দশম শ্রেণী – অধ্যায় ১৩ : ভেদ সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 13

Answers will come soon…

1. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি

A	25	30	45	250
B	10	12	18	100

A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।

উত্তর –

এখানে, \frac{25}{10}=\frac{5}{2},\,\frac{30}{12}=\frac{5}{2},\,\frac{45}{18}=\frac{5}{2},\,\frac{250}{100}=\frac{5}{2}

\[\therefore \frac{A}{B}=\frac{5}{2}\Rightarrow A=\frac{5}{2}B\]

∴ A\propto Bএবং ভেদ ধ্রুবকের মান \frac{5}{2}

সুতরাং, A ও B পরস্পর সরলভেদে আছে।

2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি

x	18	8	12	6
y	3	\frac{27}{4}	\frac{9}{2}	9

 x ও y-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।

উত্তর –

এখানে, 18\times 3=54,\,8\times \frac{27}{4}=54,\,12\times \frac{9}{2}=54,\,6\times 9=54

\therefore \,\,xy=54\Rightarrow x=54\times \frac{1}{y}

∴ x\propto \frac{1}{y} এবং ভেদ ধ্রুবকের মান 54

সুতরাং, x ও y পরস্পর ব্যস্ত ভেদে আছে।

3. (i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

উত্তর –

মনেকরি, সময় = x এবং দূরত্ব = y
যেহেতু, সময় ও দূরত্ব পরস্পর সরলভেদে আছে।
∴ x\propto y\Rightarrow x=ky\,.........(i)[যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

x = 25, y = 14 (i) নং –এ বসিয়ে পাই,

\[25=k\times 14\]

\[\therefore \,\,k=\frac{25}{14}\]

অর্থাৎ, x=\frac{25}{14}y\,.........(ii)

(ii) নং –এ x = 5 × 60 বসিয়ে পাই,

\[5\times 60=\frac{25}{14}y\]

\[\Rightarrow y=5\times 60\times \frac{14}{25}=168\]

∴ 5 ঘণ্টায় তিনি 168 কিমি পথ যাবেন।

(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

উত্তর –

মনেকরি, শিশুর সংখ্যা = x এবং প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা = y
যেহেতু, শিশুর সংখ্যা এবং প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশ পরস্পর ব্যস্ত ভেদে আছে,
∴ x\propto \frac{1}{y}\Rightarrow x=\frac{k}{y}.........(i)[যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

x = 24, y = 5 (i) নং –এ বসিয়ে পাই,

\[24=\frac{k}{5}\]

\[\Rightarrow k=24\times 5\]

অর্থাৎ, x=\frac{24\times 5}{y}.........(ii)

(ii) নং –এ x = 24 – 5 = 20 বসিয়ে পাই,

\[20=\frac{24\times 5}{y}\]

\[\Rightarrow y=\frac{24\times 5}{20}=6\]

∴ যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে 6 টি করে গোটা সন্দেশ পেত।

(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে  তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

উত্তর –

মনেকরি, গ্রামবাসীর সংখ্যা = x এবং সময় = y
যেহেতু, গ্রামবাসীর সংখ্যা এবং সময় পরস্পর ব্যস্ত ভেদে আছে,
∴ x\propto \frac{1}{y}\Rightarrow x=\frac{k}{y}.........(i)[যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

x = 50, y = 18 (i) নং –এ বসিয়ে পাই,

\[50=\frac{k}{18}\]

\[\Rightarrow k=18\times 50\]

অর্থাৎ, x=\frac{18\times 50}{y}.........(ii)

(ii) নং –এ y = 15 বসিয়ে পাই,

\[x=\frac{18\times 50}{15}=60\]

∴ পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত (60 – 50) = 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।  

4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y=9 যখন x=9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y=6

উত্তর –

y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে,অর্থাৎ, y\propto \sqrt{x}\Rightarrow y=k\sqrt{x}.........(i)[যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

x = 9, y = 9 (i) নং –এ বসিয়ে পাই,

\[9=k\sqrt{9}\]

\[\Rightarrow 9=k\times 3\]

\[\therefore \,\,k=\frac{9}{3}=3\]

অর্থাৎ, y=3\sqrt{x}.........(ii)

(ii) নং –এ y = 6 বসিয়ে পাই,

\[6=3\sqrt{x}\]

\[\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{6}{3}=2\]

\[\therefore \,\,x={{\left( 2 \right)}^{2}}=4\]

∴ x-এর মান 4

(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y=4, z=5 হলে x=3 হয়। আবার y=16, z=30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে।
অর্থাৎ, x\propto yএবং x\propto \frac{1}{z}

যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে, x\propto \frac{y}{z}\Rightarrow x=k.\frac{y}{z}.........(i)

x=3, y=4, z=5 (i) নং –এ বসিয়ে পাই,

\[3=k\times \frac{4}{5}\]

\[\Rightarrow k=\frac{3\times 5}{4}=\frac{15}{4}\]

অর্থাৎ, x=\frac{15y}{4z}.........(ii)

(ii) নং –এ y=16, z=30 বসিয়ে পাই,

\[x=\frac{15\times 16}{4\times 30}=2\]

∴ x-এর মান 2

(iii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y=5 ও z=9 হলে x=\frac{1}{6} হয়।x, y ও z-এর মধ্যে y=6 ও z=\frac{1}{5} হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে।
অর্থাৎ, x\propto yএবং x\propto \frac{1}{z}

যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে, x\propto \frac{y}{z}\Rightarrow x=k.\frac{y}{z}.........(i)

x=\frac{1}{6}, y=5, z=9 (i) নং –এ বসিয়ে পাই,

\[\frac{1}{6}=k\times \frac{5}{9}\]

\[\Rightarrow k=\frac{9}{5\times 6}=\frac{3}{10}\]

অর্থাৎ, x=\frac{3y}{10z}.........(ii)

(ii) নং –এ y=6, z=\frac{1}{5} বসিয়ে পাই,

\[x=\frac{3\times 6}{10\times \frac{1}{5}}=9\]

∴ x-এর মান 9

5. (i) x\propto yহলে, দেখাই যে, x+y\propto x-y

উত্তর –

দেওয়া আছে, x\propto y\Rightarrow x=ky [যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

এখন,

\frac{x+y}{x-y}=\frac{ky+y}{ky-y}=\frac{y\left( k+1 \right)}{y\left( k-1 \right)}=\frac{k+1}{k-1} = ধ্রুবক

\therefore x+y\propto x-y (প্রমানিত)

(ii) A\propto \frac{1}{C},C\propto \frac{1}{B} হলে, দেখাই যে,A\propto B

উত্তর –

দেওয়া আছে,

A\propto \frac{1}{C}\Rightarrow A=\frac{{{k}_{1}}}{C} [যেখানে, k₁ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

C\propto \frac{1}{B}\Rightarrow C=\frac{{{k}_{2}}}{B}[যেখানে, k₂ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

এখন,

\frac{A}{B}=\frac{{{k}_{1}}}{C}\times \frac{1}{B}=\frac{{{k}_{1}}}{\frac{{{k}_{2}}}{B}}\times \frac{1}{B}=\frac{{{k}_{1}}\times B}{{{k}_{2}}\times B}=\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}= ধ্রুবক

∴ A\propto B(প্রমানিত)

(iii) যদি a\propto b, b\propto \frac{1}{c} এবং c\propto d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে,

a\propto b\Rightarrow a={{k}_{1}}b[যেখানে, k₁ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

b\propto \frac{1}{c}\Rightarrow b=\frac{{{k}_{2}}}{c} [যেখানে, k₂ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

c\propto d\Rightarrow c={{k}_{3}}d [যেখানে, k₃ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

এখন,

a={{k}_{1}}b={{k}_{1}}\times \frac{{{k}_{2}}}{c}=\frac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}{{{k}_{3}}d}=\frac{k}{d}[যেখানে, k=\frac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}{{{k}_{3}}}হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ a\propto \frac{1}{d}

∴ a ও d-এর মধ্যে ব্যস্ত ভেদ সম্পর্ক।

(iv) x\propto y, y\propto z এবং z\propto x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

উত্তর –

দেওয়া আছে,

x\propto y\Rightarrow x={{k}_{1}}y\Rightarrow {{k}_{1}}=\frac{x}{y} [যেখানে, k₁ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

y\propto z\Rightarrow y={{k}_{2}}z\Rightarrow {{k}_{2}}=\frac{y}{z}[যেখানে, k₂ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

z\propto x\Rightarrow z={{k}_{3}}x\Rightarrow {{k}_{3}}=\frac{z}{x}[যেখানে, k₃ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

এখন,

\[{{k}_{1}}\times {{k}_{2}}\times {{k}_{3}}=\frac{x}{y}\times \frac{y}{z}\times \frac{z}{x}=1\]

∴ ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1। ইহাই ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক।

6. x+y\propto x-y হলে,

(i) {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\propto xy

(ii) {{x}^{3}}+{{y}^{3}}\propto {{x}^{3}}-{{y}^{3}}

(iii) ax+by\propto px+qy [যেখানে, a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]

উত্তর –

দেওয়া আছে,

\[x+y\propto x-y\]

\[\Rightarrow \left( x+y \right)=k\left( x-y \right)\] [যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

\[\Rightarrow x+y=kx-ky\]

\[\Rightarrow y+ky=kx-x\]

\[\Rightarrow y\left( 1+k \right)=x\left( k-1 \right)\]

\[\therefore \,y=\frac{k-1}{1+k}x\]

\[\left( i \right){{x}^{2}}+{{y}^{2}}\propto xy\]

\[\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy}=\frac{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{k-1}{1+k}x \right)}^{2}}}{x\times \frac{k-1}{1+k}x}\]

\[=\frac{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{k-1}{1+k} \right)}^{2}}{{x}^{2}}}{\frac{k-1}{1+k}{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}\left\{ 1+{{\left( \frac{k-1}{1+k} \right)}^{2}} \right\}}{\frac{k-1}{1+k}{{x}^{2}}}\]

=\frac{\left\{ 1+{{\left( \frac{k-1}{1+k} \right)}^{2}} \right\}}{\frac{k-1}{1+k}}= ধ্রুবক

∴ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\propto xy (প্রমানিত)

\[\left( ii \right){{x}^{3}}+{{y}^{3}}\propto {{x}^{3}}-{{y}^{3}}\]

\[\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}=\frac{{{x}^{3}}+{{\left( \frac{k-1}{1+k}x \right)}^{3}}}{{{x}^{3}}-{{\left( \frac{k-1}{1+k}x \right)}^{3}}}\]

\[=\frac{{{x}^{3}}+{{\left( \frac{k-1}{1+k} \right)}^{3}}{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}-{{\left( \frac{k-1}{1+k} \right)}^{3}}{{x}^{3}}}=\frac{{{x}^{3}}\left\{ 1+{{\left( \frac{k-1}{1+k} \right)}^{3}} \right\}}{{{x}^{3}}\left\{ 1-{{\left( \frac{k-1}{1+k} \right)}^{3}} \right\}}\]

=\frac{\left\{ 1+{{\left( \frac{k-1}{1+k} \right)}^{3}} \right\}}{\left\{ 1-{{\left( \frac{k-1}{1+k} \right)}^{3}} \right\}}= ধ্রুবক

∴ {{x}^{3}}+{{y}^{3}}\propto {{x}^{3}}-{{y}^{3}} (প্রমানিত)

\[\left( iii \right)\,\,ax+by\propto px+qy\]

\[\frac{ax+by}{px+qy}=\frac{ax+b\times \frac{k-1}{1+k}x}{px+q\times \frac{k-1}{1+k}x}\]

=\frac{x\left\{ a+b\times \frac{k-1}{1+k} \right\}}{x\left\{ p+q\times \frac{k-1}{1+k} \right\}}=\frac{\left\{ a+b\times \frac{k-1}{1+k} \right\}}{\left\{ p+q\times \frac{k-1}{1+k} \right\}}= ধ্রুবক

∴ ax+by\propto px+qy (প্রমানিত)

7. (i) {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\propto ab হলে, প্রমাণ করি যে, a+b\propto a-b

উত্তর –

দেওয়া আছে,

\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\propto ab\]

\[\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=kab\] [যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

\[\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=kab\]

\[\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}=kab+2ab\]

\[\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}=ab\left( k+2 \right)\]

\[\therefore \left( a+b \right)=\sqrt{ab\left( k+2 \right)}\]

আবার,

\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=kab\]

\[\Rightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+2ab=kab\]

\[\Rightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}=kab-2ab\]

\[\Rightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}=ab\left( k-2 \right)\]

\[\therefore \left( a-b \right)=\sqrt{ab\left( k-2 \right)}\]

\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{\sqrt{ab\left( k+2 \right)}}{\sqrt{ab\left( k-2 \right)}}=\frac{\sqrt{ab}\times \sqrt{k+2}}{\sqrt{ab}\times \sqrt{k-2}}=\frac{\sqrt{k+2}}{\sqrt{k-2}}= ধ্রুবক

∴ a+b\propto a-b (প্রমানিত)

(ii) {{x}^{3}}+{{y}^{3}}\propto {{x}^{3}}-{{y}^{3}} হলে, প্রমাণ করি যে x+y\propto x-y

উত্তর –

দেওয়া আছে,

\[{{x}^{3}}+{{y}^{3}}\propto {{x}^{3}}-{{y}^{3}}\]

\[\Rightarrow {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=k\left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)\] [যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

\[\Rightarrow \frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}=k\]

\[\Rightarrow \frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}-{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}=\frac{k+1}{k-1}\]

\[\Rightarrow \frac{2{{x}^{3}}}{2{{y}^{3}}}=\frac{k+1}{k-1}\]

\[\Rightarrow \frac{{{x}^{3}}}{{{y}^{3}}}=\frac{k+1}{k-1}\]

\[\Rightarrow \frac{x}{y}=\sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}=m\,\]

\therefore \frac{x+y}{x-y}=\frac{m+1}{m-1}= ধ্রুবক

∴ x+y\propto x-y (প্রমানিত)

8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।

উত্তর –

মনেকরি, কৃষকের সংখ্যা = x, সময় = y এবং জমির পরিমাণ = z

যেহেতু, যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে তখন সময় কৃষকের সংখ্যার সাথে ব্যস্ত ভেদে থাকে।

∴ y\propto \frac{1}{x} যখন z স্থির

আবার, যেহেতু, যখন কৃষকের সংখ্যা স্থির থাকে তখন সময় জমির পরিমানের সাথে সরল ভেদে থাকে।

∴ y\propto z যখন x স্থির

∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী, y\propto \frac{z}{x} যখন x ও z উভয়েই পরিবর্তনশীল।

অর্থাৎ, y=k\frac{z}{x}.........(i)[যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

x= 15, y=5, z=18 (i) নং –এ বসিয়ে পাই,

\[5=k\times \frac{18}{15}\]

\[\Rightarrow k=\frac{5\times 15}{18}=\frac{25}{6}\]

অর্থাৎ, y=\frac{25}{6}\times \frac{z}{x}.........(ii)

(ii) নং –এ x = 10, z= 12 বসিয়ে পাই,

\[y=\frac{25}{6}\times \frac{12}{10}=5\]

∴ 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।

9.  গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 1\frac{1}{2}, 2, এবং 2\frac{1}{2} মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)

উত্তর –

মনেকরি, r মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন v ঘন মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

v\propto {{r}^{3}}\Rightarrow v=k{{r}^{3}} [যেখানে, k হল ভেদ ধ্রুবক]

∴ প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধ = \frac{1\frac{1}{2}}{2}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4} মিটার

সুতরাং, প্রথম গোলকের আয়তন = k{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}=\frac{27}{64}k ঘন মিটার।

∴ দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ = \frac{2}{2}=1 মিটার

সুতরাং, দ্বিতীয় গোলকের আয়তন = k{{\left( 1 \right)}^{3}}=k ঘন মিটার।

∴ তৃতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ = \frac{2\frac{1}{2}}{2}=\frac{\frac{5}{2}}{2}=\frac{5}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{4} মিটার

সুতরাং, তৃতীয় গোলকের আয়তন = k{{\left( \frac{5}{4} \right)}^{3}}=\frac{125}{64}k ঘন মিটার।

∴ তিনটি গোলকের মোট আয়তন = \left( \frac{27}{64}k+k+\frac{125}{64}k \right)=\left( \frac{27k+64k+125k}{64} \right)=\frac{216k}{64}=\frac{27k}{8} ঘন মিটার।

যদি, নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ R মিটার হয় তবে গোলকটির আয়তন = k{{R}^{3}} ঘন মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

\[k{{R}^{3}}=\frac{27k}{8}\]

\[\Rightarrow {{R}^{3}}=\frac{27}{8}\]

\[\Rightarrow {{R}^{3}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{3}}\]

\[\therefore \,\,R=\frac{3}{2}\]

∴ নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2R মিটার = 2\times \frac{3}{2} মিটার = 3 মিটার।

10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x=1 হলে y= -1 এবং x=3 হলে y=5; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

উত্তর –

মনেকরি y দুটি চল A এবং B –এর সমষ্টি।

∴ y = A + B

এখানে, A\propto x\Rightarrow A={{k}_{1}}x[যেখানে, k₁ হল ভেদ ধ্রুবক] B\propto \frac{1}{x}\Rightarrow B=\frac{{{k}_{2}}}{x}[যেখানে, k₂ হল ভেদ ধ্রুবক]

অর্থাৎ, y={{k}_{1}}x+\frac{{{k}_{2}}}{x}.........(i)

x = 1, y = -1 (i) নং –এ বসিয়ে পাই

\[-1={{k}_{1}}+{{k}_{2}}\]

\[\Rightarrow {{k}_{2}}=-{{k}_{1}}-1=-\left( {{k}_{1}}+1 \right)………(ii)\]

আবার, x = 3, y = 5 (i) নং –এ বসিয়ে পাই

\[5=3{{k}_{1}}+\frac{{{k}_{2}}}{3}\]

\[\Rightarrow 3{{k}_{1}}-\frac{\left( {{k}_{1}}+1 \right)}{3}=5\,\,\left[ From\,(ii) \right]\]

\[\Rightarrow \frac{9{{k}_{1}}-{{k}_{1}}-1}{3}=5\]

\[\Rightarrow 8{{k}_{1}}-1=15\]

\[\Rightarrow 8{{k}_{1}}=15+1=16\]

\[\therefore \,\,{{k}_{1}}=\frac{16}{8}=2\]

(ii) নং –এ k₁ –এর মান বসিয়ে পাই

\[{{k}_{2}}=-\left( 2+1 \right)=-3\]

নির্নেয় সম্পর্কটি হল – y=2x-\frac{3}{x}

11. a\propto b, b\propto c হলে দেখাই যে,{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{{b}^{3}}{{c}^{3}}+{{c}^{3}}{{a}^{3}}\propto abc\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)

উত্তর –

দেওয়া আছে,
a\propto b\Rightarrow a={{k}_{1}}b[যেখানে, k₁ হল ভেদ ধ্রুবক]
b\propto c\Rightarrow b={{k}_{2}}c[যেখানে, k₂ হল ভেদ ধ্রুবক]
সুতরাং, a={{k}_{1}}{{k}_{2}}c

এখন,

\[\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{{b}^{3}}{{c}^{3}}+{{c}^{3}}{{a}^{3}}}{abc\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)}\]

\[=\frac{\left( {{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{3}{{c}^{3}} \right)\left( {{k}_{2}}^{3}{{c}^{3}} \right)+\left( {{k}_{2}}^{3}{{c}^{3}} \right){{c}^{3}}+{{c}^{3}}\left( {{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{3}{{c}^{3}} \right)}{\left( {{k}_{1}}{{k}_{2}}c \right)\left( {{k}_{2}}c \right)c\left( {{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{3}{{c}^{3}}+{{k}_{2}}^{3}{{c}^{3}}+{{c}^{3}} \right)}\]

\[=\frac{{{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{6}{{c}^{6}}+{{k}_{2}}^{3}{{c}^{6}}+{{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{3}{{c}^{6}}}{{{k}_{1}}{{k}_{2}}^{2}{{c}^{3}}\left( {{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{3}{{c}^{3}}+{{k}_{2}}^{3}{{c}^{3}}+{{c}^{3}} \right)}\]

\[=\frac{{{c}^{6}}\left( {{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{6}+{{k}_{2}}^{3}+{{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{3} \right)}{{{c}^{6}}\times {{k}_{1}}{{k}_{2}}^{2}\left( {{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{3}+{{k}_{2}}^{3}+1 \right)}\]

=\frac{\left( {{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{6}+{{k}_{2}}^{3}+{{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{3} \right)}{{{k}_{1}}{{k}_{2}}^{2}\left( {{k}_{1}}^{3}{{k}_{2}}^{3}+{{k}_{2}}^{3}+1 \right)}= ধ্রুবক

∴ {{a}^{3}}{{b}^{3}}+{{b}^{3}}{{c}^{3}}+{{c}^{3}}{{a}^{3}}\propto abc\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)(প্রমানিত)

12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x² –এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট খরচ হবে y = y₁ + y₂

প্রশ্নানুযায়ী,

{{y}_{1}}\propto x\Rightarrow {{y}_{1}}={{k}_{1}}x[যেখানে, k₁ হল ভেদ ধ্রুবক]

{{y}_{2}}\propto {{x}^{2}}\Rightarrow {{y}_{2}}={{k}_{2}}{{x}^{2}} [যেখানে, k₂ হল ভেদ ধ্রুবক]

সুতরাং, y={{k}_{1}}x+{{k}_{2}}{{x}^{2}}\,..........\left( i \right)

x = 100, y = 5000 (i) নং –এ বসিয়ে পাই

\[5000={{k}_{1}}\left( 100 \right)+{{k}_{2}}{{\left( 100 \right)}^{2}}\]

\[\Rightarrow 100{{k}_{1}}+10000{{k}_{2}}=5000\]

\[\Rightarrow 100{{k}_{1}}=5000-10000{{k}_{2}}\]

\[\Rightarrow {{k}_{1}}=\frac{5000-10000{{k}_{2}}}{100}\]

\[\therefore {{k}_{1}}=50-100{{k}_{2}}……….\left( ii \right)\]

আবার, x = 200, y = 12000 (i) নং –এ বসিয়ে পাই

\[12000={{k}_{1}}\left( 200 \right)+{{k}_{2}}{{\left( 200 \right)}^{2}}\]

\[\Rightarrow 200{{k}_{1}}+40000{{k}_{2}}=12000\]

\[\Rightarrow 200\left( 50-100{{k}_{2}} \right)+40000{{k}_{2}}=12000\]

\[\Rightarrow 10000-20000{{k}_{2}}+40000{{k}_{2}}=12000\]

\[\Rightarrow 20000{{k}_{2}}=12000-10000\]

\[\Rightarrow 20000{{k}_{2}}=2000\]

\[\therefore {{k}_{2}}=\frac{2000}{20000}=\frac{1}{10}\]

(ii) নং –এ k₂ –এর মান বসিয়ে পাই

\[{{k}_{1}}=50-100\times \frac{1}{10}\]

\[\Rightarrow {{k}_{1}}=50-10=40\]

(i) নং –এ k₁ ও k₂ –এর মান বসিয়ে পাই

\[y=40x+\frac{{{x}^{2}}}{10}\,……….\left( iii \right)\]

x = 250, (iii) নং –এ বসিয়ে পাই

\[y=40\times 250+\frac{250\times 250}{10}=10000+6250=16250\]

∴ 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে।

13. চোঙের আয়তন ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

উত্তর –

মনেকরি, r একক ব্যাসার্ধ ও h একক উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙের আয়তন v ঘন একক।

সুতরাং,v\propto {{r}^{2}}h

বা,v=k{{r}^{2}}h, যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক।

দেওয়া আছে যে, চোঙ দুটির ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত 2 : 3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5 : 4

মনেকরি, চোঙ দুটির ভূমির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2r একক ও 3r একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 5h একক ও 4h একক।

∴2r একক ব্যাসার্ধ ও 5h একক উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙের আয়তন = k{{\left( 2r \right)}^{2}}\times 5h=20k{{r}^{2}}h ঘন একক।

3r একক ব্যাসার্ধ ও 4h একক উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙের আয়তন = k{{\left( 3r \right)}^{2}}\times 4h=36k{{r}^{2}}h ঘন একক।

∴ চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত = 20k{{r}^{2}}h:36k{{r}^{2}}h=20:36=5:9

14. পাঁচলা গ্রামে কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

উত্তর –

মনেকরি, জমির পরিমাণ = A, লাঙলের সংখ্যা = B, দিনের সংখ্যা = C

যেহেতু লাঙলের সংখ্যা, জমির পরিমাণের সাথে সরলভেদে থাকে যখন দিনের সংখ্যা স্থির থাকে।

∴ B\propto Aযখন C স্থির।

আবার, যেহেতু লাঙলের সংখ্যা, দিনের সংখ্যার সাথে ব্যস্তভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে।

∴ B\propto \frac{1}{C}যখন A স্থির।

যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে, B\propto \frac{A}{C} যখন C ও A উভয়েই পরিবর্তনশীল।

∴ B=k\frac{A}{C}…………(1)  [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

প্রদত্ত A = 2400, B = 25, C = 36

(1) নং থেকে পাই,

\[25=k\times \frac{2400}{36}\]

\[\Rightarrow k=\frac{25\times 36}{2400}=\frac{3}{8}\]

\[∴ B=\frac{3A}{8C}……….(2)\]

A = 1200, C = 30, (2) নং –এ বসিয়ে পাই,

\[B=\frac{3\times 1200}{8\times 30}=15\]

অর্থাৎ অর্ধেক জমি 15 টি লাঙল 30 দিনে চাষ করতে পারে।

আবার, প্রশ্নানুসারে, অর্ধেক জমি 1 টি ট্রাক্টর 30 দিনে চাষ করতে পারে।

সুতরাং, একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান চাষ করে।

15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।

উত্তর –

মনেকরি, r একক ব্যাসার্ধের গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং আয়তন v ঘন একক।

প্রশ্নানুসারে, গোলকের আয়তন ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।

সুতরাং, v\propto {{r}^{3}}

∴v={{k}_{1}}{{r}^{3}}, যেখানে k₁ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক

 বা, {{v}^{2}}=k_{1}^{2}{{r}^{6}}

বা, {{r}^{6}}=\frac{{{v}^{2}}}{k_{1}^{2}}..........\left( 1 \right)

এবংA\propto {{r}^{2}}

বা, A={{k}_{2}}{{r}^{2}}, যেখানে k₂  অশূন্য ভেদ ধ্রুবক

বা, {{A}^{3}}=k_{2}^{3}{{r}^{6}}

 বা, {{r}^{6}}=\frac{{{A}^{3}}}{k_{2}^{3}}..........\left( 2 \right)

(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,

\[\frac{{{v}^{2}}}{k_{1}^{2}}=\frac{{{A}^{3}}}{k_{2}^{3}}\]

\[\Rightarrow {{v}^{2}}=\frac{k_{1}^{2}}{k_{2}^{3}}{{A}^{3}}\]

\[\Rightarrow {{v}^{2}}=k{{A}^{3}}\,\,\left[ k=\frac{k_{1}^{2}}{k_{2}^{3}} \right]\]

\[\therefore \,\,{{v}^{2}}\propto {{A}^{3}}\]

অর্থাৎ, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) x\propto \frac{1}{y} হলে,

(a) x=\frac{1}{y} (b) y=\frac{1}{x}     (c) xy=1       (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক

(ii) যদি x\propto yহয়, তখন

(a) {{x}^{2}}\propto {{y}^{3}}         (b) {{x}^{3}}\propto {{y}^{2}}         (c) x\propto {{y}^{3}}          (d) {{x}^{2}}\propto {{y}^{2}}

(iii) x\propto y এবং y=8 যখন x=2; y=16 হলে, x-এর মান

(a) 2            (b) 4      (c) 6      (d) 8

(iv) x\propto {{y}^{2}} এবং y=4 যখন x=8; x=32 হলে, y-এর ধনাত্মক

(a) 4    (b) 8      (c) 16    (d) 32

(v) যদি y-z\propto \frac{1}{x}, z-x\propto \frac{1}{y} এবং x-y\propto \frac{1}{z}হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি

(a) 0      (b) 1      (c) – 1    (d) 2

(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) y\propto \frac{1}{x} হলে, \frac{y}{x}=অশূন্য ধ্রুবক

(ii) x\propto z এবং y\propto z হলে, xy\propto z

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) x\propto \frac{1}{y} এবংy\propto \frac{1}{z} হলে,x\propto _________

(ii) x\propto y হলে{{x}^{n}}\propto

(iii) x\propto y এবংx\propto z হলে, \left( y+z \right)\propto ________

17.  সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) x\propto {{y}^{2}}এবং y=2a যখন x=a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

(ii) x\propto y, y\propto zএবংz\propto xহলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।

(iii) x\propto \frac{1}{y}, এবং y\propto \frac{1}{z} হলে x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় আছে তা নির্ণয় করি।

(iv) x\propto yz এবং y\propto zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।

(v) যদি b\propto {{a}^{3}}হয় এবং a-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।

;