দশম শ্রেণী – চতুর্থ অধ্যায় : আয়তঘন সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 4

1. আমরা পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার ও 4 টি ঘনক কারা বস্তুর নাম লিখি।

উত্তর –

4 টি আয়তঘনাকার বস্তু হল – ইট, বাড়ি, দেশলাই বাক্স, বই।
4 টি ঘনকাকার বস্তু হল – লুডোর ছক্কা, রুবিকের ঘনক, চিনির কণা, বর্গাকার চৌবাচ্চা।

2. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।

উত্তর –

আয়তঘনাকার তলগুলি হল – ABCD, ADFE, EFGH, GHBC, CDFG, ABHE
ধারগুলি হল – AB, BE, CD, DA, DF, FE, EA, BH, EH, GH, CG, GF.
শীর্ষবিন্দুগুলি হল – A, B, C, D, E, F, G, H.

3. একটি সমকোনী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি, 4 মি ও 3 মি হলে, ওই ঘরের সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

সমকোনী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি, 4 মি ও 3 মি।
∴ ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য = =\sqrt{{{5}^{2}}+{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{25+16+9}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}মিটার।

4. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার।
∴ ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = x2 বর্গ মিটার

প্রশ্নানুসারে,

\[{{x}^{2}}=64\]

\[\Rightarrow \,x=\sqrt{64}=8\]

∴ ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 মিটার। সুতরাং, ঘনকটির আয়তন = x³ ঘন মিটার = 8³ ঘন মিটার = 512 ঘন মিটার।

5. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং 8 ডেসিমিটার গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট 240 ঘন মিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, খালটি x মিটার লম্বা।
খালটি 2 মিটার চওড়া এবং 8 ডেসিমিটার = 0.8 মিটার গভীর।

প্রশ্নানুসারে,

\[x\times 2\times 0.8=240\]

\[\Rightarrow \,x=\frac{240}{2\times 0.8}=150\]

∴ খালটি 150 মিটার লম্বা কাটা হয়েছিল।

6. একটি ঘনকের কর্নের দৈর্ঘ্য 4\sqrt{3}সেমি হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি (ধরি)
∴ কর্নের দৈর্ঘ্য x\sqrt{3}সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[x\sqrt{3}=4\sqrt{2}\]

\[\therefore \,x=4\]

∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6x² = 6(4)² = 96 বর্গ সেমি।

7. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

ঘনকের ধারের সংখ্যা = 12 টি
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি (ধরি)

প্রশ্নানুসারে,

\[12x=60\]

\[\therefore \,x=\frac{60}{12}=5\]

∴ ঘনকটির ঘনফল = x³ ঘন সেমি = (5)³ ঘন সেমি = 125 ঘন সেমি।

8. যদি একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি (ধরি)
ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = 6×2 বর্গ সেমি।

প্রশ্নানুসারে,

\[6{{x}^{2}}=216\]

\[\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{216}{6}=36\]

\[\therefore \,x=\sqrt{36}=6\]

∴ ঘনকটির আয়তন = x³ ঘন সেমি = (6)³ ঘন সেমি = 216 ঘন সেমি।

9. একটি সমকোনী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিণত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি (ধরি)
প্রতিটি ঘনকের আয়তন = x3 ঘন সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[2{{x}^{3}}=432\]

\[\Rightarrow {{x}^{3}}=\frac{432}{2}=216\]

\[\Rightarrow {{x}^{3}}={{\left( 6 \right)}^{3}}\]

\[\therefore \,x=6\]

∴ প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি

10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক (ধরি)
∴ ঘনকের আয়তন = x3 ঘন একক
পরিবর্তিত ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = \left( x-x\times \frac{50}{100} \right)=\left( x-\frac{x}{2} \right)=\frac{x}{2} একক
∴ পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল = {{\left( \frac{x}{2} \right)}^{3}}=\frac{{{x}^{3}}}{8} ঘন একক
∴ মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত ={{x}^{3}}:\frac{{{x}^{3}}}{8}=8{{x}^{3}}:{{x}^{3}}=8:1

11. একটি সমকোনী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3:2:1 এবং উহার আয়তন 384 ঘন সেমি হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

সমকোনী চৌপল আকারের বাক্সটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার যথাক্রমে 3x সেমি, 2x সেমি, x সেমি
∴ সমকোনী চৌপল আকারের বাক্সটির আয়তন = (3x × 2x × x ) ঘন সেমি = 6×3 ঘন সেমি

প্রশ্নানুসারে,

\[6{{x}^{3}}=384\]

\[\Rightarrow {{x}^{3}}=\frac{384}{6}=64\]

\[\Rightarrow {{x}^{3}}={{\left( 4 \right)}^{3}}\]

\[\therefore \,x=4\]

∴ বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2 (3x × 2x + 2x × x + x × 3x) বর্গ সেমি = 2(6x² + 2x² + 3x²) বর্গ সেমি = 22x² বর্গ সেমি = 22(4)² বর্গ সেমি = 22 × 16 বর্গ সেমি = 352 বর্গ সেমি।

12. একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন  3.75 কিগ্রা হলে, 1 ঘন ডেসিমি চা-এর ওজন কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি।
∴ চা-এর আয়তন = (7.5 × 6 × 5.4) ঘন ডেসিমি = 243 ঘন ডেসিমি
চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা 350 গ্রাম = 52.35 কিগ্রা, খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা
∴ চা-এর ওজন = (52.35 – 3.75) কিগ্রা = 48.60 কিগ্রা
∴ 1 ঘন ডেসিমি চা-এর ওজন = \frac{48.6}{243}কিগ্রা = \frac{48.6\times 1000}{243} গ্রাম = 200 গ্রাম।

13. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি, বেধ 1 মিলিমি এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘন সেমি পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয়, তাহলে x-এর মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি, বেধ 1 মিলিমি = 0.1 সেমি
∴ পিতলের প্লেটের আয়তন = (x × x × 0.1) ঘন সেমি = x2 × 0.1 ঘন সেমি
1 ঘন সেমি পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম।
∴ পিতলের প্লেটের ওজন = 8.4 × x2 × 0.1 গ্রাম।

প্রশ্নানুসারে,

\[8.4\times {{x}^{2}}\times 0.1=4725\]

\[\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{4725}{8.4\times 0.1}\]

\[\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{4725\times 10\times 10}{84\times 1}=225\times 5\times 5\]

\[\therefore \,x=\sqrt{225\times 5\times 5}=\sqrt{15\times 15\times 5\times 5}=75\]

∴ x-এর মান 75 সেমি

14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দু-পাশে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হ্যেছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি এবং 8 মি হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘন মিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

প্রতিটি গর্তের গভীরতা h মি (ধরি)
প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি এবং 8 মি
∴ প্রতিটি গর্তের আয়তন = 14 × 8 × h ঘন মিটার

প্রশ্নানুসারে,

\[30\times 14\times 8\times h=2520\]

\[\Rightarrow h=\frac{2520}{30\times 14\times 8}=\frac{3}{4}\]

∴ প্রতিটি গর্তের গভীরতা = \frac{3}{4} মিটার = \frac{3}{4}\times 100 সেমি = 75 সেমি

15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির \frac{1}{3} অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

ঘনকাকৃতি চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার = (1.2 × 10) = 12 ডেসিমি
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন = (12)3 ঘন ডেসিমি = 1728 ঘন ডেসিমি = 1728 লিটার [ যেহেতু, 1 ঘন ডেসিমি = 1 লিটার]
∴ 64 টি বালতি দিয়ে জল তোলা হয়েছিল চৌবাচ্চাটির = \left( 1-\frac{1}{3} \right)=\frac{2}{3}অংশ
∴ 64 টি বালতি দিয়ে জল তোলা হয়েছিল = 1728\times \frac{2}{3}=1152 লিটার
∴ প্রতিটি বালতিতে জল ধরে = \frac{1152}{64}=18 লিটার

16. এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি, 1.5 ডসিমি ও 0.9 ডেসিমি হলে, একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে হিসাব করি। [ এক গ্রোস  = 12 ডজন ] কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং প্রস্থ 3.5 সেমি হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি = 28 সেমি, 1.5 ডসিমি = 15 সেমি ও 0.9 ডেসিমি = 9 সেমি।
∴ একটি প্যাকেটের আয়তন = 28 × 15 × 9 ঘন সেমি।
∴ এখন এক গ্রোস দেশলাই বাক্স = 12 ডজন দেশলাই বাক্স = 12 × 12 টি দেশলাই বাক্স।
∴ একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন = \frac{28\times 15\times 9}{12\times 12}=\frac{105}{4} ঘন সেমি।
মনেকরি, একটি দেশলাই বাক্সের উচ্চতা h সেমি।

শর্তানুসারে,

\[5\times 3.5\times h=\frac{105}{4}\]

\[\Rightarrow h=\frac{105}{4\times 5\times 3.5}=1.5\]

∴ একটি দেশলাই বাক্সের উচ্চতা 1.5 সেমি।

17.  2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

আয়তঘনাকার চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য =2.1 মিটার = 2.1 × 10 ডেসিমি = 21 ডেসিমি
এবং প্রস্থ = 1.5 মিটার = 1.5 × 10 ডেসিমি = 15 ডেসিমি
মনেকরি, চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা h ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্নানুসারে,

\[21\times 15\times h=630\]

\[\Rightarrow h=\frac{630}{21\times 15}=2\]

∴ জলের গভীরতা 2 ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।

18. গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার এবং 15 মিটার। ওই মাঠের ভিতরে চারটি কোণে পিলার বসানোর জন্য 4 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি ঘনকাকৃতি গর্ত কেটে অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির উপর ছড়িয়ে দেওয়া হলো। মাঠের তলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পেল হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

চারটি ঘনকাকৃতি গর্তের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার
∴ চারটি ঘনকাকৃতি গর্তের আয়তন = 4 × 43 ঘন মিটার = 256 ঘন মিটার
আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = 20 × 15 বর্গ মিটার = 300 বর্গ মিটার
চারটি ঘনকাকৃতি গর্তের ক্ষেত্রফল = 4 × 42 বর্গ মিটার = 64 বর্গ মিটার
∴ চারটি গর্ত বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (300 – 64) বর্গ মিটার = 236 বর্গ মিটার
মনেকরি, অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির উপর ছড়িয়ে দেওয়া হলে, মাঠের তলের উচ্চতা h মিটার বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্নানুসারে,

\[236\times h=256\]

\[\Rightarrow h=\frac{256}{236}=\frac{64}{59}=1\frac{5}{59}\]

∴ মাঠের তলের উচ্চতা 1\frac{5}{59} মিটার বৃদ্ধি পাবে।

19. 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখন্ড নীচু জমিকে 6.5 ডসিমি উঁচু করার জন্য ঠিক করা হয়েছে পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তোলা হবে। গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

নীচু জমিটির দৈর্ঘ্য = 48 মিটার, প্রস্থ = 31.5 মিটার এবং উচ্চতা = 6.5 ডসিমি = 0.65 মিটার
জমিকে উঁচু করার জন্য যে মাটি লাগবে তার আয়তন = 48 × 31.5 × 0.65 ঘন মিটার।
গর্তের দৈর্ঘ্য = 27 মিটার, প্রস্থ = 18.2 মিটার, উচ্চতা = h মিটার (ধরি)

প্রশ্নানুসারে,

\[27\times 18.2\times h=48\times 31.5\times 0.65\]

\[\Rightarrow h=\frac{48\times 31.5\times 0.65}{27\times 18.2}=2\]

∴ গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে।

20. বাড়ির তিনটি কেরোসিন তেলের ড্রামে যথাক্রমে 800 লিটার, 725 লিটার এবং 575 লিটার তেল ছিল। ওই তিনটি ড্রামের তেল একটি আয়তঘনাকার পাত্রে ঢালা হলো এবং এতে পাত্রে তেলের গভীরতা 7 ডেসিমি হলো। ওই আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 হলে, পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের হিসাব করে লিখি। যদি ওই আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হতো, তবে 1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যেত কিনা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 4x ডেসিমিটার এবং 3x ডেসিমিটার।
পাত্রে তেলের গভীরতা 7 ডেসিমি।
কেরোসিন তেলের মোট আয়তন = (800 + 725 + 575) = 2100 লিটার

প্রশ্নানুসারে,

\[4x\times 3x\times 7=2100\]

\[\Rightarrow \,{{x}^{2}}=\frac{2100}{4\times 3\times 7}=25\]

\[\therefore \,x=\sqrt{25}=5\]

আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য = 4(5) ডেসিমিটার = 20 ডেসিমিটার ও প্রস্থ = 3(5) ডেসিমিটার = 15ডেসিমিটার
যদি ওই আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হতো তাহলে ওই পাত্রের আয়তন হবে = 20 × 15 × 5 ঘন ডেসিমিটার = 1500 ঘন ডেসিমিটার = 1500 লিটার।
সুতরাং, ওই পাত্রে 1620 লিটার তেল রাখা যেত না।

21. আমাদের তিনতলা ফ্লাটের তিনটি পরিবারের দৈনিক জলের চাহিদা যথাক্রমে 1200 লিটার, 1050 লিটার এবং 950 লিটার। এই চাহিদা মেটানোর পরও চাহিদার 25% জল মজুত থাকে এমন একটি ট্যাঙ্ক বসানোর জন্য মাত্র 2.5 মি দীর্ঘ এবং 1.6 মিটার চওড়া একটি জায়গা পাওয়া গেছে। ট্যাঙ্কটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

তিনটি পরিবারের মোট জল প্রয়োজন = (1200 + 1050 + 950) লিটার = 3200 লিটার।
চাহিদা মেটানোর পরও জল মজুত থাকে = 3200\times \frac{25}{100}=800 লিটার।
ট্যাঙ্কটির দৈর্ঘ্য =2.5 মিটার =25ডেসিমি, প্রস্থ =1.6 মিটার =16 ডেসিমি এবং উচ্চতা = h ডেসিমি (ধরি)।

প্রশ্নানুসারে,

\[25\times 16\times h=3200+800\]

\[\Rightarrow h=\frac{4000}{25\times 16}=10\]

∴ ট্যাঙ্কটি 10 ডেসিমি = 1 মিটার গভীর করতে হবে
জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিম বেশি হতো, তবে ট্যাঙ্কটির প্রস্থ হবে = (16 + 4) ডেসিমি = 20 ডেসিমি।

প্রশ্নানুসারে,

\[25\times 20\times h=3200+800\]

\[\Rightarrow h=\frac{4000}{25\times 20}=8\]

∴ ট্যাঙ্কটি 8 ডেসিমি গভীর করতে হতো।

22. 5 সেমি পুরু কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা। কিন্তু চাল ভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা। বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি এবং 8.5 ডেসিমি এবং এক ঘন ডেসিমি চালের ওজন 1.5 কিগ্রা। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ ডেসিমি 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে কত খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা। কিন্তু চাল ভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা।
∴ চালের ওজন = (880.5 – 115.5) = 765 কিগ্রা
এক ঘন ডেসিমি চালের ওজন 1.5 কিগ্রা।
∴ চালের আয়তন = \frac{765}{1.5}=510ঘন ডেসিমি
মনেকরি, বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা h ডেসিমি

প্রশ্নানুসারে,

\[12\times 8.5\times h=510\]

\[\Rightarrow h=\frac{510}{12\times 8.5}=5\]

∴ বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা 5 ডেসিমি
কাঠের তক্তা 5 সেমি = 0. 5 ডেসিমি পুরু।
বাক্সটির বাইরের দিকের দৈর্ঘ্য = (12 + 0.5 × 2) ডেসিমি = 13 ডেসিমি
প্রস্থ =(8.5 + 0.5 × 2) ডেসিমি = 9.5 ডেসিমি
উচ্চতা =(5 + 0.5 × 2) ডেসিমি = 6 ডেসিমি
∴ বাক্সটির বাইরের চারিপাশের ক্ষেত্রফল = 2(13 × 9.5 + 9.5 × 6 + 6 × 13) বর্গডেসিমি = 2(123.5 + 57 + 78) বর্গডেসিমি = 2 × 258.5 বর্গডেসিমি = 517 বর্গডেসিমি
∴ বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে খরচ পড়বে = 517 × 1.50 টাকা = 775. 50 টাকা।

23. 20 মি দীর্ঘ এবং 18.5 মি চওড়া একটি আয়তঘনাকার পুকুরে 3.2 মি গভীর জল আছে। ঘণ্টায় 160 কিলোমিটার জলসেচ করতে পারে এমন একটি পাম্প দিয়ে কতক্ষণে পুকুরটির সমস্ত জলসেচ করা যাবে হিসাব করে লিখি। ওই জল যদি 59.2 মিটার দীর্ঘ এবং 40 মিটার চওড়া একটি আল দেওয়া ধান ক্ষেতে ফেলা হয়, তবে সেই জমিতে জলের গভীরতা কত হবে হিসাব করে লিখি। [ 1 ঘন মিটার = 1 কিলোলিটার ]

উত্তর –

আয়তঘনাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য = 20 মি, প্রস্থ = 18.5 মি এবং গভীরতা = 3.2 মি।
পুকুরটির আয়তন = (20 × 18.5 × 3.2) ঘন মিটার = 1184 কিলোলিটার
পাম্প ঘণ্টায় 160 কিলোলিটার জলসেচ করতে পারে।
পুকুরটির সমস্ত জলসেচ করতে সময় লাগবে = \frac{1184}{160}=\frac{37}{5}ঘণ্টা = 7 ঘণ্টা \left( \frac{2}{5}\times 60 \right)মিনিট = 7 ঘণ্টা 24 মিনিট।
মনেকরি, জমিতে জলের গভীরতা হবে h মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

\[59.2\times 40\times h=1184\]

\[\Rightarrow h=\frac{1184}{59.2\times 40}=0.5\]

জমিতে জলের গভীরতা 0.5 মিটার = 5 ডেসিমি হবে।

24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন(M.C.Q.) –

(i) একটি সমকোনী চৌপলাকৃতি বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘন সেমি এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল  88 বর্গ সেমি। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা
(a) 4 সেমি (b) 5 সেমি (c) 3 সেমি (d) 6 সেমি

উত্তর –

ভিতরের ভূমিতলের × উচ্চতা = আয়তন
বা, 88 × উচ্চতা = 440
∴ উচ্চতা = \frac{440}{88}=5
বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা (b) 5 সেমি

(ii) একটি আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মি, প্রস্থ 12 মি এবং গভীরতা 16 মি। ওই গর্তের মধ্যে 5 মি দৈর্ঘ্য , 4 মি প্রস্থ এবং 2 মি পুরু তক্তা রাখা যাবে
(a) 190 টি (b) 192 টি (c) 184 টি (d) 180 টি

উত্তর –

\frac{40\times 12\times 16}{5\times 4\times 2}=192
তক্তা রাখা যাবে (b) 192 টি

(iii) একটি ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার। ঘনকটির আয়তন
(a) 64 ঘন মি (b) 216 ঘন মি (c) 256 ঘন মি (d) 512 ঘন মি
     [ উত্তর সংকেত – পার্শ্বতলের সংখ্যা 4 ]

উত্তর –

\[4{{x}^{2}}=256\]

\[\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{256}{4}=64\]

\[\therefore \,x=\sqrt{64}=8\]

ঘনকটির আয়তন = x³ = 8³ = 512
(d) 512 ঘন মি

(iv) দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1:27 হলে, ঘনক দুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
(a) 1:3 (b) 1:8 (c) 1:9 (d) 1:18

উত্তর –

ধরি ঘনক দুটির আয়তন যথাক্রমে x³, 27x³
ঘনক দুটির বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x, 3x
প্রথম ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6×2
দ্বিতীয় ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6(3x)2 = 54×2
ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 6×2 : 54×2 = 1 : 9
(c) 1:9

(v) একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল s বর্গ একক এবং কর্নের দৈর্ঘ্য d একক হলে s এবং d-এর সম্পর্ক
(a) s = 6d2 (b) 3s = 7d (c) s3 = d2 (d) d2 = s/2

উত্তর –

s = 6x² এবং d = x\sqrt{3}
∴ d2 = 3×2
বা, 2d2 = 6×2
বা, s = 2d2
(d) d2 = s/2

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন হলে, ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের 4 গুন হবে।

উত্তর –

ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য x একক হলে আয়তন হবে x³ ঘন একক
আবার দৈর্ঘ্য 2x একক হলে আয়তন হবে (2x)3 ঘন একক = 8 x 3 ঘন একক
সুতরাং, বিবৃতিটি – মিথ্যা।

(ii) বর্ষার সময় 2 হেক্টর জমিতে বৃষ্টিপাত 5 সেমি উচ্চতার হলে, বৃষ্টির জলের আয়তন 1000 ঘন মিটার।
     [ উত্তর সংকেত : 1 আর = 100 বর্গ মি, 1 হেক্টর = 100 আর ]

উত্তর –

জলের আয়তন = 2 হেক্টর 5 সেমি

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একটি সমকোনী চৌপলের কর্নের সংখ্যা ______ টি।

উত্তর – 4টি

(ii) একটি ঘনকের একটি তলের কর্নের দৈর্ঘ্য = ______ × একটি ধারের দৈর্ঘ্য।

উত্তর – \sqrt{2}

(iii) সমকোনী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম ______।

উত্তর – ঘনক

25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি আয়তঘনের তল সংখ্যা = x, ধার সংখ্যা = y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = z, এবং কর্ণের সংখ্যা = p হলে, x – y + z + p –এর মান কত তা লিখি।

উত্তর –

x – y + z + p = 6 – 12 + 8 + 4 = 6

(ii) দুটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4, 6, 4 একক এবং 8, (2h – 1), 2 একক। যদি আয়তঘন দুটির ঘনফল সমান হয়, তাহলে h-এর মান কত তা লিখি।

উত্তর –

প্রথম আয়তঘনের ঘনফল = 4 × 6 × 4 = 96
প্রথম আয়তঘনের ঘনফল = 8 × (2h – 1) × 2 = 16(2h – 1)

প্রশ্নানুসারে,

\[16\left( 2h-1 \right)=96\]

\[\Rightarrow 2h-1=\frac{96}{16}=6\]

\[\Rightarrow 2h=6+1\]

\[\therefore \,h=\frac{7}{2}=3.5\]

h-এর মান 3.5

(iii) একটি ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি হবে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য x একক
∴ ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে নতুন ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য = \left( x+x\times \frac{50}{100} \right)=\left( x+\frac{x}{2} \right)=\frac{3x}{2} একক
∴ নতুন ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6{{\left( \frac{3x}{2} \right)}^{2}}=6\times \frac{9{{x}^{2}}}{4}=\frac{27}{2}{{x}^{2}}বর্গ একক
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = \left( \frac{27}{2}{{x}^{2}}-6{{x}^{2}} \right)=\frac{15}{2}{{x}^{2}} বর্গ একক
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি = \left( \frac{\frac{15}{2}{{x}^{2}}}{6{{x}^{2}}}\times 100 \right)%=125%

(iv) তিনটি নিরেট ঘনক যাদের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সেমি, 4 সেমি এবং 5 সেমি। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে তা লিখি।

উত্তর –

নতুন ঘনকটির প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য x সেমি
নতুন ঘনকটির আয়তন = 33 + 43 + 53 = 27 + 64 + 125 = 216 ঘনসেমি
∴ x3 = 63
∴ x = 6
নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি

(v) একটি ঘরের দুটি সংলগ্ন দেয়ালের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মি এবং 8 মি। ঘরটির উচ্চতা 4 মি হলে, ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল কত তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল = 12 × 8 = 96 বর্গ মিটার।

;