নবম শ্রেণী – তৃতীয় অধ্যায় : লেখচিত্র সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 3.1

1. আমি ছক কাগজে নীচের বিন্দুগুলি স্থাপন করি এবং x –অক্ষের উপরদিকে না নীচেরদিকে আছে লিখি – (3, -2), (-4, 2), (4, 5), (-5, -5), (-2, 7), (7, -7), (0, 9), (0, -9)

উত্তর –

ছক কাগজে বিন্দুগুলি স্থাপন করি – A(3, -2), B(-4, 2), C(4, 5), D(-5, -5), E(-2, 7), F(7, -7), G(0, 9), H(0, -9)।

x –অক্ষের উপরদিকে বিন্দুগুলি হল – B(-4, 2), C(4, 5), E(-2, 7), G(0, 9)

x –অক্ষের নীচেরদিকে বিন্দুগুলি হল – A(3, -2), D(-5, -5), F(7, -7), H(0, -9)

2. ছক কাগজে নীচের বিন্দুগুলি স্থাপন করি এবং y –অক্ষের ডানদিকে না বামদিকে আছে লিখি – (5, -7), (-10, 10), (-8, -4), (4, 3), (-6, 2), (11, -3), (4, 0), (-4, 0)

উত্তর –

ছক কাগজে বিন্দুগুলি স্থাপন করি – A(5, -7), B(-10, 10), C(-8, -4), D(4, 3), E(-6, 2), F(11, -3), G(4, 0), H(-4, 0)

y –অক্ষের ডানদিকে বিন্দুগুলি হল – A(5, -7), D(4, 3), F(11, -3), G(4, 0)

y –অক্ষের ডানদিকে বিন্দুগুলি হল – B(-10, 10), C(-8, -4), E(-6, 2), H(-4, 0)

3. ছক কাগজে নীচের বিন্দুগুলি স্থাপন করি এবং কোথায় (কোন পাদে বা কোন অক্ষের উপর ও কোন দিকে) আছে লিখি – (-11, -7), (0, 5), (9, 0), (-4, -4), (12, -9), (3, 13), (0, -6), (-5, 0)

উত্তর –

ছক কাগজে বিন্দুগুলি স্থাপন করি – A(-11, -7), B(0, 5), C(9, 0), D(-4, -4), E(12, -9), F(3, 13), G(0, -6), H(-5, 0)

A(-11, -7) – বিন্দুটি তৃতীয় পাদে অবস্থিত।
B(0, 5) – বিন্দুটি y –অক্ষের উপর ধনাত্মক দিকে অবস্থিত।
C(9, 0) – বিন্দুটি x –অক্ষের উপর ধনাত্মক দিকে অবস্থিত।
D(-4, -4) – বিন্দুটি তৃতীয় পাদে অবস্থিত।
E(12, -9) – বিন্দুটি চতুর্থ পাদে অবস্থিত।
F(3, 13) – বিন্দুটি প্রথম পাদে অবস্থিত।
G(0, -6) – বিন্দুটি y –অক্ষের উপর ঋনাত্মক দিকে অবস্থিত।
H(-5, 0) – বিন্দুটি x –অক্ষের উপর ঋনাত্মক দিকে অবস্থিত।

4. x –অক্ষের উপর যে কোনো চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।

উত্তর –

x –অক্ষের উপর যে কোনো চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5, 0), (-8, 0), (11, 0), (-3, 0)

5. y –অক্ষের উপর যে কোনো চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।

উত্তর –

y –অক্ষের উপর যে কোনো চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 7), (0, -3), (0, 12), (0, -11)

6. প্রতিটি পাদে অবস্থিত 4টি করে বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।

উত্তর –

প্রথম পাদে অবস্থিত 4টি বিন্দুর স্থানাঙ্ক – (1, 2), (3, 7), (5, 2), (6, 6)
দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত 4টি বিন্দুর স্থানাঙ্ক – (-1, 2), (-3, 7), (-5, 2), (-6, 6)
তৃতীয় পাদে অবস্থিত 4টি বিন্দুর স্থানাঙ্ক – (-1, -2), (-3, -7), (-5, -2), (-6, -6)
চতুর্থ পাদে অবস্থিত 4টি বিন্দুর স্থানাঙ্ক – (1, -2), (3, -7), (5, -2), (6, -6)

7. একটি বিন্দুর x –অক্ষ থেকে ধনাত্মক দিকে দূরত্ব 5 একক এবং y –অক্ষ থেকে ধনাত্মক দিকে দূরত্ব 7 একক। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক লিখি।

উত্তর –

নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক – (7, 5)

কষে দেখি – 3.2

1. নিম্নলিখিত বিন্দুগুলি ছক কাগজে স্থাপন করি ও কোথায় (অক্ষের উপর অথবা কোন পাদে) অবস্থিত লিখি।

(i) (3, 0)  (ii) (0, 8)  (iii) (-5, 0)  (iv) (0, -6)  (v) (6, 4)  (vi) (-7, 4)  (vii) (9, -9)  (viii) (-4, -5)

উত্তর –

(i) (3, 0) – x –অক্ষের উপর ধনাত্মক দিকে অবস্থিত।
(ii) (0, 8) – y –অক্ষের উপর ধনাত্মক দিকে অবস্থিত।
(iii) (-5, 0) – x –অক্ষের উপর ঋনাত্মক দিকে অবস্থিত।
(iv) (0, -6) – y –অক্ষের উপর ঋনাত্মক দিকে অবস্থিত।

(v) (6, 4) – প্রথম পাদে অবস্থিত।
(vi) (-7, 4) – দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত।
(vii) (9, -9) – চতুর্থ পাদে অবস্থিত।
(viii) (-4, -5) – তৃতীয় পাদে অবস্থিত। 

2. ছক কাগজে XOX’ এবং YOY’ পরস্পর লম্ব অক্ষ টেনে যে কোনো 5 টি বিন্দু স্থাপন করি যারা তৃতীয় পাদে অবস্থিত।

উত্তর –

3. নীচের বক্তব্যগুলি রৈখিক সহসমীকরণ আকারে প্রকাশ করি –

(i) 3 টি খাতা ও 2 টি পেনের মোট দাম 55 টাকা এবং 4 টি খাতা ও 3 টি পেনের মোট দাম 75 টাকা।

উত্তর –

মনেকরি 1 টি খাতার x দাম টাকা এবং 1 টি পেনের দাম y টাকা।
প্রশ্নানুসারে,
3x + 2y = 55
4x + 3y = 75

(ii) দুটি সংখ্যার যোগফল 80 এবং ওই সংখ্যা দুটির বিয়োগফলের 3 গুন বড়ো সংখ্যাটির থেকে 20 বেশি।

উত্তর –

মনেকরি বড়ো সংখ্যাটি x এবং ছোটো সংখ্যাটি y।
প্রশ্নানুসারে,
x + y = 80
3(x – y) – x = 20

(iii) কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকটির সঙ্গে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান হয় \frac79 এবং ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকটি থেকে 3 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান হয় \frac12।  

উত্তর –

মনেকরি ভগ্নাংশটির লব x ও হর y।
∴ ভগ্নাংশটির = \frac{x}{y}
প্রশ্নানুসারে,

\[\frac{x+2}{y+2}=\frac{7}{9}\]

\[\frac{x-3}{y-3}=\frac{1}{2}\]

(iv) দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কটি এককের অঙ্কের দ্বিগুন। অঙ্কদ্বয়কে উলটে লিখলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তা মূল সংখ্যাটি অপেক্ষা 27 কম।

উত্তর –

মনেকরি সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কটি x এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি y।
∴ সংখ্যাটি হল = 10x + y
প্রশ্নানুসারে,
x = 2y
(10x + y) – (10y + x) = 27

4. নীচের বক্তব্যগুলি দুইচলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি ও সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

(i) বর্তমানে সুজাতার পিতার বয়স সুজাতার বয়স অপেক্ষা 26 বছর বেশি। [ ধরি, সুজাতার পিতার বয়স x বছর এবং সুজাতার বয়স y বছর ]

(ii) দুটি সংখ্যার সমষ্টি 15

(iii) কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকটির সঙ্গে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান \frac79হয়।

(iv) আমাদের আয়তাকার উঠানের পরিসীমা 80 মিটার।

(v) দুটি সংখ্যার বড়োটি 5 গুন ছোটোটির 8 গুনের সমান।

5. নীচের সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

(i) x = 5  (ii) y + 2 = 0  (iii) x = 3 – 4y  (iv) 3x – 7y = 21  (v) 5x – 3y = 8  (vi) 2x + 3y = 11

(vii) \frac x3+\frac y4=0   (viii) 6x – 7y = 12  (ix) x + y – 10 = 0  (x) y = 5x – 3  (xi) y = 0 

6. নীচের বক্তব্যগুলি রৈখিক সহসমীকরণ আকারে প্রকাশ করি ও সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান করি।

(i) বর্তমানে রজতের মামা রজতের চেয়ে 16 বছরের বড়ো।  8 বছর পরে তার মামার বয়স তার বয়সের 2 গুন হবে। বর্তমানে রজতের বয়স ও রজতের মামার বয়স লেখচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।

(ii) দুটি সংখ্যার সমষ্টি 15 এবং অন্তর 3; লেখচিত্রের সাহায্যে সমীকরণগুলির সমাধান করে সংখ্যা দুটি লিখি।

(iii) একটি ভগ্নাংশের লব থেকে 3 বিয়োগ এবং হরের সঙ্গে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি \frac13 হয় এবং লব থেকে 4এবং হর থেকে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি \frac12 হয়। বক্তব্যটির সমীকরণ গঠন করি ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে ভগ্নাংশটি লিখি। 

(iv) রোহিতের আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 60 মিটার। বাগানের দৈর্ঘ্য 2 মিটার বেশি ও প্রস্থ 2 মিটার কম হলে, বাগানটির ক্ষেত্রফল 24 বর্গ মিটার কম হয়। লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ লিখি।

(v) একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে 16 ঘণ্টায় 96 কিমি যায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে 8 ঘণ্টায় 16 কিমি যায়। লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে, স্থির জলে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগ লিখি।

সংকেত – ধরি, স্থির জলে নৌকার বেগ x কিমি/ঘন্টা এবং স্রোতের বেগ y কিমি/ঘন্টা। ∴স্রোতের অনুকূলে নৌকাট 1 ঘন্টায় যায় (x + y) কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকাটি 1 ঘন্টায় যায় (x – y) কিমি

7. নীচের সহসমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করি ও ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।

(i) x = 0 এবং 2x + 3y = 15          

(ii) y = 5 এবং 2x + 3y = 11

(iii) x + y = 12 এবং x – y = 2

(iv) 3x – 5y = 16 এবং 2x – 9y = 5

8. লেখচিত্রের সাহায্যে নীচের সমীকরণগুলির সমাধান করি।

(i) 4x – y = 3; 2x + 3y = 5           

(ii) 3x – y = 5; 4x + 3y = 11

(iii) 3x – 2y = 1; 2x – y = 3         

(iv) 2x + 3y = 12; 2x = 3y

(v) 5x – 2y = 1; 3x + 5y = 13

9. লেখচিত্রের সাহায্যে প্রদত্ত সমীকরণ দুটির সমাধান নির্ণয় করি।
3x + 2y = 12, 12 = 9x – 2y

10. \frac x3+\frac y4=2 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি এবং সমীকরণের লেখচিত্রটি অক্ষদ্বয়ের সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করেছে তার ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

11. x = 4, y = 3 এবং 3x + 4y = 12 সমীকরণ তিনটির লেখচিত্র অঙ্কন করি এবং লেখচিত্রগুলি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

12. y=\frac{x+2}3 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি। সেই লেখচিত্র থেকে x = –2 –এর জন্য y –এর মান এবং x –এর কোন মানের জন্য y –এর মান 3 হবে, তা নির্ণয় করি।

13.  লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করি –  \frac{3x-1}2=\frac{2x+6}3

সংকেত –    y=\frac{3x-1}2 এবং y=\frac{2x+6}3 সমীকরণ দুটির লেখচিত্র অঙ্কন করে ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি। ছেদবিন্দুর x স্থানাঙ্কই হবে নির্ণেয় সমাধান।

14. বহুমুখী বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) 2x + 3 =0 সমীকরণের লেখচিত্রটি

(a) x –অক্ষের সমান্তরাল   (b) y –অক্ষের সমান্তরাল   (c) কোনো অক্ষের সমান্তরাল নয়  (d) মূলবিন্দুগামী

 (ii) ay + b = 0 (a ও b ধ্রুবক এবং  a≠0, b≠0) সমীকরণের লেখচিত্রটি

(a) x –অক্ষের সমান্তরাল   (b) y –অক্ষের সমান্তরাল   (c) কোনো অক্ষের সমান্তরাল নয়  (d) মূলবিন্দুগামী

(iii) 2x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্রটি

(a) x –অক্ষের সমান্তরাল   (b) y –অক্ষের সমান্তরাল   (c) মূলবিন্দুগামী  (d) (2, 0) বিন্দুগামী

(iv) cx + d =0 (c ও d ধ্রুবক, c≠0 ) সমীকরণের লেখচিত্রটি y –অক্ষের সমীকরণ হবে যখন

(a) d = –c  (b) d = c  (c) d = 0  (d) d = 1

(v) ay + b = 0 (a ও b ধ্রুবক, a≠0 ) সমীকরণের লেখচিত্রটি x –অক্ষের সমীকরণ হবে যখন

(a) b = a  (b) b = – 1  (c) b = 2  (d) b = 0

15. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন –

(i) 2x + 3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি x –অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক লিখি।

(ii) 2x – 3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি y –অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক লিখি।

(iii) 3x + 4y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি ও অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।

(iv) (6, –8) বিন্দুটির x –অক্ষ থেকে দূরত্ব ও y –অক্ষ থেকে দূরত্ব কত তা লিখি।

(v) x = y সমীকরণের লেখচিত্র x –অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে তার মান লিখি।

;