Table of Contents
কষে দেখি – 1.1
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/ কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
\left( i \right)\,{{x}^{2}}-7x+2 \left( ii \right)\,7{{x}^{5}}-x\left( x+2 \right)
\left( iii \right)\,2x\left( x+5 \right)+1 \left( iv \right)\,2x-1
উত্তর –
\[\left( i \right)\,{{x}^{2}}-7x+2\]
এই বহুপদী সংখ্যামালার চলরাশি x-এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত 2
সুতরাং, এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
\[\left( ii \right)\,7{{x}^{5}}-x\left( x+2 \right)\]
\[=7{{x}^{5}}-{{x}^{2}}-2x\]
এই বহুপদী সংখ্যামালার চলরাশি x-এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত 5
সুতরাং, এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
\[\left( iii \right)\,2x\left( x+5 \right)+1\]
\[=2{{x}^{2}}+10x+1\]
এই বহুপদী সংখ্যামালার চলরাশি x-এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত 2
সুতরাং, এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
\[\left( iv \right)\,2x-1\]
এই বহুপদী সংখ্যামালার চলরাশি x-এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত 1
সুতরাং, এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি a{{x}^{2}}+bx+c=0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
\left( i \right)\,x-1+\frac{1}{x}=6,\,\left( x\ne 0 \right) \left( ii \right)\,x+\frac{3}{x}={{x}^{2}},\left( x\ne 0 \right)
\left( iii \right)\,{{x}^{2}}-6\sqrt{x}+2=0 \left( iv \right)\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-4x+4
উত্তর –
\[\left( i \right)\,x-1+\frac{1}{x}=6\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}-x+1}{x}=6\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-x+1=6x\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-x+1-6x=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-7x+1=0\]
উপরোক্ত সমীকরণটিকে a{{x}^{2}}+bx+c=0আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে a=1, b=-7 এবং c=1
\[\left( ii \right)\,x+\frac{3}{x}={{x}^{2}}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+3}{x}={{x}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+3={{x}^{3}}\]
\[\Rightarrow -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+3=0\]
উপরোক্ত সমীকরণটিকে a{{x}^{2}}+bx+c=0আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়।
\[\left( iii \right)\,{{x}^{2}}-6\sqrt{x}+2=0\]
উপরোক্ত সমীকরণটিকে a{{x}^{2}}+bx+c=0আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়।
\[\left( iv \right)\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-4x+4\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-4x+4={{x}^{2}}-4x+4\]
ইহা একটি অভেদ।
3. {{x}^{6}}-{{x}^{3}}-2=0সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[{{x}^{6}}-{{x}^{3}}-2=0\]
\[\Rightarrow {{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}-{{x}^{3}}-2=0\]
ধরি, {{x}^{3}}=y
\[\therefore {{y}^{2}}-y-2=0\]
ইহা {{x}^{3}} ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4. (i) \left( a-2 \right){{x}^{2}}+3x+5=0সমীকরণটি a–এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
(ii) \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x},\left( x\ne 0,\,x\ne 4 \right)–কে a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a\ne 0 \right)দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x–এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
(iii)3{{x}^{2}}+7x+23=\left( x+4 \right)\left( x+3 \right)+2–কে a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a\ne 0 \right)দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।
(iv) {{\left( x+2 \right)}^{3}}=x\left( {{x}^{2}}-1 \right)সমীকরণটিকে a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a\ne 0 \right)দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং {{x}^{2}},\,x\]ও \[{{x}^{0}}–এর সহগ লিখি।
উত্তর –
(i) \[\left( a-2 \right){{x}^{2}}+3x+5=0\]
উপরোক্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি {{x}^{2}}-এর সহগ শূন্য হয়।
অর্থাৎ, a-2=0\Rightarrow a=2
\[{{\left( 2-2 \right)}^{2}}{{x}^{2}}+3x+5=0\]
\[\Rightarrow 3x+5=0\]
ইহা দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।<br>সুতরাং, a=2 জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না
(ii)
\[\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}\]
\[\Rightarrow 3{{x}^{2}}=4-x\]
\[\Rightarrow 3{{x}^{2}}+x-4=0\]
ইহা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।<br>এখানে x-এর সহগ 1
(iii)
\[3{{x}^{2}}+7x+23=\left( x+4 \right)\left( x+3 \right)+2\]
\[\Rightarrow 3{{x}^{2}}+7x+23={{x}^{2}}+3x+4x+8+2\]
\[\Rightarrow 3{{x}^{2}}+7x+23={{x}^{2}}+7x+10\]
\[\Rightarrow 3{{x}^{2}}+7x+23-{{x}^{2}}-7x-10=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+0.x+13=0\]
উপরোক্ত সমীকরণটিকে a{{x}^{2}}+bx+c=0আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে a=2, b=0 এবং c=13
(iv)
\[{{\left( x+2 \right)}^{3}}=x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\]
\[\Rightarrow {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x+8={{x}^{3}}-x\]
\[\Rightarrow {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x+8-{{x}^{3}}+x=0\]
\[\Rightarrow 6{{x}^{2}}+13x+8=0\]
উপরোক্ত সমীকরণটি x2 এর সহগ 6, x এর সহগ 13 এবং x0 এর সহগ 8
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42–কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
উত্তর –
(i) মনেকরি, একটি অংশ x
∴ অপর অংশ = x2
প্রশ্নানুসারে,
\[{{x}^{2}}+x=42\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+x-42=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(ii) মনেকরি, যেকোনো যুগ্ম সংখ্যা 2x
∴ দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা (2x – 1) এবং (2x + 1)
প্রশ্নানুসারে,
\[\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)=143\]
\[\Rightarrow {{\left( 2x \right)}^{2}}-{{\left( 1 \right)}^{2}}=143\]
\[\Rightarrow 4{{x}^{2}}-1-143=0\]
\[\Rightarrow 4{{x}^{2}}-144=0\]
\[\Rightarrow 4\left( {{x}^{2}}-36 \right)=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-36=0\]
\[\therefore {{x}^{2}}+0.x-36=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iii) মনেকরি, ক্রমিক সংখ্যা দুটি x এবং (x + 1)
প্রশ্নানুসারে,
\[{{x}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}=313\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+{{x}^{2}}+2x+1=313\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+2x+1-313=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+2x-312=0\]
\[\Rightarrow 2\left( {{x}^{2}}+x-156 \right)=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+x-156=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যের দূরত্ব 300 কিমি। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি হলে, রতন মাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার।
উত্তর –
(i) মনেকরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (x + 3) মিটার
এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( x+3 \right)}^{2}}} মিটার
প্রশ্নানুসারে,
\[\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( x+3 \right)}^{2}}}=15\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( x+3 \right)}^{2}}={{\left( 15 \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+{{x}^{2}}+6x+9=225\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+6x+9-225=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+6x-216=0\]
\[\Rightarrow 2\left( {{x}^{2}}+3x-108 \right)=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+3x-108=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(ii) মনেকরি, ওই ব্যক্তি 80 টাকায় x কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন।
∴ প্রতি কিগ্রা চিনির দাম = \frac{80}{x}টাকা
ওই টাকায় 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেলে চিনির পরিমাণ হয় (x + 4)কিগ্রা
সেক্ষেত্রে প্রতি কিগ্রা চিনির দাম = \frac{80}{x+4}টাকা
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{80}{x}-\frac{80}{x+4}=1\]
\[\Rightarrow \frac{80\left( x+4 \right)-80x}{x\left( x+4 \right)}=1\]
\[\Rightarrow \frac{80x+320-80x}{{{x}^{2}}+4x}=1\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+4x=320\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+4x-320=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iii) মনেকরি, ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় x কিমি
∴ x কিমি/ ঘণ্টা বেগে 300 কিমি দূরত্ব যেতে সময় লাগবে = \frac{300}{x}ঘণ্টা
ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির গতিবেগ হবে (x + 5) কিমি/ ঘণ্টা
∴ (x + 5) কিমি/ ঘণ্টা বেগে 300 কিমি দূরত্ব যেতে সময় লাগবে = \frac{300}{x+5}ঘণ্টা
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=2\]
\[\Rightarrow \frac{300x+1500-300x}{x\left( x+5 \right)}=2\]
\[\Rightarrow \frac{1500}{{{x}^{2}}+5x}=2\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+10x=1500\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+10x-1500=0\]
\[\Rightarrow 2\left( {{x}^{2}}+5x-750 \right)=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+5x-750=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iv) মনেকরি, মনেকরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য x টাকা
তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা লাভ হলে তাঁর শতকরা x টাকা লাভ হয়েছিল।
সুতরাং, তাঁর লাভ হয়েছিল = x\times \frac{x}{100}=\frac{{{x}^{2}}}{100}টাকা
∴ ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ = x+\frac{{{x}^{2}}}{100}টাকা
প্রশ্নানুসারে,
\[x+\frac{{{x}^{2}}}{100}=336\]
\[\Rightarrow \frac{100x+{{x}^{2}}}{100}=336\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+100x=33600\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+100x-33600=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(v) মনেকরি, নৌকার বেগ ঘণ্টায় x কিমি
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার আপেক্ষিক বেগ = (x + 2) কিমি/ ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার আপেক্ষিক বেগ = (x – 2) কিমি/ ঘণ্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি যেতে সময় লাগে = \frac{21}{x+2}ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি যেতে সময় লাগে = \frac{21}{x-2} ঘণ্টা
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10\]
\[\Rightarrow \frac{21\left( x-2 \right)+21\left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}=10\]
\[\Rightarrow \frac{21x-42+21x+42}{{{x}^{2}}-4}=10\]
\[\Rightarrow 10{{x}^{2}}-40=42x\]
\[\Rightarrow 10{{x}^{2}}-42x-40=0\]
\[\Rightarrow 2\left( 5{{x}^{2}}-21x-20 \right)=0\]
\[\Rightarrow 5{{x}^{2}}-21x-20=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(vi) মনেকরি, আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিমের সময় লাগে x ঘণ্টা
∴ মজিদের সময় লাগে (x + 3) ঘণ্টা
আবার, মনেকরি, বাগান পরিষ্কার করার কাজটি 1 অংশ
∴ মহিম 1 ঘণ্টায় কাজ করে = \frac{1}{x}অংশ
এবং মজিদ 1 ঘণ্টায় কাজ করে = \frac{1}{x+3}অংশ
সুতরাং, মহিম ও মজিদ একত্রে 1 ঘণ্টায় কাজ করে = \left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+3} \right) অংশ
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \frac{x+3+x}{x\left( x+3 \right)}=\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \frac{2x+3}{{{x}^{2}}+3x}=\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+3x=4x+6\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+3x-4x+6=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-x+6=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(vii) মনেকরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি x
∴ একক স্থানীয় অঙ্কটি (x + 6)
সুতরাং, সংখ্যাটি হল (10x + x + 6)
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x(x + 6)
প্রশ্নানুসারে,
\[x\left( x+6 \right)=\left( 10x+x+6 \right)-12\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+6x=11x+6-12\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+6x-11x+6=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(viii) মনেকরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া
∴ রাস্তাসহ মাঠটির দৈর্ঘ্য = (45 + 2x) মিটার
এবং প্রস্থ =(40 + 2x) মিটার
রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (45 + 2x) (40 + 2x) বর্গমিটার
রাস্তা বাদে মাঠটির ক্ষেত্রফল = 45 × 40 বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (45 + 2x) (40 + 2x) – 45 × 40 বর্গমিটার
প্রশ্নানুসারে,
\[\left( 45+2x \right)\left( 40+2x \right)-45\times 40=450\]
\[\Rightarrow 1800+90x+80x+2{{x}^{2}}-1800=450\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+170x-450=0\]
\[\Rightarrow 2\left( {{x}^{2}}+85x-225 \right)=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+85x-225=0\]
ইহাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
কষে দেখি – 1.2
1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি –
\left( i \right)\,{{x}^{2}}+x+1=0;\,\,\,1,-1 \left( ii \right)\,8{{x}^{2}}+7x=0;\,\,0,-2
\left( iii \right)\,x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6};\,\,\,\frac{5}{6},\frac{4}{3} \left( iv \right)\,{{x}^{2}}-\sqrt{3}x-6=0;\,\,\,-\sqrt{3},2\sqrt{3}
উত্তর –
\left( i \right)\,{{x}^{2}}+x+1=0
উপরোক্ত সমীকরণের বামপক্ষে x=1 বসিয়ে পাই,
{{1}^{2}}+1+1=3\ne 0
∴ x=1 সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না।
∴ 1 সমীকরণের বীজ নয়।
আবার, উপরোক্ত সমীকরণের বামপক্ষে x=1 বসিয়ে পাই,
\[{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( -1 \right)+1=1\ne 0\]
∴ x=1 সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না।<br>∴ -1 সমীকরণের বীজ নয়।
\[\left( ii \right)\,8{{x}^{2}}+7x=0\]
উপরোক্ত সমীকরণের বামপক্ষে x=0 বসিয়ে পাই,
\[8{{\left( 0 \right)}^{2}}+7\left( 0 \right)=0\]
∴ x=0 সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।
∴ 0 সমীকরণের বীজ।
আবার, উপরোক্ত সমীকরণের বামপক্ষে x=-2 বসিয়ে পাই,
\[8{{\left( -2 \right)}^{2}}+7\left( -2 \right)=32-14=18\ne 0\]
∴ x=-2 সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না।
∴ -2 সমীকরণের বীজ নয়।
\[\left( iii \right)\,x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}\]
উপরোক্ত সমীকরণের বামপক্ষে x=\frac{5}{6} বসিয়ে পাই,
\[\frac{5}{6}+\frac{6}{5}=\frac{25+36}{30}=\frac{61}{30}\ne 0\]
∴ x=\frac{5}{6}সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না।
∴ \frac{5}{6} সমীকরণের বীজ নয়।
আবার, উপরোক্ত সমীকরণের বামপক্ষে x=\frac{4}{3} বসিয়ে পাই,
\[\frac{4}{3}+\frac{3}{4}=\frac{16+9}{12}=\frac{25}{12}\ne 0\]
∴ x=\frac{4}{3}সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না।
∴ \frac{4}{3} সমীকরণের বীজ নয়।
\[\left( iv \right)\,{{x}^{2}}-\sqrt{3}x-6=0\]
উপরোক্ত সমীকরণের বামপক্ষে x=-\sqrt{3} বসিয়ে পাই,
\[{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}-\sqrt{3}\left( -\sqrt{3} \right)-6=3+3-6=0\]
∴ x=-\sqrt{3}সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।
∴ -\sqrt{3}[katex] সমীকরণের বীজ ।
আবার, উপরোক্ত সমীকরণের বামপক্ষে [katex]x=2\sqrt{3} বসিয়ে পাই,
\[{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}-\sqrt{3}\left( 2\sqrt{3} \right)-6=12-6-6=0\]
∴ x=2\sqrt{3}সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।
∴ 2\sqrt{3} সমীকরণের বীজ ।
2. (i) k-এর কোন মানের জন্য 7{{x}^{2}}+kx-3=0দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \frac{2}{3}হবে হিসাব করে লিখি।
(ii) k-এর কোন মানের জন্য {{x}^{2}}+ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ –a হবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
(i) যেহেতু, \frac{2}{3}, 7{{x}^{2}}+kx-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ
সুতরাং,
\[7{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+k\left( \frac{2}{3} \right)-3=0\]
\[\Rightarrow \frac{28}{9}+\frac{2}{3}k-3=0\]
\[\Rightarrow \frac{2}{3}k=3-\frac{28}{9}\]
\[\Rightarrow \frac{2}{3}k=\frac{27-28}{9}\]
\[\therefore k=-\frac{1}{9}\times \frac{3}{2}=-\frac{1}{6}\]
∴k=-\frac{1}{6}হলে 7{{x}^{2}}+kx-3=0দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \frac{2}{3}হবে
3. যদি a{{x}^{2}}+7x+b=0দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \frac{2}{3}এবং -3 হয় তবে a ও b –এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[a{{x}^{2}}+7x+b=0............(i)\]
(i)নং দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \frac{2}{3}এবং -3
সুতরাং, (i) নং সমীকরণে x=\frac{2}{3}বসিয়ে পাই,
\[a{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+7\left( \frac{2}{3} \right)+b=0\]
\[\Rightarrow \frac{4a}{9}+\frac{14}{3}+b=0\]
\[\Rightarrow 4a+42+9b=0\]
\[\Rightarrow 4a+9b=-42............(ii)\]
আবার, (i) নং সমীকরণে x=-3 বসিয়ে পাই,
\[a{{\left( -3 \right)}^{2}}+7\left( -3 \right)+b=0\]
\[\Rightarrow 9a-21+b=0\]
\[\Rightarrow 9a+b=21............(iii)\]
(ii) নং-কে 9 দ্বারা গুন করে পাই,
\[36a+81b=-378\]
(iii) নং-কে 4 দ্বারা গুন করে পাই,
\[36a+4b=84\]
এখন, (ii) - (iii) করে পাই,
\[36a+81b-36a-4b=-378-84\]
\[\Rightarrow 77b=-462\]
\[\therefore \,b=-\frac{462}{77}=-6\]
(iii) নং এ b-এর মান বসিয়ে পাই,
\[9a-6=21\]
\[\Rightarrow 9a=21+6=27\]
\[\Rightarrow a=\frac{27}{9}=3\]
সুতরাং, a=3 , b=-6
4. সমাধান করি –
\[\left( i \right)\,3{{y}^{2}}-20=160-2{{y}^{2}}\]
\[\left( ii \right)\,{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}=6x+47\]
\[\left( iii \right)\,\left( x-7 \right)\left( x-9 \right)=195\]
\[\left( iv \right)\,3x-\frac{24}{x}=\frac{x}{3},x\ne 0\]
\[\left( v \right)\,\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{15}{x},x\ne 0\]
\[\left( vi \right)\,10x-\frac{1}{x}=3,x\ne 0\]
\[\left( vii \right)\,\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{5}{x}+2=0,x\ne 0\]
\[\left( viii \right)\,\frac{\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)}+6\frac{\left( x-2 \right)}{\left( x-6 \right)}=1,x\ne -2,6\]
\[\left( ix \right)\,\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6},x\ne 3,-5\]
\[\left( x \right)\,\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2\frac{1}{12},x\ne 0,1\]
\[\left( xi \right)\,\frac{ax+b}{a+bx}=\frac{cx+d}{c+dx}\,\,\left[ a\ne b,\,c\ne d \right],\,x\ne -\frac{a}{b},-\frac{c}{d}\]
\[\left( xii \right)\,\left( 2x+1 \right)+\frac{3}{2x+1}=4,\,x\ne -\frac{1}{2}\]
\[\left( xiii \right)\,\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{3}+\frac{3}{x+1}-\frac{5}{6},\,x\ne -1\]
\[\left( xiv \right)\,\frac{12x+17}{3x+1}-\frac{2x+15}{x+7}=3\frac{1}{5},x\ne -\frac{1}{3},-7\]
\[\left( xv \right)\,\frac{x+3}{x-3}+6\left( \frac{x-3}{x+3} \right)=5,\,x\ne 3,-3\]
\[\left( xvi \right)\,\frac{1}{a+b+x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x},\,x\ne 0,-\left( a+b \right)\]
\[\left( xvii \right)\,{{\left( \frac{x+a}{x-a} \right)}^{2}}-5\left( \frac{x+a}{x-a} \right)+6=0,\,x\ne a\]
\[\left( xviii \right)\,\frac{1}{x}-\frac{1}{x+b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b},\,x\ne 0,-b\]
\[\left( xix \right)\,\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}+\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}+\frac{1}{\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)}=\frac{1}{6},\,x\ne 1,2,3,4\]
\[\left( xx \right)\,\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{2c}{x-c},\,x\ne a,b,c\]
\[\left( xxi \right)\,{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}+2 \right)x+2\sqrt{3}=0\]
উত্তর –
\[\left( i \right)\,3{{y}^{2}}-20=160-2{{y}^{2}}\]
\[\Rightarrow 3{{y}^{2}}+2{{y}^{2}}=160+20\]
\[\Rightarrow 5{{y}^{2}}=180\]
\[\Rightarrow {{y}^{2}}=36\]
\[\Rightarrow y=\pm \sqrt{36}=\pm 6\]
সুতরাং, y=6 , y=-6
\[\left( ii \right)\,{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}=6x+47\]
\[\Rightarrow 4{{x}^{2}}+4x+1+{{x}^{2}}+2x+1=6x+47\]
\[\Rightarrow 5{{x}^{2}}+6x+2=6x+47\]
\[\Rightarrow 5{{x}^{2}}+6x-6x=47-2\]
\[\Rightarrow 5{{x}^{2}}=45\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}=9\]
\[\therefore \,x=\pm \sqrt{9}=\pm 3\]
সুতরাং, x=3 , x=-3
\[\left( iii \right)\,\left( x-7 \right)\left( x-9 \right)=195\]
\[\Rightarrow \,{{x}^{2}}-9x-7x+63=195\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-16x+63-195=0\]
\[\Rightarrow \,{{x}^{2}}-16x-132=0\]
\[\Rightarrow \,{{x}^{2}}-\left( 22-6 \right)x-132=0\]
\[\Rightarrow \,{{x}^{2}}-22x+6x-132=0\]
\[\Rightarrow \,x\left( x-22 \right)+6\left( x-22 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-22 \right)\left( x+6 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-22=0\,\,or,\,\,x+6=0\]
\[\Rightarrow x=22\,\,or,\,x=-6\]
সুতরাং, x=22 , x=-6
\[\left( iv \right)\,3x-\frac{24}{x}=\frac{x}{3},x\ne 0\]
\[\Rightarrow \frac{3{{x}^{2}}-24}{x}=\frac{x}{3}\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}-72={{x}^{2}}\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}-{{x}^{2}}=72\]
\[\Rightarrow 8{{x}^{2}}=72\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}=9\]
\[\therefore x=\pm \sqrt{9}=\pm 3\]
সুতরাং, x=3 , x=-3
\[\left( v \right)\,\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{15}{x}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+9}{3x}=\frac{15}{x}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+9=45\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}=45-9\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}=36\]
\[\therefore \,x=\pm \sqrt{36}=\pm 6\]
সুতরাং, x=6 , x=-6
\[\left( vi \right)\,10x-\frac{1}{x}=3\]
\[\Rightarrow \frac{10{{x}^{2}}-1}{x}=3\]
\[\Rightarrow 10{{x}^{2}}-1=3x\]
\[\Rightarrow 10{{x}^{2}}-3x-1=0\]
\[\Rightarrow 10{{x}^{2}}-\left( 5-2 \right)x-1=0\]
\[\Rightarrow 10{{x}^{2}}-5x+2x-1=0\]
\[\Rightarrow 5x\left( 2x-1 \right)+1\left( 2x-1 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( 2x-1 \right)\left( 5x+1 \right)=0\]
\[Either,\,\left( 2x-1 \right)=0\,\,or,\left( 5x+1 \right)=0\]
\[\therefore x=\frac{1}{2}\,\,or,\,x=-\frac{1}{5}\]
সুতরাং, x=\frac{1}{2}\,,\,x=-\frac{1}{5}
\[\left( vii \right)\,\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{5}{x}+2=0,x\ne 0\]
\[\Rightarrow \frac{2-5x+2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}-5x+2=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}-\left( 4+1 \right)x+2=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}-4x-x+2=0\]
\[\Rightarrow 2x\left( x-2 \right)-1\left( x-2 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-2 \right)\left( 2x-1 \right)=0\]
\[Either,\,\left( x-2 \right)=0\,\,or,\left( 2x-1 \right)=0\]
\[\therefore x=2\,\,or,\,x=\frac{1}{2}\]
সুতরাং, x=2\,,\,x=\frac{1}{2}
\[\left( viii \right)\,\frac{\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)}+6\frac{\left( x-2 \right)}{\left( x-6 \right)}=1,x\ne -2,6\]
\[\Rightarrow \frac{6x-12}{x-6}=1-\frac{\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)}\]
\[\Rightarrow \frac{6x-12}{x-6}=\frac{x+2-x+2}{\left( x+2 \right)}\]
\[\Rightarrow \left( x+2 \right)\left( 6x-12 \right)=4\left( x-6 \right)\]
\[\Rightarrow 6{{x}^{2}}-12x+12x-24=4x-24\]
\[\Rightarrow 6{{x}^{2}}-4x=-24+24\]
\[\Rightarrow 2x\left( 3x-2 \right)=0\]
\[Either,\,\,2x=0\,\,or,\,\,3x-2=0\]
\[\therefore \,x=0\,\,or,\,x=\frac{2}{3}\]
সুতরাং, x=0\,,\,x=\frac{2}{3}
\[\left( ix \right)\,\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\]
\[\Rightarrow \frac{x+5-x+3}{\left( x-3 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{1}{6}\]
\[\Rightarrow \frac{8}{{{x}^{2}}+5x-3x-15}=\frac{1}{6}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+2x-15=48\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+2x-15-48=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+2x-63=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+\left( 9-7 \right)x-63=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+9x-7x-63=0\]
\[\Rightarrow x\left( x+9 \right)-7\left( x-9 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x+9 \right)\left( x-7 \right)=0\]
\[Either,\,\,x+9=0\,\,or,\,\,x-7=0\]
\[\therefore x=-9\,\,or,\,\,x=7\]
সুতরাং, x=-9\,,\,\,x=7
\[\left( x \right)\,\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2\frac{1}{12}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x\left( x+1 \right)}=\frac{25}{12}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}+x}=\frac{25}{12}\]
\[\Rightarrow \frac{2{{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}+x}=\frac{25}{12}\]
\[\Rightarrow 25{{x}^{2}}+25x=24{{x}^{2}}+24x+12\]
\[\Rightarrow 25{{x}^{2}}+25x-24{{x}^{2}}-24x-12=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+x-12=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+\left( 4-3 \right)x-12=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+4x-3x-12=0\]
\[\Rightarrow x\left( x+4 \right)-3\left( x+4 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x+4 \right)\left( x-3 \right)=0\]
\[Either,\,\,x+4=0\,\,or,\,\,x-3=0\]
\[\therefore \,x=-4\,\,or,\,\,x=3\]
সুতরাং, x=-4\,,\,\,x=3
\[\left( xi \right)\,\frac{ax+b}{a+bx}=\frac{cx+d}{c+dx}\,\]
\[\Rightarrow \left( ax+b \right)\left( c+dx \right)=\left( cx+d \right)\left( a+bx \right)\]
\[\Rightarrow acx+ad{{x}^{2}}+bc+bdx=acx+bc{{x}^{2}}+ad+bdx\]
\[\Rightarrow ad{{x}^{2}}+acx+bdx-acx-bc{{x}^{2}}-bdx=ad-bc\]
\[\Rightarrow ad{{x}^{2}}-bc{{x}^{2}}=ad-bc\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}\left( ad-bc \right)=ad-bc\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{ad-bc}{ad-bc}=1\]
\[\therefore \,x=\pm \sqrt{1}=\pm 1\]
সুতরাং, x=1,\,x=-1
\[\left( xii \right)\,\left( 2x+1 \right)+\frac{3}{2x+1}=4,\,x\ne -\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+3}{\left( 2x+1 \right)}=4\]
\[\Rightarrow 4{{x}^{2}}+4x+1+3=8x+4\]
\[\Rightarrow 4{{x}^{2}}+4x+4-8x-4=0\]
\[\Rightarrow 4{{x}^{2}}-4x=0\]
\[\Rightarrow 4x\left( x-1 \right)=0\]
\[Either,\,\,4x=0\,\,or,\,\,x-1=0\]
\[\therefore \,x=0\,\,or,\,\,x=1\]
সুতরাং,x=0\,,\,\,x=1
\[\left( xiii \right)\,\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{3}+\frac{3}{x+1}-\frac{5}{6},\]
\[\Rightarrow \frac{x+1}{2}-\frac{x+1}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x+1}\]
\[\Rightarrow \frac{3x+3-2x-2+5}{6}=\frac{3-2}{x+1}\]
\[\Rightarrow \frac{x+6}{6}=\frac{1}{x+1}\]
\[\Rightarrow \left( x+6 \right)\left( x+1 \right)=6\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+x+6x+6=6\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+7x+6-6=0\]
\[\Rightarrow x\left( x+7 \right)=0\]
\[Either,\,\,x=0\,\,or,\,\,x+7=0\]
\[\therefore \,x=0\,\,or,\,\,x=-7\]
সুতরাং,x=0\,,\,\,x=-7
\[\left( xiv \right)\,\frac{12x+17}{3x+1}-\frac{2x+15}{x+7}=3\frac{1}{5}\]
\[\Rightarrow \frac{\left( 12x+17 \right)\left( x+7 \right)-\left( 2x+15 \right)\left( 3x+1 \right)}{\left( 3x+1 \right)\left( x+7 \right)}=\frac{16}{5}\]
\[\Rightarrow \frac{12{{x}^{2}}+84x+17x+117-6{{x}^{2}}-2x-45x-15}{3{{x}^{2}}+21x+x+7}=\frac{16}{5}\]
\[\Rightarrow \frac{6{{x}^{2}}+54x+102}{3{{x}^{2}}+22x+7}=\frac{16}{5}\]
\[\Rightarrow 48{{x}^{2}}+352x+112=30{{x}^{2}}+270x+510\]
\[\Rightarrow 48{{x}^{2}}+352x-30{{x}^{2}}-270x-510+112=0\]
\[\Rightarrow 18{{x}^{2}}+82x-408=0\]
\[\Rightarrow 2\left( 9{{x}^{2}}+41x-204 \right)=0\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}+41x-204=0\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}+\left( 68-27 \right)x-204=0\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}+68x-27x-204=0\]
\[\Rightarrow x\left( 9x+68 \right)-3\left( 9x+68 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( 9x+68 \right)\left( x-3 \right)=0\]
\[Either,\,\,9x+68=0\,\,or,\,\,x-3=0\]
\[\therefore \,x=-\frac{68}{9}\,\,or,\,x=3\]
সুতরাং, x=-\frac{68}{9}\,,\,x=3
\[\left( xv \right)\,\frac{x+3}{x-3}+6\left( \frac{x-3}{x+3} \right)=5,\,x\ne 3,-3\]
\[\Rightarrow \frac{{{\left( x+3 \right)}^{2}}+6{{\left( x-3 \right)}^{2}}}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}=5\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+6x+9+6\left( {{x}^{2}}-6x+9 \right)}{{{x}^{2}}-9}=5\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+6x+9+6{{x}^{2}}-36x+54=5{{x}^{2}}-45\]
\[\Rightarrow 7{{x}^{2}}-30x+63-5{{x}^{2}}+45=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}-30x+108=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-15x+54=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-\left( 9+6 \right)x+54=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-9x-6x+54=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-9 \right)-6\left( x-9 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-9 \right)\left( x-6 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-9=0\,\,or,\,\,x-6=0\]
\[\therefore \,\,x=9\,\,or,\,\,x=6\]
সুতরাং,x=9\,,\,\,x=6
\[\left( xvi \right)\,\frac{1}{a+b+x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{a+b+x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\]
\[\Rightarrow \frac{x-a-b-x}{x\left( a+b+x \right)}=\frac{b+a}{ab}\]
\[\Rightarrow \frac{-\left( a+b \right)}{ax+bx+{{x}^{2}}}=\frac{a+b}{ab}\]
\[\Rightarrow \frac{-1}{ax+bx+{{x}^{2}}}=\frac{1}{ab}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+ax+bx=-ab\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+ax+bx+ab=0\]
\[\Rightarrow x\left( x+a \right)+b\left( x+a \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x+a \right)\left( x+b \right)=0\]
\[Either,\,\,x+a=0\,\,or,\,\,x+b=0\]
\[\therefore \,\,x=-a\,\,or,\,\,x=-b\]
সুতরাং, x=-a\,,\,\,x=-b
\[\left( xvii \right)\,{{\left( \frac{x+a}{x-a} \right)}^{2}}-5\left( \frac{x+a}{x-a} \right)+6=0\]
ধরি, \frac{x+a}{x-a}=p
\[\therefore \,\,{{p}^{2}}-5p+6=0\]
\[\Rightarrow {{p}^{2}}-\left( 3+2 \right)p+6=0\]
\[\Rightarrow {{p}^{2}}-3p-2p+6=0\]
\[\Rightarrow p\left( p-3 \right)-2\left( p-3 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( p-3 \right)\left( p-2 \right)=0\]
\[Either,\,\,p-3=0\,\,or,\,\,p-2=0\]
\[\therefore \,\,p=3\,\,or,\,\,p=2\]
যখন, p=3 তখন,
\[\frac{x+a}{x-a}=3\]
\[\Rightarrow 3x-3a=x+a\]
\[\Rightarrow 3x-x=a+3a\]
\[\Rightarrow 2x=4a\]
\[\therefore \,x=2a\]
আবার, যখন p=2 তখন,
\[\frac{x+a}{x-a}=2\]
\[\Rightarrow 2x-2a=x+a\]
\[\Rightarrow 2x-x=a+2a\]
\[\therefore \,x=3a\]
সুতরাং, x=2a,\,x=3a
\[\left( xviii \right)\,\frac{1}{x}-\frac{1}{x+b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}\]
\[\Rightarrow \frac{x+b-x}{x\left( x+b \right)}=\frac{a+b-a}{a\left( a+b \right)}\]
\[\Rightarrow \frac{b}{{{x}^{2}}+bx}=\frac{b}{a\left( a+b \right)}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}+bx}=\frac{1}{a\left( a+b \right)}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+bx=a\left( a+b \right)\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+bx-a\left( a+b \right)=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+\left\{ \left( a+b \right)-a \right\}x-a\left( a+b \right)=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+\left( a+b \right)x-ax-a\left( a+b \right)=0\]
\[\Rightarrow x\left( x+a+b \right)-a\left( x+a+b \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x+a+b \right)\left( x-a \right)=0\]
\[Either,\,\,x+a+b=0\,\,or,\,\,x-a=0\]
\[\therefore \,\,x=-\left( a+b \right)\,or,\,\,x=a\]
সুতরাং, x=-\left( a+b \right),\,\,x=a
\[\left( xix \right)\,\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}+\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}+\frac{1}{\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)}=\frac{1}{6}\]
\[\Rightarrow \frac{\left( x-1 \right)-\left( x-2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}+\frac{\left( x-2 \right)-\left( x-3 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}+\frac{\left( x-3 \right)-\left( x-4 \right)}{\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)}=\frac{1}{6}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}=\frac{1}{6}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{6}\]
\[\Rightarrow \frac{x-1-x+4}{\left( x-4 \right)\left( x-1 \right)}=\frac{1}{6}\]
\[\Rightarrow \frac{3}{{{x}^{2}}-x-4x+4}=\frac{1}{6}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-5x+4=18\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-5x-14=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-\left( 7-2 \right)x-14=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-7x+2x-14=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-7 \right)+2\left( x-7 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-7 \right)\left( x+2 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-7=0\,\,or,\,\,x+2=0\]
\[\therefore \,\,x=7\,\,or,\,\,x=-2\]
সুতরাং, x=7\,,\,\,x=-2
\[\left( xx \right)\,\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{2c}{x-c}\]
\[\Rightarrow \frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{c}{x-c}+\frac{c}{x-c}\]
\[\Rightarrow \frac{a}{x-a}-\frac{c}{x-c}=\frac{c}{x-c}-\frac{b}{x-b}\]
\[\Rightarrow \frac{ax-ac-cx+ac}{\left( x-a \right)\left( x-c \right)}=\frac{cx-bc-bx+bc}{\left( x-b \right)\left( x-c \right)}\]
\[\Rightarrow \frac{ax-cx}{\left( x-a \right)}=\frac{cx-bx}{\left( x-b \right)}\]
\[\Rightarrow x\left( a-c \right)\left( x-b \right)=x\left( c-b \right)\left( x-a \right)\]
\[\Rightarrow x\left( a-c \right)\left( x-b \right)-x\left( c-b \right)\left( x-a \right)=0\]
\[\Rightarrow x\left\{ ax-ab-cx+bc-cx+ac+bx-ab \right\}=0\]
\[\Rightarrow x\left\{ x\left( a+b-2c \right)-\left( 2ab-ac-bc \right) \right\}=0\]
\[Either,\,x=0\,\,or,\,x\left( a+b-2c \right)-\left( 2ab-ac-bc \right)=0\]
\[\therefore \,\,x=0\,\,or,x=\frac{2ab-ac-bc}{a+b-2c}\]
সুতরাং, x=0\,,x=\frac{2ab-ac-bc}{a+b-2c}
\[\left( xxi \right)\,{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}+2 \right)x+2\sqrt{3}=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{3}x-2x+2\sqrt{3}=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-\sqrt{3} \right)-2\left( x-\sqrt{3} \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-\sqrt{3} \right)\left( x-2 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-\sqrt{3}=0\,\,or,\,\,x-2=0\]
\[\therefore \,\,x=\sqrt{3}\,\,or,\,\,x=2\]
সুতরাং, x=\sqrt{3}\,,\,\,x=2
কষে দেখি - 1.3
1. দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি একটি ছোটো ধনাত্মক সংখ্যা x
∴ বড়ো ধনাত্মক সংখ্যাটি (x + 3)
প্রশ্নানুসারে,
\[{{x}^{2}}+{{\left( x+3 \right)}^{2}}=117\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+{{x}^{2}}+6x+9=117\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+6x+9=117\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+6x+9-117=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}+6x-108=0\]
\[\Rightarrow 2\left( {{x}^{2}}+3x-54 \right)=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+3x-54=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+\left( 9-6 \right)x-54=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+9x-6x-54=0\]
\[\Rightarrow x\left( x+9 \right)-6\left( x+9 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x+9 \right)\left( x-6 \right)=0\]
\[Either,\,\,x+9=0\,\,or,\,\,x-6=0\]
\[\Rightarrow x=-9\,or,\,\,x=6\]
যেহেতু, x একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাই x=-9 অগ্রাহ্য
সুতরাং, ছোটো ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাটি = 6
এবং বড়ো ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাটি = (6 + 3) = 9
2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দিগুন অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
সুতরাং, উহার ভূমি = (2x + 18) মিটার
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ ×(2x + 18) × x বর্গমিটার
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1}{2}\times \left( 2x+18 \right)\times x=360\]
\[\Rightarrow \frac{1}{2}\times 2\left( x+9 \right)x=360\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+9x-360=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+\left( 24-15 \right)x-360=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+24x-15x-360=0\]
\[\Rightarrow x\left( x+24 \right)-15\left( x+24 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x+24 \right)\left( x-15 \right)=0\]
\[Either,\,\,x+24=0\,\,or,\,\,x-15=0\]
\[\therefore \,\,x=-24\,\,or,\,\,x=15\]
যেহেতু উচ্চতা কখনো ঋনাত্মক হতে পারে না তাই x=-24 অগ্রাহ্য।
সুতরাং, ত্রিভুজের উচ্চতা 24মিটার।
3. যদি একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুন অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি x
প্রশ্নানুসারে,
\[2{{x}^{2}}-3=5x\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}-5x-3=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}-\left( 6-1 \right)x-3=0\]
\[\Rightarrow 2{{x}^{2}}-6x+x-3=0\]
\[\Rightarrow 2x\left( x-3 \right)+1\left( x-3 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-3 \right)\left( 2x+1 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-3=0\,\,or,\,\,2x+1=0\]
\[\therefore \,\,x=3\,\,or,\,\,x=-\frac{1}{2}\]
যেহেতু, x অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা তাই, x=-\frac{1}{2}অগ্রাহ্য।
সুতরাং, অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি 3
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি; এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি মোটর গাড়ির গতিবেগ x কিমি/ ঘণ্টা
সুতরাং, জিপগাড়ির গতিবেগ (x + 5) কিমি/ ঘণ্টা
∴ 200 কিমি যেতে মোটর গাড়ির সময় লাগবে = \frac{200}{x}ঘণ্টা
এবং 200 কিমি যেতে জিপ গাড়ির সময় লাগবে = \frac{200}{x+5}ঘণ্টা
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=2\]
\[\Rightarrow \frac{200x+1000-200x}{x\left( x+5 \right)}=2\]
\[\Rightarrow \frac{1000}{{{x}^{2}}+5x}=2\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+5x=500\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+5x-500=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+\left( 25-20 \right)x-500=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+25x-20x-500=0\]
\[\Rightarrow x\left( x+25 \right)-20\left( x+25 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x+25 \right)\left( x-20 \right)=0\]
\[Either,\,\,x+25=0\,\,or,\,\,x-20=0\]
\[\therefore \,\,x=-25\,\,or,\,\,x=20\]
যেহেতু, গতিবেগ ঋনাত্মক হতে পারে না তাই, x=-25 অগ্রাহ্য।
সুতরাং, মোটর গাড়ির গতিবেগ 20 কিমি/ ঘণ্টা
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য x মিটার
সুতরাং, প্রস্থ = (ক্ষেত্রফল / দৈর্ঘ্য) = \frac{2000}{x}মিটার
আয়তক্ষেত্রাকার জমির পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2\left( x+\frac{2000}{x} \right)মিটার
প্রশ্নানুসারে,
\[2\left( x+\frac{2000}{x} \right)=180\]
\[\Rightarrow x+\frac{2000}{x}=90\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+2000}{x}=90\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+2000=90x\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-90x+2000=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-\left( 50+40 \right)x+2000=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-50x-40x+2000=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-50 \right)-40\left( x-50 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-50 \right)\left( x-40 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-50=0\,\,or,\,\,x=40\]
\[\therefore \,\,x=50\,\,or,\,\,x=40\]
যেহেতু, দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা বড়ো হয়
∴ দৈর্ঘ্য = 50 মিটার এবং প্রস্থ = \frac{2000}{50}=40মিটার
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক x
∴ দশকের ঘরের অঙ্ক x – 3
সুতরাং, দুই অঙ্কের সংখ্যাটি হল = 10(x – 3) + x
প্রশ্নানুসারে,
\[10\left( x-3 \right)+x-x\left( x-3 \right)=15\]
\[\Rightarrow 10x-30+x-{{x}^{2}}+3x=15\]
\[\Rightarrow -{{x}^{2}}+14x-30-15=0\]
\[\Rightarrow -{{x}^{2}}+14x-45=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-14x+45=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-\left( 9+5 \right)x+45=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-9x-5x+45=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-9 \right)-5\left( x-9 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-9 \right)\left( x-5 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-9=0\,\,or,\,\,x-5=0\]
\[\therefore \,\,x=9\,\,or,\,\,x=5\]
সুতরাং, এককের ঘরের অঙ্কটি 5 অথবা 9।
7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 11\frac{1}{9} মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, প্রথম নল দিয়ে x মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করা যায়।
তাহলে দ্বিতীয় নলটি চৌবাচ্চাটি (x + 5) মিনিটে পূর্ণ করে।
প্রথম নলটি 1 মিনিটে পূর্ণ করে \frac{1}{x}অংশ
দ্বিতীয় নলটি 1 মিনিটে পূর্ণ করে \frac{1}{x+5}অংশ
∴ নল দুটি একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে \left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5} \right)অংশ
∴ নল দুটি একত্রে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে = \frac{1}{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5} \right)} মিনিটে
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1}{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5} \right)}=11\frac{1}{9}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{\frac{x+5+x}{x\left( x+5 \right)}}=\frac{100}{9}\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+5x}{2x+5}=\frac{100}{9}\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}+45x=200x+500\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}+45x-200x-500=0\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}-155x-500=0\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}-\left( 180-25 \right)x-500=0\]
\[\Rightarrow 9{{x}^{2}}-180x+25x-500=0\]
\[\Rightarrow 9x\left( x-20 \right)+25\left( x-20 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-20 \right)\left( x+25 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-20=0\,\,or,\,\,x+25=0\]
\[\therefore \,\,x=20\,\,or,\,\,x=-25\]
কিন্তু, x=-25 অগ্রাহ্য কারন সময় ঋনাত্মক হয় না।
সুতরাং, প্রথম নলটি চৌবাচ্চাটিকে 20 মিনিটে এবং দ্বিতীয় নলটি (20 + 5) = 25 মিনিটে পূর্ণ করবে।
8. পর্ণা ও পীযূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিন সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্নার যে সময় লাগবে পীযূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্না একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, পর্না কাজটি x দিনে শেষ করতে পারে।
তাহলে পীযূষ ওই কাজটি (x + 6) দিনে শেষ করবে।
পর্না 1দিনে কাজ করে \frac{1}{x}অংশ
পীযূষ 1দিনে কাজ করে \frac{1}{x+6}অংশ
∴ তাঁরা দুজনে একত্রে 1দিনে কাজ করে \left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right)অংশ
∴ তাঁরা সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করবে = \frac{1}{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right)}দিনে
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1}{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right)}=4\]
\[\Rightarrow \frac{1}{\frac{x+6+x}{x\left( x+6 \right)}}=4\]
\[\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+6x}{2x+6}=4\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+6x=8x+24\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}+6x-8x-24=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-24=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-\left( 6-4 \right)x-24=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-6x+4x-24=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-6 \right)+4\left( x-6 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-6 \right)\left( x+4 \right)=0\]
\[Either\,\,x-6=0\,\,or,\,\,x+4=0\]
\[\therefore \,\,x=6\,\,or,\,\,x=-4\]
কিন্তু, x=-4 অগ্রাহ্য কারন সময় ঋনাত্মক হয় না।
সুতরাং, পর্না একাকী 6 দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে।
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল x টাকা
∴ 30 টাকায় কলম পাওয়া যেত \frac{30}{x} ডজন
কলমের মূল্য কমায় এখন প্রতি ডজন কলমের মূল্য = (x – 6) টাকা
∴ এখন 30 টাকায় কলম পাওয়া যায় = \frac{30}{x-6}ডজন
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{30}{x-6}-\frac{30}{x}=\frac{3}{12}\]
\[\Rightarrow \frac{30x-30x+180}{x\left( x-6 \right)}=\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow \frac{180}{{{x}^{2}}-6x}=\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-6x=720\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-6x-720=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-\left( 30-24 \right)x-720=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-30x+24x-720=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-30 \right)+24\left( x-30 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-30 \right)\left( x+24 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-30=0\,\,or,\,\,x+24=0\]
\[\therefore \,\,x=30\,\,or,\,\,x=-24\]
কিন্তু, x=-24 অগ্রাহ্য কারন মূল্য ঋনাত্মক হয় না।
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহূবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা
(a) একটি (b) দুটি (c) তিনটি (d) কোনোটিই নয়
(ii) a{{x}^{2}}+bx+c=0দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
(a) b≠0 (b) c≠0 (c) a≠0 (d) কোনোটিই নয়
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) কোনোটিই নয়
(iv) 4\left( 5{{x}^{2}}-7x+2 \right)=5\left( 4{{x}^{2}}-6x+3 \right)সমীকরণটি
(a) রৈখিক (b) দ্বিঘাত (c) ত্রিঘাত (d) কোনোটিই নয়
(v) \frac{{{x}^{2}}}{x}=6সমীকরণটির বীজ/ বীজদ্বয়
(a) 0 (b) 6 (c) 0 6 (d) -6
উত্তর –
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা (b) দুটি
(ii) a{{x}^{2}}+bx+c=0দ্বিঘাত সমীকরণ হলে (c) a≠0
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত (b) 2
(iv)
\[4\left( 5{{x}^{2}}-7x+2 \right)=5\left( 4{{x}^{2}}-6x+3 \right)\]
\[\Rightarrow 20{{x}^{2}}-28x+8=20{{x}^{2}}-30x+15\]
\[\Rightarrow 20{{x}^{2}}-28x+8-20{{x}^{2}}+30x-15=0\]
\[\Rightarrow 2x+7=0\]
∴ সমীকরণটি (a) রৈখিক
(B) নীচের বিবৃতিগুলির সত্য না মিথ্যা লিখি -
(i) {{\left( x-3 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-6x+9একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
(ii) {{x}^{2}}=25সমীকরণটির একটি মাত্র বীজ 5
উত্তর –
(i)
\[{{\left( x-3 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-6x+9\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-6x+9={{x}^{2}}-6x+9\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-6x+9-{{x}^{2}}+6x-9=0\]
\[\Rightarrow 0=0\]
সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
(ii)
\[{{x}^{2}}=25\]
\[\Rightarrow \,\,x=\pm \sqrt{25}\]
\[\Rightarrow \,\,x=\pm 5\]
{{x}^{2}}=25সমীকরণটির বীজ দুটি +5 এবং -5
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি -
(i) যদি a{{x}^{2}}+bx+c=0সমীকরণটির a=0 এবং b≠0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি __________ সমীকরণ।
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো ____________
(iii) {{x}^{2}}=6xসমীকরণটির বীজদ্বয় _________ ও _________
উত্তর –
(i) যদি a{{x}^{2}}+bx+c=0সমীকরণটির a=0 এবং b≠0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ।
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো
\[\left( x-1 \right)\left( x-1 \right)={{x}^{2}}-2x+1\]
(iii)
\[{{x}^{2}}=6x\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-6x=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-6 \right)=0\]
\[Either\,\,x=0\,\,or,\,\,x-6=0\]
\[\therefore \,\,x=0\,\,or,\,\,x=6\]
{{x}^{2}}=6xসমীকরণটির বীজদ্বয় 0 ও 6
11. (i) {{x}^{2}}+ax+3=0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a-এর মান নির্ণয় করি।
(ii) {{x}^{2}}-\left( 2+b \right)x+6=0সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
(iii)2{{x}^{2}}+kx+4=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনোন্যকের অন্তর \frac{9}{20}; সমীকরণটি লিখি।
(v) a{{x}^{2}}+bx+35=0সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, a ও b-এর মান লিখি।
উত্তর –
(i)
\[{{x}^{2}}+ax+3=0\]
সমীকরণের একটি বীজ 1, তাই x=1 বসিয়ে পাই,
\[{{\left( 1 \right)}^{2}}+a\left( 1 \right)+3=0\]
\[\Rightarrow 1+a+3=0\]
\[\therefore a=-4\]
(ii)
\[{{x}^{2}}-\left( 2+b \right)x+6=0\]
সমীকরণের একটি বীজ 2, তাই x=2 বসিয়ে পাই,
\[{{\left( 2 \right)}^{2}}-\left( 2+b \right)\left( 2 \right)+6=0\]
\[\Rightarrow 4-4-2b+6=0\]
\[\Rightarrow -2b=-6\]
\[\therefore b=3\]
সমীকরণটিতে b এর মান বসিয়ে পাই,
\[{{x}^{2}}-\left( 2+3 \right)x+6=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-3x+6=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-2 \right)-3\left( x-2 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-2 \right)\left( x-3 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-2=0\,\,or,\,\,x-3=0\]
\[\therefore \,\,x=2\,\,or,\,\,x=3\]
∴ অপর বীজটির মান 3
(iii)
\[2{{x}^{2}}+kx+4=0\]
সমীকরণের একটি বীজ 2, তাই x=2 বসিয়ে পাই,
\[2{{\left( 2 \right)}^{2}}+k\left( 2 \right)+4=0\]
\[\Rightarrow 8+2k+4=0\]
\[\Rightarrow 2k=-12\]
\[\therefore \,k=-6\]
সমীকরণটিতে k এর মান বসিয়ে পাই,
\[2{{x}^{2}}-6x+4=0\]
\[\Rightarrow 2\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-\left( 2+1 \right)x+2=0\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-x+2=0\]
\[\Rightarrow x\left( x-2 \right)-1\left( x-2 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( x-2 \right)\left( x-1 \right)=0\]
\[Either,\,\,x-2=0\,\,or,\,\,x-1=0\]
\[\therefore \,\,x=2\,\,or,\,\,x=1\]
∴ অপর বীজটির মান 1
(iv) মনেকরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি = \frac{1}{x} এর অনোন্যক = x
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1}{x}-x=\frac{9}{20}\]
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।
(v)
\[a{{x}^{2}}+bx+35=0\]
সমীকরণের একটি বীজ -5, তাই x=-5 বসিয়ে পাই,
\[a{{\left( -5 \right)}^{2}}+b\left( -5 \right)+35=0\]
\[\Rightarrow 25a-5b=-35\]
\[\Rightarrow 5a-b=-7............\left( i \right)\]
সমীকরণের অপর বীজ -7, তাই x=-7 বসিয়ে পাই,
\[a{{\left( -7 \right)}^{2}}+b\left( -7 \right)+35=0\]
\[\Rightarrow 49a-7b=-35\]
\[\Rightarrow 7a-b=-5............\left( ii \right)\]
(i) নং সমীকরণকে দ্বারা 7 গুন করে পাই,
\[35a-7b=-49............\left( iii \right)\]
(ii) নং সমীকরণকে দ্বারা 5 গুন করে পাই,
\[35a-5b=-25............\left( iv \right)\]
(iv) - (iii) করে পাই,
\[2b=24\]
\[\therefore \,\,b=12\]
(i) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই,
\[5a-12=-7\]
\[\Rightarrow 5a=-7+12=5\]
\[\therefore \,\,a=1\]
সুতরাং, a = 1 এবং b = 12
;
