নবম শ্রেণী – চতুর্থ অধ্যায় : স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 4

1. মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করি –
(i) (7, –24)  (ii) (3, –4)  (iii) (a + b, a – b)

উত্তর –

(i) মূলবিন্দু (0, 0) থেকে (7, –24) বিন্দুর দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( 7-0 \right)}^{2}}+{{\left( -24-0 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( 7 \right)}^{2}}+{{\left( -24 \right)}^{2}}}

= \sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25 একক।

(ii) মূলবিন্দু (0, 0) থেকে (3, –4)  বিন্দুর দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( 3-0 \right)}^{2}}+{{\left( -4-0 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( 3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}

= \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 একক।

(iii) মূলবিন্দু (0, 0) থেকে (a + b, a – b) বিন্দুর দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( a+b-0 \right)}^{2}}+{{\left( a-b-0 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}}

= \sqrt{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)} একক।

2. নীচের বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি –
(i) (5, 7) এবং (8, 3)   (ii) (7, 0) এবং (2, –12)   (iii) \left(-\frac32,0\right) এবং (0, –2)   (iv) (3, 6) এবং (–2, –6)   (v) (1, –3) এবং (8, 3)  (vi) (5, 7) এবং (8, 3)

উত্তর –

(i) (5, 7) এবং (8, 3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( 5-8 \right)}^{2}}+{{\left( 7-3 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( 4 \right)}^{2}}}

= \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 একক।

(ii) (7, 0) এবং (2, –12) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( 7-2 \right)}^{2}}+{{\left( 0+12 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( 5 \right)}^{2}}+{{\left( 12 \right)}^{2}}} 

= \sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 একক।

(iii) \left( -\frac{3}{2},0 \right) এবং (0, –2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( -\frac{3}{2}-0 \right)}^{2}}+{{\left( 0+2 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2 \right)}^{2}}}

= \sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{9+16}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2} একক।

(iv) (3, 6) এবং (–2, –6) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( 3+2 \right)}^{2}}+{{\left( 6+6 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( 5 \right)}^{2}}+{{\left( 12 \right)}^{2}}}

= \sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 একক।

(v) (1, –3) এবং (8, 3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( 1-8 \right)}^{2}}+{{\left( -3-3 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( -7 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}

= \sqrt{49+36}=\sqrt{85} একক।

(vi) (5, 7) এবং (8, 3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( 5-8 \right)}^{2}}+{{\left( 7-3 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( 4 \right)}^{2}}}

= \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 একক।

3. প্রমাণ করি যে,(–2, –11) বিন্দুটি (–3, 7) ও (4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।

উত্তর –

(–2, –11) এবং (–3, 7) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( -2+3 \right)}^{2}}+{{\left( -11-7 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( -18 \right)}^{2}}}

= \sqrt{1+324}=\sqrt{325} একক।

(–2, –11) এবং (4, 6) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব

= \sqrt{{{\left( -2-4 \right)}^{2}}+{{\left( -11-6 \right)}^{2}}}

= \sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{\left( -17 \right)}^{2}}}

= \sqrt{36+289}=\sqrt{325} একক।

সুতরাং, (–2, –11) বিন্দুটি (–3, 7) ও (4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী। [প্রমাণিত]

4. হিসাব করে দেখাই যে,(7, 9), (3, –7) এবং (–3, 3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

উত্তর –

মনেকরি, A, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (7, 9), (3, –7) এবং (–3, 3)

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 7-3 \right)}^{2}}+{{\left( 9+7 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 4 \right)}^{2}}+{{\left( 16 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+256}=\sqrt{272} একক।

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 3+3 \right)}^{2}}+{{\left( -7-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 6 \right)}^{2}}+{{\left( -10 \right)}^{2}}}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136} একক।

∴ CA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -3-7 \right)}^{2}}+{{\left( 3-9 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -10 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136} একক।

এখন, {{\left( \sqrt{272} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{136} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{136} \right)}^{2}}

অর্থাৎ, A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}, ইহা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

সুতরাং, ABC ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠ACB সমকোণ অর্থাৎ, (7, 9), (3, –7) এবং (–3, 3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

5. প্রমাণ করি যে, উবয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু –
(i) (1, 4), (4, 1) ও (8, 8)  (ii) (–2, –2), (2, 2) ও (4, –4)

উত্তর –

(i) মনেকরি, A, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1, 4), (4, 1) ও (8, 8) 

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 1-4 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( 3 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18} একক।

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 4-8 \right)}^{2}}+{{\left( 1-8 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -7 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65} একক।

∴ CA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 8-1 \right)}^{2}}+{{\left( 8-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 7 \right)}^{2}}+{{\left( 4 \right)}^{2}}}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65} একক।

অর্থাৎ, BC = CA

সুতরাং, ABC ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অর্থাৎ, (1, 4), (4, 1) ও (8, 8) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

(ii) মনেকরি, A, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (–2, –2), (2, 2) ও (4, –4)

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -2-2 \right)}^{2}}+{{\left( -2-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32} একক।

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 2-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2+4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( 6 \right)}^{2}}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40} একক।

∴ CA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 4+2 \right)}^{2}}+{{\left( -4+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 6 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40} একক।

অর্থাৎ, BC = CA

সুতরাং, ABC ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অর্থাৎ, (–2, –2), (2, 2) ও (4, –4)বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

6. প্রমাণ করি যে, A(3, 3), B(8, –2) ও C(–2, –2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। △ABC –এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 3-8 \right)}^{2}}+{{\left( 3+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -5 \right)}^{2}}+{{\left( 5 \right)}^{2}}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50} একক।

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 8+2 \right)}^{2}}+{{\left( -2+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 10 \right)}^{2}}+{{\left( 0 \right)}^{2}}}=\sqrt{100+0}=\sqrt{100} একক।

∴ CA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -2-3 \right)}^{2}}+{{\left( -2-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -5 \right)}^{2}}+{{\left( -5 \right)}^{2}}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50} একক।

এখন, {{\left( \sqrt{100} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{50} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{50} \right)}^{2}}

অর্থাৎ, B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+C{{A}^{2}}, ইহা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

সুতরাং, ABC ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠CAB সমকোণ।

আবার, AB = CA অর্থাৎ, ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

সুতরাং, ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য \sqrt{100}=10 একক।

7. হিসাব করে দেখাই যে,(2, 1), (0, 0), (–1, 2) এবং (1, 3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌনিকবিন্দু।

উত্তর –

মনেকরি, A, B, C এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 1), (0, 0), (–1, 2) এবং (1, 3)

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 2-0 \right)}^{2}}+{{\left( 1-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( 1 \right)}^{2}}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5} একক।

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 0+1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5} একক।

∴ CD –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -1-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5} একক।

∴ DA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 1-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( 2 \right)}^{2}}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5} একক।

∴ AC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 2+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} একক।

∴ BD –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 0-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10} একক।

এখন, AB = BC = CD = DA এবং AC = BD

অর্থাৎ, (2, 1), (0, 0), (–1, 2) এবং (1, 3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌনিকবিন্দু।

8. হিসাব করে দেখি, y –এর মান কী হলে (2, y) এবং (10, –9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।

উত্তর –

(2, y) এবং (10, –9) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = \sqrt{{{\left( 2-10 \right)}^{2}}+{{\left( y+9 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -8 \right)}^{2}}+{{\left( y+9 \right)}^{2}}}=\sqrt{64+{{\left( y+9 \right)}^{2}}} একক।

প্রশ্নানুসারে, \sqrt{64+{{\left( y+9 \right)}^{2}}}=10

বা, 64+{{\left( y+9 \right)}^{2}}=100

বা, {{\left( y+9 \right)}^{2}}=100-64

বা, {{\left( y+9 \right)}^{2}}=36

বা, y+9=\pm \sqrt{36}=\pm 6

বা, y+9=6 অথবা, y+9=-6

বা, y=6-9 অথবা, y=-6-9

∴ y=-3 অথবা, y=-15

9. x –অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা (3, 5) ও (1, 3) বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী

সংকেত – x –এর অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি (x, 0)  (x – 3)2 + (0 – 5)2 = (x – 1)2 + (0 – 3)2

উত্তর –

মনেকরি, x অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি (x, 0)।

(x, 0) এবং (3, 5) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 0-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+25} একক।

(x, 0) এবং (1, 3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+9} একক।

প্রশ্নানুসারে, \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+25}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+9}

বা, {{\left( x-3 \right)}^{2}}+25={{\left( x-1 \right)}^{2}}+9 [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]

বা, {{x}^{2}}-6x+9+25={{x}^{2}}-2x+1+9

বা, {{x}^{2}}-6x-{{x}^{2}}+2x=1+9-9-25

বা, -4x=-24

বা, x=\frac{-24}{-4}=6

নির্নেয় বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (6, 0)।

10. O(0, 0), A(4, 3) এবং B(8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ কিনা হিসাব করে লিখি।

সংকেত – OA + AB = OB হলে সমরেখ হবে।

উত্তর –

∴ OA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 0-4 \right)}^{2}}+{{\left( 0-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 একক।

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 4-8 \right)}^{2}}+{{\left( 3-6 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 একক।

∴ OB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 0-8 \right)}^{2}}+{{\left( 0-6 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -8 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 একক।

এখন, OA + AB = OB অর্থাৎ, O, A এবং B বিন্দু তিনটি সমরেখ।

11. দেখাই যে, (2, 2), (–2, –2) এবং \left(-2\sqrt3,2\sqrt3\right) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

উত্তর –

মনেকরি, A, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 2), (–2, –2) এবং \left( -2\sqrt{3},2\sqrt{3} \right)

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 2+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 4 \right)}^{2}}+{{\left( 4 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32} একক।

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -2+2\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -2-2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2-2\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2+2\sqrt{3} \right)}^{2}}}

= \sqrt{2\left\{ {{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}} \right\}}=\sqrt{2\left\{ 4+12 \right\}}=\sqrt{32} একক।

∴ CA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -2\sqrt{3}-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}

= \sqrt{2\left\{ {{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2 \right)}^{2}} \right\}}=\sqrt{2\left\{ 12+4 \right\}}=\sqrt{32} একক।

এখন, AB = BC = CA, সুতরাং, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

অর্থাৎ, (2, 2), (–2, –2) এবং \left( -2\sqrt{3},2\sqrt{3} \right)বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

12.  দেখাই যে, (–7, 12), (19, 18), (15, –6) এবং (–11, –12) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

উত্তর –

মনেকরি, A, B, C এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (–7, 12), (19, 18), (15, –6) এবং (–11, –12)

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -7-19 \right)}^{2}}+{{\left( 2-8 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -26 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}=\sqrt{676+36}=\sqrt{712} একক।

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 19-15 \right)}^{2}}+{{\left( 8+6 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 4 \right)}^{2}}+{{\left( 14 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+196}=\sqrt{212} একক।

∴ CD –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 15+11 \right)}^{2}}+{{\left( -6+12 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 26 \right)}^{2}}+{{\left( 6 \right)}^{2}}}=\sqrt{676+36}=\sqrt{712} একক।

∴ DA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -11+7 \right)}^{2}}+{{\left( -12-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -14 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+196}=\sqrt{212} একক।

∴ AC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -7-15 \right)}^{2}}+{{\left( 2+6 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -22 \right)}^{2}}+{{\left( 8 \right)}^{2}}}=\sqrt{484+64}=\sqrt{548} একক।

∴ BD –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 19+11 \right)}^{2}}+{{\left( 8+12 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 30 \right)}^{2}}+{{\left( 20 \right)}^{2}}}=\sqrt{900+400}=\sqrt{1300} একক।

এখন, AB = CD এবং BC = DA কিন্তু AC ≠ BD সুতরাং, ABCD একটি সামান্তরিক।

অর্থাৎ, (–7, 12), (19, 18), (15, –6) এবং (–11, –12) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

13. দেখাই যে, (2, –2), (8, 4), (5, 7) এবং (–1, 1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

উত্তর –

মনেকরি, A, B, C এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, –2), (8, 4), (5, 7) এবং (–1, 1)

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 2-8 \right)}^{2}}+{{\left( -2-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72} একক।

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 8-5 \right)}^{2}}+{{\left( 4-7 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18} একক।

∴ CD –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 5+1 \right)}^{2}}+{{\left( 7-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 6 \right)}^{2}}+{{\left( 6 \right)}^{2}}}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72} একক।

∴ DA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -1-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3 \right)}^{2}}+{{\left( 3 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18} একক।

∴ AC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 2-5 \right)}^{2}}+{{\left( -2-7 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -9 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90} একক।

∴ BD –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 8+1 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 9 \right)}^{2}}+{{\left( 3 \right)}^{2}}}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90} একক।

এখন, AB = CD এবং BC = DA আবার, AC = BD সুতরাং, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।

অর্থাৎ, (2, –2), (8, 4), (5, 7) এবং (–1, 1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

14. দেখাই যে, (2, 5), (5, 9), (9, 2) এবং (6, 8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।

উত্তর –

মনেকরি, A, B, C এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 5), (5, 9), (9, 12) এবং (6, 8)

∴ AB –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 2-5 \right)}^{2}}+{{\left( 5-9 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 একক।

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 5-9 \right)}^{2}}+{{\left( 9-12 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 একক।

∴ CD –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 9-6 \right)}^{2}}+{{\left( 12-8 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3 \right)}^{2}}+{{\left( 4 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 একক।

∴ DA –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 6-2 \right)}^{2}}+{{\left( 8-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 4 \right)}^{2}}+{{\left( 3 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 একক।

∴ AC –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 2-9 \right)}^{2}}+{{\left( 5-12 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -7 \right)}^{2}}+{{\left( -7 \right)}^{2}}}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98} একক।

∴ BD –এর দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 5-6 \right)}^{2}}+{{\left( 9-8 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( 1 \right)}^{2}}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} একক।

এখন, AB = CD = BC = DA আবার, AC ≠ BD সুতরাং, ABCD একটি রম্বস।

অর্থাৎ, (2, 5), (5, 9), (9, 12) এবং (6, 8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।

15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(i) (a + b, c – d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব

(a) 2\sqrt{a^2+c^2} (b) 2\sqrt{b^2+d^2}  (c) \sqrt{a^2+c^2}  (d) \sqrt{b^2+d^2}

উত্তর –

(a + b, c – d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব

=\sqrt{{{\left\{ \left( a+b \right)-\left( a-b \right) \right\}}^{2}}+{{\left\{ \left( c-d \right)-\left( c+d \right) \right\}}^{2}}}

= \sqrt{{{\left\{ a+b-a+b \right\}}^{2}}+{{\left\{ c-d-c-d \right\}}^{2}}}

= \sqrt{{{\left\{ 2b \right\}}^{2}}+{{\left\{ 2d \right\}}^{2}}}=\sqrt{4{{b}^{2}}+4{{d}^{2}}}=\sqrt{4\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}} \right)}=2\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (b) 2\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}} 

(ii) (x, –7) এবং (3, –3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে, x –এর মানগুলি হলো

(a) 0 অথবা 6  (b) 2 অথবা 3  (c) 5 অথবা 1  (d) –6 অথবা 0 

উত্তর –

প্রশ্নানুসারে, \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( -7+3 \right)}^{2}}}=5

বা, \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=5

বা, {{\left( x-3 \right)}^{2}}+16=25

বা, {{\left( x-3 \right)}^{2}}=25-16

বা, {{\left( x-3 \right)}^{2}}=9

বা, x-3=\pm \sqrt{9}=\pm 3

বা, x-3=3 অথবা, x-3=-3

বা, x=-3-3অথবা, x=-3+3

বা, x=6 অথবা, x=0

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) 0 অথবা 6 

(iii) যদি (x, 4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x –এর মান

(a) ± 4  (b) ± 5  (c) ± 3  (d) কোনোটিই নয়

উত্তর –

প্রশ্নানুসারে, \sqrt{{{\left( x-0 \right)}^{2}}+{{\left( 4-0 \right)}^{2}}}=5

বা, \sqrt{{{\left( x \right)}^{2}}+{{\left( 4 \right)}^{2}}}=5

বা, {{\left( x \right)}^{2}}+16=25

বা, {{\left( x \right)}^{2}}=25-16

বা, {{\left( x \right)}^{2}}=9

বা, x=\pm \sqrt{9}=\pm 3

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) ± 3 

(iv) (3, 0), (–3, 0) এবং (0, 3) বিন্দু তিনটি যোগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয়, সেটি

(a) সমবাহু  (b) সমদ্বিবাহু  (c) বিষমবাহু  (d) সমকোণী সমদ্বিবাহু 

উত্তর –

(3, 0) এবং (–3, 0) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = 3 + 3 = 6 একক।

(–3, 0) এবং (0, 3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = \sqrt{{{\left( -3-0 \right)}^{2}}+{{\left( 0-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18} একক।

(0, 3) এবং (3, 0) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = \sqrt{{{\left( 0-3 \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( 3 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18} একক।

এখন, {{\left( 6 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{18} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{18} \right)}^{2}} আবার, \sqrt{18}=\sqrt{18}

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (d) সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং বৃত্তের উপরিস্থ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 4) হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য  

(a) 5 একক  (b) 4 একক   (c) 3 একক   (d) কোনোটিই নয়

উত্তর –

(0, 0) এবং (3, 4) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = \sqrt{{{\left( 0-3 \right)}^{2}}+{{\left( 0-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 একক।

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) 5 একক।

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন –

(i) মূলবিন্দু থেকে (–4, y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে,  y –এর মান কত তা লিখি।

উত্তর –

প্রশ্নানুসারে,  \sqrt{{{\left( 0+4 \right)}^{2}}+{{\left( 0-y \right)}^{2}}}=5

বা, \sqrt{{{\left( 4 \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=5

বা, 16+{{y}^{2}}=25

বা, {{y}^{2}}=25-16

বা, {{y}^{2}}=9

বা, y=\pm \sqrt{9}=\pm 3

∴  y –এর মান ±3

(ii) y –অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2, 3) এবং (–1, 2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।

উত্তর –

মনেকরি, y –অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, y)।

প্রশ্নানুসারে, \sqrt{{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 0+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}

বা, \sqrt{4+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{1+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}

বা, 4+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=1+{{\left( y-2 \right)}^{2}}

বা, 4+{{y}^{2}}-6y+9=1+{{y}^{2}}-4y+4

বা, {{y}^{2}}-6y-{{y}^{2}}+4y=1+4-4-9

বা, -2y=-8

বা, y=\frac{-8}{-2}=4

∴  y –অক্ষের উপর বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (0, 4)।

(iii) x –অক্ষ এবং y –অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাতে x –অক্ষ, y –অক্ষ এবং বিন্দু দুটির সংযোগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু হয়।

উত্তর –

মনেকরি, x –অক্ষ এবং y –অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(x, 0) এবং B(0, y)

∴ OA = x একক এবং OB = y একক।

AB = \sqrt{{{\left( x-0 \right)}^{2}}+{{\left( 0-y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} একক।

এখন, A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}

∴ △OAB একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

যেহেতু, △OAB সমকোণী সমদ্বিবাহু সুতরাং, OA = OB অর্থাৎ, x = y

∴ নির্নেয় বিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (5, 0), (0, 5)।

(iv) x –অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x –অক্ষ থেকে সমান।

উত্তর –

নির্নেয় বিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (2, 5), (2, –5)।

(v) y –অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y –অক্ষ থেকে সমান।

উত্তর –

নির্নেয় বিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (5, 2), (–5, 2)।

;