সপ্তম শ্রেণী – তৃতীয় অধ্যায় : সমানুপাত সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 3

1. ছক পূরণ করি –

চারটি সংখ্যা	সমানুপাতী	সমানুপাতী নয়
8, 10, 16, 20	8, 10, 16, 20
25, 30, 12, 15		25, 30, 12, 15
5, 7, 25, 35
4, 10, 30, 18
5, 10, 16, 20
9, 15, 18, 30

উত্তর –

চারটি সংখ্যা	সমানুপাতী	সমানুপাতী নয়
8, 10, 16, 20	8, 10, 16, 20
25, 30, 12, 15		25, 30, 12, 15
5, 7, 25, 35	5, 7, 25, 35
4, 10, 30, 18		4, 10, 30, 18
5, 10, 16, 20		5, 10, 16, 20
9, 15, 18, 30	9, 15, 18, 30

2. 8 জন লোক একটি কাজ 15 দিনে করতে পারে। হিসাব করে দেখি 10 জন লোক ওই কাজটি কত দিনে করতে পারবে।

উত্তর –

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো –

লোক (জন)	কাজের সময় (দিন)
8	15
10	?

লোকসংখ্যা কমলে কাজ শেষ হতে বেশি সময় লাগবে আবার, লোকসংখ্যা বাড়লে কাজ শেষ হতে কম সময় লাগবে।

সুতরাং, লোকসংখ্যা এবং কাজের সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাত সম্পর্ক।

∴ 10 : 8 :: 15 : ?

আমরা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

সুতরাং, 10 × চতুর্থপদ = 8 × 15

বা, চতুর্থপদ = \frac{8\times 15}{10}=12

অর্থাৎ, 10 জন লোক ওই কাজটি 12 দিনে করতে পারবে।

3. কিছু পরিমাণ খাদ্যে 12 জন লোকের 20 দিন চলে। হিসাব করে লিখি ওই খাদ্যে 40 জন লোকের কতদিন চলবে।

উত্তর –

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো –

লোক (জন)	সময় (দিন)
12	20
40	?

লোকসংখ্যা কমলে একই পরিমাণ খাদ্য বেশি সময় চলবে আবার, লোকসংখ্যা বাড়লে একই পরিমাণ খাদ্য কম সময় চলবে ।

সুতরাং, লোকসংখ্যা এবং সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাত সম্পর্ক।

∴ 40 : 12 :: 20 : ?

আমরা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

সুতরাং, 20 × চতুর্থপদ = 12 × 20

বা, চতুর্থপদ = \frac{12\times 20}{40}=6

অর্থাৎ, ওই খাদ্যে 40 জন লোকের 6 দিন চলবে।

4. অরুনবাবু তাঁর কৃষিজমিতে 16 টি লাঙল দিয়ে 10 দিনে সবজমি চাষ করিয়েছেন। ওই সবজমি 8 দিনে চাষ করতে চাইলে, কতগুলি লাঙল দরকার হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো –

সময় (দিন)	লাঙল (টি)
10	16
8	?

সময় কমলে লাঙল বেশি লাগবে আবার, সময় বাড়লে লাঙল কম লাগবে।

সুতরাং, লাঙল সংখ্যা এবং সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাত সম্পর্ক।

∴ 8 : 10 :: 16 : ?

আমরা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

সুতরাং, 8 × চতুর্থপদ = 10 × 16

বা, চতুর্থপদ = \frac{10\times 16}{8}=20

অর্থাৎ, ওই সবজমি 8 দিনে চাষ করতে চাইলে, 20 টি লাঙল দরকার হবে।

5. একটি বন্যাত্রান শিবিরে 4,000 জনের 190 দিনের খাবার মজুত আছে। 30 দিন পর 800 জন অন্যত্র চলে গেলেন। যারা রয়ে গেলেন অবশিষ্ট খাদ্যে তাঁদের আর কতদিন চলবে হিসাব করি।

উত্তর –

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো –

লোক (জন)	সময় (দিন)
4,000	(190 – 30) = 160
(4,000 – 800) = 3200	?

লোকসংখ্যা কমলে একই পরিমাণ খাদ্য বেশি সময় চলবে আবার, লোকসংখ্যা বাড়লে একই পরিমাণ খাদ্য কম সময় চলবে ।

সুতরাং, লোকসংখ্যা এবং সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাত সম্পর্ক।

∴ 3200 : 4,000 :: 160 : ?

আমরা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

সুতরাং, 3200 × চতুর্থপদ = 4,000 ×160

বা, চতুর্থপদ = \frac{4000\times 160}{3200}=200

অর্থাৎ, যারা রয়ে গেলেন অবশিষ্ট খাদ্যে তাঁদের আর 200 দিন চলবে।

6. 3 টি ছাতা বা 1 টি চেয়ারের দাম 600 টাকা। 2 টি ছাতা ও 2 টি চেয়ারের দাম কত হিসাব করে দেখি।

উত্তর –

3 টি ছাতা বা 1টি চেয়ারের দাম 600 টাকা।

যেহেতু, 1টি চেয়ার = 3 টি ছাতা

∴ 2 টি চেয়ার = 3 × 2 টি ছাতা = 6 টি ছাতা

সুতরাং, 2 টি ছাতা ও 2 টি চেয়ারের দাম = (2 + 6) = 8 টি ছাতার দাম

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো –

ছাতা (টি)	দাম (টাকা)
3	600
8	?

ছাতার সংখ্যা বাড়লে দাম বেশি পড়বে আবার ছাতার সংখ্যা কমলে দাম কম পড়বে।

সুতরাং, ছাতার সংখ্যা ও দামের মধ্যে সরল সমানুপাত সম্পর্ক।

∴ 3 : 8 :: 600 : ?

আমরা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

সুতরাং, 3 × চতুর্থপদ = 8 × 600

বা, চতুর্থপদ = \frac{8\times 600}{3}=1600

অর্থাৎ, 2 টি ছাতা ও 2 টি চেয়ারের দাম 1600 টাকা।

7. আমার শ্রেণিতে আজকে আমাদের উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত নির্ণয় করি। আজ ষষ্ঠ শ্রেণিরও উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত বের করি। দুটি অনুপাত সমান কিনা দেখি। চারটি সংখ্যা সমানুপাতে আছে কিনা দেখি।

উত্তর –

নিজে কর।

8. বিভিন্ন রঙের ঘরের সংখ্যা গুলি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর দিই –

(a) লাল ও নীল রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
(b) বাদামি ও বেগুনি রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
(c) লাল ও সবুজ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
(d) বাদামি ও হলুদ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
(e) কোন চারটি রঙের ঘরের সংখ্যা সমানুপাতে আছে?

উত্তর –

(a)

লাল রঙের ঘরের সংখ্যা = 27

নীল রঙের ঘরের সংখ্যা = 6

 লাল ও নীল রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত = 27 : 6 = 9 : 2

(b)

বাদামি রঙের ঘরের সংখ্যা = 36

বেগুনি রঙের ঘরের সংখ্যা = 39

বাদামি ও বেগুনি রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত = 36 : 39 = 12 : 13

(c)

লাল রঙের ঘরের সংখ্যা = 27

সবুজ রঙের ঘরের সংখ্যা = 18

লাল ও সবুজ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত = 27 : 18 = 3 : 2

(d)

বাদামি রঙের ঘরের সংখ্যা = 36

হলুদ রঙের ঘরের সংখ্যা = 24

বাদামি ও হলুদ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত = 36 : 24 = 3 : 2

(e)

লাল রঙের ঘরের সংখ্যা = 27

সবুজ রঙের ঘরের সংখ্যা = 18

বাদামি রঙের ঘরের সংখ্যা = 36

হলুদ রঙের ঘরের সংখ্যা = 24

লাল : সবুজ : বাদামি : হলুদ = 27 : 18 ::  36 : 24 = 3 : 2 :: 3 : 2 সুতরাং, লাল, সবুজ, বাদামি ও হলুদ রঙের ঘরের সংখ্যা সমানুপাতে আছে।

9. দুটি শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত 2:5 ও 6:10; কোনটি বেশি মিষ্টি দেখি।

উত্তর –

প্রথম শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত 2 : 5

দ্বিতীয় শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত 6 : 10

এখন, 2:5=\frac{2}{5}=0.40 এবং 6:10=\frac{6}{10}=0.60

সুতরাং, 2 : 5 < 6 : 10

অর্থাৎ, দ্বিতীয় শরবতটি বেশি মিষ্টি।

10. জল জমে বরফ হলে আয়তন 10% বাড়ে। কিছু পরিমাণ জল ও তা থেকে বরফের আয়তনের অনুপাত কত লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, জল ছিল একক।

জল জমে বরফ হলে আয়তন 10% বাড়ে। সুতরাং, বরফের পরিমাণ হবে = (100 + 10) = 110 একক।

সুতরাং, জল ও তা থেকে বরফের আয়তনের অনুপাত = 100 : 110 = 10 : 11

11. আমার বয়স 12 বছর ও আমার বাবার বয়স 42 বছর। দুজনের বয়সের অনুপাত কত দেখি।

উত্তর –

আমার বয়স : আমার বাবার বয়স = 12 : 42 = 2 : 7

12. প্রিতমের গল্পের বই ও পড়ার বইয়ের সংখ্যার অনুপাত 2:5; প্রিতমের গল্পের বই 4 টি হলে পড়ার বই কতগুলি আছে হিসাব করি।

উত্তর –

প্রিতমের গল্পের বই ও পড়ার বইয়ের সংখ্যার অনুপাত 2:5

∴ প্রিতমের পড়ার বই আছে = 4\times \frac{5}{2}=10 টি।

13. মালা গাঁথার জন্য জবা ও গাঁদা ফুল মিলিয়ে মোট 105 টি ফুল তোলা হয়েছে। জবা ও গাঁদা ফুলের সংখ্যার অনুপাত 3:4; কতগুলি জবা ফুল ও কতগুলি গাঁদা ফুল আছে হিসাব করি। আর কতগুলি জবা ফুল দিলে দু-রকম ফুলের সংখ্যার অনুপাতটি সমান হবে দেখি?

উত্তর –

জবা ও গাঁদা ফুলের সংখ্যার অনুপাত 3:4

∴ জবা ফুলের আনুপাতিক ভাগহার = \frac{3}{3+4}=\frac{3}{7}

এবং গাঁদা ফুলের আনুপাতিক ভাগহার = \frac{4}{3+4}=\frac{4}{7}

∴ 105 টি ফুলের মধ্যে জবা ফুল আছে = \frac{3}{7}\times 105=45 টি

এবং 105 টি ফুলের মধ্যে জবা ফুল আছে = \frac{4}{7}\times 105=60 টি

দু-রকম ফুলের সংখ্যার অনুপাতটি সমান হবে যদি দু-রকম ফুলের সংখ্যা সমান হয়।

∴ আরও জবা ফুল লাগবে = (60 – 45) = 15 টি

14. নীচের ঘরে ইচ্চামতো পাঁচ ধরনের রং করি। পাঁচ ধরনের রং থেকে দুধরনের রঙের ঘর সংখ্যার অনুপাত লিখি। ওই অনুপাতগুলির কোণগুলি গুরু অনুপাত, কোণগুলি লঘু অনুপাত ও কোণগুলি সাম্যানুপাত লিখি। ওই অনুপাত থেকে যদি চার ধরনের রং করা ঘরের সংখ্যা সমানুপাতে থাকে তাহলে তা লিখি।

উত্তর –

নিজে কর।

;