দশম শ্রেণী – অধ্যায় ১২ : গোলক সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি -12

Answers will come soon…

1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

গোলকটির ব্যাসার্ধ (r) = 10.5 সেমি
∴গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 4πr² বর্গ সেমি = 4\times \frac{22}{7}\times 10.5\times 10.5=1386 বর্গ সেমি।

2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, চামড়ার বলটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
∴ চামড়ার বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 4πr² বর্গ সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[4\pi {{r}^{2}}=\frac{431.20}{17.50}\]

\[\Rightarrow 4\times \frac{22}{7}\times {{r}^{2}}=\frac{43120}{1750}\]

\[\Rightarrow {{r}^{2}}=\frac{43120}{1750}\times \frac{1}{4}\times \frac{7}{22}=\frac{196}{100}\]

\[\therefore \,\,r=\sqrt{\frac{196}{100}}=\frac{14}{10}=1.4\]

∴ বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2r সেমি = (2 × 1.4) সেমি = 2.8 সেমি।

3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

সটপাট বলটির ব্যাসার্ধ (r) = \frac{7}{2}সেমি

∴ বলটির আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times \frac{7}{2}\times \frac{7}{2}\times \frac{7}{2}=\frac{539}{3}=179\frac{2}{3} ঘন সেমি

∴ বলটিতে 179\frac{2}{3}ঘন সেমি লোহা আছে।

4. 28 সেমি দৈর্ঘ্যে ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।

উত্তর –

নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = \frac{28}{2}=14সেমি

∴ নিরেট গোলকের আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times 14\times 14\times 14=\frac{34496}{3}=11498\frac{2}{3} ঘন সেমি

∴ গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে 11498\frac{2}{3} ঘন সেমি জল অপসারিত করবে।

5. কোনো গোলাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি থেকে 21 সেমি হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।

উত্তর –

বেলুনটির পূর্বের ব্যাসার্ধ (r₁) = 7 সেমি
∴ বেলুনটির পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 4π(r₁)² বর্গ সেমি = 4\times \frac{22}{7}\times 7\times 7 বর্গ সেমি

বেলুনটির পরের ব্যাসার্ধ (r₂) = 21 সেমি
∴ বেলুনটির পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 4π(r₂)² বর্গ সেমি = 4\times \frac{22}{7}\times 21\times 21 বর্গ সেমি

∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = \left( 4\times \frac{22}{7}\times 7\times 7 \right):\left( 4\times \frac{22}{7}\times 21\times 21 \right)=1:9

6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে127\frac{2}{7}বর্গ সেমি পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির মুখের ব্যাসার্ধ = r সেমি
যেহেতু বাটিটি নিরেট নয় তাই বাটি তৈরি করতে বক্রতলে পাত লাগে।
∴ বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr² বর্গ সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[2\pi {{r}^{2}}=127\frac{2}{7}\]

\[\Rightarrow 2\times \frac{22}{7}\times {{r}^{2}}=\frac{891}{7}\]

\[\Rightarrow {{r}^{2}}=\frac{891}{7}\times \frac{1}{2}\times \frac{7}{22}=\frac{81}{4}\]

\[\therefore \,\,r=\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{9}{2}=4.5\]

∴ বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2r সেমি = (2 × 4.5) সেমি = 9 সেমি।

7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1সেমি। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

উত্তর –

নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 2.1 সেমি

∴ নিরেট গোলকের আয়তন =\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times 2.1\times 2.1\times 2.1=38.808 ঘন সেমি

∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4\pi {{r}^{2}}=4\times \frac{22}{7}\times 2.1\times 2.1=55.44 বর্গ সেমি

∴ ওই গোলাটিতে 38.808 ঘন সেমি লোহা আছে এবং লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গ সেমি।

8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = \frac{14}{2}=7 সেমি

∴ গোলকের আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times 7\times 7\times 7 ঘন সেমি

∴ ছোটো নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি

∴ ছোটো নিরেট গোলকের আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times 3.5\times 3.5\times 3.5 ঘন সেমি

∴ নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে = \frac{\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times 7\times 7\times 7}{\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times 3.5\times 3.5\times 3.5}=8টি।

9. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামা গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

তিনটি নিরেট তামা গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি।
∴ তিনটি গোলকের আয়তন যথাক্রমে \frac{4}{3}\pi {{\left( 3 \right)}^{3}} ঘন সেমি, \frac{4}{3}\pi {{\left( 4 \right)}^{3}} ঘন সেমি ও \frac{4}{3}\pi {{\left( 5 \right)}^{3}} ঘন সেমি।

মনেকরি, বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
∴ বড়ো গোলকটির আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}} ঘন সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( 3 \right)}^{3}}+\frac{4}{3}\pi {{\left( 4 \right)}^{3}}+\frac{4}{3}\pi {{\left( 5 \right)}^{3}}\]

\[\Rightarrow \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \left\{ {{\left( 3 \right)}^{3}}+{{\left( 4 \right)}^{3}}+{{\left( 5 \right)}^{3}} \right\}\]

\[\Rightarrow {{r}^{3}}=27+64+125=216\]

\[\Rightarrow \,{{r}^{3}}={{\left( 6 \right)}^{3}}\]

\[\therefore \,\,r=6\]

∴ বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।

10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ (r) = \frac{42}{2}=21ডেসিমি = \frac{21}{10} মিটার

∴ গম্বুজটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল =4\pi {{r}^{2}}=4\times \frac{22}{7}\times \frac{21}{10}\times \frac{21}{10}=27.72 বর্গ মিটার

∴ গম্বুজটির উপরিতল রং করতে খরচ পড়বে = (27.72 × 35) টাকা = 970.20 টাকা = 970 টাকা 20 পয়সা।

11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি এবং 17.5 সেমি। গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।

উত্তর –

প্রথম গোলকটির ব্যাসার্ধ = \frac{21}{2} সেমি

∴ প্রথম গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4\pi {{\left( \frac{21}{2} \right)}^{2}} বর্গ সেমি

দ্বিতীয় গোলকটির ব্যাসার্ধ = \frac{17.5}{2} সেমি

∴ দ্বিতীয় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4\pi {{\left( \frac{17.5}{2} \right)}^{2}}বর্গ সেমি

গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত

\[=4\pi {{\left( \frac{21}{2} \right)}^{2}}:4\pi {{\left( \frac{17.5}{2} \right)}^{2}}\]

\[=\frac{21}{2}\times \frac{21}{2}:\frac{17.5}{2}\times \frac{17.5}{2}\]

\[=21\times 21:\frac{175}{10}\times \frac{175}{10}\]

\[=9:\frac{25}{4}\]

\[=36:25\]

12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

উত্তর –

মনেকরি, ধাতব গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক
∴ ধাতব গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = বর্গ একক

নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = বর্গ একক

প্রশ্নানুসারে,

\[\frac{4\pi {{R}^{2}}}{2}=4\pi {{r}^{2}}\]

\[\Rightarrow {{R}^{2}}=2{{r}^{2}}\]

\[\therefore \,\,R=r\sqrt{2}\]

∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত

\[=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}:\left( \frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}-\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}} \right)\]

\[=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}:\frac{4}{3}\pi \left( {{R}^{3}}-{{r}^{3}} \right)\]

\[={{r}^{3}}:\left\{ {{\left( r\sqrt{2} \right)}^{3}}-{{r}^{3}} \right\}\]

\[={{r}^{3}}:\left\{ 2\sqrt{2}{{r}^{3}}-{{r}^{3}} \right\}\]

\[={{r}^{3}}:\left( 2\sqrt{2}-1 \right){{r}^{3}}\]

\[=1:\left( 2\sqrt{2}-1 \right)\]

13. 14 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

উত্তর –

ভূগোলকটির ব্যাসার্ধ = 14 সেমি
∴ ভূগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4\pi {{\left( 14 \right)}^{2}}=4\times \frac{22}{7}\times 196=2464 বর্গ সেমি।

বৃত্তাকার ছিদ্রের ব্যাসার্ধ = 0.7 সেমি
∴ বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল = \pi {{\left( 0.7 \right)}^{2}}=\frac{22}{7}\times 0.49=1.54 বর্গ সেমি।
∴ দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল = (2 × 1.54) বর্গ সেমি = 3.08 বর্গ সেমি।

∴ ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল = (2464 – 3.08) বর্গ সেমি = 2460.92 বর্গ সেমি।

14. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = 8 সেমি
∴ নিরেট লোহার গোলকের আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{\left( 8 \right)}^{3}} ঘন সেমি।

নিরেট গুলির ব্যাসার্ধ = 1 সেমি
∴ নিরেট গুলির আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{\left( 1 \right)}^{3}} ঘন সেমি।

∴ নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে = \frac{\frac{4}{3}\pi {{\left( 8 \right)}^{3}}}{\frac{4}{3}\pi {{\left( 1 \right)}^{3}}}=512টি।

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন

(a) \frac{32\pi {{r}^{3}}}{3}ঘন একক         (b) \frac{16\pi {{r}^{3}}}{3} ঘন একক        (c) \frac{8\pi {{r}^{3}}}{3} ঘন একক  (d) \frac{64\pi {{r}^{3}}}{3} ঘন একক

উত্তর –

\frac{4}{3}\pi {{\left( 2r \right)}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \times 8{{r}^{3}}=\frac{32}{3}\pi {{r}^{3}}

সঠিক উত্তরটি হল – (a) \frac{32\pi {{r}^{3}}}{3}ঘন একক।

(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1:8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

(a) 1:2                (b) 1:4                (c) 1:8                (d) 1:16

উত্তর –

\[\frac{\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}}=\frac{1}{8}\]

\[\Rightarrow {{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{3}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}\]

\[\Rightarrow \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}=\frac{1}{2}\]

বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = \frac{4\pi r_{1}^{2}}{4\pi r_{1}^{2}}={{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (b) 1:4 ঘন একক।

(iii) 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

(a) 588π বর্গ সেমি           (b) 392π বর্গ সেমি          (c) 147π বর্গ সেমি           (d) 98π বর্গ সেমি

উত্তর –

নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3\pi {{r}^{2}}=3\pi {{\left( 7 \right)}^{2}}=147\pi বর্গ সেমি

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) 147π বর্গ সেমি ঘন একক।

(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত

(a) 64:27            (b) 4:3                (c) 27:64            (d) 3:4

উত্তর –

বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত =

\[\frac{4\pi r_{1}^{2}}{4\pi r_{1}^{2}}=\frac{16}{9}\]

\[\Rightarrow {{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}\]

\[\therefore \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}=\frac{4}{3}\]

∴ আয়তনের অনুপাত = \frac{\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}}={{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{3}}={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{3}}=\frac{64}{27}

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) 64:27 ।

(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুন আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য

(a) 1 একক         (b) 2 একক        (c) 3 একক         (d) 4 একক

উত্তর –

\[4\pi {{r}^{2}}=3\times \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\]

\[\Rightarrow r=1\]

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) 1 একক ।

(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুন হবে।

উত্তর –

নিরেট গোলকের আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}

ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে গোলকটির আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{\left( 2r \right)}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \times 8{{r}^{3}}=8\times \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}

∴ বক্তব্যটি – মিথ্যা।

(ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4:9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2:3

উত্তর –

\[\frac{2\pi r_{1}^{2}}{2\pi r_{2}^{2}}=\frac{4}{9}\]

\[\Rightarrow {{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}\]

\[\therefore \,\,\frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}=\frac{2}{3}\]

∴ বক্তব্যটি – সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একটি তল বিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম __________।

উত্তর – গোলক।

(ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ______।

উত্তর – 1টি।

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ________  πr² বর্গ একক।

উত্তর – 3\pi {{\left( 2r \right)}^{2}}=3\pi \times 4{{r}^{2}}=12\pi {{r}^{2}}।

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
∴ অর্ধগোলকের আয়তন = \frac{2}{3}\pi {{r}^{3}}ঘন একক।
∴ অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3\pi {{r}^{2}}বর্গ একক।

প্রশ্নানুসারে,

\[\frac{2}{3}\pi {{r}^{3}}=3\pi {{r}^{2}}\]

\[\Rightarrow r=3\times \frac{3}{2}=\frac{9}{2}=4.5\]

∴ অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4.5 একক।

(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4\pi {{r}^{2}}বর্গ সেমি।
চোঙটির ব্যাসার্ধ = \frac{12}{2}=6সেমি।
চোঙটির উচ্চতা = 12 সেমি।
∴ চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2\pi rh=2\pi \times 6\times 12=144\pi বর্গ সেমি।

প্রশ্নানুসারে,

\[4\pi {{r}^{2}}=144\pi \]

\[\Rightarrow \,{{r}^{2}}=\frac{144}{4}=36\]

\[\therefore \,\,r=\sqrt{36}=6\]

∴ গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 3\pi {{r}^{2}}বর্গ একক।

মনেকরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক।
∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4\pi {{R}^{2}} বর্গ একক।

প্রশ্নানুসারে,

\[3\pi {{r}^{2}}=4\pi {{R}^{2}}\]

\[\Rightarrow \frac{{{r}^{2}}}{{{R}^{2}}}=\frac{4}{3}\]

\[\Rightarrow \frac{r}{R}=\sqrt{\frac{4}{3}}\]

\[\therefore \frac{r}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}\]

∴ অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:\sqrt{3}।

(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে, \frac{{{S}^{3}}}{{{V}^{2}}}-এর মান কত তা লিখি। (π-এর মান না বসিয়ে )

উত্তর –

মনেকরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।

নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S=4\pi {{r}^{2}}

নিরেট গোলকের আয়তন = V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}

\[\therefore \frac{{{S}^{3}}}{{{V}^{2}}}=\frac{{{\left( 4\pi {{r}^{2}} \right)}^{3}}}{{{\left( \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}} \right)}^{2}}}=\frac{64{{\pi }^{3}}{{r}^{6}}}{\frac{16}{9}{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}}=\frac{64{{\pi }^{3}}{{r}^{6}}}{16{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}}\times 9=36\pi \]

(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল =4\pi {{r}^{2}}বর্গ একক।

নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = \left( r+r\times \frac{50}{100} \right)=\left( r+\frac{r}{2} \right)=\frac{3}{2}r একক।
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল =4\pi {{\left( \frac{3}{2}r \right)}^{2}}=4\pi \times \frac{9}{4}{{r}^{2}}=9\pi {{r}^{2}} বর্গ একক।

∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পায় = \frac{\left( 9\pi {{r}^{2}}-4\pi {{r}^{2}} \right)}{4\pi {{r}^{2}}}\times 100=\frac{5\pi {{r}^{2}}}{4\pi {{r}^{2}}}\times 100=125  

;