Table of Contents
কষে দেখি – 5.1
All Answers will come soon…
1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত, লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখি।
(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস (ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা
(iii) 60 সেমি এবং 0.6 মিটার (iv) 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম
উত্তর –
(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
4 মাস : 1 বছর 6 মাস = 4 মাস : 18 মাস = 2 : 9 ( লঘু অনুপাত )
(ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা
75 পয়সা : 1 টাকা 25 পয়সা = 75 পয়সা : 125 পয়সা = 3 : 5 ( লঘু অনুপাত )
(iii) 60 সেমি এবং 0.6 মিটার
60 সেমি : 0.6 মিটার = 60 সেমি : 60 সেমি = 1 : 1 ( সাম্যানুপাত )
(iv) 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম
1.2 কিগ্রা : 60 গ্রাম = 1200 গ্রাম : 60 গ্রাম = 20 : 1 ( গুরু অনুপাত )
2. (i) p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি।
উত্তর – p কিগ্রা : q গ্রাম = 1000p গ্রাম : q গ্রাম = 1000p : q
(ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি।
উত্তর – x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় সম্ভব হবে যদি উভয়কে একই এককে পরিণত করা হয়।
(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি।
উত্তর – একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত একটি সাম্যানুপাত হবে।
(iv) \frac{a}{b}:c,\,\frac{b}{c}:a,\,\frac{c}{a}:b -এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি।
উত্তর – \frac{a}{b}:c,\,\frac{b}{c}:a,\,\frac{c}{a}:b-এর মিশ্র অনুপাত
=\left( \frac{a}{b}\times \frac{b}{c}\times \frac{c}{a} \right)\,:\,\left( c\times a\times b \right)
=\,1\,:\,abc
(v) x2 : yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy : z2 হবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, x2 : yz এবং এর মিশ্র অনুপাত xy : z2
প্রশ্নানুসারে,
\[{{x}^{2}}p:yzq=xy:{{z}^{2}}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}p}{yzq}=\frac{xy}{{{z}^{2}}}\]
\[\Rightarrow \frac{p}{q}=\frac{xy\times yz}{{{z}^{2}}\times {{x}^{2}}}=\frac{{{y}^{2}}}{xz}\]
\[\therefore p:q={{y}^{2}}:xz\]
∴ নির্ণেয় অনুপাত = y2 : xz
(vi) {{x}^{2}}:\frac{yz}{x},\,{{y}^{2}}:\frac{zx}{y},\,{{z}^{2}}:\frac{yx}{z}অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি।
উত্তর –
{{x}^{2}}:\frac{yz}{x},\,{{y}^{2}}:\frac{zx}{y},\,{{z}^{2}}:\frac{yx}{z}অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলি হল \frac{yz}{x}:{{x}^{2}},\,\frac{zx}{y}:{{y}^{2}},\,\frac{yx}{z}:{{z}^{2}}
ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত
\[=\left( \frac{yz}{x}\times \frac{zx}{y}\times \frac{yx}{z} \right):\left( {{x}^{2}}\times {{y}^{2}}\times {{z}^{2}} \right)\]
\[=xyz:{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}\]
\[=1:xyz\]
3. নিম্নলিখিতগুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি –
(i) 4:5, 5:7 এবং 9:11 (ii) (x + y) : (x – y), (x2 + y2) : (x + y)2 এবং (x2 – y2) : (x4 – y4)
উত্তর –
(i) 4:5, 5:7 এবং 9:11 –এর মিশ্র অনুপাত = (4 × 5 × 9) : (5 × 7 × 11) = (4 × 9) : (7 × 11) = 36 : 77
(ii) (x + y) : (x – y), (x2 + y2) : (x + y)2 এবং (x2 – y2)2 : (x4 – y4) –এর মিশ্র অনুপাত
\[=\left\{ \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}} \right\}:\left\{ \left( x-y \right){{\left( x+y \right)}^{2}}\left( {{x}^{4}}-{{y}^{4}} \right) \right\}\]
\[=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right):\left( x-y \right)\left( x+y \right)\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\]
\[=\left( x-y \right)\left( x+y \right)\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right):\left( x-y \right)\left( x+y \right)\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\]
\[=1:1\]
4. (i) A:B = 6:7 এবং B:C = 8:7 হলে, A:C নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[A:B=6:7\Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{6}{7}\]
\[B:C=8:7\Rightarrow \frac{B}{C}=\frac{8}{7}\]
\[\therefore \frac{A}{B}\times \frac{B}{C}=\frac{6}{7}\times \frac{8}{7}\]
\[\Rightarrow \frac{A}{C}=\frac{48}{49}\]
\[\therefore \,A:C=48:49\]
(ii) A:B = 2:3, B:C = 4:5 এবং C:D = 6:7 হলে, A:D নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[A:B=2:3\Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{2}{3}\]
\[B:C=4:5\Rightarrow \frac{B}{C}=\frac{4}{5}\]
\[C:D=6:7\Rightarrow \frac{C}{D}=\frac{6}{7}\]
\[\therefore \frac{A}{B}\times \frac{B}{C}\times \frac{C}{D}=\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}\times \frac{6}{7}\]
\[\Rightarrow \frac{A}{D}=\frac{16}{35}\]
\[\therefore \,A:D=16:35\]
(iii) যদি A:B = 3:4 এবং B:C = 2:3 হয়, তাহলে A:B:C নির্ণয় করি।
উত্তর – A:B = 3:4
B:C = 2:3 = (2 × 2) : (3 × 2) = 4:6
∴ A:B:C = 3:4:6
(iv) x:y = 2:3 এবং y:z = 4:7 হলে, x:y:z নির্ণয় করি।
উত্তর – x:y = 2:3 = (2 × 4) : (3 × 4) = 8:12
y:z = 4:7 = (4 × 3) : (7 × 3) = 12:21
∴ x:y:z = 8:12:21
5. (i) x:y = 3:4 হলে, (3y – x) : (2x + y) কত হবে নির্ণয় করি।
উত্তর – x:y = 3:4, ধরি x = 3k এবং y = 4k, যেখানে, k যেকোনো বাস্তব সংখ্যা, k≠0
\[\left( 3y-x \right):\left( 2x+y \right)\]
\[=\frac{3y-x}{2x+y}\]
\[=\frac{3\times 4k-3k}{2\times 3k+4k}\]
\[=\frac{12k-3k}{6k+4k}\]
\[=\frac{9k}{10k}\]
\[\therefore \left( 3y-x \right):\left( 2x+y \right)=9:10\]
(ii) a:b = 8:7 হলে, দেখাই যে (7a – 3b) : (11a – 9b)
উত্তর – a:b = 8:7, ধরি a = 8k এবং b = 7k, যেখানে, k যেকোনো বাস্তব সংখ্যা, k≠0
\[\left( 7a-3b \right):\left( 11a-9b \right)\]
\[=\frac{7a-3b}{11a-9b}\]
\[=\frac{7\times 8k-3\times 7k}{11\times 8k-9\times 7k}\]
\[=\frac{56k-21k}{88k-63k}\]
\[=\frac{35k}{25k}=\frac{7}{5}\]
\[\therefore \left( 7a-3b \right):\left( 11a-9b \right)=7:5\]
(iii) p:q = 5:7 এবং p – q = -4 হলে, 3p + 4q –এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর – p:q = 5:7, ধরি p = 5k এবং q = 7k, যেখানে, k যেকোনো বাস্তব সংখ্যা, k≠0
p – q = – 4বা, 5k – 7k = – 4
বা, -2k = – 4∴ k = 2
∴ p = 5 × 2 = 10, q = 7 × 2 = 14
∴ 3p + 4q = 3 × 10 + 4 × 14 = 30 + 56 = 86
6. (i) (5x – 3y) : (2x + 4y) = 11:12 হলে, x:y নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[\left( \text{5x }\text{ 3y} \right)\text{ }:\text{ }\left( \text{2x }+\text{ 4y} \right)\text{ }=\text{ 11}:\text{12}\]
\[\Rightarrow \frac{\text{5x }\text{ 3y}}{\text{2x }+\text{ 4y}}=\frac{11}{12}\]
\[\Rightarrow 60x-36y=22x+44y\]
\[\Rightarrow 60x-22x=44y+36y\]
\[\Rightarrow 38x=80y\]
\[\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{80}{38}=\frac{40}{19}\]
\[\therefore \,x:y=40:19\]
(ii) (3a + 7b) : (5a – 3b) = 5:3 হলে, a:b নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[\left( \text{3a }+\text{ 7b} \right)\text{ }:\text{ }\left( \text{5a }\text{ 3b} \right)\text{ }=\text{ 5}:\text{3}\]
\[\Rightarrow \frac{\text{3a }+\text{ 7b}}{\text{5a }\text{ 3b}}=\frac{5}{3}\]
\[\Rightarrow 25a-15b=9a+21b\]
\[\Rightarrow 25a-9a=21b+15b\]
\[\Rightarrow 16a=36b\]
\[\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}\]
\[\therefore \,a:b=9:4\]
7. (i) (7x – 5y) : (3x + 4y) = 7:11 হলে, দেখাই যে (3x – 2y) : (3x + 4y) = 137:473
উত্তর –
\[\left( \text{7x }\text{ 5y} \right)\text{ }:\text{ }\left( \text{3x }+\text{ 4y} \right)\text{ }=\text{ 7}:\text{11}\]
\[\Rightarrow \frac{\text{7x }\text{ 5y}}{\text{3x }+\text{ 4y}}=\frac{7}{11}\]
\[\Rightarrow 77x-55y=21x+28y\]
\[\Rightarrow 77x-21x=28y+55y\]
\[\Rightarrow 56x=83y\]
\[\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{83}{56}\]
ধরি, x = 83k এবং y = 56k, যেখানে, k যেকোনো বাস্তব সংখ্যা, k≠0
\[\frac{3x-2y}{3x+4y}\]
\[=\frac{3\times 83k-2\times 56k}{3\times 83k+4\times 56k}\]
\[=\frac{249k-112k}{249k+224k}\]
\[=\frac{137k}{473k}=\frac{137}{473}\]
∴ (3x – 2y) : (3x + 4y) = 137:473 ( প্রমানিত )
(ii) (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9:5 হলে, দেখাই যে (2x + y) : (x + 2y) = 11:13
উত্তর –
\[\left( \text{1}0\text{x }+\text{ 3y} \right)\text{ }:\text{ }\left( \text{5x }+\text{ 2y} \right)\text{ }=\text{ 9}:\text{5}\]
\[\Rightarrow \frac{\text{1}0\text{x }+\text{ 3y}}{\text{5x }+\text{ 2y}}=\frac{9}{5}\]
\[\Rightarrow 50x+15y=45x+18y\]
\[\Rightarrow 50x-45x=18y-15y\]
\[\Rightarrow 5x=3y\]
\[\therefore \frac{x}{y}=\frac{3}{5}\]
ধরি, x = 3k এবং y = 5k, যেখানে, k যেকোনো বাস্তব সংখ্যা, k≠0
\[\frac{2x+y}{x+2y}\]
\[=\frac{2\times 3k+5k}{3k+2\times 5k}\]
\[=\frac{6k+5k}{3k+10k}\]
\[=\frac{11k}{13k}=\frac{11}{13}\]
∴ (2x + y) : (x + 2y) = 11:13 ( প্রমানিত )
8. (i) 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে নির্ণয় করি।
উত্তর – ধরি, 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে k যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে
\[\therefore \frac{2+k}{5+k}=\frac{6}{11}\]
\[\Rightarrow 22+11k=30+6k\]
\[\Rightarrow 11k-6k=30-22\]
\[\Rightarrow 5k=8\]
\[\therefore \,k=\frac{8}{5}\]
∴ 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে \frac{8}{5}যোগ করতে হবে।
(ii) a:b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m:n হবে নির্ণয় করি।
উত্তর – a:b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে k বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m:n হবে
\[\therefore \frac{a-k}{b-k}=\frac{m}{n}\]
\[\Rightarrow an-kn=bm-km\]
\[\Rightarrow km-kn=bm-an\]
\[\Rightarrow k\left( m-n \right)=bm-an\]
\[\therefore k=\frac{bm-an}{m-n}\]
∴ a:b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে \frac{bm-an}{m-n}বিয়োগ করতে হবে।
(iii) কোন সংখ্যা 4:7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2:3 ও 5:4-এর যৌগিক অনুপাত হবে।
উত্তর – মনেকরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি হল k
\[\frac{4+k}{7-k}=\frac{2\times 5}{3\times 4}\]
\[\Rightarrow \frac{4+k}{7-k}=\frac{10}{12}\]
\[\Rightarrow 48+12k=70-10k\]
\[\Rightarrow 12k+10k=70-48\]
\[\Rightarrow 22k=22\]
\[\therefore \,k=1\]
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হল 1।
কষে দেখি – 5.2
1. নিম্নলিখিত সমানুপাতে x-এর মান নির্ণয় করি।
(i) 10:35 :: x:42 (ii) x:50 :: 3:2
উত্তর –
(i) 10:35 :: x:42
\[\Rightarrow \frac{10}{35}=\frac{x}{42}\]
\[\Rightarrow 35x=10\times 42\]
\[\therefore \,x=\frac{10\times 42}{35}=12\]
∴ x-এর মান 12
(ii) x:50 :: 3:2
\[\Rightarrow \frac{x}{50}=\frac{3}{2}\]
\[\Rightarrow 2x=3\times 50\]
\[\therefore \,x=\frac{3\times 50}{2}=75\]
∴ x-এর মান 75
2. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি –
\left( i \right)\,\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5} (ii) 9.6 কিগ্রা, 7.6 কিগ্রা, 28.8 কিগ্রা (iii) x2y, y2z, z2x
(iv) (p – q), (p2 – q2), p2 – pq + q2
উত্তর –
\left( i \right)\,\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}মনেকরি, চতুর্থ সমানুপাতী k
\[\frac{1}{3}:\frac{1}{4}::\frac{1}{5}:k\]
\[\Rightarrow \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{5}}{k}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{3}\times k=\frac{1}{5}\times \frac{1}{4}\]
\[\therefore \,k=\frac{3}{5\times 4}=\frac{3}{20}\]
∴ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতী \frac{3}{20}
(ii) 9.6 কিগ্রা, 7.6 কিগ্রা, 28.8 কিগ্রা
মনেকরি, চতুর্থ সমানুপাতী k
\[9.6:7.6::28.8:k\]
\[\Rightarrow \frac{9.6}{7.6}=\frac{28.8}{k}\]
\[\Rightarrow 9.6k=28.8\times 7.6\]
\[\therefore \,k=\frac{28.8\times 7.6}{9.6}=22.8\]
∴ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতী 22.8
(iii) x2y, y2z, z2x
মনেকরি, চতুর্থ সমানুপাতী k
\[{{x}^{2}}y:{{y}^{2}}z::{{z}^{2}}x:k\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}y}{{{y}^{2}}z}=\frac{{{z}^{2}}x}{k}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}y\times k={{z}^{2}}x\times {{y}^{2}}z\]
\[\therefore \,k=\frac{{{z}^{2}}x\times {{y}^{2}}z}{{{x}^{2}}y}=\frac{y{{z}^{3}}}{x}\]
∴ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতী \frac{y{{z}^{3}}}{x}
(iv) (p – q), (p2 – q2), p2 – pq + q2
মনেকরি, চতুর্থ সমানুপাতী k
\[\left( p-q \right):\left( {{p}^{2}}-{{q}^{2}} \right)::\left( {{p}^{2}}-pq+{{q}^{2}} \right):k\]
\[\Rightarrow \frac{\left( p-q \right)}{\left( {{p}^{2}}-{{q}^{2}} \right)}=\frac{\left( {{p}^{2}}-pq+{{q}^{2}} \right)}{k}\]
\[\Rightarrow k=\frac{\left( {{p}^{2}}-{{q}^{2}} \right)\left( {{p}^{2}}-pq+{{q}^{2}} \right)}{\left( p-q \right)}\]
\[\therefore \,k=\frac{\left( p-q \right)\left( p+q \right)\left( {{p}^{2}}-pq+{{q}^{2}} \right)}{\left( p-q \right)}={{p}^{3}}+{{q}^{3}}\]
∴ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতী {{p}^{3}}+{{q}^{3}}
3. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি –
(i) 5, 10 (ii) 0.24, 0.6 (iii) p3q2, q2r (iv) (x – y)2, (x2 – y2)2
উত্তর –
(i) মনেকরি, 5, 10 –এর তৃতীয় সমানুপাতী k
সুতরাং, 5, 10, k ক্রমিক সমানুপাতী
\[\therefore \frac{5}{10}=\frac{10}{k}\]
\[\Rightarrow k=\frac{10\times 10}{5}=20\]
∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী 20
(ii) মনেকরি, 0.24, 0.6 –এর তৃতীয় সমানুপাতী k
সুতরাং, 0.24, 0.6, k ক্রমিক সমানুপাতী
\[\therefore \frac{0.24}{0.6}=\frac{0.6}{k}\]
\[\Rightarrow k=\frac{0.6\times 0.6}{0.24}=\frac{3}{2}=1.5\]
∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী 1.5
(iii) মনেকরি, p3q2, q2r –এর তৃতীয় সমানুপাতী k
সুতরাং, p3q2, q2r, k ক্রমিক সমানুপাতী
\[\therefore \frac{{{p}^{3}}{{q}^{2}}}{{{q}^{2}}r}=\frac{{{q}^{2}}r}{k}\]
\[\Rightarrow k=\frac{{{q}^{2}}r\times {{q}^{2}}r}{{{p}^{3}}{{q}^{2}}}=\frac{{{q}^{2}}{{r}^{2}}}{{{p}^{3}}}\]
∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী \frac{{{q}^{2}}{{r}^{2}}}{{{p}^{3}}}
(iv) মনেকরি, (x – y)2, (x2 – y2)2 –এর তৃতীয় সমানুপাতী k
সুতরাং, (x – y)2, (x2 – y2)2, k ক্রমিক সমানুপাতী
\[\therefore \frac{{{\left( x-y \right)}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}}{k}\]
\[\Rightarrow k=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}\times {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}\]
\[\therefore \,k=\frac{{{\left( x-y \right)}^{2}}{{\left( x+y \right)}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}}{{\left( x+y \right)}^{2}}}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}={{\left( x+y \right)}^{4}}{{\left( x-y \right)}^{2}}\]
∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী {{\left( x+y \right)}^{4}}{{\left( x-y \right)}^{2}}
4. নিম্নলিখিত ধনাত্মক সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করি –
(i) 5 এবং 80 (ii) 8.1 এবং 2.5 (iii) x3y এবং xy3 (iv) (x – y)2, (x + y)2
উত্তর –
(i) মনেকরি, 5 এবং 80 এর মধ্যসমানুপাতী k
সুতরাং, 5, k, 80 ক্রমিক সমানুপাতী
\[\therefore \,\frac{5}{k}=\frac{k}{80}\]
\[\Rightarrow \,{{k}^{2}}=5\times 80\]
\[\Rightarrow k=\sqrt{400}=20\]
∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী 20।
(ii) মনেকরি 8.1 এবং 2.5 এর মধ্যসমানুপাতী k
সুতরাং, 8.1, k, 2.5 ক্রমিক সমানুপাতী
\[\therefore \,\frac{8.1}{k}=\frac{k}{2.5}\]
\[\Rightarrow \,{{k}^{2}}=2.5\times 8.1\]
\[\Rightarrow k=\sqrt{2.5\times 8.1}=\sqrt{\frac{25\times 81}{10\times 10}}=\frac{5\times 9}{10}=4.5\]
∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী 4.5।
(iii) মনেকরি x3y এবং xy3 এর মধ্যসমানুপাতী k
সুতরাং, x3y, k, xy3 ক্রমিক সমানুপাতী
\[\therefore \,\frac{{{x}^{3}}y}{k}=\frac{k}{x{{y}^{3}}}\]
\[\Rightarrow \,{{k}^{2}}={{x}^{3}}y\times x{{y}^{3}}\]
\[\Rightarrow k=\sqrt{{{x}^{4}}{{y}^{4}}}={{x}^{2}}{{y}^{2}}\]
∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী x2y2।
(iv) মনেকরি (x – y)2, (x + y)2 এর মধ্যসমানুপাতী k
সুতরাং, (x – y)2, k, (x + y)2 ক্রমিক সমানুপাতী
\[\therefore \,\frac{{{\left( x-y \right)}^{2}}}{k}=\frac{k}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow \,{{k}^{2}}={{\left( x-y \right)}^{2}}\times {{\left( x+y \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow k=\sqrt{{{\left( x-y \right)}^{2}}\times {{\left( x+y \right)}^{2}}}=\left( x-y \right)\times \left( x+y \right)={{x}^{2}}-{{y}^{2}}\]
∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী (x2 – y2)।
5. যদি a:b এবং c:d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি।
উত্তর – যদি a:b এবং c:d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলিও বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করবে।
6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর – মনেকরি, a, b, c তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা
\[\therefore \,\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\]
∴ a, b, c একটি ক্রমিক সমানুপাতী
আবার,
\[\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\]
\[\Rightarrow \frac{c}{b}=\frac{b}{a}\]
∴ c, b, a একটি ক্রমিক সমানুপাতী
∴ তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে দুটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে।
7. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, পঞ্চমটি নির্ণয় করি।
উত্তর – মনেকরি 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা যথাক্রমে 2, 6, a, b, c
\[\therefore \,\frac{2}{6}=\frac{6}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\]
\[\Rightarrow \,\frac{2}{6}=\frac{6}{a}\]
\[\Rightarrow \,a=\frac{6\times 6}{2}=18\]
আবার,
\[\frac{6}{18}=\frac{18}{b}\]
\[\Rightarrow \,b=\frac{18\times 18}{6}=54\]
আবার,
\[\frac{18}{54}=\frac{54}{c}\]
\[\Rightarrow \,c=\frac{54\times 54}{18}=162\]
∴ পঞ্চম সমানুপাতী সংখ্যা 162।
8. 6, 15, 20 43-এর প্রত্যেকটির সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।
উত্তর – মনেকরি 6, 15, 20 এবং 43-এর প্রত্যেকটির সঙ্গে k যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।
\[\therefore \left( 6+k \right):\left( 15+k \right)::\left( 20+k \right)\left( 43+k \right)\]
\[\Rightarrow \frac{\left( 6+k \right)}{\left( 15+k \right)}=\frac{\left( 20+k \right)}{\left( 43+k \right)}\]
\[\Rightarrow \left( 6+k \right)\left( 43+k \right)=\left( 15+k \right)\left( 20+k \right)\]
\[\Rightarrow 258+6k+43k+{{k}^{2}}=300+15k+20k+{{k}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{k}^{2}}+49k+258={{k}^{2}}+35k+300\]
\[\Rightarrow {{k}^{2}}+49k-{{k}^{2}}-35k=300-258\]
\[\Rightarrow 14k=42\]
\[\therefore \,k=\frac{42}{14}=3\]
∴ প্রত্যেকটির সঙ্গে 3 যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।
9. 23, 30, 57 এবং 78-এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।
উত্তর – মনেকরি 23, 30, 57 এবং 78-এর প্রত্যেকটি থেকে k বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে।
\[\therefore \left( 23-k \right):\left( 30-k \right)::\left( 57-k \right)\left( 78-k \right)\]
\[\Rightarrow \frac{\left( 23-k \right)}{\left( 30-k \right)}=\frac{\left( 57-k \right)}{\left( 78-k \right)}\]
\[\Rightarrow \left( 30-k \right)\left( 57-k \right)=\left( 23-k \right)\left( 78-k \right)\]
\[\Rightarrow 1710-30k-57k+{{k}^{2}}=1794-23k-78k+{{k}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{k}^{2}}-87k+1710={{k}^{2}}-101k+1794\]
\[\Rightarrow {{k}^{2}}-87k-{{k}^{2}}+101k=1794-1710\]
\[\Rightarrow 14k=84\]
\[\therefore \,k=\frac{84}{14}=6\]
∴ প্রত্যেকটি থেকে 6 বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে।
10. p, q, r, s-এর প্রত্যেকটির থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।
উত্তর – মনেকরি p, q, r, s-এর প্রত্যেকটির থেকে k বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে।
\[\therefore \left( p-k \right):\left( q-k \right)::\left( r-k \right):\left( s-k \right)\]
\[\Rightarrow \frac{\left( p-k \right)}{\left( q-k \right)}=\frac{\left( r-k \right)}{\left( s-k \right)}\]
\[\Rightarrow \left( p-k \right)\left( s-k \right)=\left( q-k \right)\left( r-k \right)\]
\[\Rightarrow ps-kp-ks+{{k}^{2}}=qr-kq-kr+{{k}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{k}^{2}}-kp-ks+kq+kr-{{k}^{2}}=qr-ps\]
\[\Rightarrow k\left( q+r-s-p \right)=qr-ps\]
\[\therefore \,k=\frac{qr-ps}{q+r-s-p}\]
∴ প্রত্যেকটির থেকে \frac{qr-ps}{q+r-s-p} বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে।
কষে দেখি – 5.3
1. a:b = c:d হলে, দেখাই যে,
\[(i)\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=\left( ac+bd \right):\left( ac-bd \right)\]
\[\left( ii \right)\,\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)=\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right):\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right)\]
\[\left( iii \right)\,\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}:\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}=\left( pa+ac \right):\left( pb+qd \right)\]
উত্তর –
\[a:b=c:d\]
\[\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\]
(ধরি, k≠0)
\[\therefore \,a=bk,c=dk\]
\[(i)\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=\left( ac+bd \right):\left( ac-bd \right)\]
বামপক্ষ,
\[\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\]
\[=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]
\[=\frac{{{\left( bk \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{\left( bk \right)}^{2}}-{{b}^{2}}}\]
\[=\frac{{{b}^{2}}{{k}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}{{k}^{2}}-{{b}^{2}}}\]
\[=\frac{{{b}^{2}}\left( {{k}^{2}}+1 \right)}{{{b}^{2}}\left( {{k}^{2}}-1 \right)}=\frac{{{k}^{2}}+1}{{{k}^{2}}-1}\]
ডানপক্ষ,
\[\left( ac+bd \right):\left( ac-bd \right)\]
\[=\frac{ac+bd}{ac-bd}\]
\[=\frac{bk.dk+bd}{bk.dk-bd}\]
\[=\frac{bd{{k}^{2}}+bd}{bd{{k}^{2}}-bd}\]
\[=\frac{bd\left( {{k}^{2}}+1 \right)}{bd\left( {{k}^{2}}-1 \right)}=\frac{{{k}^{2}}+1}{{{k}^{2}}-1}\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
\[\left( ii \right)\,\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)=\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right):\left( {{c}^{2}}-cd+{{d}^{2}} \right)\]
বামপক্ষ,
\[\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right):\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\]
\[=\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}\]
\[=\frac{{{\left( bk \right)}^{2}}+bk.b+{{b}^{2}}}{{{\left( bk \right)}^{2}}-bk.b+{{b}^{2}}}\]
\[=\frac{{{b}^{2}}{{k}^{2}}+{{b}^{2}}k+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}{{k}^{2}}-{{b}^{2}}k+{{b}^{2}}}\]
\[=\frac{{{b}^{2}}\left( {{k}^{2}}+k+1 \right)}{{{b}^{2}}\left( {{k}^{2}}-k+1 \right)}\]
\[=\frac{{{k}^{2}}+k+1}{{{k}^{2}}-k+1}\]
ডানপক্ষ,
\[\left( {{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}} \right):\left( {{c}^{2}}-cd+{{d}^{2}} \right)\]
\[=\frac{{{c}^{2}}+cd+{{d}^{2}}}{{{c}^{2}}-cd+{{d}^{2}}}\]
\[=\frac{{{\left( dk \right)}^{2}}+dk.k+{{d}^{2}}}{{{\left( dk \right)}^{2}}-dk.k+{{d}^{2}}}\]
\[=\frac{{{d}^{2}}{{k}^{2}}+{{d}^{2}}k+{{d}^{2}}}{{{d}^{2}}{{k}^{2}}-{{d}^{2}}k+{{d}^{2}}}\]
\[=\frac{{{d}^{2}}\left( {{k}^{2}}+k+1 \right)}{{{d}^{2}}\left( {{k}^{2}}-k+1 \right)}\]
\[=\frac{{{k}^{2}}+k+1}{{{k}^{2}}-k+1}\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
\[\left( iii \right)\,\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}:\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}=\left( pa+qc \right):\left( pb+qd \right)\]
বামপক্ষ,
\[\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}:\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}\]
\[=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}}\]
\[=\frac{\sqrt{{{\left( bk \right)}^{2}}+{{\left( dk \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}}\]
\[=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}{{k}^{2}}+{{d}^{2}}{{k}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}}\]
\[=\frac{\sqrt{{{k}^{2}}\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}} \right)}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}}\]
\[=\frac{k\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}}=k\]
ডানপক্ষ,
\[\left( pa+qc \right):\left( pb+qd \right)\]
\[=\frac{pa+qc}{pb+qd}\]
\[=\frac{p.bk+q.dk}{pb+qd}\]
\[=\frac{k\left( pb+qd \right)}{pb+qd}=k\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
2. x:a = y:b = z:c হলে প্রমাণ করে যে,
\[\left( i \right)\,\frac{{{x}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{3}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}\]
\[\left( ii \right)\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)={{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}\]
উত্তর –
\[x:a=y:b=z:c\]
\[\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\](ধরি, k≠0)
\[\therefore \,x=ak;y=bk;z=ck\]
\[\left( i \right)\,\frac{{{x}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{3}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\]
বামপক্ষ,
\[\frac{{{x}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{3}}}{{{c}^{2}}}\]
\[=\frac{{{\left( ak \right)}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{\left( bk \right)}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{\left( ck \right)}^{3}}}{{{c}^{2}}}\]
\[=\frac{{{a}^{3}}{{k}^{3}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}{{k}^{3}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}{{k}^{3}}}{{{c}^{2}}}\]
\[=a{{k}^{3}}+b{{k}^{3}}+c{{k}^{3}}\]
\[=a{{k}^{3}}+b{{k}^{3}}+c{{k}^{3}}\]
\[={{k}^{3}}\left( a+b+c \right)\]
ডানপক্ষ, \[\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{{{\left( ak+bk+ck \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{{{\left\{ k\left( a+b+c \right) \right\}}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{{{k}^{3}}{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\]
\[={{k}^{3}}\left( a+b+c \right)\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
\[\left( ii \right)\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}=\frac{xyz}{abc}\]
বামপক্ষ,
\[\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}\]
\[=\frac{{{\left( ak \right)}^{3}}+{{\left( bk \right)}^{3}}+{{\left( ck \right)}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}\]
\[=\frac{{{a}^{3}}{{k}^{3}}+{{b}^{3}}{{k}^{3}}+{{c}^{3}}{{k}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}\]
\[=\frac{{{k}^{3}}\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}={{k}^{3}}\]
ডানপক্ষ,
\[\frac{xyz}{abc}\]
\[=\frac{ak.bk.ck}{abc}\]
\[=\frac{abc{{k}^{3}}}{abc}={{k}^{3}}\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
\[\left( iii \right)\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)={{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}\]
বামপক্ষ,
\[\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\]
\[=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left\{ {{\left( ak \right)}^{2}}+{{\left( bk \right)}^{2}}+{{\left( ck \right)}^{2}} \right\}\]
\[=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}{{k}^{2}}+{{b}^{2}}{{k}^{2}}+{{c}^{2}}{{k}^{2}} \right)\]
\[=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right){{k}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\]
\[={{k}^{2}}{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}\]
ডানপক্ষ,
\[{{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}\]
\[={{\left( a.ak+b.bk+c.ck \right)}^{2}}\]
\[={{k}^{2}}{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
3. a:b = c:d = e:f হলে প্রমাণ করে যে,
(i) প্রত্যেকটি অনুপাত = \frac{5a-7c-13c}{5b-7d-13f} (ii) \left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{e}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)={{\left( ab+cd+ef \right)}^{2}}
উত্তর –
(i)
\[a:b=c:d=e:f\]
\[\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\]
\[\Rightarrow \frac{5a}{5b}=\frac{-7c}{-7d}=\frac{-13e}{-13f}=\frac{5a-7c-13c}{5b-7d-13f}\](সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই)
∴ প্রত্যেকটি অনুপাত = \frac{5a-7c-13c}{5b-7d-13f}
(ii) \[\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{e}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)={{\left( ab+cd+ef \right)}^{2}}\]
\[a:b=c:d=e:f\]
\[\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\]
\[\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}}{ab}=\frac{{{c}^{2}}}{cd}=\frac{{{e}^{2}}}{ef}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+cd+ef}\](সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই)
আবার,
\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\]
\[\Rightarrow \frac{ab}{{{b}^{2}}}=\frac{cd}{{{d}^{2}}}=\frac{ef}{{{f}^{2}}}=\frac{ab+cd+ef}{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}}}\](সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই)
\[\therefore \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+cd+ef}=\frac{ab+cd+ef}{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}}}\]
\[\therefore \left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{e}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)={{\left( ab+cd+ef \right)}^{2}}\](প্রমানিত)।
4. যদি a:b = b:c হয়, তবে প্রমাণ করি যে
\[\left( i \right)\,{{\left( \frac{a+b}{b+c} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
\[\left( ii \right)\,{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\]
\[\left( iii \right)\,\frac{abc{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( ab+bc+ca \right)}^{3}}}=1\]
উত্তর –
\[a:b=b:c\]
\[\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\] (ধরি, k≠0)
\[\Rightarrow a=bk;\,b=ck\]
\[\Rightarrow a=ck.k;\,b=ck\]
\[\Rightarrow a=c{{k}^{2}};\,b=ck\]
\[\left( i \right)\,{{\left( \frac{a+b}{b+c} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
বামপক্ষ
\[{{\left( \frac{a+b}{b+c} \right)}^{2}}\]
\[={{\left( \frac{c{{k}^{2}}+ck}{ck+c} \right)}^{2}}\]
\[={{\left\{ \frac{ck\left( k+1 \right)}{c\left( k+1 \right)} \right\}}^{2}}\]
\[={{k}^{2}}\]
ডানপক্ষ,
\[\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
\[=\frac{{{\left( c{{k}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( ck \right)}^{2}}}{{{\left( ck \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
\[=\frac{{{c}^{2}}{{k}^{4}}+{{c}^{2}}{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}{{k}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
\[=\frac{{{c}^{2}}{{k}^{2}}\left( {{k}^{2}}+1 \right)}{{{c}^{2}}\left( {{k}^{2}}+1 \right)}\]
\[={{k}^{2}}\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
\[\left( ii \right)\,{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\]
বামপক্ষ,
\[{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)\]
\[={{\left( c{{k}^{2}} \right)}^{2}}{{\left( ck \right)}^{2}}{{c}^{2}}\left\{ \frac{1}{{{\left( c{{k}^{2}} \right)}^{3}}}+\frac{1}{{{\left( ck \right)}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right\}\]
\[={{c}^{2}}{{k}^{4}}.{{c}^{2}}{{k}^{2}}.{{c}^{2}}\left\{ \frac{1}{{{c}^{3}}{{k}^{6}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}{{k}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right\}\]
\[={{c}^{6}}{{k}^{6}}\left\{ \frac{1+{{k}^{3}}+{{k}^{6}}}{{{c}^{3}}{{k}^{6}}} \right\}\]
\[={{c}^{3}}\left( {{k}^{6}}+{{k}^{3}}+1 \right)\]
ডানপক্ষ,
\[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\]
\[={{\left( c{{k}^{2}} \right)}^{3}}+{{\left( ck \right)}^{3}}+{{c}^{3}}\]
\[={{c}^{3}}{{k}^{6}}+{{c}^{3}}{{k}^{3}}+{{c}^{3}}\]
\[={{c}^{3}}\left( {{k}^{6}}+{{k}^{3}}+1 \right)\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
\[\left( iii \right)\,\frac{abc{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( ab+bc+ca \right)}^{3}}}=1\]
বামপক্ষ,
\[\frac{abc{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{{{\left( ab+bc+ca \right)}^{3}}}\]
\[=\frac{c{{k}^{2}}.ck.c{{\left( c{{k}^{2}}+ck+c \right)}^{3}}}{{{\left( c{{k}^{2}}.ck+ck.c+c.c{{k}^{2}} \right)}^{3}}}\]
\[=\frac{{{c}^{3}}{{k}^{3}}{{\left\{ c\left( {{k}^{2}}+k+1 \right) \right\}}^{3}}}{{{\left( {{c}^{2}}{{k}^{3}}+{{c}^{2}}k+{{c}^{2}}{{k}^{2}} \right)}^{3}}}\]
\[=\frac{{{c}^{3}}{{k}^{3}}.{{c}^{3}}{{\left( {{k}^{2}}+k+1 \right)}^{3}}}{{{\left\{ {{c}^{2}}k\left( {{k}^{2}}+1+k \right) \right\}}^{3}}}\]
\[=\frac{{{c}^{6}}{{k}^{3}}{{\left( {{k}^{2}}+k+1 \right)}^{3}}}{{{c}^{6}}{{k}^{3}}{{\left( {{k}^{2}}+k+1 \right)}^{3}}}=1\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,
\[\left( i \right)\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ab+bc+cd \right)}^{2}}\]
\[\left( ii \right)\,{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}={{\left( a-d \right)}^{2}}\]
উত্তর – a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী
\[\therefore \,a:b=b:c=c:d\]
\[\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\](ধরি, k≠0)
\[\Rightarrow \,a=bk;\,b=ck;\,c=dk\]
\[\Rightarrow \,a=bk;\,b=dk.k;\,c=dk\]
\[\Rightarrow \,a=d{{k}^{2}}.k;\,b=d{{k}^{2}};\,c=dk\]
\[\Rightarrow \,a=d{{k}^{3}};\,b=d{{k}^{2}};\,c=dk\]
\[\left( i \right)\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)={{\left( ab+bc+cd \right)}^{2}}\]
বামপক্ষ,
\[\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\]
\[=\left\{ {{\left( d{{k}^{3}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{k}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( dk \right)}^{2}} \right\}\left\{ {{\left( d{{k}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( dk \right)}^{2}}+{{d}^{2}} \right\}\]
\[=\left( {{d}^{2}}{{k}^{6}}+{{d}^{2}}{{k}^{4}}+{{d}^{2}}{{k}^{2}} \right)\left( {{d}^{2}}{{k}^{4}}+{{d}^{2}}{{k}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\]
\[={{d}^{2}}{{k}^{2}}\left( {{k}^{4}}+{{k}^{2}}+1 \right){{d}^{2}}\left( {{k}^{4}}+{{k}^{2}}+1 \right)\]
\[={{d}^{4}}{{k}^{2}}{{\left( {{k}^{4}}+{{k}^{2}}+1 \right)}^{2}}\]
ডানপক্ষ,
\[\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\]
\[=\left\{ {{\left( d{{k}^{3}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{k}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( dk \right)}^{2}} \right\}\left\{ {{\left( d{{k}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( dk \right)}^{2}}+{{d}^{2}} \right\}\]
\[=\left( {{d}^{2}}{{k}^{6}}+{{d}^{2}}{{k}^{4}}+{{d}^{2}}{{k}^{2}} \right)\left( {{d}^{2}}{{k}^{4}}+{{d}^{2}}{{k}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\]
\[={{d}^{2}}{{k}^{2}}\left( {{k}^{4}}+{{k}^{2}}+1 \right){{d}^{2}}\left( {{k}^{4}}+{{k}^{2}}+1 \right)\]
\[={{d}^{4}}{{k}^{2}}{{\left( {{k}^{4}}+{{k}^{2}}+1 \right)}^{2}}\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
\[\left( ii \right)\,{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}={{\left( a-d \right)}^{2}}\]
বামপক্ষ,
\[{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}\]
\[={{\left( d{{k}^{2}}-dk \right)}^{2}}+{{\left( dk-d{{k}^{3}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{k}^{2}}-d \right)}^{2}}\]
\[={{d}^{2}}{{k}^{2}}{{\left( k-1 \right)}^{2}}+{{d}^{2}}{{k}^{2}}{{\left( 1-{{k}^{2}} \right)}^{2}}+{{d}^{2}}{{\left( {{k}^{2}}-1 \right)}^{2}}\]
\[={{d}^{2}}{{k}^{2}}{{\left( k-1 \right)}^{2}}+{{d}^{2}}{{k}^{2}}{{\left( {{k}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{d}^{2}}{{\left( {{k}^{2}}-1 \right)}^{2}}\]
\[={{d}^{2}}\left\{ {{k}^{2}}\left( {{k}^{2}}-2k+1 \right)+{{k}^{2}}\left( {{k}^{4}}-2{{k}^{2}}+1 \right)+{{k}^{4}}-2{{k}^{2}}+1 \right\}\]
\[={{d}^{2}}\left\{ {{k}^{4}}-2{{k}^{3}}+{{k}^{2}}+{{k}^{6}}-2{{k}^{4}}+{{k}^{2}}+{{k}^{4}}-2{{k}^{2}}+1 \right\}\]
\[={{d}^{2}}\left\{ {{k}^{6}}-2{{k}^{3}}+1 \right\}\]
\[={{d}^{2}}{{\left( {{k}^{3}}-1 \right)}^{2}}\]
\[={{\left( d{{k}^{3}}-d \right)}^{2}}={{\left( a-d \right)}^{2}}\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
6. (i) যদি \frac{m}{a}=\frac{n}{b}হয়, তবে দেখাই যে, (m2 + n2)(a2 + b2) = (am + bn)2
উত্তর –
\[\frac{m}{a}=\frac{n}{b}=k\](ধরি, k≠0)
\[\Rightarrow m=ak;\,n=bk\]
বামপক্ষ,
\[\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\]
\[=\left( {{a}^{2}}{{k}^{2}}+{{b}^{2}}{{k}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\]
\[={{k}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\]
\[={{k}^{2}}{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}\]
ডানপক্ষ,
\[{{\left( am+bn \right)}^{2}}\]
\[={{\left( a.ak+b.bk \right)}^{2}}\]
\[={{k}^{2}}{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
(ii) যদি \frac{a}{b}=\frac{x}{y} হয়, তবে দেখাই যে, (a + b)(a2 + b2)x3 = (x + y)(x2 + y2)a3
উত্তর –
\[\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\]
\[\Rightarrow \frac{a}{a+b}=\frac{x}{x+y}\] (যোগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই)
আবার,
\[\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\]
\[\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}\]
\[\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\](যোগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই)
\[\therefore \frac{a}{a+b}\times \frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{x}{x+y}\times \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\]
\[\Rightarrow \frac{{{a}^{3}}}{\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}=\frac{{{x}^{3}}}{\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}\]
\[\Rightarrow \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{3}}=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){{a}^{3}}\]
(iii) যদি \frac{x}{lm-{{n}^{2}}}=\frac{y}{mn-{{l}^{2}}}=\frac{z}{nl-{{m}^{2}}} হয়, তবে দেখাই যে, lx + my + nz = 0
উত্তর –
\[\frac{x}{lm-{{n}^{2}}}=\frac{y}{mn-{{l}^{2}}}=\frac{z}{nl-{{m}^{2}}}\]
\[\Rightarrow \frac{lx}{{{l}^{2}}m-l{{n}^{2}}}=\frac{my}{{{m}^{2}}n-{{l}^{2}}m}=\frac{nz}{l{{n}^{2}}-{{m}^{2}}n}\]
\[\Rightarrow \frac{lx}{{{l}^{2}}m-l{{n}^{2}}}=\frac{my}{{{m}^{2}}n-{{l}^{2}}m}=\frac{nz}{l{{n}^{2}}-{{m}^{2}}n}=\frac{lx+my+nz}{{{l}^{2}}m-l{{n}^{2}}+{{m}^{2}}n-{{l}^{2}}m+l{{n}^{2}}-{{m}^{2}}n}\](সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই)
\[\Rightarrow \frac{lx}{{{l}^{2}}m-l{{n}^{2}}}=\frac{my}{{{m}^{2}}n-{{l}^{2}}m}=\frac{nz}{l{{n}^{2}}-{{m}^{2}}n}=\frac{lx+my+nz}{0}\]
\[\therefore \,\,lx+my+nz=0\](প্রমানিত)।
(iv) \frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}হলে, দেখাই যে, \left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z=0
উত্তর –
\[\frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}\]
\[\Rightarrow \frac{\left( b-c \right)x}{\left( b-c \right)\left( b+c-a \right)}=\frac{\left( c-a \right)y}{\left( c-a \right)\left( c+a-b \right)}=\frac{\left( a-b \right)z}{\left( a-b \right)\left( a+b-c \right)}\]
\[=\frac{\left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z}{\left( b-c \right)\left( b+c-a \right)+\left( c-a \right)\left( c+a-b \right)+\left( a-b \right)\left( a+b-c \right)}\](সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই)
\[=\frac{\left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z}{\left( b-c \right)\left( b+c \right)-a\left( b-c \right)+\left( c-a \right)\left( c+a \right)-b\left( c-a \right)+\left( a-b \right)\left( a+b \right)-c\left( a-b \right)}\]
\[=\frac{\left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z}{{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-ab+ac+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}-bc+ab+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-ac+bc}\]
\[=\frac{\left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z}{0}\]
\[\therefore \,\left( b-c \right)x+\left( c-a \right)y+\left( a-b \right)z=0\](প্রমানিত)।
(v) \frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}হলে, দেখাই যে, \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{4a}{{{a}^{2}}+4}
উত্তর –
\[\frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}=\frac{{{\left( a+2 \right)}^{2}}}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{{{\left( a+2 \right)}^{2}}-{{\left( a-2 \right)}^{2}}}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}}\][ভাগ-যোগ প্রক্রিয়া করে পাই]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{2.a.2}{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{4a}{{{a}^{2}}+4}\](প্রমানিত)।
(vi) x=\frac{8ab}{a+b}হলে, \left( \frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b} \right)-এর মান হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
\[x=\frac{8ab}{a+b}\]
\[\Rightarrow \frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}\]
\[\Rightarrow \frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}\][যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই]
\[\Rightarrow \frac{x+4a}{x-4a}=\frac{a+3b}{b-a}\]
আবার,
\[x=\frac{8ab}{a+b}\]
\[\Rightarrow \frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}\]
\[\Rightarrow \frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2a+a+b}{2a-a-b}\][যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই]
\[\Rightarrow \frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}\]
\[\therefore \frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}\]
\[=\frac{a+3b}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}\]
\[=\frac{a+3b}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a}\]
\[=\frac{a+3b-3a-b}{b-a}\]
\[=\frac{2b-2a}{b-a}\]
\[=\frac{2\left( b-a \right)}{\left( b-a \right)}=2\]
7. (i) \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}হলে, দেখাই যে, \frac{a+b+c}{c}=2
উত্তর –
\[\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}=\frac{a+b+c}{3+4+7}\] [ সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই ]
\[\Rightarrow \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}=\frac{a+b+c}{14}\]
\[\therefore \frac{c}{7}=\frac{a+b+c}{14}\]
\[\Rightarrow \frac{a+b+c}{c}=\frac{14}{7}=2\](প্রমানিত)।
(ii)\frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}হলে, দেখাই যে, a+b+c=0=pa+qb+rc
উত্তর –
\[\frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}\]
\[=\frac{a+b+c}{q-r+r-p+p-q}\][ সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই ]
\[=\frac{a+b+c}{0}\]
\[\therefore \,a+b+c=0\]
আবার,
\[\frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}\]
\[\Rightarrow \frac{pa}{pq-pr}=\frac{qb}{qr-pq}=\frac{rc}{pr-qr}\]
\[=\frac{pa+qb+rc}{pq-pr+qr-pq+pr-qr}\][ সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই ]
\[=\frac{pa+qb+rc}{0}\]
\[\therefore \,\,pa+qb+rc=0\]
\[\therefore \,\,a+b+c=0=pa+qb+rc\]
(iii)\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}হলে, দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x–এর সমান।
উত্তর –
\[\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}\]
\[\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}x+aby}{{{a}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}x-aby}{{{b}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}x+aby+{{b}^{2}}x-aby}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\][ সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই ]
\[=\frac{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)x}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=x\]
∴ প্রতিটি অনুপাত = x
8. (i) যদি \frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}হয়, তবে প্রমাণ করি যে, c=a অথবা a+b+c+d=0
উত্তর –
\[\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}=k\] (ধরি, k≠0)
\[\Rightarrow a+b=k\left( b+c \right);\,c+d=k\left( d+a \right)\]
এবার,
\[a+b+c+d=k\left( b+c \right)+k\left( d+a \right)\]
\[\Rightarrow a+b+c+d=k\left( b+c+d+a \right)\]
\[\Rightarrow \left( a+b+c+d \right)-k\left( a+b+c+d \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( a+b+c+d \right)\left( 1-k \right)=0\]
হয়, \left( a+b+c+d \right)=0 অথবা, \left( 1-k \right)=0\Rightarrow k=1
\[\therefore \frac{a+b}{b+c}=1\]
\[\Rightarrow b+c=a+b\]
\[\Rightarrow c=a+b-b\]
\[\therefore c=a\]
∴ c=a অথবা a+b+c+d=0 (প্রমানিত)।
(ii) যদি \frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}হয়, দেখাই যে, \frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}
উত্তর –
\[\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}=k\](ধরি, k≠0)
\[\Rightarrow x=k\left( b+c \right);\,y=k\left( c+a \right);\,z=k\left( a+b \right)\]
\[\therefore \frac{a}{y+z-x}=\frac{a}{k\left( c+a \right)+k\left( a+b \right)-k\left( b+c \right)}\]
\[=\frac{a}{k\left( c+a+a+-b-c \right)}\]
\[=\frac{a}{k\left( 2a \right)}=\frac{1}{2k}\]
\[\therefore \frac{b}{z+x-y}=\frac{b}{k\left( a+b \right)+k\left( b+c \right)-k\left( c+a \right)}\]
\[=\frac{b}{k\left( a+b+b+c-c-a \right)}\]
\[=\frac{b}{k\left( 2b \right)}=\frac{1}{2k}\]
\[\therefore \frac{c}{x+y-z}=\frac{c}{k\left( b+c \right)+k\left( c+a \right)-k\left( a+b \right)}\]
\[=\frac{c}{k\left( b+c+c+a-a-b \right)}\]
\[=\frac{c}{k\left( 2c \right)}=\frac{1}{2k}\]
\[\therefore \frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}\](প্রমানিত)।
(iii) \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}হলে, দেখাই যে, \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}
উত্তর –
\[\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}\]
\[=\frac{x+y+y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a}\] [ সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই ]
\[=\frac{2x+2y+2z}{2a+2b+2c}\]
\[=\frac{2\left( x+y+z \right)}{2\left( a+b+c \right)}\]
\[=\frac{x+y+z}{a+b+c}\]
আবার,
\[\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=k\] (ধরি, k≠0)
\[\Rightarrow x+y=k\left( 3a-b \right);\,y+z=k\left( 3b-c \right);\,z+x=k\left( 3c-a \right);\,x+y+z=k\left( a+b+c \right)\]
\[\therefore \,x=\left( x+y+z \right)-\left( y+z \right)\]
\[\Rightarrow x=k\left( a+b+c-3b+c \right)\]
\[\Rightarrow x=k\left( a-2b+2c \right)\]
\[\therefore \,\,ax=k\left( {{a}^{2}}-2ab+2ac \right)\]
\[\therefore y=\left( x+y+z \right)-\left( z+x \right)\]
\[\Rightarrow y=k\left( a+b+c-3c+a \right)\]
\[\Rightarrow y=k\left( 2a+b-2c \right)\]
\[\therefore \,\,by=k\left( 2ab+{{b}^{2}}-2bc \right)\]
\[\therefore z=\left( x+y+z \right)-\left( x+y \right)\]
\[\Rightarrow z=k\left( a+b+c-3a+b \right)\]
\[\Rightarrow z=k\left( -2a+2b+c \right)\]
\[\therefore \,\,cz=k\left( -2ac+2bc+{{c}^{2}} \right)\]
\[\therefore \frac{ax+by+cz}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
\[=\frac{k\left( {{a}^{2}}-2ab+2ac \right)+k\left( 2ab+{{b}^{2}}-2bc \right)+k\left( -2ac+2bc+{{c}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
\[=\frac{k\left( {{a}^{2}}-2ab+2ac+2ab+{{b}^{2}}-2bc-2ac+2bc+{{c}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
\[=\frac{k\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=k\]
\[\therefore \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\] (প্রমানিত)।
(iv)\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} হলে, দেখাই যে,\frac{{{x}^{2}}-yz}{{{a}^{2}}-bc}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{{{b}^{2}}-ca}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{{{c}^{2}}-ab}
উত্তর –
\[\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\] (ধরি, k≠0)
\[\Rightarrow \,x=ak;\,y=bk;\,z=ck\]
\[\frac{{{x}^{2}}-yz}{{{a}^{2}}-bc}=\frac{{{a}^{2}}{{k}^{2}}-bk.ck}{{{a}^{2}}-bc}=\frac{{{a}^{2}}{{k}^{2}}-bc{{k}^{2}}}{{{a}^{2}}-bc}=\frac{{{k}^{2}}\left( {{a}^{2}}-bc \right)}{{{a}^{2}}-bc}={{k}^{2}}\]
\[\frac{{{y}^{2}}-zx}{{{b}^{2}}-ca}=\frac{{{b}^{2}}{{k}^{2}}-ck.ak}{{{b}^{2}}-ca}=\frac{{{b}^{2}}{{k}^{2}}-ca{{k}^{2}}}{{{b}^{2}}-ca}=\frac{{{k}^{2}}\left( {{b}^{2}}-ca \right)}{{{b}^{2}}-ca}={{k}^{2}}\]
\[\frac{{{z}^{2}}-xy}{{{c}^{2}}-ab}=\frac{{{c}^{2}}{{k}^{2}}-ak.bk}{{{c}^{2}}-ab}=\frac{{{c}^{2}}{{k}^{2}}-ab{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}-ab}=\frac{{{k}^{2}}\left( {{c}^{2}}-ab \right)}{{{c}^{2}}-ab}={{k}^{2}}\]
\[\therefore \frac{{{x}^{2}}-yz}{{{a}^{2}}-bc}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{{{b}^{2}}-ca}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{{{c}^{2}}-ab}\] (প্রমানিত)।
9. (i) যদি \frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}হয়, তবে দেখাই যে, \frac{x}{y}=\frac{u}{v}
উত্তর –
\[\frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}\]
\[\Rightarrow \frac{3x+4y}{3x-4y}=\frac{3u+4v}{3u-4v}\]
\[\Rightarrow \frac{\left( 3x+4y \right)+\left( 3x-4y \right)}{\left( 3x+4y \right)-\left( 3x-4y \right)}=\frac{\left( 3u+4v \right)+\left( 3u-4v \right)}{\left( 3u+4v \right)-\left( 3u-4v \right)}\] [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই]
\[\Rightarrow \frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y}=\frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}\]
\[\Rightarrow \frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}\]
\[\therefore \frac{x}{y}=\frac{u}{v}\] (প্রমানিত)।
(ii) \left( a+b+c+d \right):\left( a+b-c-d \right)=\left( a-b+c-d \right):\left( a-b-c+d \right)হলে প্রমাণ করি যে, a:b=c:d
উত্তর –
\[\left( a+b+c+d \right):\left( a+b-c-d \right)=\left( a-b+c-d \right):\left( a-b-c+d \right)\]
\[\Rightarrow \frac{\left( a+b+c+d \right)}{\left( a+b-c-d \right)}=\frac{\left( a-b+c-d \right)}{\left( a-b-c+d \right)}\]
\[\Rightarrow \frac{\left( a+b+c+d \right)+\left( a+b-c-d \right)}{\left( a+b+c+d \right)-\left( a+b-c-d \right)}=\frac{\left( a-b+c-d \right)+\left( a-b-c+d \right)}{\left( a-b+c-d \right)-\left( a-b-c+d \right)}\] [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই]
\[\Rightarrow \frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b+c+d-a-b+c+d}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d}\]
\[\Rightarrow \frac{2a+2b}{2c+2d}=\frac{2a-2b}{2c-2d}\]
\[\Rightarrow \frac{2\left( a+b \right)}{2\left( c+d \right)}=\frac{2\left( a-b \right)}{2\left( c-d \right)}\]
\[\Rightarrow \frac{\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)}=\frac{\left( c+d \right)}{\left( c-d \right)}\]
\[\Rightarrow \frac{\left( a+b \right)+\left( a-b \right)}{\left( a+b \right)-\left( a-b \right)}=\frac{\left( c+d \right)+\left( c-d \right)}{\left( c+d \right)-\left( c-d \right)}\][যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই]
\[\Rightarrow \frac{a+b+a-b}{a+b-a+b}=\frac{c+d+c-d}{c+d-c+d}\]
\[\Rightarrow \frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}\]
\[\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\]
\[\therefore \,\,a:b=c:d\](প্রমানিত)।
10. (i) \frac{{{a}^{2}}}{b+c}=\frac{{{b}^{2}}}{c+a}=\frac{{{c}^{2}}}{a+b}=1হলে, দেখাই যে, \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1
উত্তর –
\[\frac{{{a}^{2}}}{b+c}=\frac{{{b}^{2}}}{c+a}=\frac{{{c}^{2}}}{a+b}=1\]
\[\Rightarrow {{a}^{2}}=b+c;\,\,{{b}^{2}}=c+a;\,\,{{c}^{2}}=a+b\]
বামপক্ষ,
\[\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\]
\[=\frac{a}{a+{{a}^{2}}}+\frac{b}{b+{{b}^{2}}}+\frac{c}{c+{{c}^{2}}}\]
\[=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}\]
\[=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
(ii) {{x}^{2}}:\left( by+cz \right)={{y}^{2}}:\left( cz+ax \right)={{z}^{2}}:\left( ax+by \right)=1হলে, দেখাই যে \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1
উত্তর –
\[{{x}^{2}}:\left( by+cz \right)={{y}^{2}}:\left( cz+ax \right)={{z}^{2}}:\left( ax+by \right)=1\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{\left( by+cz \right)}=\frac{{{y}^{2}}}{\left( cz+ax \right)}=\frac{{{z}^{2}}}{\left( ax+by \right)}=1\]
\[\therefore {{x}^{2}}=\left( by+cz \right);\,\,{{y}^{2}}=\left( cz+ax \right);\,\,{{z}^{2}}=\left( ax+by \right)\]
বামপক্ষ,
\[\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}\]
\[=\frac{ax}{ax+{{x}^{2}}}+\frac{by}{by+{{y}^{2}}}+\frac{cz}{cz+{{z}^{2}}}\]
\[=\frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{by+cz+ax}+\frac{cz}{cz+ax+by}\]
\[=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}=1\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
11. (i) \frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc} এবং x+y+z\ne 0হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \frac{1}{a+b+c}-এর সমান।
উত্তর –
\[\frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}\]
\[=\frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}\] [ সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই ]
\[=\frac{x+y+z}{a\left( x+y+z \right)+b\left( x+y+z \right)+c\left( x+y+z \right)}\]
\[=\frac{x+y+z}{\left( x+y+z \right)\left( a+b+c \right)}\]
\[=\frac{1}{\left( a+b+c \right)}\,\,\left[ \because \because x+y+z\ne 0 \right]\]
∴ প্রতিটি অনুপাত \frac{1}{a+b+c}-এর সমান।
(ii) \frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{b}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{c} হলে, প্রমাণ করি যে, \left( a+b+c \right)\left( x+y+z \right)=ax+by+cz
উত্তর –
\[\frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=\frac{{{y}^{2}}-zx}{b}=\frac{{{z}^{2}}-xy}{c}=\frac{1}{k}\] (ধরি, k≠0)
\[\Rightarrow \,a=k\left( {{x}^{2}}-yz \right);\,b=k\left( {{y}^{2}}-zx \right);\,c=k\left( {{z}^{2}}-xy \right)\]
বামপক্ষ,
\[\left( a+b+c \right)\left( x+y+z \right)\]
\[=\left\{ k\left( {{x}^{2}}-yz \right)+k\left( {{y}^{2}}-zx \right)+k\left( {{z}^{2}}-xy \right) \right\}\left( x+y+z \right)\]
\[=\left( x+y+z \right)k\left( {{x}^{2}}-yz+{{y}^{2}}-zx+{{z}^{2}}-xy \right)\]
\[=k\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx \right)\]
\[=k\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz \right)\]
ডানপক্ষ,
\[ax+by+cz\]
\[=xk\left( {{x}^{2}}-yz \right)+yk\left( {{y}^{2}}-zx \right)+zk\left( {{z}^{2}}-xy \right)\]
\[=k\left( {{x}^{3}}-xyz+{{y}^{3}}-xyz+{{z}^{3}}-xyz \right)\]
\[=k\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz \right)\]
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)।
(iii) \frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}হলে, প্রমাণ করি যে, \frac{a\left( b-c \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=\frac{b\left( c-a \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{c\left( a-b \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}
উত্তর –
\[\frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}=k\] (ধরি, k≠0)
\[\Rightarrow \,a=k\left( y+z \right);\,b=k\left( z+x \right);\,c=k\left( x+y \right)\]
\[\therefore \frac{a\left( b-c \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=\frac{k\left( y+z \right)\left\{ k\left( z+x \right)-k\left( x+y \right) \right\}}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}\]
\[=\frac{{{k}^{2}}\left( y+z \right)\left\{ z+x-x-y \right\}}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}\]
\[=\frac{-{{k}^{2}}\left( y+z \right)\left( y-z \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}\]
\[=\frac{-{{k}^{2}}\left( {{y}^{2}}-{{z}^{2}} \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=-{{k}^{2}}\]
\[\therefore \frac{b\left( c-a \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{k\left( z+x \right)\left\{ k\left( x+y \right)-k\left( y+z \right) \right\}}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{{{k}^{2}}\left( z+x \right)\left( x+y-y-z \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{-{{k}^{2}}\left( z+x \right)\left( z-x \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{-{{k}^{2}}\left( {{z}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}=-{{k}^{2}}\]
\[\frac{c\left( a-b \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{k\left( x+y \right)\left\{ k\left( y+z \right)-k\left( z+x \right) \right\}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\]
\[=\frac{{{k}^{2}}\left( x+y \right)\left( y+z-z-x \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\]
\[=\frac{-{{k}^{2}}\left( x+y \right)\left( x-y \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\]
\[=\frac{-{{k}^{2}}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=-{{k}^{2}}\]
\[\therefore \frac{a\left( b-c \right)}{{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=\frac{b\left( c-a \right)}{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{c\left( a-b \right)}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\](প্রমানিত)।
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) 3, 4 এবং 6-এর চতুর্থ সমানুপাতী
(a) 8 (b) 10 (c) 12 (d) 24
উত্তর –
\[3:4::6:x\]
\[\Rightarrow x=\frac{4\times 6}{3}=8\]
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) 8
(ii) 8 এবং 12-এর তৃতীয় সমানুপাতী
(a) 12 (b) 16 (c) 18 (d) 20
উত্তর –
\[8:12::12:x\]
\[\Rightarrow x=\frac{12\times 12}{8}=18\]
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) 18
(iii) 16 এবং 25-এর মধ্য সমানুপাতী
(a) 400 (b) 100 (c) 20 (d) 40
উত্তর –
\[16:x::x:25\]
\[\Rightarrow x=\sqrt{16\times 25}=4\times 5=20\]
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) 20
(iv)a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a হলে, a-এর মান
(a) \frac{81}{256} (b) 9 (c)\frac{9}{16} (d) \frac{16}{9}
উত্তর –
\[a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a\]
\[\Rightarrow a=\sqrt{\frac{3}{4}\times \frac{27}{64}}=\sqrt{\frac{81}{256}}=\frac{9}{16}\]
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c)\frac{9}{16}
(v) 2a = 3b = 4c হলে, a:b:c হবে
(a) 3:4:6 (b) 4:3:6 (c) 3:6:4 (d) 6:4:3
উত্তর –
\[2a=3b=4c=k\]
\[\Rightarrow a=\frac{k}{2};\,b=\frac{k}{3};\,c=\frac{k}{4}\]
\[\therefore \,\,a:b:c=\frac{k}{2}:\frac{k}{3}:\frac{k}{4}=6k:4k:3k=6:4:3\]
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (d) 6:4:3
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –
(i) ab:c2 ; bc:a2 এবং ca:b2 –এর যৌগিক অনুপাত 1:1
উত্তর –
\[\left( ab\times bc\times ca \right):\left( {{c}^{2}}\times {{a}^{2}}\times {{b}^{2}} \right)\]
\[={{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}:{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}=1:1\]
∴ বিবৃতিটি সত্য।
(ii)x3y, x2y2 এবং xy3 ক্রমিক সমানুপাতী।
উত্তর –
\[\frac{{{x}^{3}}y}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}=\frac{x}{y},\,\,\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{x{{y}^{3}}}=\frac{x}{y}\]
∴ বিবৃতিটি সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –
(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 64 হলে, তাদের মধ্য সমানুপাতী ______
উত্তর –
মনেকরি তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যা x, x2, x3
\[x\times {{x}^{2}}\times {{x}^{3}}=64\]
\[\Rightarrow {{x}^{6}}=64\]
\[\Rightarrow {{x}^{6}}={{2}^{6}}\]
\[\therefore \,x=2\]
∴ মধ্য সমানুপাতী 22 = 4
(ii) a:2 = b:5 = c:8 হলে a-এর 50% = b-এর 20% = c-এর _____%
উত্তর –
\[\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}\]
\[\Rightarrow \frac{a}{2}\times \frac{100}{100}=\frac{b}{5}\times \frac{100}{100}=\frac{c}{8}\times \frac{100}{100}\]
∴ a-এর 50% = b-এর 20% = c-এর \frac{25}{2}%=12\frac{1}{2}%%
(iii) (x + 2) এবং (x – 3) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x-এর মান ______
উত্তর –
\[\frac{x+2}{x}=\frac{x}{x-3}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}=\left( x+2 \right)\left( x-3 \right)\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}={{x}^{2}}-3x+2x-6\]
\[\Rightarrow x=-6\]
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{p} হলে, p-এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a-3b+4c}{2\times 2-3\times 3+4\times 4}\] [ সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই ]
\[=\frac{2a-3b+4c}{4-9+16}=\frac{2a-3b+4c}{11}\]
∴ p-এর মান 11
(ii) \frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2} হলে,\frac{3{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}-এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow 6x-10y=3x+5y\]
\[\Rightarrow 3x=15y\]
\[\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{5}{1}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}=\frac{25}{1}\]
\[\Rightarrow \frac{3{{x}^{2}}}{5{{y}^{2}}}=\frac{75}{5}\]
\[\Rightarrow \frac{3{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}=\frac{75-5}{75+5}=\frac{70}{80}\]
\[\therefore \frac{3{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}}=\frac{7}{8}\]
(iii) a:b = 3:4 এবং x:y = 5:7 হলে, (3ax – by) : (4by – 7ax) কত নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[a=\frac{3b}{4},\,x=\frac{5y}{7}\]
\[\frac{3ax-by}{4by-7ax}\]
\[=\frac{3\times \frac{3b}{4}\times \frac{5y}{7}-by}{4by-7\times \frac{3b}{4}\times \frac{5y}{7}}=\frac{\frac{45}{28}by-by}{4by-\frac{105}{28}by}=\frac{\frac{45}{28}-1}{4-\frac{105}{28}}\]
\[=\frac{\frac{45-28}{28}}{\frac{112-105}{28}}=\frac{17}{28}\times \frac{28}{7}=\frac{17}{7}\]
∴ (3ax – by) : (4by – 7ax) = 17:7
(iv) x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y-এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[\therefore \frac{x}{12}=\frac{12}{y}=\frac{y}{27}\]
\[\therefore {{y}^{2}}=12\times 27\Rightarrow y=\sqrt{12\times 27}=18\]
\[\therefore xy=12\times 12=144\]
\[\Rightarrow x=\frac{144}{18}=8\]
(v) a:b = 3:2 এবং b:c = 3:2 হলে, a + b : b + c কত নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\]
\[\Rightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}\]
\[\frac{b}{c}=\frac{3}{2}\]
\[\Rightarrow \frac{b}{b+c}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}\]
\[\therefore \,\frac{a+b}{b}\times \frac{b}{b+c}=\frac{5}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{3}{2}\]
∴ a + b : b + c = 3:2
;
