নবম শ্রেণী – অধ্যায় ১২ : ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 12

1. ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; প্রমাণ করি যে, APCQ চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ × ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q।
প্রমাণ করতে হবে যে, APCQ চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ × ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
অঙ্কন – P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, AB ও DC –এর মধ্যবিন্দু P ও Q
সুতরাং, AP = ½ AB = ½ DC = QC
আবার, যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক
∴ AB || DE [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
∴ AP || QC∴ APCQ একটি সামান্তরিক।
আবার, যেহেতু AB || DC
∴ AP || DQ এবং AP = DQ [ যেহেতু, P, Q AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু , ABCD সামান্তরিক]
সুতরাং, চতুর্ভুজ APQD সামান্তরিক।
কিন্তু PB || QC এবং PB = QC
সুতরাং, চতুর্ভুজ PBCQ সামান্তরিক।
সামান্তরিক APQD –এর কর্ণ AQ
∴ △AQD = ½ সামান্তরিক APQD
আবার, যেহেতু, △AQD = △AQP
∴ △AQP = ½ সামান্তরিক APQD
সামান্তরিক PBQC –এর কর্ণ PC
∴ △PQC = ½ সামান্তরিক PBCQ
∴ AP = ½ AB = QC = ½ DC
∴ AP = QC [ যেহেতু, DC –এর মধ্যবিন্দু Q]
সামান্তরিক APCQ = △AQP + △PQC = ½ সামান্তরিক APQD + ½ সামান্তরিক PBCQ
= ½ সামান্তরিক (APQD + PBCQ) = ½ সামান্তরিক ABCD [প্রমাণিত ]

2. ABCD রম্বসের AB এবং DC বাহুর মধ্যের দূরত্ব PQ এবং AD ও BC বাহুর মধ্যে দূরত্ব RS; প্রমাণ করি যে, PQ = RS

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABCD রম্বসের AB এবং DC বাহুর মধ্যের দূরত্ব PQ এবং AD ও BC বাহুর মধ্যে দূরত্ব RS
প্রমাণ করতে হবে যে, PQ = RS
অঙ্কন – PQ⟂AB এবং RS⟂AD, AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করেছে।
প্রমাণ – রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে এবং তারফলে উৎপন্ন চারটি ত্রিভুজ সর্বসম হয়, অর্থাৎ, ABCD রম্বসের
△AOD ≅ △DOC ≅ △COB ≅ △AOB
সুতরাং, △AOD –এর ভূমি AD থেকে শীর্ষবিন্দু O –এর উচ্চতা
= △BOC –এর ভূমি BC থেকে শীর্ষবিন্দু O –এর উচ্চতা
= △DOC –এর ভূমি DC থেকে শীর্ষবিন্দু O –এর উচ্চতা
= △AOB –এর ভূমি AB থেকে শীর্ষবিন্দু O –এর উচ্চতা
অর্থাৎ, ½ RS = ½ RS = ½ PQ = ½ PQ
বা, RS = PQ [প্রমাণিত ]

3. ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; প্রমাণ করি যে, PBQD একটি সামান্তরিক এবং △PBC = ½ সামান্তরিক PBQD

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q। PD ও QB যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, PBQD একটি সামান্তরিক এবং △PBC = ½ সামান্তরিক PBQD।
অঙ্কন – P, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, AB ও DC –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q
∴ PB = ½ AB, DQ = ½ CD
আবার, ABCD একটি সামান্তরিক
∴AB || CD এবং AB = CD
সুতরাং, PBQD চতুর্ভুজের PB || QD এবং PB = QD
∴ PBQD একটি সামান্তরিক।
আবার, △PBC এবং সামান্তরিক PBQD –একই ভূমি PB এবং একই সমান্তরাল যুগল PB ও DC –এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ △PBC = ½ সামান্তরিক PBQD [প্রমাণিত ]

4. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC এবং বর্ধিত BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে AB এবং AC বাহুর উপর যথাক্রমে PQ ও PR লম্ব। B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BS; প্রমাণ করি যে, PQ – PR = BS.

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC এবং বর্ধিত BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে AB এবং AC বাহুর উপর যথাক্রমে PQ ও PR লম্ব। B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BS।
প্রমাণ করতে হবে যে, PQ – PR = BS.
অঙ্কন – A, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – △ABP –এর ক্ষেত্রফল = ½ × AB × PQ
△ABC –এর ক্ষেত্রফল = ½ × AC × BS
△ACP –এর ক্ষেত্রফল = ½ × AC × PR
অর্থাৎ, ½ × AB × PQ = ½ × AC × BS + ½ × AC × PR
বা, ½ × AB × PQ = ½ × AC × (BS + PR)
বা, PQ = BS + PR [ যেহেতু, AB = AC]
বা, PQ – PR = BS [প্রমাণিত ]

5. ABC সমবাহু ত্রিভুজের বাইরে এবং ABC কৌনিক অঞ্চলের মধ্যে O যেকোনো একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে AB, BC এবং CA বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP, OQ এবং OR; প্রমাণ করি যে, ত্রিভুজটির উচ্চতা =  OP + OQ – OR

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABC সমবাহু ত্রিভুজের বাইরে এবং ABC কৌনিক অঞ্চলের মধ্যে O যেকোনো একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে AB, BC এবং CA বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP, OQ এবং OR।
প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC –এর উচ্চতা = OP + OQ – OR
অঙ্কন – BC –এর উপর AX লম্ব অঙ্কন করা হল। OA, OB ও OC যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – △AOB + △OBC – △OAC = △ABC
বা, ½ × AB × OP + ½ × BC × OQ – ½ × AC × OR = ½ × BC × AX
বা, ½ × BC × OP + ½ × BC × OQ – ½ × BC × OR = ½ × BC × AX
বা, ½ × BC × (OP + OQ – OR) = ½ × BC × AX
বা, OP + OQ – OR = AX = △ABC –এর উচ্চতা
সুতরাং, △ABC –এর উচ্চতা = OP + OQ – OR [প্রমাণিত]

6. ABCD সামান্তরিকের AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AD, AC এবং BC-কে বা তাদের বর্ধিত অংশকে যথাক্রমে E, F ও G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, △AEG = △AFD.

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABCD সামান্তরিকের AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AD, AC এবং BC-কে বা তাদের বর্ধিত অংশকে যথাক্রমে E, F ও G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, △AEG = △AFD
প্রমাণ – ABCD –এর কর্ণ AC –এর বর্ধিতাংশ AB –এর সমান্তরাল EF –কে F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ AC = CF [ C, AF –এর মধ্যবিন্দু] এবং EF || DC [ কারণ উভয়েই AB –এর সমান্তরাল]
সুতরাং, △AEF –এর D, AE –এর মধ্যবিন্দু এবং G, EF –এর মধ্যবিন্দু।
∴ △AEF –এর মধ্যমা FD ও AG
কোনো ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজটিকে সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট দুটি অংশে বিভক্ত করে। সুতরাং, ত্রিভুজের মধ্যমা সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুসারে,
△AFG = △AFD [প্রমাণিত ]

7. ABCD সামান্তরিকের DC বাহুর উপর E যেকোনো একটি বিন্দু। বর্ধিত AE, বর্ধিত BC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। D, F যুক্ত করা হলো। প্রমাণ করি যে, (i) △ADF = △ABD. (ii) △DEF = △BED

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABCD সামান্তরিকের DC বাহুর উপর E যেকোনো একটি বিন্দু। বর্ধিত AE, বর্ধিত BC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। D, F যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ করতে হবে যে, (i) △ADF = △ABD. (ii) △DEF = △BED
প্রমাণ – △ADF ও সামান্তরিক ABCD একই ভূমি AD এবং একই সমান্তরাল যুগল AD ও BF –এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ △ADF = ½ ABCD
আবার, △ABE ও সামান্তরিক ABCD একই ভূমি AB এবং একই সমান্তরাল যুগল AB ও DC –এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ △ABE = ½ ABCD
সুতরাং, △ADF = △ABE [(i) প্রমাণিত]
আবার, △BEC + △AED = ½ সামান্তরিক ABCD
∴ △BEC + △AED = △ADF
বা, △BEC + △AED = △AED + △DEF
বা, △BEC = △DEF
∴ △DEF = △BEC [(ii) প্রমাণিত]

8. সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ABC এবং ABD দুটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র AB বাহুর বিপরীত দিকে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, AB, CD-কে সমদ্বিখন্ডিত করে।

9. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; CDEF সামান্তরিকটি BC বাহু এবং A বিন্দু  দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, △ABC = সামান্তরিক CDEF

10. ABCD সামান্তরিকের BD কর্ণের উপর P যেকোনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করি যে, △APD = △CPD

11. ABC ত্রিভুজের AD এবং BE মধ্যমা। প্রমাণ করি যে, △ACD = △BCE

12. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB এবং AC বাহুকে যথাক্রমে P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে। CP এবং BQ পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে,
(i) △BPQ = △CPQ  (ii) △BCP = △BCQ  (iii) △ACP = △ABQ  (iv) △BXP = △CXQ

13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু। P, A যুক্ত করি। D বিন্দু দিয়ে PA সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা AB বাহুকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে,
(i) △ADQ = △PDQ  (ii) △BPQ = ½ △ABC

14. ABC ত্রিভুজে AB=AC; B ও C বিন্দু থেকে AB ও AC বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে AC ও AB বাহুকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, FE∥BC

15. ABC ত্রিভুজে ∠ABC=∠ACB; ∠ABC ও ∠ACB কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় AC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, FE∥BC

16. সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ABCD ও AEFG সামান্তরিক আকারের ক্ষেত্র দুটির ∠A সাধারণ এবং E, AB বাহুর উপর অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, DE∥FC

17. ABCD একটি সামান্তরিক এবং ABCE একটি চতুর্ভুজ। AC কর্ণ ABCE চতুর্ভুজ আকারের ক্ষেত্রটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে। প্রমাণ করি যে, AC∥DE

18. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; P এবং Q যথাক্রমে BC ও BA বাহুর উপর এমনভাবে অবস্থিত যে, △BPQ = ½ △ABC; প্রমাণ করি যে, DQ∥PA

19. ABCD সামান্তরিকের AB, BC, CD এবং DA বাহুর মধ্যবিন্দু E, F, G ও H; প্রমাণ করি যে,
(i) EFGH একটি সামান্তরিক
(ii) EFGH সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।

20. ABCD ট্রাপিজিয়ামের  AB∥DC এবং BC বাহুর মধ্যবিন্দু E; প্রমাণ করি যে, AED ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ × ABCD ট্রাপেজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

21. বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) △ABC এর BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু D, E ও F; যদি △ABC = 16 বর্গ সেমি হয় তাহলে FBCE ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 40 বর্গ সেমি (b) 8 বর্গ সেমি (c) 12 বর্গ সেমি (d) 100 বর্গ সেমি

(ii) A, B, C, D যথাক্রমে PQRS সামান্তরিকের PQ, QR, RS, SP বাহুর মধ্যবিন্দু। PQRS সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সেমি হলে, ABCD ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 24 বর্গ সেমি (b) 18 বর্গ সেমি (c) 30 বর্গ সেমি (d) 36 বর্গ সেমি

(iii) ABCD সামান্তরিকের ভিতর O যে কোনো একটি বিন্দু। △AOB + △COD = 16 বর্গ সেমি হলে, ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 8 বর্গ সেমি (b) 4 বর্গ সেমি (c) 32 বর্গ সেমি (d) 64 বর্গ সেমি

(iv) ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D, BD বাহুর মধ্যবিন্দু E এবং AE-এর মধ্যবিন্দু O; BOE ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) \frac13× ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (b) \frac14× ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(c) \frac16× ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (d) \frac18× ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(v) একটি সামান্তরিক আকারের ক্ষেত্র, একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র একই ভূমি ও একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের মধ্যে অবস্থিত এবং তাদের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে P, R ও T হলে,

(a) P = R = 2T  (b) P = R = T/2   (c) 2P = 2R = T   (d) P = R = T

22. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) ABCD সামান্তরিকের D বিন্দু থেকে AB বাহুর উপর লম্ব DE এবং B বিন্দু থেকে AD বাহুর উপর লম্ব BF; AB = 10 সেমি, AD = 8 সেমি এবং DE = 6 সেমি হলে, BF-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

(ii) ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। 100 বর্গ একক; BC বাহুর মধ্যবিন্দু P; ABP ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।

(iii) ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা এবং AC বাহুর উপর P এমন একটি বিন্দু যাতে △ADP-এর ক্ষেত্রফল : △ABD-এর ক্ষেত্রফল = 2 : 3 হয়। △PDC –এর ক্ষেত্রফল : △ABC-এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।

(iv) ABDE একটি সামান্তরিক। F, ED বাহুর মধ্যবিন্দু। ABD ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 20 বর্গ সেমি হলে, AEF ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।

(v) PQRSএকটি সামান্তরিক। X এবং Y যথাক্রমে PQ এবং SR বাহুর মধ্যবিন্দু।কর্ণ SQ যুক্ত করি। সামান্তরিক XQRY আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : QSR ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।

;