দশম শ্রেণী – অষ্টম অধ্যায় : লম্ব বৃত্তাকার চোঙ সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 8

Answers will come soon…

1. পাশের চিত্রে ঘনবস্তুটি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর লিখি।

(i) ছবির ঘনবস্তুটির ____ টি তল।

উত্তর – ছবির ঘনবস্তুটির 3 টি তল।

(ii) ছবির ঘনবস্তুটির ____ টি বক্রতল ও ____ টি সমতল।

উত্তর – ছবির ঘনবস্তুটির 1 টি বক্রতল ও 2 টি সমতল।

2. আমার বাড়ির 5 টি ঘনবস্তুর নাম লিখি যাদের আকার লম্ব বৃত্তাকার চোঙ।

উত্তর – 5 টি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ঘনবস্তুর নাম – গ্যাস সিলিন্ডার, গ্লাস, চৌবাচ্চা, জগ, ড্রাম।

3. স্টিলের পাতলা চাদর দিয়ে তৈরি ঢাকনাসমেত একটি ড্রামের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 সেমি। ড্রামটি তৈরি  করতে যদি 2816 বর্গ সেমি চাদর লাগে, তবে ড্রামটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, ড্রামের উচ্চতা h সেমি

ড্রামটির ব্যাসার্ধ (r) = \frac{28}{2}=14 সেমি

ড্রামটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 2\pi rh=2\times \frac{22}{7}\times 14\times h বর্গ সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[2\times \frac{22}{7}\times 14\times h=2816\]

\[\Rightarrow h=\frac{2816\times 7}{2\times 22\times 14}=32\]

∴ ড্রামটির উচ্চতা 32 সেমি।

4. একটি ঘরের বারান্দায় 5.6 ডেসিমি ব্যাসের এবং 2.5 মিটার লম্বা দুটি লম্ব বৃত্তাকার পিলার ঢালাই করতে কত ঘন ডেসিমি মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ মিটার 125 টাকা হিসাবে পিলার দুটি প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে হিসাব করি।

উত্তর –

পিলারের উচ্চতা (h) = 2.5 মিটার = (2.5 × 10) ডেসিমি = 25 ডেসিমি

ড্রামটির ব্যাসার্ধ (r) = \frac{5.6}{2}=2.8 ডেসিমি

1টি লম্ব বৃত্তাকার পিলারের আয়তন = πr²h ঘন ডেসিমি =\frac{22}{7}\times 2.8\times 2.8\times 25=616 ঘন ডেসিমি

∴ দুটি লম্ব বৃত্তাকার পিলার ঢালাই করতে মশলা লাগবে = (616 × 2) ঘন ডেসিমি = 1232 ঘন ডেসিমি

1টি লম্ব বৃত্তাকার পিলারের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল =2\pi rh=2\times \frac{22}{7}\times 2.8\times 25=440 বর্গ ডেসিমি = \frac{440}{100}=4.40 বর্গ মিটার

∴ দুটি লম্ব বৃত্তাকার পিলারের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল =(2 × 4.40) বর্গ মিটার = 8.80 বর্গ মিটার

∴ পিলার দুটি প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে = (2 × 4.40 × 125) টাকা = 1100 টাকা।

5. 2.8 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসবিশিষ্ট এবং 7.5 ডেসিমি লম্বা একটি জ্বালানি গ্যাস সিলিন্ডারে 15.015 কিগ্রা গ্যাস থাকলে, প্রতি ঘন ডেসিমি গ্যাসের ওজন হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

গ্যাস সিলিন্ডারের অন্তব্যাসার্ধ (r) = \frac{2.8}{2}=1.4 ডেসিমি

গ্যাস সিলিন্ডারের উচ্চতা (h) = 7.5 ডেসিমি

∴ গ্যাস সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘন ডেসিমি =\frac{22}{7}\times 1.4\times 1.4\times 7.5=46.2 ঘন ডেসিমি

∴ প্রতি ঘন ডেসিমি গ্যাসের ওজন = \frac{15.015}{46.2} কিগ্রা = \frac{15.015}{46.2}\times 1000=325গ্রাম।

6. সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতাবিশিষ্ট তিনটি জারের প্রথমটির \frac{2}{3}অংশ, দ্বিতীয়টির \frac{5}{6}অংশ এবং তৃতীয়টির \frac{7}{9}অংশ লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডে পূর্ণ ছিল। ওই তিনটি জারের অ্যাসিড যদি 2.1 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি জারে রাখা হয়, তবে জারে অ্যাসিডের উচ্চতা 4.1 ডেসিমি হয়। প্রথম তিনটি জারের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 1.4 ডেসিমি হলে, তাদের উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, প্রথম তিনটি জারের প্রতিটির উচ্চতা = h ডেসিমি

এবং প্রথম তিনটি জারের প্রতিটির ব্যাসার্ধ (r) = \frac{1.4}{2}=0.7 ডেসিমি

∴ প্রথম তিনটি জারের প্রতিটির আয়তন =\pi {{r}^{2}}h=\frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h ঘন ডেসিমি

তিনটি জারের লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডের আয়তন

\frac{2}{3}\left( \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h \right)+\frac{5}{6}\left( \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h \right)+\frac{7}{9}\left( \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h \right) ঘন ডেসিমি

বড়ো জারে অ্যাসিডের উচ্চতা (H) = 4.1 ডেসিমি

এবং ব্যাসার্ধ (R) = \frac{2.1}{2} ডেসিমি

∴ বড়ো জারে অ্যাসিডের আয়তন = \pi {{R}^{2}}H=\frac{22}{7}\times \frac{2.1}{2}\times \frac{2.1}{2}\times 4.1 ঘন ডেসিমি

প্রশ্নানুসারে,

\[\frac{2}{3}\left( \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h \right)+\frac{5}{6}\left( \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h \right)+\frac{7}{9}\left( \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h \right)=\frac{22}{7}\times \frac{2.1}{2}\times \frac{2.1}{2}\times 4.1\]

\[\Rightarrow \left( \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h \right)\left( \frac{2}{3}+\frac{5}{6}+\frac{7}{9} \right)=\frac{22}{7}\times \frac{2.1}{2}\times \frac{2.1}{2}\times 4.1\]

\[\Rightarrow \left( \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h \right)\left( \frac{12+15+14}{18} \right)=\frac{22}{7}\times \frac{2.1}{2}\times \frac{2.1}{2}\times 4.1\]

\[\Rightarrow \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times h\times \frac{41}{18}=\frac{22}{7}\times \frac{2.1}{2}\times \frac{2.1}{2}\times 4.1\]

\[\therefore \,\,h=\frac{22}{7}\times \frac{2.1}{2}\times \frac{2.1}{2}\times 4.1\times \frac{7}{22}\times \frac{1}{0.7}\times \frac{1}{0.7}\times \frac{18}{41}\]

\[\Rightarrow \,h=4.05\]

∴ প্রথম তিনটি জারের প্রতিটির উচ্চতা = 4.05 ডেসিমি।

7. একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গ সেমি। পাত্রটির ভুমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের উচ্চতা = h সেমি

এবং প্রথম তিনটি জারের প্রতিটির ব্যাসার্ধ (r) = \frac{14}{2}=7 সেমি

∴ একমুখ খোলা পাত্রটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2\pi rh+\pi {{r}^{2}}=\pi r\left( 2h+r \right)=\frac{22}{7}\times 7\left( 2h+7 \right)=22\left( 2h+7 \right)বর্গ সেমি।

প্রশ্নানুসারে,

\[22\left( 2h+7 \right)=2002\]

\[\Rightarrow 2h+7=\frac{2002}{22}=91\]

\[\Rightarrow 2h=91-7=84\]

\[\therefore \,\,h=\frac{84}{2}=42\]

∴ পাত্রটির আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\frac{22}{7}\times 7\times 7\times 42=6468 ঘন সেমি = 6.468 ঘন ডেসিমি = 6.468 লিটার

∴ পাত্রটিতে 6.468 লিটার জল ধরবে।

8. যদি 14 সেমি ব্যাসের পাইপযুক্ত একটি পাম্পসেট মিনিতে 2500 মিটার জল সেচ করতে পারে, তাহলে ওই পাম্পটি 1 ঘণ্টায় কত কিলো লিটার জলসেচ করবে, হিসাব করে লিখি। [ 1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি ]

উত্তর –

পাইপটির ব্যাসার্ধ (r) =\frac{14}{2}=7 সেমি = 0.7 ডেসিমি

পাম্পটি 1 মিনিটে জলসেচ করে = 2500 মিটার = 25000 ডেসিমি

1 মিনিটে জলসেচ করা জলের আয়তন = \frac{22}{7}\times 0.7\times 0.7\times 25000=38500 ঘন ডেসিমি = 38500 লিটার

∴ পাম্পটি 1 ঘণ্টায় জলসেচ করবে = 38500 × 60 লিটার = 2310000 লিটার = 2310 কিলো লিটার।

9. 7 সেমি ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাসজারে কিছু জল আছে। ওই জলে যদি 5.6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 5 সেমি লম্বা একটি লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরো সম্পূর্ণ ডোবানো হয়, তাহলে জলতল কতটুকু উপরে উঠবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরোর উচ্চতা (h) = 5 সেমি

এবং ব্যাসার্ধ (r) = \frac{5.6}{2}=2.8 সেমি

∴ লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরোর আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\frac{22}{7}\times 2.8\times 2.8\times 5 ঘন সেমি

মনেকরি, চোঙাকৃতি টুকরোটি গ্যাসজারে ডোবালে জলতল H সেমি উপরে উঠবে।

গ্যাসজারটির ব্যাসার্ধ (R) = \frac{7}{2}=3.5 সেমি

গ্যাসজারে বৃদ্ধিপ্রাপ্ত জলতলের আয়তন = \pi {{R}^{2}}H=\frac{22}{7}\times 3.5\times 3.5\times H ঘন সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[\frac{22}{7}\times 3.5\times 3.5\times H=\frac{22}{7}\times 2.8\times 2.8\times 5\]

\[\therefore \,\,H=\frac{2.8\times 2.8\times 5}{3.5\times 3.5}=3.2\]

∴ জলতল 3.2 সেমি উপরে উঠবে।

10. একটি লম্ব চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ মিটার এবং আয়তল 924 ঘন মিটার হলে, এই স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, স্তম্ভটির ব্যাসার্ধ r মিটার ও উচ্চতা h মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

\[2\pi rh=264……….(i)\]

\[\pi {{r}^{2}}h=924……….(ii)\]

\[\therefore \frac{\pi {{r}^{2}}h}{2\pi rh}=\frac{924}{264}\]

\[\Rightarrow \frac{r}{2}=\frac{924}{264}\]

\[\therefore \,\,r=2\times \frac{924}{264}=7\]

(i) নং থেকে পাই,

\[2\times \frac{22}{7}\times 7\times h=264\]

\[\therefore \,\,h=264\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{7}\times \frac{7}{22}=6\]

∴ স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2 × 7) = 14 মিটার ও উচ্চতা 6 মিটার ।

11. 9 মিটার উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ট্যাঙ্ক জলপূর্ণ আছে। 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বেগে জল বের হয়, তাহলে 36 মিনিটে ট্যাঙ্কটির সমস্ত জল বেরিয়ে যায়। ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

পাইপটির ব্যাসার্ধ =\frac{6}{2}=3সেমি

পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে জল বের হয় 225 মিটার = 22500 সেমি

∴ পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে নিস্কাসিত জলের আয়তন = \frac{22}{7}\times 3\times 3\times 22500 ঘন সেমি

∴ পাইপ দিয়ে 36 মিনিটে নিস্কাসিত জলের আয়তন = 36\times \frac{22}{7}\times 3\times 3\times 22500 ঘন সেমি

মনেকরি, ট্যাঙ্কের ব্যাসার্ধ = r সেমি

ট্যাঙ্কের উচ্চতা = 9 মিটার = 900 সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[\frac{22}{7}\times {{r}^{2}}\times 900=36\times \frac{22}{7}\times 3\times 3\times 22500\]

\[\Rightarrow {{r}^{2}}=36\times \frac{22}{7}\times 3\times 3\times 22500\times \frac{7}{22}\times \frac{1}{900}\]

\[\Rightarrow {{r}^{2}}=36\times 225\]

\[\therefore \,\,r=\sqrt{36\times 225}=6\times 15=90\]

∴ ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = (2 × 90) সেমি = 180 সেমি

12. সমান ঘনত্বের একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গ ডেসিমি। এক ঘন ডেসিমি কাঠের ওজন 1.5 কিগ্রা এবং গুঁড়িটির ওজন 9.24 কুইন্টাল হলে, গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির ব্যাসার্ধ r ডেসিমি এবং উচ্চতা h ডেসিমি।

∴ কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ ডেসিমি

কাঠের গুঁড়ির আয়তন =\frac{9.24\times 100}{1.5}=\frac{924}{1.5} ঘন সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[2\pi rh=440……….(i)\]

\[\pi {{r}^{2}}h=\frac{924}{1.5}……….(ii)\]

\[\frac{\pi {{r}^{2}}h}{2\pi rh}=\frac{924}{1.5\times 440}\]

\[\Rightarrow \frac{r}{2}=\frac{924\times 10}{15\times 440}\]

\[\therefore \,\,r=\frac{2\times 924\times 10}{15\times 440}=\frac{14}{5}=2.8\]

(i) নং থেকে পাই,

\[2\times \frac{22}{7}\times 2.8\times h=440\]

\[\therefore \,\,h=440\times \frac{1}{2}\times \frac{7}{22}\times \frac{1}{2.8}=25\]

গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2 × 2.8) ডেসিমি = 5.6 ডেসিমি ও উচ্চতা 25 ডেসিমি।

13. দুই মুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার লোহার পাইপের মুখের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 30 সেমি, অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি এবং পাইপটির দৈর্ঘ্য 14.7 মিটার। প্রতি বর্গ ডেসিমি 2.25 টাকা হিসাবে ওই পাইপটির সমগ্রতলে আলকাতরার প্রলেপ দিতে কত খরচ হবে, হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

লম্ব বৃত্তাকার লোহার পাইপের মুখের বহির্ব্যাসার্ধের (r₁) = \frac{30}{2}=15সেমি = 1.5 ডেসিমি

অন্তর্ব্যাসার্ধের (r₂) = \frac{26}{2}=13সেমি = 1.3 ডেসিমি

উচ্চতা (h) = 14.7 মিটার = 147 ডেসিমি

∴ পাইপটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2\pi \left( {{r}_{1}}+{{r}_{2}} \right)h+2\pi \left( r_{1}^{2}-r_{2}^{2} \right) বর্গ ডেসিমি

\[=2\times \frac{22}{7}\left( 1.5+1.3 \right)\times 147+2\times \frac{22}{7}\left\{ {{\left( 1.5 \right)}^{2}}-{{\left( 1.3 \right)}^{2}} \right\}\]

\[=2\times \frac{22}{7}\left[ 2.8\times 147+\left( 1.5+1.3 \right)\left( 1.5-1.3 \right) \right]\]

\[=2\times \frac{22}{7}\left[ 2.8\times 147+2.8\times 0.2 \right]\]

\[=2\times \frac{22}{7}\left[ 411.6+0.56 \right]\]

\[=2\times \frac{22}{7}\times 412.16=2590.72\]

∴ পাইপটির সমগ্রতলে আলকাতরার প্রলেপ দিতে খরচ হবে (2590.72 × 2.25) টাকা = 5829.12 টাকা।

14. একটি দুই মুখ খোলা লোহার লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার। চোঙটির অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4.6 ডেসিমি এবং চোঙটি  84.48 ঘন ডেসিমি লোহা দিয়ে তৈরি হলে, চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

মনেকরি, চোঙটির বহির্ব্যাসার্ধ = r₁ ডেসিমি

চোঙটির অন্তর্ব্যাসার্ধ (r₂) = \frac{4.6}{2}=2.3 ডেসিমি

উচ্চতা (h) = 2.8 মিটার = 28 ডেসিমি

চোঙটির আয়তন = \pi \left( r_{1}^{2}-r_{2}^{2} \right)h ঘন ডেসিমি

প্রশ্নানুসারে,

\[\pi \left( r_{1}^{2}-r_{2}^{2} \right)h=84.48\]

\[\Rightarrow \frac{22}{7}\left\{ r_{1}^{2}-{{\left( 2.3 \right)}^{2}} \right\}\times 28=84.48\]

\[\Rightarrow r_{1}^{2}-5.29=\frac{84.48\times 7}{22\times 28}\]

\[\Rightarrow r_{1}^{2}=0.96+5.29\]

\[\therefore \,\,{{r}_{1}}=\sqrt{6.25}=2.5\]

∴ চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য = (2 × 2.5) ডেসিমি = 5 ডেসিমি ।

15. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুন। যদি উচ্চতা 6 গুন হতো তবে চোঙটির আয়তন  539 ঘন ডেসিমি বেশি হতো। চোঙটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙটির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি

∴ চোঙটির উচ্চতা = 2r ডেসিমি

∴ চোঙটির আয়তন =\pi {{r}^{2}}\left( 2r \right)=2\pi {{r}^{3}} ঘন ডেসিমি

উচ্চতা 6 গুন হলে আয়তন হবে = \pi {{r}^{2}}\left( 6r \right)=6\pi {{r}^{3}} ঘন ডেসিমি

প্রশ্নানুসারে,

\[6\pi {{r}^{3}}-2\pi {{r}^{3}}=539\]

\[\Rightarrow 4\pi {{r}^{3}}=539\]

\[\Rightarrow 4\times \frac{22}{7}{{r}^{3}}=539\]

\[\Rightarrow {{r}^{3}}=539\times \frac{1}{4}\times \frac{7}{22}=\frac{49\times 7}{4\times 2}\]

\[\Rightarrow {{r}^{3}}={{\left( \frac{7}{2} \right)}^{3}}\]

\[\therefore \,\,r=\frac{7}{2}=3.5\]

∴ চোঙটির উচ্চতা = (2 × 3.5) ডেসিমি = 7 ডেসিমি।

16. ফায়ার ব্রিগেডের কোনো একটি দল একটি জলভরতি লম্ব বৃত্তাকার ট্যাঙ্কারের জল 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের তিনটি হোস পাইপ দিয়ে মিনিটে 420 মিটার বেগে ঢেলে 40 মিনিটে আগুন নেভাল। যদি ট্যাঙ্কারটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 6 মিটার হয়, তবে
(i) আগুন নেভাতে কত জল খরচ হয়েছে
(ii) ট্যাঙ্কারে আর কত জল রয়েছে নির্ণয় করি।

উত্তর –

প্রতিটি হোস পাইপের ব্যাসার্ধ = \frac{2}{2}=1 সেমি = 0.1 ডেসিমি

হোস পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে জল বের হয় 420 মিটার = 4200 ডেসিমি

∴ হোস পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে নির্গত জলের আয়তন = \frac{22}{7}\times 0.1\times 0.1\times 4200=132 ঘন ডেসিমি = 132 লিটার।

∴ তিনটি হোস পাইপ দিয়ে 40 মিনিটে নির্গত জলের আয়তন = (40 × 132 × 3) লিটার = 15840 লিটার

 ট্যাঙ্কারটির ব্যাসার্ধ = \frac{2.8}{2}=1.4 মিটার = 14 ডেসিমি এবং উচ্চতা = 6 মিটার = 60 ডেসিমি

∴ ট্যাঙ্কারটির আয়তন = \frac{22}{7}\times 14\times 14\times 60=36960 ঘন ডেসিমি

∴ ট্যাঙ্কটিতে জল ধরে 36960 লিটার।

(i) আগুন নেভাতে জল খরচ হয়েছে 15840 লিটার।

(ii) ট্যাঙ্কারে আর জল রয়েছে = (36960 – 15840) লিটার = 21120 লিটার।

17. 17.5 সেমি ব্যাসের 4 টি লম্ব বৃত্তাকার ঢালাই পিলারের চারিপাশে 3.5 সেমি পুরু বালি-সিমেন্ট প্লাস্টার করতে হবে।
(i) প্রতিটি পিলার যদি 3 মিটার লম্বা হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি।
(ii) প্লাস্টারের মশলা তৈরি করতে যদি 4:1 অনুপাতে বালি ও সিমেন্ট মেশাতে হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি সিমেন্টের প্রয়োজন, হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

প্রতিটি পিলারের অন্তর্ব্যাসার্ধ = \frac{17.5}{2}=8.75সেমি = 0.875 ডেসিমি

প্লাস্টার 3.5 সেমি = 0.35 ডেসিমি পুরু

প্রতিটি পিলারের বহির্ব্যাসার্ধ = (0.875 + 0.35) ডেসিমি = 1.225 ডেসিমি

প্রতিটি পিলারের উচ্চতা = 3 মিটার = 30 ডেসিমি

(i)  প্রতিটি পিলারে প্লাস্টারের আয়তন = \frac{22}{7}\left\{ {{\left( 1.225 \right)}^{2}}-{{\left( 0.875 \right)}^{2}} \right\}\times 30 ঘন ডেসিমি

\[=\frac{22}{7}\left( 1.225+0.875 \right)\left( 1.225-0.875 \right)\times 30\]

\[=\frac{22}{7}\times 2.1\times 0.35\times 30=69.3\]

প্রতিটি পিলার প্লাস্টার করতে মশলা লাগবে 69.3 ঘন ডেসিমি

(ii) 4 টি পিলার প্লাস্টার করতে মশলা লাগবে (4 × 69.3) ঘন ডেসিমি  = 277.2 ঘন ডেসিমি

প্লাস্টারের মশলাতে বালি ও সিমেন্ট –এর অনুপাত = 4:1

প্লাস্টারের মশলা তৈরি করতে সিমেন্ট লাগবে = 277.2\times \frac{1}{4+1}=\frac{277.2}{5}=55.44 ঘন ডেসিমি।

18. একটি লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি। চোঙটির উচ্চতা 36 সেমি। চোঙটিকে গলিয়ে 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট এবং 6 সেমি দৈর্ঘ্যের কতগুলি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে হিসাব করি।

উত্তর –

ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসার্ধ = \frac{16}{2}=8সেমি

অন্তর্ব্যাসার্ধ = \frac{12}{2}=6সেমি এবং উচ্চতা = 36 সেমি।

∴ ফাঁপা চোঙের আয়তন = \frac{22}{7}\left\{ {{\left( 8 \right)}^{2}}-{{\left( 6 \right)}^{2}} \right\}\times 36 ঘন সেমি

=\frac{22}{7}\left( 8+6 \right)\left( 8-6 \right)\times 36=\frac{22}{7}\times 14\times 2\times 36 ঘন সেমি

প্রতিটি নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ = \frac{2}{2}=1সেমি এবং উচ্চতা = 6 সেমি

∴ প্রতিটি নিরেট চোঙের আয়তন = \frac{22}{7}\times 1\times 1\times 6ঘন সেমি

∴ নির্ণেয় নিরেট চোঙের সংখ্যা = \frac{\frac{22}{7}\times 14\times 2\times 36}{\frac{22}{7}\times 1\times 1\times 6}=168টি।

19. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত  

(a) 2:5                (b) 8:7                (c) 10:9               (d) 16:9

(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত

(a) 27:20            (b) 20:27            (c) 4:9                 (d) 9:4

(iii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 1:2 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত

(a) 1:\sqrt{2}           (b)\sqrt{2}:1            (c) 1:2                (d) 2:1

(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন হলে, চোঙটির আয়তন হবে পুর্বের চোঙের আয়তনের

(a) সমান             (b) দ্বিগুন           (c) অর্ধেক           (d) 4গুন

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল পুর্বের চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের

(a) সমান             (b) দ্বিগুন           (c) অর্ধেক           (d) 4গুন

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) একটি লম্ব চোঙাকৃতি ড্রামের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি এবং উচ্চতা h সেমি। ড্রামের অর্ধেক জলপূর্ণ থাকলে, জলের আয়তন হবে \pi {{r}^{2}}hঘন সেমি।

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 একক হলে, চোঙটির যে-কোনো উচ্চতার জন্য চোঙটির আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হবে।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজের দৈর্ঘ্য l একক এবং প্রস্থ b একক। আয়তক্ষেত্রাকার কাগজটিকে মুড়ে একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার পরিধি কাগজটির দৈর্ঘ্যের সমান। চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল __________ বর্গ একক।

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি হলে, চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য ______ সেমি।

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে, চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ______ একক।

20. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ মিটার এবং আয়তন 924 ঘন মিটার হলে, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত লিখি।

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল c বর্গ একক, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং আয়তন v ঘন একক হলে, \frac{cr}{v}-এর মান কত তা লিখি।

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 সেমি এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ সেমি হলে, চোঙটির আয়তন কত তা লিখি।

(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1:2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3:4 হলে, তাদের আয়তলের অনুপাত কত তা লিখি।

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হলো এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হলো। চোঙটির আয়তনের শতকরা কত পরিবর্তন হবে তা লিখি।

;