কষে দেখি – 25
1. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভুমিক তলে 20 মিটার দুরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয়, তাহলে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, AB হল নারকেল গাছের উচ্চতা।
B বিন্দু থেকে 20 মিটার দূরত্বে অবস্থিত C বিন্দুর সাপেক্ষে A বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° অর্থাৎ, ∠ACB = 60°, BC = 20 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = \frac{AB}{BC}
বা, \sqrt{3}=\frac{AB}{20}
বা, AB=20\sqrt{3}
সুতরাং, নারকেল গাছটির উচ্চতা 20\sqrt{3} মিটার।
2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, AB হল স্তম্ভের উচ্চতা।
B বিন্দু থেকে 9 মিটার দূরত্বে অবস্থিত C বিন্দুর সাপেক্ষে A বিন্দুর উন্নতি কোণ 30° অর্থাৎ, ∠ACB = 30°, BC = 9 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 30° = \frac{AB}{BC}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{9}
বা, AB=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}
সুতরাং, স্তম্ভটির উচ্চতা 3\sqrt{3} মিটার।
3. 150 মি লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভুমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে উড়তে থাকে, তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, AB হল মাঠ থেকে ঘুড়ির উচ্চতা এবং AC হল ঘুড়ির সুতোর দৈর্ঘ্য।
ঘুড়িটি অনুভুমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে অর্থাৎ, ∠ACB = 60°, AC = 150 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
sin 60° = \frac{AB}{AC}
বা, \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{150}
বা, AB=\frac{150\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}
সুতরাং, ঘুড়িটি মাঠ থেকে 75\sqrt{3} মিটার উঁচুতে রয়েছে।
4. একটি নদীর একটি পাড়ের একটি তালগাছের সোজাসুজি অপর পাড়ে একটি খুঁটি পুঁতলাম। এবার নদীর পাড় ধরে ওই খুঁটি থেকে 7\sqrt{3} মিটার সরে গিয়ে দেখছি নদীর পাড়ের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটির পাদদেশ 60° কোণে রয়েছে। নদীটি কত মিটার চওড়া নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, নদীটি AB পরিমান চওড়া এবং BC হল নদীর পাড়।
C বিন্দু থেকে নদীর পাড়ের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটির পাদদেশ A বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° অর্থাৎ, ∠ACB = 30°, BC = 9 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = \frac{AB}{BC}
বা, \sqrt{3}=\frac{AB}{7\sqrt{3}}
বা, AB=7\sqrt{3}\times \sqrt{3}=21
সুতরাং, নদীটি 21 মিটার চওড়া।
5. ঝড়ে একটি টেলিগ্রাফপোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 8\sqrt{3} মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভুমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। পোস্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির উচ্চতা কত ছিল হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, AB টেলিগ্রাফপোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে D বিন্দুতে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 8\sqrt{3}মিটার দূরে C বিন্দুতে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভুমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে।
অর্থাৎ, AD = CD, ∠BCD = 30° এবং BC = 8\sqrt{3} মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,
tan 30° = \frac{BD}{BC}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{BD}{8\sqrt{3}}
বা, BD=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,
cos 30° = \frac{BC}{CD}
বা, \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{CD}
বা, CD=\frac{8\sqrt{3}\times 2}{\sqrt{3}}=16
∴ AB = CD + BD = (16 + 8) = 24
সুতরাং, পোস্টটি মাটি থেকে 8 মিটার উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির উচ্চতা 24 মিটার ছিল।
6. আমাদের পাড়ায় রাস্তার দু-পাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে। প্রথম বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে 6 মিটার দূরে একটি মই-এর গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেয়ালে ঠেকানো যায়, তবে তা অনুভুমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু মইটিকে যদি একই জায়গায় রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালে লাগানো যায়, তাহলে অনুভুমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করে।
(i) মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া কত দূরে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
(iii) রাস্তা কত চওড়া নির্ণয় করি।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, BX হল প্রথম বাড়ি, CY হল দ্বিতীয় বাড়ি AE বা DE হল মই –এর দৈর্ঘ্য এবং BC হল রাস্তার দৈর্ঘ্য।
প্রথম বাড়ির দেওয়ালে মই ঠেকালে অনুভূমিকের সাথে 30°এবং দ্বিতীয় বাড়ির দেওয়ালে মই ঠেকালে অনুভূমিকের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ, ∠AEB = 30°, ∠DEC = 60°, BE = 6 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABE থেকে পাই,
cos 30° = \frac{BE}{AE}
বা, \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{AE}
বা, AE=\frac{6\times 2}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}
সুতরাং, AE=DE=4\sqrt{3}
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ CDE থেকে পাই,
cos 60° = \frac{EC}{DE}
বা, \frac{1}{2}=\frac{EC}{4\sqrt{3}}
বা, EC=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}
আবার, sin 60° = \frac{CD}{DE}
বা, \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CD}{4\sqrt{3}}
বা, CD=\frac{4\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{2}=6
সুতরাং, BC=BE+EC=6+2\sqrt{3}=2\left( 3+\sqrt{3} \right)
(i) মইটির দৈর্ঘ্য 4\sqrt{3}মিটার।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া 2\sqrt{3} মিটার দূরে রয়েছে।
(iii) রাস্তা 2\left( 3+\sqrt{3} \right) মিটার চওড়া।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির 6 মিটার উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ।
7. যদি একটি চিমনির গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চুড়ার উন্নটি কোণ 60° হয় এবং সেই বিন্দু ও চিমনির গোড়ার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত ওই বিন্দু থেকে আরও 24 মিটার দুরের অপর একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চুড়ার উন্নতি কোণ 30° হয়, তাহলে চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
[ \sqrt{3}-এর আসন্ন মান 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি ]
উত্তর –
মনেকরি, AB হল চিমনির উচ্চতা, B বিন্দু থেকে কিছু দূরে অবস্থিত C বিন্দুর সাপেক্ষে A বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° এবং C বিন্দু থেকে আরও 24 মিটার দুরের অপর একটি বিন্দু D –এর সাপেক্ষে চিমনির চুড়া A বিন্দুর উন্নতি কোণ 30°।
সুতরাং, ∠ACB = 60°, CD = 24 মিটার, ∠ADB = 30°
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = \frac{AB}{BC}
বা, \sqrt{3}=\frac{AB}{BC}
বা, BC=\frac{AB}{\sqrt{3}}\,.........\left( 1 \right)
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 30° = \frac{AB}{BD}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{BD}
বা, BD=\sqrt{3}AB
বা, BC+CD=\sqrt{3}AB
বা, \frac{AB}{\sqrt{3}}+24=\sqrt{3}AB [(1) থেকে পাই]
বা, \sqrt{3}AB-\frac{AB}{\sqrt{3}}=24
বা, \frac{3AB-AB}{\sqrt{3}}=24
বা, \frac{2}{\sqrt{3}}AB=24
বা, AB=\frac{24\times \sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}=12\times 1.732=20.784
সুতরাং, চিমনির উচ্চতা 20.784 মিটার।
8. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি খুটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুটিটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
[ \sqrt{3} = 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি ]
উত্তর –
মনেকরি, AB হল খুঁটিটির উচ্চতা।
প্রশ্নানুসারে, ∠ADB = 60°, CD = 3 মিটার, ∠ACB = 45°
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 60° = \frac{AB}{BD}
বা, \sqrt{3}=\frac{AB}{BD}
বা, BD=\frac{AB}{\sqrt{3}}\,.........\left( 1 \right)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 45° = \frac{AB}{BC}
বা, 1=\frac{AB}{BC}
বা, AB=BC
বা, AB=BD+CD
বা, AB=\frac{AB}{\sqrt{3}}+3 [(1) থেকে পাই]
বা, AB-\frac{AB}{\sqrt{3}}=3
বা, \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}AB=3
বা, AB=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{3\times 1.732}{1.732-1}
বা, AB=\frac{5.196}{0.732}=7.098
সুতরাং, খুটিটির উচ্চতা 7.098 মিটার।
9. 9\sqrt{3} মিটার উঁচু তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30° হয়। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, AB বাড়ির ছাদের উচ্চতা এবং CD হল চিমনির উচ্চতা।
অর্থাৎ, AB = 9\sqrt{3} মিটার, BC = 30 মিটার, ∠DAE = 30°
সুতরাং, BC = AE = 30 মিটার, AB = CD = 9\sqrt{3} মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ADE থেকে পাই,
tan 30° = \frac{DE}{AE}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{DE}{30}
বা, DE=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}
∴ CD=DE+DE=9\sqrt{3}+10\sqrt{3}=19\sqrt{3}
সুতরাং, চিমনির উচ্চতা 19\sqrt{3} মিটার।
10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যদি জথেক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দুরত্বে থাকে, তাহলে দুরের জাহাজের মাস্তুল লাইট হাউস থেকে কত দুরত্বে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, AB হল লাইট হাউসের উচ্চতা।
সুতরাং, BD = 150 মিটার, ∠PAD = 60°, ∠PAC = 30°
অর্থাৎ, ∠ADB = 60°, ∠ACB = 30°
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 60° = \frac{AB}{BD}
বা, \sqrt{3}=\frac{AB}{150}
বা, AB=150\sqrt{3}
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 30° = \frac{AB}{BC}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{150\sqrt{3}}{BC}
বা, BC=150\sqrt{3}\times \sqrt{3}=450
সুতরাং, তাহলে দুরের জাহাজের মাস্তুল লাইট হাউস থেকে 450 মিটার দুরত্বে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা 150\sqrt{3} মিটার।
11. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চুড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30°; বাড়িটির উচ্চতা 16 মিটার হলে, মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়িটির মনুমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, AB হল বাড়িটির উচ্চতা এবং CD হল মনুমেন্টের উচ্চতা।
সুতরাং, ∠DAE = 60°, ∠EAC = 30°, AB = 16 মিটার।
অর্থাৎ, AE = BC, AB = EC
সমকোণী ত্রিভুজ ACE থেকে পাই,
tan 30° = \frac{EC}{AE}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{16}{AE}\left[ \because \,EC=AB=16 \right]
বা, AE=16\sqrt{3}
∴ BC=16\sqrt{3}
সমকোণী ত্রিভুজ ADE থেকে পাই,
tan 60° = \frac{DE}{AE}
বা, \sqrt{3}=\frac{DE}{16\sqrt{3}}
বা, DE=16\sqrt{3}\times \sqrt{3}=48
∴ CD = EC + DE = 16 + 48 = 64
সুতরাং, মনুমেন্টের উচ্চতা 64 মিটার এবং বাড়িটির মনুমেন্ট থেকে 16\sqrt{3} মিটার দূরে অবস্থিত।
12. 250 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছি। সুতোটি যখন অনুভুমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে থাকে এবং সুতোটি যখন অনুভুমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে তখন প্রতিক্ষেত্রে ঘুড়িটি আমার থেকে কত উপরে থাকবে হিসাব করে লিখি। এদের মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, ঘুড়িটি যখন অনুভূমিকের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে তখন ঘুড়িটির সুতোর দৈর্ঘ্য AC।
অর্থাৎ, AC = 250 মিটার, ∠CAB = 60°
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
sin 60° = \frac{BC}{AC}
বা, \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{BC}{250}
বা, BC=250\times \frac{\sqrt{3}}{2}=125\sqrt{3}
∴ এক্ষেত্রে ঘুড়িটি মাটি থেকে 125\sqrt{3} মিটার উপরে উড়ছে।
আবার, ঘুড়িটি যখন অনুভূমিকের সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে তখন ঘুড়িটির সুতোর দৈর্ঘ্য CD ।
অর্থাৎ, CD = 250 মিটার, ∠CDA = 45°
সমকোণী ত্রিভুজ ACD থেকে পাই,
sin 45° = \frac{AC}{CD}
বা, \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{AC}{250}
বা, AC=\frac{250}{\sqrt{2}}=125\sqrt{2}
∴ এক্ষেত্রে ঘুড়িটি মাটি থেকে 125\sqrt{2} মিটার উপরে উড়ছে।
সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে।
13. উড়ো জাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং ঠিক বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে 60° ও 30° অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময়ে উড়োজাহাজটি যদি 545\sqrt{3} মিটার উঁচুতে থাকে, তাহলে হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, A হল হাওড়া স্টেশন, B হল শহিদ মিনার এবং C হল উড়ো জাহাজ।
সুতরাং, CE = 545\sqrt{3} মিটার।
∠XCA = ∠CAD = 60°, ∠YCB = ∠CBD = 30°
সমকোণী ত্রিভুজ ACD থেকে পাই,
tan 60° = \frac{CD}{AD}
বা, \sqrt{3}=\frac{545\sqrt{3}}{AD}
বা, AD=\frac{545\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=545
সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,
tan 30° = \frac{CD}{DB}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{545\sqrt{3}}{DB}
বা, DB=545\sqrt{3}\times \sqrt{3}=1635
∴ AB = AD + DB = 545 + 1635 = 2180
সুতরাং, হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব 2180 মিটার।
14. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে। রাস্তার কোনো এক স্থান থেকে দেখলে পতাকা দন্ডটির চুড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোন যথাক্রমে 50° ও 45° হয়। তিনতলা বাড়িটের উচ্চতা হিসাব করে লিখি। [ ধরি, tan50° = 1.192 ]
উত্তর –
মনেকরি, BC হল বাড়িটির উচ্চতা এবং AB হল পতাকা দন্ডের উচ্চতা।
অর্থাৎ, AB = 3.3 মিটার, ∠ADC = 50°, ∠BDC = 45°
সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,
tan 45° = \frac{BC}{CD}
বা, 1=\frac{BC}{CD}
বা, CD=BC
সমকোণী ত্রিভুজ ACD থেকে পাই,
tan 50° = \frac{AC}{CD}
বা, 1.192=\frac{AB+BC}{BC}\,\left[ \because \,\text{tan 5}0{}^\circ =1.192,\,CD=BC \right]
বা, 1.192=\frac{3.3+BC}{BC}
বা, 1.192BC=3.3+BC
বা, 1.192BC-BC=3.3
বা, 0.192BC=3.3
বা, BC=\frac{3.3}{1.192}=17.19
সুতরাং, তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা 17.19 মিটার (প্রায়)।
15. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চুড়ার উন্নতি কোন 60° হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চুড়ার উন্নতি কোন হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি স্তম্ভ দুটি যথাক্রমে AB = 180 মিটার, CD = 60 মিটার এবং ∠ACB = 60°
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = \frac{AB}{BC}
বা, \sqrt{3}=\frac{180}{BC}
বা, BC=\frac{180}{\sqrt{3}}=60\sqrt{3}
সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,
tan ∠CBD = \frac{CD}{BC}
বা, tan ∠CBD = \frac{60}{60\sqrt{3}}
বা, tan ∠CBD = \frac{1}{\sqrt{3}}
বা, tan ∠CBD = tan 30°
∴ ∠CBD = 30°
সুতরাং, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চুড়ার উন্নতি কোন 30°।
16. সূর্যের উন্নতি কোন 45° হলে, কোনো সমতলে অবস্থিত একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য যা হয়, উন্নতি কোন 30° হলে, ছায়ার দৈর্ঘ্য তার চেয়ে 60 মিটার বেশি হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি AB হল স্তম্ভের উচ্চতা, ∠ADB = 45°, ∠ACB = 30°, CD = 60 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 45 = \frac{AB}{BD}
বা, 1=\frac{AB}{BD}
বা, BD=AB\,........\left( 1 \right)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 30° = \frac{AB}{BC}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{BD+CD}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{AB+60}
বা, \sqrt{3}=\frac{AB+60}{AB}
বা, \sqrt{3}=1+\frac{60}{AB}
বা, \sqrt{3}-1=\frac{60}{AB}
বা, AB=\frac{60}{\sqrt{3}-1}
বা, AB=\frac{60}{1.732-1}=\frac{60}{0.732}
বা, AB=81.96
সুতরাং, স্তম্ভটির উচ্চতা 81.96 মিটার (প্রায়)।
17. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভুমিক সরলরেখায় কোনো এক বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চুড়ার উন্নতি কোন 30° থেকে 60° হলো। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, AB হল চিমনির উচ্চতা, ∠ADB = 60°, ∠ACB = 30°, CD = 50°
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 60° = \frac{AB}{BD}
বা, \sqrt{3}=\frac{AB}{BD}
বা, BD=\frac{AB}{\sqrt{3}}\,.........\left( 1 \right)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 30° = \frac{AB}{BC}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{BD+CD}
বা, BD+CD=\sqrt{3}AB
বা, \frac{AB}{\sqrt{3}}+50=\sqrt{3}AB\,\left[ \because BD=\frac{AB}{\sqrt{3}} \right]
বা, \sqrt{3}AB-\frac{AB}{\sqrt{3}}=50
বা, \frac{3AB-AB}{\sqrt{3}}=50
বা, \frac{2AB}{\sqrt{3}}=50
বা, AB=50\times \frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}
সুতরাং, চিমনির উচ্চতা 25\sqrt{3} মিটার।
18. 126 ডেসিমি উঁচু একটি উল্লম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশ কাত হয়ে পড়ায় তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে 30° কোন উৎপন্ন করেছে। খুটিটি কত উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, AB হল উলম্ব খুঁটির উচ্চতা, খুঁটিটি D বিন্দু থেকে দুমড়ে গিয়ে অগ্রভাগ C বিন্দুতে মাটি স্পর্শ করেছে।
অর্থাৎ, AB = 126 ডেসিমি, ∠BCD = 30°, AD = CD
মনেকরি, BD = x, সুতরাং, AD = CD = 126 – x
সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,
sin 30° = \frac{BD}{CD}
বা, \frac{1}{2}=\frac{x}{126-x}
বা, 2x=126-x
বা, 2x+x=126
বা, 3x=126
বা, x=\frac{126}{3}=42
আবার, tan 30° = \frac{BD}{BC}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{x}{BC}
বা, BC=x\sqrt{3}=42\sqrt{3}
সুতরাং, খুঁটিটি 42 ডেসিমি উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 42\sqrt{3} ডেসিমি দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল।
19. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিনদিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি একই সরলরেখা বরাবর 50\sqrt{3} মিটার উঁচুতে উড়ে থাকে, তবে তার গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, B বিন্দু থেকে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে A বিন্দুতে দেখতে পেল এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিনদিকে 60° উন্নতি কোণে C বিন্দুতে দেখতে পেল।
অর্থাৎ, ∠ABD = (90° – 30°) = 60° এবং ∠CBD = (90° – 60°) = 30°, BD = 50\sqrt{3}মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 60° = \frac{AD}{BD}
বা, \sqrt{3}=\frac{AD}{50\sqrt{3}}
বা, AD=50\sqrt{3}\times \sqrt{3}=150
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,
tan 30° = \frac{CD}{BD}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{CD}{50\sqrt{3}}
বা, CD=\frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=50
∴ AC = AD + CD = 150 + 50 = 200
সুতরাং, 2 মিনিটে পাখিটি 200 মিটার যায়।
∴ পাখিটির গতিবেগ = \frac{200\times 60}{2\times 1000}=6 কিমি/ঘন্টা।
20. 5\sqrt{3}মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30° অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সেকেন্ডে পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45° অবনিত কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ মিটার প্রতি সেকেন্ডে 45°
উত্তর –
রেলওয়ে ওভারব্রিজে A বিন্দুতে দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30° অবনতি কোণে B বিন্দুতে দেখলেন। কিন্তু 2 সেকেন্ডে পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45° অবনতি কোণে C বিন্দুতে দেখলেন।
∠ABD = 30°, ∠ACD = 45° এবং AD = 5\sqrt{3}মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
cot 30° = \frac{BD}{AD}
বা, \sqrt{3}=\frac{BD}{5\sqrt{3}}
বা, BD=5\sqrt{3}\times \sqrt{3}=15
সমকোণী ত্রিভুজ ACD থেকে পাই,
cot 45° = \frac{DC}{AD}
বা, 1=\frac{DC}{5\sqrt{3}}
বা, DC=5\sqrt{3}=5\times 1.732=8.66
∴ BC = BD + DC = 15 + 8.66 = 23.66
সুতরাং, ট্রেনটি 2 সেকেন্ডে 23.66 মিটার যায়।
ট্রেনটির গতিবেগ = \frac{23.66}{2}=11.83 মিটার/সেকেন্ড।
21. একটি নদীর পাড়ের সঙ্গে লম্বভাবে একটি সেতু আছে। সেতুটির একটি পাড়ের প্রান্ত থেকে নদীর পাড় ধরে কিছু দূর গেলে সেতুর অপর প্রান্তটি 45° কোণে দেখা যায় এবং পাড় ধরে আরও 400 মিটার দূরে সরে গেলে সেই প্রান্তটি 30° কোণে দেখা যায়। সেতুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, AB সেতুটির A বিন্দুটি নদীর পাড়ের D বিন্দুতে 45° কোণ করেছে এবং আরও 400 মিটার দূরে C বিন্দুতে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে।
অর্থাৎ, ∠ADB = 45°, ∠ACB = 30°, CD = 400 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 45° = \frac{AB}{BD}
বা, 1=\frac{AB}{BD}
বা, BD=AB
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 30° = \frac{AB}{BC}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{BC}
বা, \sqrt{3}AB=BC
বা, \sqrt{3}AB=BD+CD
বা, \sqrt{3}AB=AB+400
বা, \sqrt{3}AB-AB=400
বা, \left( \sqrt{3}-1 \right)AB=400
বা, AB=\frac{400}{\left( \sqrt{3}-1\right)}=\frac{400\left( \sqrt{3}+1\right)}{\left( \sqrt{3}-1\right)\left( \sqrt{3}+1\right)}
বা, AB=\frac{400\left( \sqrt{3}+1\right)}{3-1}=\frac{400\left( \sqrt{3}+1\right)}{2}=200\left( \sqrt{3}+1\right)
সুতরাং, সেতুটির দৈর্ঘ্য 200\left( \sqrt{3}+1 \right) মিটার।
22. একটি পার্কের একপ্রান্তে অবস্থিত 15 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে পার্কের অপর পারে অবস্থিত একটি ইটভাটার চিমনির পাদদেশ ও অগ্রভাগ যথাক্রমে 30° অবনতি কোন ও 60° উন্নতি কোণে দেখা যায়। ইটভাটার চিমনির উচ্চতা এবং ইতভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, AB হল বাড়ির উচ্চতা এবং CD হল চিমনির উচ্চতা।
সুতরাং, AB = 15 মিটার, ∠CAE = 30°, ∠DAE = 60°
অর্থাৎ, AB = EC = 15 মিটার, BC = AE
সমকোণী ত্রিভুজ ACE থেকে পাই,
tan 30° = \frac{EC}{AE}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{15}{AE}
বা, AE=15\sqrt{3}
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ADE থেকে পাই,
tan 60° = \frac{DE}{AE}
বা, \sqrt{3}=\frac{DE}{15\sqrt{3}}
বা, DE=15\sqrt{3}\times \sqrt{3}=45
∴ CD = EC + DE = 15 + 45 = 60
ইটভাটার চিমনির উচ্চতা 60 মিটার এবং ইতভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব 15\sqrt{3} মিটার।
23. একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের অবনতি কোন যথাক্রমে 60° ও 30° হলে, উড়োজাহাজটির উচ্চতা নির্ণয় করি, (i) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত, (ii) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই পাশে অবস্থিত।
উত্তর –
(i) মনেকরি, A বিন্দুতে অবস্থিত উড়োজাহাজটি রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলক B ও C –এর সাথে (ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত ) 60° ও 30° অবনতি কোন উৎপন্ন করেছে।
এখানে, BC = 1 কিমি = 1000 মিটার।
∠BAD = (90° – 60°) = 30°, ∠CAD = 90° – 30° = 60°
সমকোণী ত্রিভুজ BAD থেকে পাই,
tan 30° = \frac{BD}{AD}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{BD}{AD}
বা, BD=\frac{AD}{\sqrt{3}}
সমকোণী ত্রিভুজ ADC থেকে পাই,
tan 60° = \frac{DC}{AD}
বা, \sqrt{3}=\frac{DC}{AD}
বা, DC=\sqrt{3}AD
বা, BC-BD=\sqrt{3}AD
বা, 1000-\frac{AD}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}AD
বা, \sqrt{3}AD+\frac{AD}{\sqrt{3}}=1000
বা, \frac{3AD+AD}{\sqrt{3}}=1000
বা, \frac{4AD}{\sqrt{3}}=1000
বা, AD=\frac{1000\times \sqrt{3}}{4}=250\sqrt{3}
সুতরাং, এক্ষেত্রে উড়োজাহাজটির উচ্চতা ছিল 250\sqrt{3} মিটার।
(ii) মনেকরি, A বিন্দুতে অবস্থিত উড়োজাহাজটি রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলক B ও C –এর সাথে (ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত ) 60° ও 30° অবনতি কোন উৎপন্ন করেছে।
এখানে, BC = 1 কিমি = 1000 মিটার।
∠DAB = (90° – 60°) = 30°, ∠DAC = (90° – 30°) = 60°
সমকোণী ত্রিভুজ BAD থেকে পাই,
tan 30° = \frac{DB}{AD}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{DB}{AD}
বা, DB=\frac{AD}{\sqrt{3}}
সমকোণী ত্রিভুজ ADC থেকে পাই,
tan 60° = \frac{DC}{AD}
বা, \sqrt{3}=\frac{DC}{AD}
বা, DC=\sqrt{3}AD
বা, DB+BC=\sqrt{3}AD
বা, \frac{AD}{\sqrt{3}}+1000=\sqrt{3}AD
বা, \sqrt{3}AD-\frac{AD}{\sqrt{3}}=1000
বা, \sqrt{3}AD-\frac{AD}{\sqrt{3}}=1000
বা, \frac{3AD-AD}{\sqrt{3}}=1000
বা, \frac{2AD}{\sqrt{3}}=1000
বা, AD=\frac{1000\times \sqrt{3}}{2}=500\sqrt{3}
সুতরাং, এক্ষেত্রে উড়োজাহাজটির উচ্চতা ছিল 500\sqrt{3} মিটার।
24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) মাঠের উপর একটি বিন্দু থেকে মোবাইল টাওয়ারের চুড়ার উন্নটি কোণ 60° এবং টাওয়ারের গোড়া থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব 10 মিটার। টাওয়ারের উচ্চতা
(a) 10 মিটার (b) 10\sqrt{3}মিটার (c) \frac{10}{\sqrt{3}} মিটার (d) 100 মিটার
উত্তর –
প্রশ্নানুসারে, \tan 60{}^\circ =\frac{BC}{AB}
বা, \sqrt{3}=\frac{BC}{10}
বা, BC=10\sqrt{3}
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (b) 10\sqrt{3} মিটার।
(ii) θ –এর মান –
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) 75°
উত্তর –
প্রশ্নানুসারে, \tan \theta =\frac{5}{5\sqrt{3}}
বা, \tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}
বা, \tan \theta =\tan 30{}^\circ
বা, \theta =30{}^\circ
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) 30°
(iii) তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে মাটিতে পড়ে থাকা একটি বাক্সকে যত কোণে দেখলে বাড়ির উচ্চতা ও বাড়ি থেকে বাক্সটির দূরত্ব সমান হয় তা হলো,
(a) 15° (b) 30° (c) 45° (d) 60°
উত্তর –
এখানে, AB=BC
প্রশ্নানুসারে, \tan \theta =\frac{AB}{BC}
বা, \tan \theta =1=\tan 45{}^\circ
বা, \theta =45{}^\circ
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) 45°
(iv) একটি টাওয়ারের উচ্চতা 100\sqrt{3} মিটার। টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে 100 মিটার দূরে একটি বিন্দু থেকে টাওয়ারের চুড়ার উন্নতি কোণ
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) কোনোটিই নয়
উত্তর –
প্রশ্নানুসারে, \tan \theta =\frac{100\sqrt{3}}{100}=\sqrt{3}
বা, \tan \theta =\tan 60{}^\circ
বা, \theta =60{}^\circ
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) 60°
(v) একটি পোস্টের ভূমিতলের ছায়ার দৈর্ঘ্য পোস্টের উচ্চতার \sqrt{3} গুন হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) কোনোটিই নয়
উত্তর –
প্রশ্নানুসারে, \tan \theta =\frac{x}{x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
বা, \tan \theta =\tan 30{}^\circ
বা, \theta =30{}^\circ
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) 30°
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –
(i) △ABC এর ∠B=90°, AB=BC হলে ∠C=60°
উত্তর –
△ABC এর ∠B = 90°, AB = BC
অর্থাৎ, ∠A = ∠C = \frac{90{}^\circ }{2}=45{}^\circ
সুতরাং, উক্তিটি – মিথ্যা।
(ii) PQ একটি বাড়ির উচ্চতা, QR ভূমি। P বিন্দু থেকে R বিন্দুর অবনতি কোণ ∠SPR; সুতরাং, ∠SPR=∠PRQ.
উত্তর –
এক্ষেত্রেও, PS || QR, PR ছেদক
সুতরাং, ∠SPR=∠PRQ
সুতরাং, উক্তিটি – সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –
(i) সূর্যের উন্নতি কোণ 30° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য _______ পায়। (বৃদ্ধি/হ্রাস)
উত্তর – হ্রাস পায়।
(ii) সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে, একটি পোস্টের দৈর্ঘ্য ও তার ছায়ার দৈর্ঘ্য __________ হবে।
উত্তর –
প্রশ্নানুসারে, \tan 45{}^\circ=\frac{AB}{BC}
বা, 1=\frac{AB}{BC}
বা, AB=BC
উত্তর – সমান হবে।
(iii) যখন সূর্যের উন্নতি কোণ 45°-এর __________ তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য স্তম্ভের উচ্চতা থেকে কম।
উত্তর –
এক্ষেত্রে, ∠ACB = 45° হলে, AB = BC
আবার, ∠ADB = 60° হলে, BC > BD
অর্থাৎ, AB > BD
উত্তর – বেশি হবে।
25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° এবং সুতোর দৈর্ঘ্য 20\sqrt{3} মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উচ্চতায় আছে হিসাব করি।
উত্তর –
মনেকরি AC হল সুতোর দৈর্ঘ্য এবং AB হল মাটি থেকে ঘুড়িটির উচ্চতা, ∠ACB = 60°
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
sin 60° = \frac{AB}{AC}
বা, \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{20\sqrt{3}}
বা, AB=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 20\sqrt{3}=30
সুতরাং, ঘুড়িটি মাটি থেকে 30 মিটার উচ্চতায় আছে।
(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্র ABC-এর অতিভুজ AC-এর দৈর্ঘ্য 100 মিটার এবং AB= 50\sqrt{3} মিটার হলে, ∠C এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্র ABC-এর অতিভুজ AC-এর দৈর্ঘ্য 100 মিটার এবং AB=50\sqrt{3}
sin ∠C = \frac{AB}{AC}
বা, sin ∠C = \frac{50\sqrt{3}}{100}
বা, sin ∠C = \frac{\sqrt{3}}{2}
বা, sin ∠C = sin 60°
বা, ∠C = 60°
(iii) ঝড়ে একটি গাছ মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগ এমনভাবে ভূমি স্পর্শ করেছে যে গাছটির অগ্রভাগ থেকে গোড়ার দূরত্ব এবং বর্তমান উচ্চতা সমান। গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে কত কোণ করেছে হিসাব করি।
(iv) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B=90°, AB র উপর D এমন একটি বিন্দু যে AB:BC:BD = \sqrt{3}:1:1, ∠ACD –এর মান নির্ণয় করি।
(v) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত \sqrt{3}:1 হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করি।
;
