কষে দেখি – 6.1
All Answers will come soon…
1. আমার কাছে 5000 টাকা আছে। আমি ওই টাকা একটি ব্যাংকে বার্ষিক 8.5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে জমা রাখলাম। 2 বছরের শেষে সুদে-আসলে মোট কত টাকা পাব হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 5000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 8.5%
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=5000{{\left( 1+\frac{8.5}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=5000{{\left( \frac{108.5}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=5000\times \frac{108.5}{100}\times \frac{108.5}{100}\]
\[\therefore \,A=5886.125\approx 5886.13\]
∴ 2 বছরের শেষে সুদে-আসলে মোট 5886.13 টাকা পাব।
2. 5000 টাকার বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে নির্ণয় করি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 5000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 8%
সময় (n) = 3 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=5000{{\left( 1+\frac{8}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=5000{{\left( \frac{108}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=5000\times \frac{108}{100}\times \frac{108}{100}\times \frac{108}{100}\]
\[\therefore \,A=6298.56\]
∴ 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 6298.56 টাকা।
3. গৌতমবাবু 2000 টাকা বার্ষিক 6% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2 বছরের জন্য ধার নিয়েছেন। 2 বছর পরে তিনি কত টাকা চক্রবৃদ্ধি সুদ দেবেন তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 2000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 6%
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=2000{{\left( 1+\frac{6}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=2000{{\left( \frac{106}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=2000\times \frac{106}{100}\times \frac{106}{100}\]
\[\therefore \,A=2247.20\]
∴ 2 বছর পরে তিনি চক্রবৃদ্ধি সুদ দেবেন = A – p = (2247.20 – 2000) = 247.20 টাকা।
4. 30000 টাকার বার্ষিক 9% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 30000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 9%
সময় (n) = 3 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=30000{{\left( 1+\frac{9}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=30000{{\left( \frac{109}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=30000\times \frac{109}{100}\times \frac{109}{100}\times \frac{109}{100}\]
\[\therefore \,A=38850.87\]
∴ 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = (38850.87 – 30000) = 8850.87 টাকা।
5. বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 80000 টাকার 2\frac{1}{2}বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 80000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 5%
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=80000{{\left( 1+\frac{5}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=80000{{\left( \frac{105}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=80000\times \frac{105}{100}\times \frac{105}{100}\]
\[\therefore \,A=88200\]
∴ 2 বছর পর মূলধন হয় = 88200 টাকা
পরবর্তী বছরের সুদ = \frac{88200\times 5\times \frac{1}{2}}{100}=2205টাকা
∴ 2\frac{1}{2}বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি = (88200 + 2205) = 90405 টাকা।
6. ছন্দাদেবী বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কিছু টাকা 2 বছরের জন্য ধার করেন। চক্রবৃদ্ধি সুদ 2496 টাকা হলে ছন্দাদেবী কত টাকা ধার করেছিলেন নির্ণয় করি।
উত্তর –
মূলধন (p) = ?
বার্ষিক সুদের হার (r) = 8%
সময় (n) = 2 বছর
চক্রবৃদ্ধি সুদ (I) = 2496 টাকা
আমরা জানি,
\[I=p\left\{ {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 2496=p\left\{ {{\left( 1+\frac{8}{100} \right)}^{2}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 2496=p\left\{ {{\left( \frac{108}{100} \right)}^{2}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 2496=p\left( \frac{11664}{10000}-1 \right)\]
\[\Rightarrow 2496=\frac{1664}{10000}p\]
\[\therefore \,p=\frac{2496\times 10000}{1664}=15000\]
∴ ছন্দাদেবী 15000 টাকা ধার করেছিলেন।
7. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কোন আসলের 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 2648 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মূলধন (p) = ?
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
চক্রবৃদ্ধি সুদ (I) = 2648 টাকা
আমরা জানি,
\[I=p\left\{ {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 2648=p\left\{ {{\left( 1+\frac{10}{100} \right)}^{3}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 2648=p\left\{ {{\left( \frac{110}{100} \right)}^{3}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 2648=p\left\{ {{\left( \frac{11}{10} \right)}^{3}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 2648=p\left( \frac{1331}{1000}-1 \right)\]
\[\Rightarrow 2648=\frac{331}{1000}p\]
\[\therefore \,p=\frac{2648\times 1000}{331}=8000\]
∴ নির্ণেয় আসল = 8000 টাকা।
8. রহমতচাচা বার্ষিক 9% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কিছু টাকা সমবায় ব্যাংকে জমা রেখে 2 বছর পরে সুদে-আসলে 29702.50 টাকা ফেরত পেলেন। রহমতচাচা কত টাকা সমবায় ব্যাংকের জমা রেখেছিলেন নির্ণয় করি।
উত্তর –
মূলধন (p) = ?
বার্ষিক সুদের হার (r) = 9%
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 29702.50 টাকা
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 29702.50=p{{\left( 1+\frac{9}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 29702.50=p{{\left( \frac{109}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 29702.50=p\times \frac{109}{100}\times \frac{109}{100}\]
\[\therefore \,\,p=\frac{29702.50\times 100\times 100}{109\times 109}=25000\]
∴ রহমতচাচা 25000 টাকা সমবায় ব্যাংকের জমা রেখেছিলেন।
9. বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত টাকার 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 31492.80 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মূলধন (p) = ?
বার্ষিক সুদের হার (r) = 8%
সময় (n) = 3 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 31492.80 টাকা
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 31492.80=p{{\left( 1+\frac{8}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow 31492.80=p{{\left( \frac{108}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow 31492.80=p\times \frac{108}{100}\times \frac{108}{100}\times \frac{108}{100}\]
\[\therefore \,\,p=\frac{31492.80\times 100\times 100\times 100}{108\times 108\times 108}=25000\]
∴ নির্ণেয় আসল = 25000 টাকা।
10. বার্ষিক 7.5% সুদের হারে 12000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর নির্ণয় করি।
উত্তর –
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = 12000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 7.5%
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=12000{{\left( 1+\frac{7.5}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=12000{{\left( \frac{107.5}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=12000\times \frac{107.5}{100}\times \frac{107.5}{100}=13867.50\]
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = (13867.50 – 12000) = 1867.50 টাকা।
সরল সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = 12000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 7.5%
সময় (t) = 2 বছর
সরল সুদ (I) = ?
আমরা জানি,
\[I=\frac{prt}{100}\]
\[\Rightarrow I=\frac{12000\times 7.5\times 2}{100}=1800\]
∴ 2 বছরের সরল সুদ = 1800 টাকা।
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর = (1867.50 – 1800) = 67.50 টাকা।
11. 10,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = 10000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 5%
সময় (n) = 3 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=10000{{\left( 1+\frac{5}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=10000{{\left( \frac{105}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=10000\times \frac{105}{100}\times \frac{105}{100}\times \frac{105}{100}=11576.25\]
∴ 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = (11576.25– 10000) = 1576.25 টাকা।
সরল সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = 12000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 7.5%
সময় (t) = 3 বছর
সরল সুদ (I) = ?
আমরা জানি,
\[I=\frac{prt}{100}\]
\[\Rightarrow I=\frac{10000\times 5\times 3}{100}=1500\]
∴ 3 বছরের সরল সুদ = 1500 টাকা।
∴ 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর = (1576.25 – 1500) = 76.25 টাকা।
12. বার্ষিক 9% সুদের হারে কিছু টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা হলে, ওই টাকার পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 9%
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=x{{\left( 1+\frac{9}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=x{{\left( \frac{109}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=x\times \frac{109}{100}\times \frac{109}{100}=\frac{11881x}{10000}\]
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = \frac{11881x}{10000}-x=\frac{11881x-10000x}{10000}=\frac{1881x}{10000}টাকা।
সরল সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 9%
সময় (t) = 2 বছর
সরল সুদ (I) = ?
আমরা জানি,
\[I=\frac{prt}{100}\]
\[\Rightarrow I=\frac{x\times 9\times 2}{100}=\frac{18x}{100}\]
∴ 2 বছরের সরল সুদ = \frac{18x}{100} টাকা।
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর = \left( \frac{1881x}{10000}-\frac{18x}{100} \right)টাকা।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1881x}{10000}-\frac{18x}{100}=129.60\]
\[\Rightarrow 81x=129.60\times 10000\]
\[\Rightarrow \frac{1881x-1800x}{10000}=129.60\]
\[\therefore \,\,x=\frac{129.60\times 10000}{81}=16000\]
∴ নির্ণেয় আসল = 16000 টাকা।
13. যদি বার্ষিক 10% হারে কিছু টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 930 টাকা হয়, তবে ওই টাকার পরিমাণ কত হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=x{{\left( 1+\frac{10}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=x{{\left( \frac{110}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=x\times \frac{11}{10}\times \frac{11}{10}\times \frac{11}{10}=\frac{1331x}{1000}\]
∴ 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = \frac{1331x}{1000}-x=\frac{1331x-1000x}{1000}=\frac{331x}{1000}টাকা।
সরল সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
সময় (t) = 3 বছর
সরল সুদ (I) = ?
আমরা জানি,
\[I=\frac{prt}{100}\]
\[\Rightarrow I=\frac{x\times 10\times 3}{100}=\frac{3x}{10}\]
∴ 2 বছরের সরল সুদ = \frac{3x}{10} টাকা।
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর = \left( \frac{331x}{1000}-\frac{3x}{10} \right)টাকা।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{331x}{1000}-\frac{3x}{10}=930\]
\[\Rightarrow \frac{331x-300x}{1000}=930\];
\[\Rightarrow 31x=930\times 1000\]
\[\therefore \,\,x=\frac{930\times 1000}{31}=30000\]
∴ নির্ণেয় আসল = 30000 টাকা।
14. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 7% এবং দ্বিতীয় বছর 8% হয়, তবে 6000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 6000 টাকা
প্রথম বছর সুদের হার (r1) = 7%
দ্বিতীয় বছর সুদের হার (r1) = 8%
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p\left( 1+\frac{{{r}_{1}}}{100} \right)\left( 1+\frac{{{r}_{2}}}{100} \right)\]
\[\Rightarrow A=6000\left( 1+\frac{7}{100} \right)\left( 1+\frac{8}{100} \right)\]
\[\Rightarrow A=6000\times \frac{107}{100}\times \frac{108}{100}=6933.60\]
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = (6933.60 – 6000) = 933.60 টাকা।
15. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 5% এবং দ্বিতীয় বছর 6% হয়, তবে 5000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
উত্তর –
মূলধন (p) =5000 টাকা
প্রথম বছর সুদের হার (r1) = 5%
দ্বিতীয় বছর সুদের হার (r1) = 6%
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p\left( 1+\frac{{{r}_{1}}}{100} \right)\left( 1+\frac{{{r}_{2}}}{100} \right)\]
\[\Rightarrow A=5000\left( 1+\frac{5}{100} \right)\left( 1+\frac{6}{100} \right)\]
\[\Rightarrow A=5000\times \frac{105}{100}\times \frac{106}{100}=5565\]
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = (5565 – 5000) = 565 টাকা।
16. কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ মূলধনের 1 বছরের সরল সুদ 50 টাকা এবং 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 102 টাকা হলে, মূলধনের পরিমাণ ও বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
সরল সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = y%
সময় (t) = 1 বছর
সরল সুদ (I) = 50 টাকা
আমরা জানি,
\[I=\frac{prt}{100}\]
\[\Rightarrow 50=\frac{x\times y\times 1}{100}\]
\[\Rightarrow x=\frac{50\times 100}{y}=\frac{5000}{y}\]
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = y%
সময় (n) = 2 বছর
চক্রবৃদ্ধি সুদ (I) = 102 টাকা
আমরা জানি,
\[I=p\left\{ {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 102=x\left\{ {{\left( 1+\frac{y}{100} \right)}^{2}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 102=x\left\{ {{\left( \frac{100+y}{100} \right)}^{2}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 102=x\left\{ \frac{10000+200y+{{y}^{2}}}{10000}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow 102=x\left\{ \frac{10000+200y+{{y}^{2}}-10000}{10000} \right\}\]
\[\Rightarrow 102=\frac{5000}{y}\times \frac{y\left( y+200 \right)}{10000}\,\,\left[ \because \,x=\frac{5000}{y} \right]\]
\[\Rightarrow 102=\frac{y+200}{2}\]
\[\Rightarrow y+200=204\]
\[\therefore \,\,y=204-200=4\]
সুতরাং, x=\frac{5000}{4}=1250 টাকা।
মূলধনের পরিমাণ 1250 টাকা ও বার্ষিক সুদের হার 4%।
17. কোনো মূলধনের 2 বছরের সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 8400 টাকা এবং 8652 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
সরল সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = y%
সময় (t) = 2 বছর
সরল সুদ (I) = 8400 টাকা
আমরা জানি,
\[I=\frac{prt}{100}\]
\[\Rightarrow 8400=\frac{x\times y\times 2}{100}\]
\[\Rightarrow x=\frac{50\times 8400}{y}=\frac{420000}{y}\]
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে –
মূলধন (p) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = y%
সময় (n) = 2 বছর
চক্রবৃদ্ধি সুদ (I) = 8652 টাকা
আমরা জানি,
\[I=p\left\{ {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow \text{8652}=x\left\{ {{\left( 1+\frac{y}{100} \right)}^{2}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow \text{8652}=x\left\{ {{\left( \frac{100+y}{100} \right)}^{2}}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow \text{8652}=x\left\{ \frac{10000+200y+{{y}^{2}}}{10000}-1 \right\}\]
\[\Rightarrow \text{8652}=x\left\{ \frac{10000+200y+{{y}^{2}}-10000}{10000} \right\}\]
\[\Rightarrow \text{8652}=\frac{420000}{y}\times \frac{y\left( y+200 \right)}{10000}\,\,\left[ \because \,x=\frac{420000}{y} \right]\]
\[\Rightarrow \text{8652}=42\left( y+200 \right)\]
\[\Rightarrow 42y+8400=8652\]
\[\Rightarrow \,42y=8652-8400\]
\[\therefore \,\,y=\frac{252}{42}=6\]
সুতরাং, x=\frac{420000}{6}=70000টাকা।
মূলধনের পরিমাণ 7000 টাকা ও বার্ষিক সুদের হার 6%।
18. 6 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6000 টাকার 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
উত্তর –
6 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক সুদের ক্ষেত্রে সুদের পর্ব (t) = \frac{12}{6}=2
মূলধন (p) = 6000 টাকাবার্ষিক সুদের হার (r) = 8%সময় (n) = 1 বছর সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{\frac{r}{t}}{100} \right)}^{nt}}\]
\[\Rightarrow A=6000{{\left( 1+\frac{\frac{8}{2}}{100} \right)}^{1\times 2}}\]
\[\Rightarrow A=6000{{\left( 1+\frac{4}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=6000\times \frac{104}{100}\times \frac{104}{100}=6489.60\]
∴ 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = (6489.60 – 6000) = 489.60 টাকা।
19. 3 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6250 টাকার 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
3 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক সুদের ক্ষেত্রে সুদের পর্ব (t) = \frac{12}{3}=4
মূলধন (p) = 6250 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
সময় (n) = 9 মাস = \frac{9}{12}=\frac{3}{4} বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{\frac{r}{t}}{100} \right)}^{nt}}\]
\[\Rightarrow A=6250{{\left( 1+\frac{\frac{10}{4}}{100} \right)}^{\frac{3}{4}\times 4}}\]
\[\Rightarrow A=6250{{\left( 1+\frac{10}{400} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=6250{{\left( 1+\frac{1}{40} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=6250\times \frac{41}{40}\times \frac{41}{40}\times \frac{41}{40}=6730.57\]
∴ 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = (6730.57 – 6250) = 480.57 টাকা।
20. যদি 60000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 69984 টাকা হয়, তবে, বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 60000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = ?
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 69984 টাকা
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 69984=60000{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}=\frac{69984}{60000}=\frac{2916}{2500}\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}={{\left( \frac{54}{50} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 1+\frac{r}{100}=\frac{54}{50}\]
\[\Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{54}{50}-1=\frac{4}{50}\]
\[\therefore \,\,r=\frac{4\times 100}{50}=8\]
∴ বার্ষিক সুদের হার 8%
21. বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 40000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 46656 টাকা হবে, তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 40000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 8%
সময় (n) = ?
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 46656 টাকা
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 46656=40000{{\left( 1+\frac{8}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow {{\left( \frac{108}{100} \right)}^{n}}=\frac{46656}{40000}=\frac{729}{625}\]
\[\Rightarrow {{\left( \frac{27}{25} \right)}^{n}}={{\left( \frac{27}{25} \right)}^{2}}\]
\[\therefore \,\,n=2\]
∴ নির্ণেয় সময় 2 বছর।
22. শতকরা বার্ষিক কত চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 10000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 12100 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 10000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = ?
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 12100 টাকা
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 12100=10000{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}=\frac{12100}{10000}=\frac{121}{100}\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}={{\left( \frac{11}{10} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 1+\frac{r}{100}=\frac{11}{10}\]
\[\Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{11}{10}-1=\frac{1}{10}\]
\[\therefore \,\,r=\frac{100}{10}=10\]
∴ বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 10%
23. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 50000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 60500 টাকা হবে, তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 50000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
সময় (n) = ?
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 60500 টাকা
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 60500=50000{{\left( 1+\frac{10}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow {{\left( \frac{110}{100} \right)}^{n}}=\frac{60500}{50000}=\frac{121}{100}\]
\[\Rightarrow {{\left( \frac{11}{10} \right)}^{n}}={{\left( \frac{11}{10} \right)}^{2}}\]
\[\therefore \,\,n=2\]
∴ নির্ণেয় সময় 2 বছর।
24. বার্ষিক10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 300000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 399300 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মূলধন (p) = 300000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
সময় (n) = ?
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 399300 টাকা
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 399300=300000{{\left( 1+\frac{10}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow {{\left( \frac{110}{100} \right)}^{n}}=\frac{399300}{300000}=\frac{1331}{1000}\]
\[\Rightarrow {{\left( \frac{11}{10} \right)}^{n}}={{\left( \frac{11}{10} \right)}^{3}}\]
\[\therefore \,\,n=3\]
∴ নির্ণেয় সময় 3 বছর।
25. সুদের পর্ব 6 মাস হলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 1600 টাকার 1\frac{1}{2} বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সুদ-আসল নির্ণয় করি।
উত্তর –
6 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক সুদের ক্ষেত্রে সুদের পর্ব (t) = \frac{12}{6}=2
মূলধন (p) = 1600 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
সময় (n) = 1\frac{1}{2}=\frac{3}{2} বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{\frac{r}{t}}{100} \right)}^{nt}}\]
\[\Rightarrow A=1600{{\left( 1+\frac{\frac{10}{2}}{100} \right)}^{\frac{3}{2}\times 2}}\]
\[\Rightarrow A=1600{{\left( 1+\frac{5}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=1600{{\left( \frac{105}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=1600\times \frac{105}{100}\times \frac{105}{100}\times \frac{105}{100}=1852.20\]
∴ 1\frac{1}{2} বছর পরে চক্রবৃদ্ধি সুদ = A – p = (1852.20 – 1600) = 252.20 টাকা সুদ-আসল = 1852.20 টাকা।
কষে দেখি – 6.2
1. পহলমপুর গ্রামের বর্তমান লোকসংখ্যা 10000; ওই গ্রামে প্রতি বছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 3% হলে, 2 বছর পরে ওই গ্রামের জনসংখ্যা কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
বর্তমান লোকসংখ্যা (p) = 10000 জন
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার (r) = 3%
সময় (n) = 2 বছর
2 বছর পরে ওই গ্রামের জনসংখ্যা (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=10000{{\left( 1+\frac{3}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=10000{{\left( \frac{103}{100} \right)}^{2}}\]
\[\therefore A=10000\times \frac{103}{100}\times \frac{103}{100}=10609\]
∴ 2 বছর পরে ওই গ্রামের জনসংখ্যা হবে 10609 জন।
2. কোনো একটি রাজ্যের প্রতি বছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2%; বর্তমান জনসংখ্যা 80000000 হলে, 3 বছর পরে ওই রাজ্যের জনসংখ্যা কত হবে, তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
বর্তমান লোকসংখ্যা (p) = 80000000 জন
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার (r) = 2%
সময় (n) = 3 বছর
3 বছর পরে ওই রাজ্যের জনসংখ্যা (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=80000000{{\left( 1+\frac{2}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=80000000{{\left( \frac{102}{100} \right)}^{3}}\]
\[\therefore A=80000000\times \frac{102}{100}\times \frac{102}{100}\times \frac{102}{100}=84896640\]
∴ 3 বছর পরে ওই রাজ্যের জনসংখ্যা হবে 84896640 জন।
3. পাড়ার একটি লেদ কারখানার একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10% হ্রাস প্রাপ্ত হয়। মেশিনটির বর্তমান মূল্য 100000 টাকা হলে, 3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
বর্তমান মূল্য (p) = 100000 টাকা
মূল্য হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=100000{{\left( 1-\frac{10}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=100000{{\left( \frac{90}{100} \right)}^{3}}\]
\[\therefore A=100000\times \frac{90}{100}\times \frac{90}{100}\times \frac{90}{100}=72900\]
∴ 3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য হবে 72900 টাকা।
4. সর্বশিক্ষা অভিযানের ফলে বিদ্যালয় ছেড়ে চলে যাওয়া শিক্ষার্থীদের পুনরায় বিদ্যালয়ে ভর্তির ব্যবস্থা করা হয়েছে। এরূপ শিক্ষার্থীদের ভর্তির হার প্রতি বছর তার পূর্ববর্তী বছর অপেক্ষা 5% বৃদ্ধি পেহেছে। কোনো এক জেলায় বর্তমান বছরে যদি 3528 জন এরূপ শিক্ষার্থী নতুন ভর্তি হয়ে থাকে, তবে 2 বছর পূর্বে এরূপ কত জন শিক্ষার্থী ভর্তি হয়েছিল, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
2 বছর পূর্বে শিক্ষার্থী সংখ্যা (p) = ?
শিক্ষার্থী বৃদ্ধির হার (r) = 5%
সময় (n) = 2 বছর
বর্তমান শিক্ষার্থী সংখ্যা (A) = 3528 জন
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 3528=p{{\left( 1+\frac{5}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 3528=p{{\left( \frac{105}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 3528=p\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\]
\[\therefore \,p=\frac{3528\times 20\times 20}{21\times 21}=3200\]
∴ 2 বছর পূর্বে এরূপ 3200 জন শিক্ষার্থী ভর্তি হয়েছিল।
5. পুরুলিয়া জেলায় পথ নিরাপত্তা সংক্রান্ত প্রচার অভিযানের মাধ্যমে পথ দূর্ঘটনা প্রতি বছরের তুলনায় 10% হ্রাস পেয়েছে। বর্তমান বছরে এই জেলায় 8748 টি পথ দূর্ঘটনা ঘটে থাকলে, 3 বছর আগে পথ দূর্ঘটনার সংখ্যা কত ছিল, তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
3 বছর আগে পথ দূর্ঘটনার সংখ্যা (p) = ?
দূর্ঘটনা হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
বর্তমান দূর্ঘটনার সংখ্যা (A) = 8748 টি
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 8748=p{{\left( 1-\frac{10}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow 8748=p{{\left( \frac{90}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow 8748=p\times \frac{90}{100}\times \frac{90}{100}\times \frac{90}{100}\]
\[\therefore \,\,p=\frac{8748\times 100\times 100\times 100}{90\times 90\times 90}=12000\]
∴ 3 বছর আগে পথ দূর্ঘটনার সংখ্যা ছিল 12000 টি।
6. একটি মৎস্যজীবী সমবায় সমিতি উন্নত প্রথায় মাছ চাষ করার জন্য এরূপ একটি পরিকল্পনা গ্রহণ করেছে যে কোনো বছরের মাছের উৎপাদন পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 10% বৃদ্ধি করবে। বর্তমান বছরে যদি ওই সমবায় সমিতি 400 কুইন্টাল মাছ উৎপাদন করে, তবে 3 বছর পরে সমবায় সমিতির মাছের তুপাদন কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
বর্তমান উৎপাদন (p) = 400 কুইন্টাল
উৎপাদন বৃদ্ধির হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
3 বছর পরে সমবায় সমিতির মাছের উৎপাদন (A) = 3528 জন
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=400{{\left( 1+\frac{10}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=400{{\left( \frac{110}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=400\times \frac{11}{10}\times \frac{11}{10}\times \frac{11}{10}=532.4\]
∴ 3 বছর পরে সমবায় সমিতির মাছের উৎপাদন হবে 532.4 কুইন্টাল।
7. একটি গাছের উচ্চতা প্রতি বছর 20% হারে বৃদ্ধি পায়। গাছটির বর্তমান উচ্চতা 28.8 মিটার হলে, 2 বছর আগে গাছটির উচ্চতা কত ছিল, তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
2 বছর আগে গাছটির উচ্চতা (p) = ?
উচ্চতা বৃদ্ধির হার (r) = 20%
সময় (n) = 2 বছর
গাছটির বর্তমান উচ্চতা (A) = 28.8 মিটার
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 28.8=p{{\left( 1+\frac{20}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 28.8=p{{\left( \frac{120}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 28.8=p\times \frac{6}{5}\times \frac{6}{5}\]
\[\therefore \,\,p=\frac{28.8\times 5\times 5}{6\times 6}=20\]
∴ 2 বছর আগে গাছটির উচ্চতা ছিল 20 মিটার ।
8. কোনো একটি পরিবার আজ থেকে 3 বছর পূর্বে বিদ্যুৎ অপচয় বন্ধ করতে ইলেকট্রিক বিলের খরচ পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 5% হ্রাস করার পরিকল্পনা গ্রহণ করে। 3 বছর পূর্বে ওই পরিবারকে বছরে 4000 টাকার ইলেকট্রিক বিল দিতে হয়েছিল। বর্তমান বছরে ইলেকট্রিক বিলে বিদ্যুৎ খরচ কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
3 বছর আগে ইলেকট্রিক বিল (p) = 4000 টাকা
বিদ্যুৎ অপচয় হ্রাসের হার (r) = 5%
সময় (n) = 3 বছর
বর্তমান বছরে ইলেকট্রিক বিলে বিদ্যুৎ খরচ (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=4000{{\left( 1-\frac{5}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=4000{{\left( \frac{95}{100} \right)}^{3}}\]
\[\therefore A=4000\times \frac{19}{20}\times \frac{19}{20}\times \frac{19}{20}=3429.50\]
∴ বর্তমান বছরে ইলেকট্রিক বিলে বিদ্যুৎ খরচ হবে 3429.50 টাকা।
9. শোভনবাবুর ওজন 80 কিগ্রা। ওজন কমানোর জন্য তিনি নিয়মিত হাঁটা শুরু করলেন। তিনি ঠিক করলেন যে প্রতি বছরের প্রারম্ভে যা ওজন থাকবে তার 10% হ্রাস করবেন। 3 বছর পরে শোভনবাবুর ওজন কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
শোভনবাবুর বর্তমান ওজন (p) = 80 কিগ্রা
ওজন হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
3 বছর পরে শোভনবাবুর ওজন (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=80{{\left( 1-\frac{10}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=80{{\left( \frac{90}{100} \right)}^{3}}\]
\[\therefore A=80\times \frac{9}{10}\times \frac{9}{10}\times \frac{9}{10}=58.32\]
∴ 3 বছর পরে শোভনবাবুর ওজন হবে 58.32 কিগ্রা।
10. কোনো এক জেলার সমস্ত মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের (M.S.K) বর্তমান শিক্ষার্থীর সংখ্যা 3993 জন। প্রতি বছর বিগত বছরের তুলনায় যদি 10% শিক্ষার্থী বৃদ্ধি পেয়ে থাকে, তবে 3 বছর পূর্বে ওই জেলার সকল মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত ছিল, তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
3 বছর পূর্বে শিক্ষার্থীর সংখ্যা (p) = ?
শিক্ষার্থী বৃদ্ধির হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
বর্তমান শিক্ষার্থীর সংখ্যা (A) = 3993 জন
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 3993=p{{\left( 1+\frac{10}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow 3993=p{{\left( \frac{110}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow 3993=p\times \frac{11}{10}\times \frac{11}{10}\times \frac{11}{10}\]
\[\therefore \,\,p=\frac{3993\times 10\times 10\times 10}{11\times 11\times 11}=3000\]
∴ 3 বছর পূর্বে ওই জেলার সকল মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের শিক্ষার্থীর সংখ্যা ছিল 3000 জন।
11. কৃষিজমিতে কেবলমাত্র রাসায়নিক সার ও কীটনাশক ব্যবহারের কুফল সম্পর্কে সচেতনতা বৃদ্ধির ফলে রসুলপুর গ্রামে কেবলমাত্র রাসায়নিক সার ও কীটনাশক ব্যবহারকারী কৃষকের সংখ্যা পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 20% হ্রাস পায়। 3 বছর পূর্বে রসুলপুর গ্রামের ওরকম কৃষকের সংখ্যা 3000 জন হলে, বর্তমানে ওই গ্রামে ওরকম কৃষকের সংখ্যা কত হবে, তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
3 বছর পূর্বে কৃষকের সংখ্যা (p) = 3000 জন
কৃষকের সংখ্যা হ্রাসের হার (r) = 20%
সময় (n) = 3 বছর
বর্তমানে ওই গ্রামে কৃষকের সংখ্যা (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=3000{{\left( 1-\frac{20}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=3000{{\left( \frac{80}{100} \right)}^{3}}\]
\[\therefore A=3000\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}=1536\]
∴ বর্তমানে ওই গ্রামে ওরকম কৃষকের সংখ্যা হবে 1536 জন।
12. একটি কারখানায় একটি মেশিনের মূল্য 180000 টাকা। মেশিনটির মূল্য প্রতি বছর 10% হ্রাস প্রাপ্ত হয়। 3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
বর্তমানে মেশিনের মূল্য (p) = 180000 টাকা
মেশিনের মূল্য হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=180000{{\left( 1-\frac{10}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=180000{{\left( \frac{90}{100} \right)}^{3}}\]
\[\therefore A=180000\times \frac{9}{10}\times \frac{9}{10}\times \frac{9}{10}=131220\]
∴ 3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য হবে 131220 টাকা।
13. বকুলতলা গ্রামের পঞ্চায়েত সমিতি যেসব পরিবারে বিদ্যুৎ সংযোগ নেই তাদের বাড়িতে বিদ্যুৎ পৌঁছানোর পরিকল্পনা গ্রহণ করে। এই গ্রামে 1200 পরিবারের বিদ্যুৎ সংযোগ নেই। প্রতি বছর যদি পূর্ব বছরের তুলনায় 75% বিদ্যুৎহীন পরিবারে বিদ্যুৎ পৌঁছানোর ব্যবস্থা করা হয়, তবে 2 বছর পরে বকুলতলা গ্রামে বিদ্যুৎহীন পরিবারের সংখ্যা কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
বর্তমানে বিদ্যুৎ সংযোগ নেই (p) = 1200 পরিবারের
বিদ্যুৎহীন পরিবার হ্রাসের হার (r) = 75%
সময় (n) = 2 বছর
2 বছর পরে বকুলতলা গ্রামে বিদ্যুৎহীন পরিবারের সংখ্যা (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=1200{{\left( 1-\frac{75}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow A=1200{{\left( \frac{25}{100} \right)}^{2}}\]
\[\therefore A=1200\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=75\]
∴ 2 বছর পরে বকুলতলা গ্রামে বিদ্যুৎহীন পরিবারের সংখ্যা হবে 75 টি।
14. বোতল ভর্তি ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারের উপর বিরূপ প্রতিক্রিয়া প্রচারের ফলে প্রতি বছর তার পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় ওই ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা 25% হ্রাস পায়। 3 বছর পূর্বে কোনো শহরে ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা 80000 হলে, বর্তমানে বছরে ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
3 বছর পূর্বে ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা (p) = 80000 টি
ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা হ্রাসের হার (r) = 25%
সময় (n) = 3 বছর
বর্তমানে বছরে ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা (A) = ?
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow A=80000{{\left( 1-\frac{25}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow A=80000{{\left( \frac{75}{100} \right)}^{3}}\]
\[\therefore A=80000\times \frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{3}{4}=33750\]
∴ বর্তমানে বছরে ঠান্ডা পানীয় ব্যবহারকারীর সংখ্যা কত হবে 33750।
15. ধূমপান বিরোধী প্রচারের ফলে প্রতি বছর ধূমপায়ী সংখ্যা6\frac{1}{4}%হারে হ্রাস পায়। বর্তমানে কোনো শহরে 33750 জন ধূমপায়ী থাকলে, 3 বছর পূর্বে ওই শহরে কত জন ধূমপায়ী ছিল, তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
3 বছর পূর্বে ওই শহরে কত জন ধূমপায়ী ছিল (p) = ?
ধূমপায়ী সংখ্যা হ্রাসের হার (r) = 6\frac{1}{4}%
সময় (n) = 3 বছর
বর্তমানে ধূমপায়ী সংখ্যা (A) = 33750 জন
আমরা জানি,
\[A=p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\Rightarrow 33750=p{{\left( 1-\frac{\frac{25}{4}}{100} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow 33750=p{{\left( 1-\frac{25}{400} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow 33750=p{{\left( \frac{375}{400} \right)}^{3}}\]
\[\Rightarrow 33750=p\times \frac{15}{16}\times \frac{15}{16}\times \frac{15}{16}\]
\[\therefore \,\,p=\frac{33750\times 16\times 16\times 16}{15\times 15\times 15}=40960\]
∴ 3 বছর পূর্বে ওই শহরে 40960 জন ধূমপায়ী ছিল।
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে প্রতি বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার
(a) সমান (b) অসমান (c) সমান অথবা অসমান উভয়ই (d) কোনোটিই নয়
উত্তর – চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে প্রতি বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার – (b) অসমান।
(ii) চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে
(a) প্রতি বছর আসল একই থাকে (b) প্রতি বছর আসল পরিবর্তিত হয়
(c) প্রতি বছর আসল একই থাকতে পারে অথবা পরিবর্তিত হতে পারে (d) কোনোটিই নয়
উত্তর – চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে – (b) প্রতি বছর আসল পরিবর্তিত হয়
(iii) একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা p এবং প্রতি বছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2r% হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবে
(a) p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}} (b) p{{\left( 1+\frac{r}{50} \right)}^{n}} (c) p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2n}} (d) p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}
উত্তর –
\[p{{\left( 1+\frac{2r}{100} \right)}^{n}}=p{{\left( 1+\frac{r}{50} \right)}^{n}}\]
একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা p এবং প্রতি বছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2r% হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবে – (b) p{{\left( 1+\frac{r}{50} \right)}^{n}}
(iv) একটি মেশিনের বর্তমান মূল্য 2p টাকা এবং প্রতি বছর মেশিনটির দাম 2r% হ্রাস হলে 2n বছর পরে মেশিনটির দাম হবে
(a) p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}টাকা (b) 2p{{\left( 1-\frac{r}{50} \right)}^{n}}টাকা
(c) p{{\left( 1-\frac{r}{50} \right)}^{2n}}টাকা (d) 2p{{\left( 1-\frac{r}{50} \right)}^{2n}}টাকা
উত্তর – একটি মেশিনের বর্তমান মূল্য 2p টাকা এবং প্রতি বছর মেশিনটির দাম 2r% হ্রাস হলে 2n বছর পরে মেশিনটির দাম হবে – (d) 2p{{\left( 1-\frac{r}{50} \right)}^{2n}}টাকা
(v) এক ব্যক্তি একটি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা। বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার
(a) 10% (b) 20% (c) 5% (d) 10\frac{1}{2}%
উত্তর –
\[121=100{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}=\frac{121}{100}\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}={{\left( \frac{11}{10} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 1+\frac{r}{100}=\frac{11}{10}\]
\[\Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{11}{10}-1=\frac{1}{10}\]
\[\therefore \,\,r=\frac{100}{10}=10\]
এক ব্যক্তি একটি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা। বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার – (a) 10%
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –
(i) নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকার বার্ষিক নির্দিষ্ট শতকরা হার সুদে নির্দিষ্ট সময়ের জন্য চক্রবৃদ্ধি সুদ সরল সুদের থেকে কম হবে।
উত্তর – মিথ্যা।
(ii) চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট সময় অন্তর সুদ আসলের সঙ্গে যোগ হয়। সেই কারণে আসলের পরিমাণ ক্রমাগত বাড়তে থাকে।
উত্তর – সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –
(i) নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকার বার্ষিক নির্দিষ্ট শতকরা হার সুদে বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ এবং সরল সুদের পরিমাণ _______।
উত্তর – সমান।
(ii) সময়ের সঙ্গে কোনো কিছুর নির্দিষ্ট হারে বৃদ্ধি হলে সেটি ______ বৃদ্ধি।
উত্তর – সমহার।
(iii) সময়ের সঙ্গে কোনো কিছুর নির্দিষ্ট হারে হ্রাস হলে সেটি সমহার _________।
উত্তর – হ্রাস।
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) 400 টাকার 2 বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি 441 টাকা হলে, বার্ষিক শতকরা চক্রবৃদ্ধি সুদের হার কত তা লিখি।
উত্তর –
\[441=400{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}=\frac{441}{400}\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2}}={{\left( \frac{21}{20} \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow 1+\frac{r}{100}=\frac{21}{20}\]
\[\Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{21}{20}-1=\frac{1}{20}\]
\[\therefore \,\,r=\frac{100}{20}=5\]
∴ বার্ষিক শতকরা চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 5%
(ii) বার্ষিক নির্দিষ্ট শতকরা চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কিছু টাকা n বছরে দ্বিগুন হলে, কত বছরে 4 গুন হবে তা লিখি।
উত্তর –
\[p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}=2p\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}=2\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2n}}={{2}^{2}}=4\]
\[\Rightarrow p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{2n}}=4p\]
∴ 2n বছরে 4 গুন হবে।
(iii) বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কিছু টাকার 2 বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদ 615 টাকা হলে, আসল নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[p\left\{ {{\left( 1+\frac{5}{100} \right)}^{2}}-1 \right\}=615\]
\[\Rightarrow p\left\{ {{\left( \frac{105}{100} \right)}^{2}}-1 \right\}=615\]
\[\Rightarrow p\left\{ {{\left( \frac{21}{20} \right)}^{2}}-1 \right\}=615\]
\[\Rightarrow p\left\{ \frac{441}{400}-1 \right\}=615\]
\[\Rightarrow p\times \frac{41}{400}=615\]
\[\therefore \,\,p=\frac{615\times 400}{41}=6000\]
∴ আসল 6000 টাকা।
(iv) প্রতি বছর r% হ্রাসপ্রাপ্ত হলে, n বছর পর একটি মেশিনের মূল্য হয় v টাকা। n বছর পূর্বে মেশিনটির মূল্য কত ছিল তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[p{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{n}}=v\]
\[\Rightarrow p=v{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{-n}}\]
∴ n বছর পূর্বে মেশিনটির মূল্য ছিল v{{\left( 1-\frac{r}{100} \right)}^{-n}} টাকা।
(v) প্রতি বছর জনসংখ্যা r% বৃদ্ধি হলে n বছর পর জনসংখ্যা হয় p; n বছর পূর্বে জনসংখ্যা কত ছিল তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি n বছর পূর্বে জনসংখ্যা ছিল x জন।
প্রশ্নানুসারে,
\[p=x{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{n}}\]
\[\therefore \,x=p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{-n}}\]
∴ n বছর পূর্বে জনসংখ্যা ছিল p{{\left( 1+\frac{r}{100} \right)}^{-n}} জন।
;
