, OB=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠OBC = ∠OCB∵ ∠BOC = 100°
∴ ∠OBC = ∠OCB=\frac{180{}^\circ -100{}^\circ }{2}=\frac{80{}^\circ }{2}=40{}^\circ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 2∠BAC
আবার, ∠BOC = 360° – ∠BOC = 360° – 100° = 260°
∴ 2∠BAC = 260°
বা, ∠BAC = \frac{260{}^\circ }{2}=130{}^\circ
আবার, △ABC থেকে পাই AB = BC
∴ ∠ABC = ∠ACB∵ ∠BAC = 130°
∴ ∠ABC = ∠ACB = \frac{180{}^\circ -130{}^\circ }{2}=\frac{50{}^\circ }{2}=25{}^\circ
∴ ∠ABO = ∠ABC + ∠OBC = 25° + 40° = 65°
∴ ∠ABC ও ∠ABO – এর মান যথাক্রমে 25°, 65°।

2. পাশের চিত্রে △ABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC = 110°; ∠ABC-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC।
অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
আবার, প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 360° – ∠AOC = 360° – 110° = 250°
∴ 2∠ABC = 250°
বা, ∠ABC = \frac{250{}^\circ }{2}=125{}^\circ
∴ ∠ABC –এর মান 125°।

3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BCP = 108° হলে, ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

এখানে, ∠BCP = 108°
∴ ∠BCD = 180° – 108° = 72°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের DAB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD।
অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ ∠BOD = 2∠BCD
বা, ∠BOD = 2 × 72° = 144°
∴ ∠BOD = 360° – ∠BOD = 360° – 144°
∴ ∠BOD = 216°
∴ ∠BOD –এর মান 216°।

4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°; ∠BCO ও ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
অর্থাৎ, ∠AOB = 2∠ACBবা, ∠AOB = 2 × 35° = 70°
বা, ∠BOD = ∠AOD + ∠AOB = 40° + 70° = 110°
△BOC –এর বহিঃস্থ কোণ ∠BOD = ∠OBC + ∠BCO
বা, 110° = 2∠BCO [∵ OB = OC ∴ ∠OBC = ∠BCO ]
বা, ∠BCO = \frac{110{}^\circ }{2}=55{}^\circ
∴ ∠BCO ও ∠BOD –এর মান যথাক্রমে 55°, 110°।

5. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে, ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
অর্থাৎ, ∠AOB = 2∠ACB
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠DBC
অর্থাৎ, ∠COD = 2∠DBC
∴ ∠AOB + ∠COD = 2∠ACB + 2∠DBC = 2(∠ACB + ∠DBC) = 2(∠PCB + ∠PBC) ………(i)
△PBC –এর বহিঃস্থ কোণ ∠APB = ∠PCB + ∠PBC
∴ ∠PCB + ∠PBC = 80°
(i) নং থেকে পাই ∠AOB + ∠COD = 2 × 80° = 160°।

6. পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, (i) ∠PBQ = ∠CAD (ii) ∠BPC = ∠BQD

উত্তর –

C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, (i) ∠PBQ = ∠CAD (ii) ∠BPC = ∠BQD

অঙ্কন – C, B ও B, D যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – C কেন্দ্রীয় বৃত্তের PA বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠PCA ও বৃত্তস্থ কোণ ∠PBA।
অর্থাৎ, ∠PCA = 2∠PBA ………(1)
আবার, D কেন্দ্রীয় বৃত্তের AQ বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ADQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABQ
অর্থাৎ, ∠ADQ = 2∠ABQ ………(2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই
∠PCA + ∠ADQ = 2∠PBA + 2∠ABQ = 2(∠PBA + ∠AQB)
∴ ∠PCA + ∠ADQ = 2∠PBQ ………(3)
△APC –এর ∠APC = ∠PAC [∵ CP = CA]
সুতরাং, ∠PCA + ∠APC + ∠PAC = 180°
বা, ∠PCA + 2∠PAC = 180°
∴ ∠PCA = 180° – 2∠PAC

অনুরূপ ভাবে, △ADQ ∠ADQ = 180° – 2∠DAQ
(3) নং থেকে পাই,
180° – 2∠PAC + 180 – 2∠DAQ = 2∠PBQ
বা, 360° – 2(∠PAC + ∠DAQ) = 2∠PBQ
বা, 180° – (∠PAC + ∠DAQ) = ∠PBQ
∴ ∠CAD = ∠PBQ ………(i) [প্রমানিত]

আবার, △ACB –এর ∠CAB = ∠CBA [∵ CA = CB একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
△ADB –এর ∠DAB = ∠DBA [∵ AD = BD একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠CAB + ∠DAB = ∠CBA + ∠DBA
কিন্তু, ∠CAD = ∠CBD
∴ ∠CAD = ∠PBQ
সুতরাং, ∠CAD – ∠PBD = ∠PBQ – ∠PBD
বা, ∠PBC = ∠DBQ
∴ ∠BPC = ∠BQD [∠PBC = ∠BPC, ∠DBQ = ∠BQD ] ………(ii) [প্রমানিত]

7. ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90°

উত্তর –

প্রদত্ত – ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠OBC + ∠BAC = 90°

অঙ্কন – O, B ও O, C যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
অর্থাৎ, ∠BOC = 2∠BAC
△BOC থেকে পাই BO = OC [∵একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অর্থাৎ, ∠OBC = ∠OCB
আবার, ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
বা, 2∠BAC + 2∠OBC = 180°
∴ ∠OBC + ∠BAC = 90° [প্রমানিত]

8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, △BCD সমবাহু ত্রিভুজ।

উত্তর –

ধরি, P ও Q কেন্দ্র দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী। বৃত্তদুটি A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, BCD সমবাহু ত্রিভুজ।

অঙ্কন – A, P; P, B; B, Q; A, Q; P, Q যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – AP = AQ = PQ = PB = BQ [∵ সমান ব্যাসার্ধ]
△APQ –এর AP = PQ = AQ
∴ △APQ সমবাহু, অর্থাৎ, ∠APQ = 60°, ∠AQP = 60°

আবার, △PBQ –এর PQ = PB = BQ
∴ △PBQ সমবাহু, অর্থাৎ ∠BPQ = 60°, ∠BQP = 60°
∴ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ = 60° + 60° = 120°
আবার, ∠AQB = ∠AQP + ∠BQP = 60° + 60° = 120°

P কেন্দ্রীয় বৃত্তের AQB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠APB ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
∴ ∠APB = 2∠ACB
বা, 120° = 2∠ACB
∴ ∠ACB = \frac{120{}^\circ }{2}=60{}^\circ
অর্থাৎ, ∠DCB = 60°

আবার, Q কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AQB ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ADB
অর্থাৎ, ∠AQB = 2∠ADB
বা, 120° = 2∠ADB
∴ ∠ADB = \frac{120{}^\circ }{2}=60{}^\circ
∴ ∠CDB = 60°

∴ △BCD –এর ∠CDB + ∠DCB + ∠CBD = 180°
বা, 60° + 60° + ∠CBD = 180°
বা, ∠CBD = 180° – 60° – 60° = 60°
∴ △BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

9. △ABC-এর পরিকেন্দ্র S এবং AD ⟂ BC হলে, প্রমাণ করি যে, ∠BAD = ∠SAC

উত্তর –

ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র S এবং AD⊥BC

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAD = ∠SAC

প্রমাণ – △SAC SA = SC [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
অর্থাৎ, ∠SAC = ∠SCA
আবার ∠ASC + ∠SAC + ∠SCA = 180°
বা, ∠ASC + 2∠SAC = 180°
বা, 2∠SAC = 180° – ∠ASC
বা, ∠SAC = 90° – ½ ∠ASC
S কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ASC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
অর্থাৎ ∠ASC = 2∠ABC
∴ ∠SAC = 90° – ½ × 2∠ABC
বা, ∠SAC = 90° – ∠ABC
∴ ∠SAC = ∠BAD [∵△ABD –এর ∠ADB = 90° ] [প্রমানিত]

10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC । যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC

অঙ্কন – O, D; O, B; B, D যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD,
অর্থাৎ, ∠AOD = 2∠ABD
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC
অর্থাৎ ∠BOC = 2∠BDC

△BDP –এর বহিঃস্থ কোণ ∠BPC = ∠PBD + ∠BDP
∴ ∠AOD + ∠BOC = 2∠ABD + 2∠BDC = 2(∠ABD + ∠BDC) = 2(∠PBD + ∠BDP)
∴ ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC [প্রমানিত]

যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়,
∴ ∠AOD + ∠BOC = 180°
2∠BPC = 180°
∴ ∠BPC = 90°
∴ জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব হবে।

11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

অঙ্কন – A, O; O, C; B, O; B, C; O, D যুক্ত করা হল

প্রমাণ – O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
অর্থাৎ ∠AOC = 2∠ABC
△BPC –এর বহিঃস্থ কোণ ∠ABC = ∠BPC + ∠BCP
∴ ∠AOC = 2∠BPC + 2∠BCP ………(1)

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
অর্থাৎ ∠BOD = 2∠BCD
∴ ∠BOD = 2∠BCP ……….(2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই ∠AOC = 2∠BPC + ∠BOD
বা, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC [প্রমানিত]

12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়। প্রমাণ করি যে, ∠CBD + ∠CDB = ½ ∠BAD

উত্তর –

ABCD চতুর্ভুজের A কেন্দ্রীয় এবং B, C, D বিন্দুগামী বৃত্ত অঙ্কন করা হল। B, D যুক্ত করা হল।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠CBD + ∠CDB = ½ ∠BAD

অঙ্কন – A, C যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – △BCD থেকে পাই∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°
বা, ∠BCD = 180° – (∠CBD + ∠CDB) ………(1)
△ABC থেকে পাই AB = AC [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ABC = ∠ACB ……..(2)
△ACD থেকে পাই AC = AD [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ACD = ∠ADC ………(3)

সুতরাং, ABCD চতুর্ভুজের থেকে পাই,
∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 360°
বা, ∠BAD + ∠BCD + ∠ABC + ∠ADC = 360°
বা, ∠BAD + ∠BCD + ∠ACB + ∠ACD = 360° [ (2) নং ও (3) নং থেকে পাই ]
বা, ∠BAD + ∠BCD + ∠BCD = 360° [∵ ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD ]
বা, ∠BAD + 2∠BCD = 360°
বা, ∠BAD + 2[180° – (∠CBD + ∠CDB)] = 360° [ (1) নং থেকে পাই ]
বা, ∠BAD + 360° – 2(∠CBD + ∠CDB) = 360°
বা, – 2(∠CBD + ∠CDB) = 360° – ∠BAD – 360°
বা, 2(∠CBD + ∠CDB) = ∠BAD
∴ ∠CBD + ∠CDB = ½ ∠BAD [প্রমানিত]

13. △ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে, ∠BOD = ∠BAC

উত্তর –

△ABC –এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BOD = ∠BAC

অঙ্কন – O, B; O, C যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
অর্থাৎ ∠BOC = 2∠BAC ………(1)
△BOD ও △COD থেকে পাই BO = OC [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OD সাধারণ বাহু।
∠ODB = ∠ODC [∵ OD⊥BC]
∴ △BOD ≅ △COD
অর্থাৎ ∠BOD = ∠COD
∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD
বা, ∠BOC = 2∠BOD ………(2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
2∠BOD = 2∠BAC
∴ ∠BOD = ∠BAC [প্রমানিত]

14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে, x-এর মান

(a) 140                (b) 40                  (c) 80                   (d) 20

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ROQ = 180° – 140° = 40°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠RSQ = ½ ∠ROQ = ½ × 40° = 20°
∴ x = 20

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (d) 20

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, x-এর মান

(a) 70                  (b) 60                  (c) 40                   (d) 200

উত্তর –

∠QOR = 360° – (140° + 80°) = 360° – 220° = 140°
∠QPR = ½ ∠QOR = ½ × 140° = 70°
∴ x = 70

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (a) 70

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে, x-এর মান

(a) 60                  (b) 50                  (c) 100                (d) 80

উত্তর –

AOB ত্রিভুজের OB = OA [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB = ∠OBA = 50°
∴ ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA = 50° + 50° = 100°
অর্থাৎ, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC = 100°
∴ বৃত্তস্থকোণ ∠ADC = ½ ∠AOC = ½ × 100° = 50°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (b) 50

(iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। ∠OAB = 50° হলে, ∠ACB-এর মান

(a) 50°                 (b) 100°              (c) 40°                (d) 80°

উত্তর –

AOB ত্রিভুজের AO = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অর্থাৎ, ∠OAB = ∠OBA = 50°
∴ ∠AOB = 180° – (50° + 50°) = 180° – 100° = 80°
অর্থাৎ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = 80°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB = ½ ∠AOB = ½ × 80° = 40°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (c) 40°

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠POR-এর মান

(a) 20°                (b) 40°                (c) 60°                (d) 80°

উত্তর –

△POQ –এর OP = OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অর্থাৎ, ∠OPQ = ∠OQP = 10°
∴ ∠POQ = 180° – (10° + 10°) = 180° – 20° = 160°
আবার, △ROQ –এর OR = OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অর্থাৎ, ∠ORQ = ∠OQR = 40°
∴ ∠ROQ = 180° – (40° + 40°) = 180° – 80° = 100°
∴ ∠POR = ∠POQ – ∠ROQ = 160° – 100° = 60°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (c) 60°

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠AOB = 2∠ACD

উত্তর – মিথ্যা, যেহেতু প্রদত্ত কোণ দুটি একই বৃত্তচাপের উপর নয়।

(ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OA = OB এবং ∠AOB = 2∠ACB. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।

উত্তর – সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একই চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের __________।

উত্তর – অর্ধেক।

(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠APB ও ∠DQC বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান __________।

উত্তর – সমান ( যেহেতু, AB = AC)।

(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান __________।

উত্তর – 120° ( যেহেতু, বৃত্তস্থ কোণ = 60°)

15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40°, ∠ABC = 120°, ∠BCO = y° এবং ∠COA = x° হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপের উপর ∠ABC বৃত্তস্থ কোণ এবং প্রবৃদ্ধ ∠AOC কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC = 2 × 120° = 240°
∴ ∠AOC = 360° – প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 360° – 240° = 120°
আবার, AOCB চতুর্ভুজের ∠BCO = 360° – (∠OAB + ∠ABC + ∠AOC) = 360° – (30° + 120° + 120°) = 360° – 270° = 90°

∴ নির্নেয় x ও y –এর মান যথাক্রমে 120 ও 90।

(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40° হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
অর্থাৎ ∠BOC = 2∠BAC = 2 × 40° = 80°
△BOD ও △COD থেকে পাই, OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OD সাধারণ বাহু
BD = DC [ যেহেতু D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু ]
∴ △BOD ≅ △COD
সুতরাং, ∠BOD = ∠COD
∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 2∠BOD
∴ ∠BOD = ½ ∠BOC = ½ × 80° = 40°

∴ নির্নেয় ∠BOD –এর মান 40°।

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামন্তরিক। ∠AOC-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

AOCB সামান্তরিকের AO = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অর্থাৎ, AO = BC = OC = AB
△ABO থেকে পাই, AO = AB
AO = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ AO = AB = OB
∴ ABO একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴ ∠AOB = 60°
অনুরূপভাবে ∠BOC = 60°
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60° + 60° = 120°

∴ নির্নেয় ∠AOC –এর মান 120°।

(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠ABC = 120°; বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = BC এবং ∠ABC = 120°
অর্থাৎ, ∠BAC = ∠BCA
সুতরাং, ∠BAC + ∠BCA = 180° – ∠ABC
বা, 2∠BAC = 180° – 120°
বা, ∠BAC = ½ × 60° = 30°
∴ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 2∠BAC = 2 × 30° = 60°
△BOC থেকে পাই OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং ∠BOC = 60°
∴ ∠OBC = ∠OCB = 60°
∴ △BOC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ OB = BC = OC
যেতেতু OB = 5 সেমি সুতরাং, BC = AB = 5 সেমি।

∴ নির্নেয় AB –এর দৈর্ঘ্য 5 সেমি।

(v) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C এবং D বিন্দুতের ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত। ∠CQD = 70° হলে, ∠CPD-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

B কেন্দ্রীয় বৃত্তের CXD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠CBD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠CQD।
∴ ∠CBD = 2∠CQD = 2 × 70° = 140°
আবার, A কেন্দ্রীয় বৃত্তের CPD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠CAD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠CBD।
∴ প্রবৃদ্ধ ∠CAD = 2∠CBD = 2 × 140° = 280°
∴ ∠CAD = 360° – 280° = 80°
সুতরাং A কেন্দ্রীয় বৃত্তের CBD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠CAD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠CPD
∴ ∠CAD = 2∠CPD
∴ ∠CPD = ½ ∠CAD = ½ × 80° = 40°

∴ নির্নেয় ∠CPD –এর মান 40°।

কষে দেখি – 7.2

1. পাশের ছবিতে ∠DBA = 40°, ∠BAC = 60° এবং ∠CAD = 20°; ∠DCA ও ∠BCA-এর মান নির্ণয় করি। ∠BAD ও ∠DCB-এর মানের সমষ্টি কত হবে হিসাব করে দেখি।

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APD বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD ও ∠ACD।
অর্থাৎ, ∠ABD = ∠ACD
যেহেতু, ∠ABD = 40° সুতরাং, ∠ACD = 40°
△ABD থেকে পাই, ∠ABD = 40°, ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 60° + 20° = 80°
∴ ∠ADB = 180° – (80° + 40°) = 180° – 120° = 60°
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃত্তচাপ AQB দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ADB ও ∠BCA।
অর্থাৎ, ∠ADB = BCA
যেহেতু, ∠ADB = 60° সুতরাং, ∠BCA = 60°
∴ ∠DCA = 40°, ∠BCA = 60°
∴ ∠BAD + ∠DCB = ∠BAC + ∠CAD + ∠BCA + ∠DCA = 60° + 20° + 60° + 40° = 180°

2. পাশের চিত্রে AOB বৃত্তের ব্যাস এবং O বৃত্তের কেন্দ্র। OC ব্যাসার্ধ AB-এর উপর লম্ব। যদি উপচাপ CB-এর কোনো বিন্দু P হয়, তবে ∠BAC ও ∠APC-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

O কেন্দ্রীয়  বৃত্তের CPB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COB এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
অর্থাৎ, ∠COB = 2∠BAC
যেহেতু, ∠COB = 90° [OC⟂AB]
2∠BAC = 90°
∴ ∠BAC = ½ × 90° = 45°
△ACB থেকে পাই, AC = BC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
অর্থাৎ, ∠BAC = ∠CBA
∴ ∠CBA = 45°O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AQC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠CBA ও ∠APC।
∴ ∠CBA = ∠APC
∴ ∠APC = 45°
∴ ∠BAC ও ∠APC –এর মান 45° ও 45°।

3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD-কে বর্ধিত করলে △ABC-এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OD = DG

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC –এর উপর লম্ব AD –কে বর্ধিত করলে △ABC –এর পরিকেন্দ্রকে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, OD = DG
অঙ্কন – B, O যুক্ত করে বর্ধিত করলে AC –কে E বিন্দুতে ছেদ করে। B, G যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, AD⟂BC সুতরাং, ∠ODC = 90°
আবার, যেহেতু BE⟂AC সুতরাং, ∠OEC = 90°
∴ ∠ODC + ∠OEC = 90° + 90° = 180°
∴ DOEC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
অর্থাৎ বহিঃস্থ ∠BOD = বিপরীত অন্তস্থ ∠ECDO কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB ও ∠AGB
অর্থাৎ, ∠ACB = ∠AGB সুতরাং, ∠ECD = ∠DGB
আবার, ∠ECD = ∠BOD
∴ ∠BOD = ∠DGB
△BDG ও △BDO থেকে পাই, ∠BOD = ∠DGB
∠BDO = ∠BDG [ প্রত্যেকে এক সমকোণ]
BD সাধারণ বাহু
∴ △BDG ≅ △BDO
∴ OD = DG [প্রমাণিত]

4. △ABC-এর অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র I; বর্ধিত AI ত্রিভুজের পরিবৃত্তের P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PB = PC = PI

উত্তর –

ABC ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র I, বর্ধিত AI –কে ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্ত P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, PB = PC = PI
অঙ্কন – P, B; P, C; B, I; C, I যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – △ABI –এর বহিঃস্থ কোণ ∠BIP = ∠ABI + ∠BAI ………(1)
কিন্তু ∠IBC = ∠ABI [ যেহেতু BI, ∠ABC –এর অন্তর্দ্বিখন্ডক ]
আবার, ∠BAI = ∠IAC [ AI, ∠BAC –এর অন্তর্দ্বিখন্ডক]
∴ ∠BAI = ∠PACI কেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃত্তচাপ PC দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠PAC ও ∠PBC
অর্থাৎ, ∠PAC = ∠PBC
∴ ∠BAI = ∠PBC
(1) নং থেকে পাই, ∠BIP = ∠IBC + ∠PBC
বা, ∠BIP = ∠PBI
∴ PI = PB ………(2)
আবার, ∠PAB = ∠PAC
∴ চাপ PB = চাপ PC
∴ জ্যা PB = জ্যা PC
∴ PB = PC ………(3)
(2) নং ও (3) নং থেকে পাই,
PB = PC = PI [প্রমাণিত]

5. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C, D বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে, ∠AQC = ∠BQD

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে APC ও BPD দুটি সরলরেখা টানা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AQC = ∠BQD
অঙ্কন – A, Q; D, Q; B, Q; C, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠APB ও ∠AQB
অর্থাৎ, ∠APB = ∠AQB
আবার, CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠CPD ও ∠CQD
অর্থাৎ, ∠CPD = ∠CQD
সুতরাং, ∠APB = বিপ্রতীপ কোণ ∠CPD
∴ ∠AQB = ∠CQD
সুতরাং, ∠AQB + ∠AQD = ∠CQD + ∠AQD
বা, ∠BQD = ∠AQC
∴ ∠AQC = ∠BQD [প্রমাণিত]

6. একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD-এর উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেটি BC-কে E বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করি যে, E, BC-এর মধ্যবিন্দু।

উত্তর –

একটি বৃত্তের AB ও CD পরস্পর লম্ব জ্যা P বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দুতে AD –এর উপর লম্ব P যা বর্ধিত করলে BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ – △FPD সমকোণী ত্রিভুজের ∠FPD + ∠FDP = 90°
আবার, ∠APD = 90°
বা, ∠APF + ∠FPD = ∠FPD + ∠FDPবা, ∠APF = ∠FDP ………(1)
AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC ও ∠ABC
অর্থাৎ, ∠ADC = ∠ABC
বা, ∠FDP = ∠PBE ………(2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই, ∠APF = ∠PBE
আবার, ∠APF = বিপ্রতীপ কোণ ∠BPE
∴ ∠PBE = ∠PBE
∴ PE = EB
△OBC সমকোণী ত্রিভুজের ∠CPB = ∠PBC + ∠PCB = 90°
বা, ∠CPE + ∠BPE = ∠PBC + ∠PCB
বা, ∠CPE = ∠PCB [ যেহেতু, ∠BPE = ∠PBC]
∴ PE = EC
∴ PE = EC = EB
∴ E, BC –এর মধ্যবিন্দু। [প্রমাণিত]

7. যদি ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC হয়, তবে প্রমাণ করি যে AC = BD হবে।

উত্তর –

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC।
প্রমাণ করতে হবে যে, AC = BD
অঙ্কন – A, C; B, D যুক্ত করা হল এবং তারা P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ – AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD ও ∠ACD
অর্থাৎ, ∠ABD = ∠ACD
আবার, BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC, ∠BDC
অর্থাৎ, ∠BAC = ∠BDC
△APB ও △CPD থেকে পাই,
∠ABP = ∠PCD
∠BAP = ∠PDCAB = CE
∴ △APB ≅ △CPD
∴ AP = DP, CP = PB
∴ AP + CP = DP + PB
∴ AC = BD [প্রমাণিত]

8. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CP = PQ

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AO ব্যাসার্ধ ও AQ জ্যা। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ –কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, CP = PQ
অঙ্কন – A, O; O, C; C, P; C, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠AQC
অর্থাৎ, ∠AOC = 2∠AQC
সুতরাং, ∠AOC = 2∠PQC ………(1)
আবার, AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠AOC ও ∠APC
অর্থাৎ, ∠AOC = ∠APC
△PQC –এর বহিঃস্থ কোণ ∠APC = ∠PQC + ∠PCQ
∴ ∠AOC = ∠PQC + ∠PCQ ………(2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
2∠PQC = ∠POC + ∠PCQ
বা, 2∠PQC – ∠POC = ∠PCQ
বা, ∠PQC = ∠PCQ
∴ CP = PQ [প্রমাণিত]

9. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তর্লিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, AX, YZ-এর উপর লম্ব।

উত্তর –

মনেকরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের অন্তর্লিখিত ABC ত্রিভুজ যার ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকগুলি যথাক্রমে বৃত্তের X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AX⟂YZ
অঙ্কন – XY ও YZ  সমদ্বিখণ্ডক দুটি P মিলিত হয়েছে।
প্রমাণ – △ZOY –এর OZ = OY [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠OZY = ∠OYZ
অর্থাৎ, ∠OZP = ∠OYP
△ZOP ও △YOP থেকে পাই,
∠OZP = ∠OYP
DZ = OY
OP সাধারণ বাহু।
∴ △ZOP ≅ △YOP
∴ ∠OPZ = ∠OPY
∴ AO⟂YZ
∴ AX⟂YZ [প্রমাণিত]

10. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তর্লিখিত। ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি △XYZ-এর,\angle YXZ=90{}^\circ -\frac{\angle BAC}{2}

উত্তর –

মনেকরি O কেন্দ্রীয় বৃত্তের অন্তর্লিখিত ABC ত্রিভুজ যার ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডক গুলি যথাক্রমে বৃত্তে X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠YXZ = 90° – ½ ∠BAC
অঙ্কন – Z, X; X, Y ও Z, Y যুক্ত করা হল। CZ ও XY সমদ্বিখণ্ডক দুটি P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ – যেহেতু, AX, ∠BAC –এর সমদ্বিখণ্ডক
∴ ∠BAX = ∠CAX
সুতরাং, ∠BAC = ∠BAX + ∠CAX = 2∠CAX
বা, ∠CAX = ½ ∠BAC
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CX বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠CAX ও ∠CZX
অর্থাৎ, ∠CAX = ∠CZX
∴ ∠CZX = ½ ∠BAC ……..(1)
△YOX –এর OY = OX [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠OYX = ∠OXY
অর্থাৎ, ∠OYP = ∠OXP
△XOP ও △YOP থেকে পাই,
∠OYP = ∠OXP
OX = OY
OP সাধারণ বাহু।
∴ △XOP ≅ △YOP
∴ ∠OPY = ∠OPX
অর্থাৎ, OP⟂XY
∴ △XZP –এর ∠XPZ = 90°
অর্থাৎ, ∠XZP + ∠ZXP = 90°
বা, ∠CZX + ∠YXZ = 90°
বা, ∠YXZ = 90° – ∠CZX
∴ ∠YXZ = 90° – ½ ∠BAC [(1) নং থেকে পাই ] [প্রমাণিত]

11. △ABC-এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

উত্তর –

△ABC –এর AD⟂BC, BE⟂AC
প্রমাণ করতে হবে যে, A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন – D, E যুক্ত করা হল। AD ও BE পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ – △ABD –এর ∠ADB = 90°
অর্থাৎ, ∠ABD + ∠BAD = 90°
বা, ∠ABD = 90° – ∠BAD ………(1)
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BAD ও ∠BED
∴ ∠BAD = ∠BED ……..(2)
সুতরাং, ∠ABD + ∠AED = 90° – ∠BAD + ∠AEB + ∠BED [ (1) নং থেকে পাই ]
বা, ∠ABD + ∠AEC = 90° – ∠BAD + 90° + ∠BAD [ (2) নং থেকে পাই, যেহেতু, BE⟂AC]
∴ ∠ABD + ∠AED = 180°
∴ BDEA একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [প্রমাণিত]

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র ; ∠ACB = 30°, ∠ABC = 60°, ∠DAB = 35° এবং ∠DBC = x° হলে, x-এর মান

(a) 35   (b) 70   (c) 65    (d) 55

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারে গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB, ∠ADB
অর্থাৎ, ∠ACB = ∠ADB = 30°
△AOB –এর বহিঃস্থ কোণ ∠BOD = ∠OAB + ∠OBA = 35° + 60° = 95°
△BOD –এর ∠DBO = 180° – (30° + 95°) = 180° – 125° = 55°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (d) 55

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BAD = 65°, ∠BDC = 45° হলে ∠CBD-এর মান

(a) 65° (b) 45° (c) 40° (d) 20°

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC, ∠BDC
∴ ∠BAC = ∠BDC = 45°
যেহেতু, ∠BAC = 65° সুতরাং, ∠CAD = 65° – 45° = 20°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত ∠CAD ও ∠CBD
∴ ∠CAD = ∠CBD = 20°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (d) 20°

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠AEB = 110° এবং ∠CBE = 30° হলে, ∠ADB-এর মান

(a) 70° (b) 60° (c) 80° (d) 90°

উত্তর –

△BCE –এর বহিঃস্থ কোণ ∠AEB = ∠CBE + ∠BCE
বা, 110° = 30° + ∠BCE
বা, ∠BCE = 110° – 30° = 80°
∴ ∠ACB = 80°O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB, ∠ADB
∴ ∠ACB = ∠ADB = 80°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (c) 80°

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BCD = 28°, ∠AEC = 38° হলে ∠AXB-এর মান

(a) 56° (b) 86° (c) 38° (d) 28°

উত্তর –

△BCE –এর বহিঃস্থ কোণ ∠ABC = ∠BCE + ∠BEC = 28° + 38° = 66°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠DCB ও ∠BAD
∴ ∠DCB = ∠BAD = 28°
△AXB –এর ∠AXB = 180° – (66° + 28°) = 180° – 94° = 86°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (b) 86°

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্রএবং AB ব্যাস। AB ∥ CD. ∠ABC = 25° হলে ∠CED-এর মান

(a) 80° (b) 50° (c) 25° (d) 40°

উত্তর –

A, E ও B, E যুক্ত করা হল।
যেহেতু, AB||CD, BC ছেদক
∴ ∠ABC = ∠BCD = 25°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠AEC = ∠ABC = 25°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের DB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD = ∠DEB = 25°
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠AEB ও কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB
∴ ∠AOB = 2∠AEB = 180°
∴ ∠AEB = 90°
বা, ∠AEC + ∠CED + ∠BED = 90°
বা, 25° + ∠CED + 25° = 90°
বা, ∠CED = 90° – 25° – 25° = 40°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (d) 40°

(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) পাশের চিত্রে AD ও BE যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC ও AC বাহুর উপর লম্ব। A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

উত্তর – সত্য, যেহেতু, A, B, D, E বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

(ii) ABC ত্রিভুজের AB = AC; BE ও CF যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং AC ও AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ নয়।

উত্তর – মিথ্যা, যেহেতু B, C, E, F বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ নয়।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ __________।

উত্তর – সমান।

(ii) দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তার একই পার্শ্বে অপর দুটি বিন্দুতে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি __________ হবে।

উত্তর – সমবৃত্তস্থ।

(iii) একই বৃত্তে দুটি চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি সমান হলে চাপ দুটির দৈর্ঘ্য ________।

উত্তর – সমান।

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র, AC ব্যাস এবং জ্যা DE ও AC সমান্তরাল। ∠CBD = 60° হলে, ∠CDE-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

A ও B যুক্ত করা হল।
যেহেতু, DE||AC সুতরাং, ∠ACD = ∠CDE
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD, ∠ACD
অর্থাৎ, ∠ABD = ∠ACD
∴ ∠ABD = ∠CDE
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
অর্থাৎ, ∠AOC = 2∠ABC
আবার, ∠AOC = 180°
∴ 2∠ABC = 180°
বা, ∠ABC = 90°
বা, ∠ABD + ∠CBD = 90°
বা, ∠ABD + 60° = 90°
বা, ∠ABD = 90° – 60° = 30°
∴ ∠CDE = 30°

(ii) পাশের চিত্রে ∠PQR-এর সমদ্বিখণ্ডক QS; ∠SQR = 35° এবং ∠PRQ = 32° হলে, ∠QSR-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

∠SQR = 35°, ∠PRQ = 32°
∴ ∠PQR –এর সমদ্বিখণ্ডক QS সুতরাং, ∠PQS = ∠SQR = 35°
△PQR –এর ∠PQR = ∠PQS + ∠SQR = 35° + 35° = 70°
∠PRQ = 32°
∴ ∠QPR = 180° – (70° + 32°) = 180° – 102° = 78°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের QR বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠QPR, ∠QSR
∴ ∠QSR = ∠QPR = 78°

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB ও CD পরস্পর লম্ব এবং ∠ADC = 50°; ∠CAD-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

যেহেতু, AB⟂CD সুতরাং, ∠APD = 90°
∴ △APD –এর ∠DAP = 90° – 50° = 40°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের DB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠DAB, ∠BCD
অর্থাৎ, ∠DAB = ∠BCD
বা, ∠DAP = ∠BCD
বা, ∠BCD = 40°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ADB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
∴ ∠AOB = 2∠ACB
যেহেতু AOB একটি সরলকোণ সুতরাং, ∠AOB = 180°
∴ 2∠ACB = 180°
বা, ∠ACB = 90°
বা, ∠ACD + ∠BCD = 90°
বা, ∠ACD + 40° = 90°
বা, ∠ACD = 90° – 40° = 50°
△ACD –এর ∠ADC = 50°, ∠ACD = 50°
∴ ∠CAD = 180° – (50° + 50°) = 180° – 100° = 80°

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB = AC; ∠ABC = 32° হলে ∠BDC-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

যেহেতু, AB = AC
△ABC –এর ∠ABC = ∠ACB = 32°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বার গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC, ∠ADC
অর্থাৎ, ∠ABC = ∠ADC
∴ ∠ADC = 32°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB, ∠ADB
অর্থাৎ, ∠ACB = ∠ADB
∴ ∠ADB = 32°
∴ ∠BDC = ∠ADB + ∠ADC = 32° + 32° = 64°

(v) পাশের চিত্রে BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক। AB = AC এবং BY = 4 সেমি হলে AX-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

△ABC –এর AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB ………(1)
যেহেতু, BX, ∠ABC –এর সমদ্বিখণ্ডক
∴ ∠ABX = ∠CBX অর্থাৎ, ∠ABC = ½ ∠ABX
আবার, CY, ∠ACB –এর সমদ্বিখণ্ডক
∴ ∠ACY = ∠BCY অর্থাৎ, ∠ACB = ½ ∠BCY
(1) নং থেকে পাই, ½ ∠ABX = ½ ∠BCY
∴ ∠ABX = ∠BCY
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BY চাপে ∠BCY এবং AY চাপে ∠ABX
যেহেতু, ∠BCY = ∠ABX সুতরাং, BY = AX
∴ AX = 4 সেমি।

কষে দেখি – 7.3

1. ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ। যদি AC-কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি যা AB-কে D বিন্দুতে ছেদ করে, তবে নীচের তথ্যগুলির মধ্যে কোনটি ঠিক লিখি –
(i) AB > AD (ii) AB = AD (iii) AB < AD

উত্তর –

△ABC –এর ∠ABC = 90°
AC –কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করলাম যা AB –কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
অর্থাৎ, ∠ADC = 90 [ যেহেতু, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ ]
∴ ∠ABC = ∠ADC
∴ AB = CD

2. প্রমাণ করি যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির যে-কোনোটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত অসমান বাহুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

উত্তর –

△ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC, AC –কে ব্যাস ধরে কেন্দ্রীয় বৃত্ত ADC আঁকা হল। যা BC –কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, D বিন্দু BC –কে সমদ্বিখন্ডিত করে অর্থাৎ, BD = DC
অঙ্কন – A, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু ∠ADC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সুতরাং, ∠ADC = 1 সমকোণ।
∴ ∠ADB = 1 সমকোণ।
△ADC ও △ADB –এর ∠ADC = ∠ADB
অতিভুজ AC = অতিভুজ AB
∠ACD = ∠ABD
∴ △ADC ≅ △ADB
∴ DC = BD
∴ D বিন্দু BC –কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। [প্রমাণিত]

3. সাহানা দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে যে, A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
অঙ্কন – A, Q; Q, B; P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, ∠PQA অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সুতরাং, ∠PQA = 1 সমকোণ।
আবার, যেহেতু, ∠PQB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সুতরাং, ∠PQB = 1 সমকোণ।
∴ ∠PQA + ∠PQB = 2 সমকোণ।
∴ ∠AQB = 180° = এক সমকোণ।
∴ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ। [প্রমাণিত]

4. রজত একটি সরলরেখাংশ PQ অঙ্কন করেছে যার মধ্যবিন্দু R এবং সে PR ও PQ-কে ব্যাস করে দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে। আমি P বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা প্রথম বৃত্তকে S বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে PS = ST

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, PQ রেখাংশের মধ্যবিন্দু R এবং PR ও PQ –কে ব্যাস ধরে দুটি বৃত্ত আঁকলাম। P বিন্দুগামী যেকোনো রেখা ওই বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে T ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।প্রমাণ করতে হবে যে, PS = ST
অঙ্কন – S, R ও T, Q যুক্ত করলাম।
প্রমাণ – যেহেতু, ∠PSR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সুতরাং, ∠PSR = 1 সমকোণ।
যেহেতু ∠PTQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সুতরাং, ∠PTQ = 1 সমকোণ।
∴ ∠PSR = ∠PTQ
∴ SR ও TQ উভয়েই PT সরলরেখার উপর লম্ব।
∴ SR || TQ
△PTQ –এর PQ বাহুর মধ্যবিন্দু R এবং RS || QT
∴ S, PT –এর মধ্যবিন্দু।
∴ PS = ST [প্রমাণিত]

5. একটি বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু P, Q ও R অবস্থিত। PQ ও PR-এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ = ST

উত্তর –

মনেকরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর P, Q, R তিনটি বিন্দু। PQ ও PR-এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, RQ = ST
অঙ্কন – Q, S; R, T; S, T যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, ∠QPS = 1 সমকোণ, সুতরাং ∠QPS অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ QS বৃত্তের ব্যাস।
আবার, ∠RPT = 1 সমকোণ, সুতরাং, ∠RPT অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ RT বৃত্তের ব্যাস।
△SOT ও △QOR –এর থেকে পাই,
OT = OR [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
OS = OQ [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∠SOT = বিপ্রতীপ ∠ROQ
∴ △SOT ≅ △QOR
∴ RQ = ST [প্রমাণিত]

6. ABC একটি সূক্ষ্মকোনী ত্রিভুজ। ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, BPCQ একটি সামান্তরিক।

উত্তর –

ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, BPCQ একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন – B, P C, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, ∠ABP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সুতরাং, ∠ABP = 90° অর্থাৎ, BP⟂AB
আবার, CF⟂AB সুতরাং, BP || CP অর্থাৎ, BP || CQ
আবার, যেহেতু, ∠ACP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সুতরাং, ∠ABP = 90° অর্থাৎ, CP⟂AC
আবার, BE⟂AC সুতরাং, BE || CP অর্থাৎ, BQ || CP
∴ BPCQ চতুর্ভুজের BP || CQ এবং BQ || CP
∴ BPCQ চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। [প্রমাণিত]

7. একটি ত্রিভুজের শীর্ষকোণের অন্তর্সমদ্বিখন্ডক ও বহির্সমদ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ বৃত্তের একটি ব্যাস।

উত্তর –

ABC ত্রিভুজের শীর্ষকোণ C –এর অন্তর্সমদ্বিখন্ডক ও বহির্সমদ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, PQ পরিবৃত্তের ব্যাস।
অঙ্কন – P, Q যুক্ত করা হল। BC –কে X পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, CP, ∠BCA –এর অন্তর্সমদ্বিখন্ডক
∴ ∠ACP = ½ ∠BCA
আবার, যেহেতু CQ, ∠BCA –এর বহির্সমদ্বিখন্ডক  অর্থাৎ CQ, ∠ACX –এর অন্তর্সমদ্বিখন্ডক
∴ ∠ACQ = ½ ∠ACX
যেহেতু BCX একটি রেখাংশ
∴ ∠BCA + ∠ACX = 180°
বা, ½ ∠BCA + ½ ∠ACX = ½ × 180°
বা, ½ ∠BCA + ½ ∠ACX = 90°
বা, ∠ACP + ∠ACQ = 90°
অর্থাৎ, ∠PCQ = 1 সমকোণ।
সুতরাং, PQ একটি ব্যাস। [প্রমাণিত]

8. AB এবং CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস। প্রমাণ করি যে, ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।

উত্তর –

মনেকরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে যে, ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।
অঙ্কন – A, C; C, B; B, D; A, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CBD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠CAD
অর্থাৎ, ∠CAD = 1 সমকোণ।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ADB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
অর্থাৎ, ∠ACB = 1 সমকোণ।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CAD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠CBD
অর্থাৎ, ∠CBD = 1 সমকোণ।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ACB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠ADB
অর্থাৎ, ∠ADB = 1 সমকোণ।
∠CAD + ∠CBD = 2 সমকোণ এবং ∠ACB + ∠ADB = 2 সমকোণ।
অর্থাৎ, ACBD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
সুতরাং, ACBD একটি আয়াতাকার চিত্র। [প্রমাণিত]

9. প্রমাণ করি, একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর –

মনেকরি ABCD রম্বসের AB, BC, CD, DA বাহুকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করা হল এবং ওই বৃত্তগুলির উপর একটি বিন্দু যথাক্রমে M, N, P, Q নেওয়া হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, M, N, P, Q বিন্দু গুলি একই বিন্দু।
প্রমাণ – যেহেতু AB ব্যাসের উপর M বিন্দু নেওয়া হল অর্থাৎ, ∠AMB = 1 সমকোণ।
যেহেতু BC ব্যাসের উপর N বিন্দু নেওয়া হল অর্থাৎ, ∠BNC = 1 সমকোণ।
যেহেতু CD ব্যাসের উপর P বিন্দু নেওয়া হল অর্থাৎ, ∠CPD = 1 সমকোণ।
যেহেতু DA ব্যাসের উপর Q বিন্দু নেওয়া হল অর্থাৎ, ∠DQA = 1 সমকোণ।
সুতরাং, ∠AMB = ∠BNC = ∠CPD = ∠DQA
এটি সম্ভব হবে যখন M, N, P, Q একই বিন্দু হবে।
অর্থাৎ, বৃত্তগুলি একই বিন্দুতে মিলিত হবে। [প্রমাণিত]

10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

 (i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস এবং PR = RQ; ∠RPQ-এর মান

(a) 30°  (b) 90° (c) 60° (d) 45°

উত্তর –

যেহেতু, PR = RQ সুতরাং, ∠RPQ = ∠RQP
∠PRQ = 1 সমকোণ।
∴ ∠RPQ + ∠RQP = 90°
বা, 2∠RPQ = 90°

∴ ∠RPQ = 45° ∴ নির্নেয় উত্তর হল – (d) 45°

(ii) QR বৃত্তের একটি জ্যা এবং POR বৃত্তের একটি ব্যাস। OD, QR বাহুর উপর লম্ব। OD = 4 সেমি হলে, PQ-এর দৈর্ঘ্য

(a) 4 সেমি          (b) 2 সেমি          (c) 8 সেমি           (d) কোনটিই নয়

PQ = 2OD = 2 × 4 = 8 সেমি

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (c) 8 সেমি

(iii) AOB বৃত্তের ব্যাস। AC এবং BD জ্যা দুটি বর্ধিত করলে E বিন্দুতে মিলিত হয়। ∠COD = 40° হলে, ∠CED-এর মান

(a) 40°  (b) 80° (c) 20° (d) 70°

উত্তর –

C, D ও A, D যুক্ত করা হল।
CD বৃত্তচাপে ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DAE বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠DAE = ½ ∠COD = ½ × 40° = 20°
যেহেতু ∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ADB = 90° অর্থাৎ, ∠ADE = 90°
△ADE –এর ∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180°
বা, ∠AED = 180° – 20° – 90°
∴ ∠AED = 70° অর্থাৎ, ∠CED = 70°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (d) 70°

(iv) AOB বৃত্তের ব্যাস। AC = 3 সেমি ও BC = 4 সেমি হলে AB-এর দৈর্ঘ্য

(a) 3 সেমি          (b) 4 সেমি          (c) 5 সেমি           (d) 8 সেমি

উত্তর –

∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সুতরাং, ∠ACB = 1 সমকোণ।
∴ BCA একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ AB = \sqrt{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 সেমি

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (c) 5 সেমি

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ∠BCE = 20°, ∠CAE = 25° হলে, ∠AEC-এর মান নির্ণয় করি।

(a) 50°  (b) 90° (c) 45° (d) 20°

উত্তর –

অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠ACB = 90°
△ADC –এর ∠ADC = 180° – (90° + 25°) = 65°
△CED –এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADC = ∠DCE + ∠DEC
বা, 65° = 20° + ∠DEC
বা, ∠DEC = 65° – 25° = 45°
∴ ∠AEC = 45°

∴ নির্নেয় উত্তর হল – (c) 45°

(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থুলকোণ।

উত্তর – মিথ্যা।

(ii) ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু O এবং OA = OB = OC; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি C বিন্দু দিয়ে যাবে।

উত্তর – সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ __________।

উত্তর – সমকোণ।

(ii) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোন __________।

উত্তর – স্থুলকোণ।

(iii) সমকোনী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি _________ বিন্দু দিয়ে যাবে।

উত্তর – সমকৌনিক বিন্দু।

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে, BD = 4 সেমি হলে CD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, সুতরাং, ∠ADB = 90°
∴ ∠ADC = 90°
△ABC এবং △ADC থেকে পাই,
AB = AC
∠ADB = ∠ADC
AD সাধারণ বাহু।
∴ △ABC ≅ △ADC
∴ BD = CD
যেহেতু, BD = 4 সেমি
∴ CD = 4 সেমি।

(ii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি ও AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

∠BAC = 90° অর্থাৎ, ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
সুতরাং, BC ব্যাস।
△ABC সমকোণী ত্রিভুজের BC = \sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 সেমি
অর্থাৎ, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = \frac{5}{2}=2.5 সেমি

(iii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা PQ এবং PR পরস্পর লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি হলে, জ্যা QR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

যেহেতু, PR ও PQ পরস্পর লম্ব।
∴ ∠RPQ = 90°
আবার, ∠RPQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ QR বৃত্তের ব্যাস।
∴ QR –এর দৈর্ঘ্য 2r সেমি।

(iv) AOB বৃত্তে একটি ব্যাস। C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60° হলে ∠OCA-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, সুতরাং, ∠ACB = 90°
△ABC –এর ∠CAB = 180° – (∠ACB + ∠ABC) = 180° – (90° + 60°) = 30°
△AOC –এর OA = OC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]∠OAC = ∠OCA
আবার, ∠OAC = ∠CAB = 30°
∴ ∠OCA = 30°

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। জ্যা CD-এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। AC ও BD-কে বর্ধিত করায় P বিন্দুতে ছেদ করে। ∠APB-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

A, D যুক্ত করা হল।
OB = OA = CD
আবার, OC = OD = CD [বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ △COD একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴ ∠COD = 60°
CD বৃত্তচাপে ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DAP বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠DAP = ½ ∠COD = ½ × 60° = 30°
আবার, ∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ADB = 90° অর্থাৎ, ∠ADP = 90°
△ADP –এর ∠APD = 180° – (∠DAP + ∠ADP) = 180° – (30° + 90°) = 60°
∴ ∠APB = 60°

;