কষে দেখি – 20
1. নিম্নলিখিতগুলিকে ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করি –
(i) 832’ (ii) 6312” (iii) 375′ (iv) 27\frac{1}{2}{}^\circ (v) 72.04°
উত্তর –
(i) 832’ = {{\left( \frac{832}{60} \right)}^{{}^\circ }}=13{}^\circ +{{\left( \frac{52}{60} \right)}^{{}^\circ }}=13{}^\circ +{{\left( \frac{52}{60}\times 60 \right)}^{'}}=13{}^\circ +52'=13{}^\circ 52'
(ii) 6312” = \left( \frac{6312}{60} \right)'=105'+\left( \frac{12}{60} \right)'=\left( \frac{105}{60} \right){}^\circ +\left( \frac{52}{60}\times 60 \right)''=1{}^\circ +\left( \frac{45}{60} \right){}^\circ +12''
\[=1{}^\circ +\left( \frac{45}{60}\times 60 \right)’+12”=1{}^\circ +45’+12”=1{}^\circ 45’12”\]
(iii) 375” = \left( \frac{375}{60} \right)'=6'+\left( \frac{15}{60} \right)'=6'+\left( \frac{15}{60}\times 60 \right)''=6'+15''=6'15''
(iv) 27\frac{1}{2}{}^\circ =27{}^\circ +\left( \frac{1}{12}\times 60 \right)'=27{}^\circ +5'=27{}^\circ 5'
(v) 72.04° = 72° + 0.04° = 72° + (0.04 × 60)’ = 72° + 2.40’ = 72° + 2’ + (0.40)’ = 72° + 2’ + (0.40 × 60)” = 72° + 2’ + 24” = 72°2’24”
2. নিম্নলিখিতগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি –
(i) 60° (ii) 135° (iii) -150° (iv) 72° (v) 22°30’ (vi) – 62°30’ (vii) 52°52’30” (viii) 40°16’24”
উত্তর –
(i) 60° -এর বৃত্তীয় মান = 60\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{3}
(ii) 135° -এর বৃত্তীয় মান = 135\times \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}
(iii) –150° -এর বৃত্তীয় মান = -150\times \frac{\pi }{180}=-\frac{5\pi }{6}
(iv) 72° -এর বৃত্তীয় মান =72\times \frac{\pi }{180}=\frac{2\pi }{5}
(v) 22°30’ = 22{}^\circ +\left( \frac{30}{60} \right){}^\circ =22{}^\circ +\frac{1}{2}{}^\circ =22\frac{1}{2}{}^\circ =\frac{45}{2}{}^\circ
∴ 22°30’ -এর বৃত্তীয় মান = \frac{45}{2}\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{8}
(vi) – 62°30’ =\[-\left\{ 62{}^\circ +\left( \frac{30}{60} \right){}^\circ \right\}=-\left\{ 62{}^\circ +\frac{1}{2}{}^\circ \right\}=-62\frac{1}{2}{}^\circ =-\frac{125}{2}{}^\circ \]
∴ – 62°30’ -এর বৃত্তীয় মান = -\frac{125}{2}\times \frac{\pi }{180}=-\frac{25\pi }{72}
(vii) 52°52’30” = 52{}^\circ +52'+\left( \frac{30}{60} \right)'=52{}^\circ +\left( 52+\frac{1}{2} \right)'=52{}^\circ +\left( \frac{105}{2} \right)'=52{}^\circ +\left( \frac{105}{2\times 60} \right){}^\circ =\left( 52+\frac{21}{24} \right){}^\circ =\left( \frac{1269}{24} \right){}^\circ
∴ 52°52’30” -এর বৃত্তীয় মান = \frac{1269}{24}\times \frac{\pi }{180}=\frac{47\pi }{160}
(viii) 40°16’24” = 40{}^\circ +16'+\left( \frac{24}{60} \right)'=40{}^\circ +\left( 16+\frac{2}{5} \right)'=40{}^\circ +\left( \frac{82}{5} \right)'=40{}^\circ +\left( \frac{82}{5\times 60} \right){}^\circ =\left( 40+\frac{41}{150} \right){}^\circ =\left( \frac{6041}{150} \right){}^\circ
∴ 40°16’24” -এর বৃত্তীয় মান = \frac{6041}{150}\times \frac{\pi }{180}=\frac{6041\pi }{27000}
3. △ABC-এর AC = BC এবং BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। যদি ∠ACD = 144° হয়, তবে ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি,
উত্তর –
△ABC-এর AC = BC
অর্থাৎ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং, ∠ABC = ∠BAC
আবার, BC বাহুকে Dপর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
শর্তানুসারে, বহিঃস্থ ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC
বা, 144° = 2∠ABC [∵ ∠ABC = ∠BAC]
বা, ∠ABC = \frac{144{}^\circ }{2}=72{}^\circ
∴ ∠BAC = 72°
∴ ∠ACB = 180° – ∠ACD = 180° – 144° = 36°
72° = 72\times \frac{\pi }{180}=\frac{2\pi }{5}
36° = 36\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{5}
ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয় মান \frac{2\pi }{5},\frac{2\pi }{5},\frac{\pi }{5}।
4. একটি সমকোনী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর \frac{2\pi }{5} হলে, ষষ্টিক পদ্ধতিতে ওই কোণদ্বয়ের মান লিখি।
উত্তর –
সমকোনী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর =\frac{2\pi }{5}=\frac{2\times 180{}^\circ }{5}=72{}^\circ
আবার, সমকোনী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির সমষ্টি = 90°
অর্থাৎ, ষষ্টিক পদ্ধতিতে কোনদ্বয়ের মান যথাক্রমে \frac{90{}^\circ +72{}^\circ }{2}=\frac{162{}^\circ }{2}=81{}^\circ এবং \frac{90{}^\circ -72{}^\circ }{2}=\frac{18{}^\circ }{2}=9{}^\circ ।
5. একটি ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 65° এবং দ্বিতীয়টির পরিমাপ \frac{\pi }{12}; তৃতীয় কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
ত্রিভুজের প্রথম কোণের পরিমাপ 65°
দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান = \frac{180{}^\circ }{12}=15{}^\circ
∴ তৃতীয় কোণটির ষষ্টিক মান = 180° – (65° + 15°) = 180° – 80° = 100°
∴ তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = 100\times \frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{9}
6. দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর \frac{\pi }{12} হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে x° ও y°।
\frac{\pi }{12}-এর ষষ্টিক মান = \frac{180{}^\circ }{12}=15{}^\circ
প্রশ্নানুসারে, x° + y° = 135° ………(i) এবং x° – y° = 15° ………(ii)
(i) এবং (ii) যোগ করে পাই,
2x° = 150° বা, x° = \frac{150{}^\circ }{2}=75{}^\circ
∴ y° = 135° – 75° = 60°
∴ 75° -এর বৃত্তীয় মান =75\times \frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{12}
∴ 60° -এর বৃত্তীয় মান = 60\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{3}
সুতরাং কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 75°, 60° এবং বৃত্তীয় মান যথাক্রমে \frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{3}।
7. একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, ত্রিভুজের কোণ তিনটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 2x°, 3x°, 4x° যেখানে x হল সাধারণ গুনিতক।
শর্তানুসারে,
2x° + 3x° + 4x° = 180°
বা, 9x° = 180°
∴ x° = 20°
∴ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির ষষ্টিক মান = 4 × 20° = 80°
∴ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান = 80\times \frac{\pi }{180}=\frac{4\pi }{9}
8. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 28 সেমি। এই বৃত্তে 5.5 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ (r) = 28 সেমি বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য (S) = 5.5 সেমি
মনেকরি, বৃত্তে 5.5 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান θ
শর্তানুসারে,
S = r × θ
∴ \theta =\frac{S}{r}=\frac{5.5}{28}=\frac{55}{28\times 10}=\frac{11}{56}
∴ কোণটির বৃত্তীয় মান \frac{11}{56}=\frac{11\times 2}{8\times 7\times 2}=\frac{22}{7}\times \frac{1}{16} রেডিয়ান = \frac{\pi }{16}\,\,\left[ \because \,\,\pi =\frac{22}{7} \right]
9. একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপ কেন্দ্রে যে কোণ ধারণ করে আছে তার অনুপাত 5:2 এবং দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30° হলে, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 5x°, 2x°; দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30°
সুতরাং, 2x° = 30° বা, x° = 15°
∴ প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান = 5x° = 5 × 15° = 75°
∴ প্রথম কোণটির বৃত্তীয় মান = 75\times \frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{12}
10. একটি ঘূর্ণায়মান রশ্মি -5\frac{1}{12}\pi কোণ উৎপন্ন করেছে। রশ্মিটি কোনদিকে কতবার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপরে আরও কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে তা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
ঘূর্ণায়মান রশ্মি দ্বারা উৎপন্ন কোণের ষষ্টিক মান = \[-5\frac{1}{12}\times 180{}^\circ =-\frac{61}{12}\times 180{}^\circ =-915{}^\circ =-\left( 2\times 360{}^\circ +195{}^\circ \right)\]
সুতরাং, রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে 2 বার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপরে আরও 195° কোণ উৎপন্ন করেছে।
11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুত কোণ ∠ABC = 45°; ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠ABD, ∠BAD, ∠CBD এবং ∠BCD-এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
∠ABC = 45°, ∠ABC –এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
অর্থাৎ, ∠ABD = ∠CBD
সুতরাং, ∠ABD = ½ ∠ABC = \frac{45{}^\circ }{2}
অর্থাৎ, ∠CBD = \frac{45{}^\circ }{2}
আবার ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = BC
অর্থাৎ, ∠BAC = ∠BCA
∴ ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°
বা, 2∠BAC + 45° = 180°
বা, 2∠BAC = 180° – 45° = 135°
∴ ∠BAC = \frac{135{}^\circ }{2}
∴ ∠ABD –এর বৃত্তীয় মান =\frac{45}{2}\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{8}
∠BAD –এর বৃত্তীয় মান = \frac{135}{2}\times \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{8}
∠CBD –এর বৃত্তীয় মান =\frac{45}{2}\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{8}
এবং ∠BCD –এর বৃত্তীয় মান =\frac{135}{2}\times \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{8}
12. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC ভূমিকে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন CE = BC হয়। A, E যুক্ত করে ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
ABC সমবাহু ত্রিভুজ অর্থাৎ ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°
আবার, BC = CE, BC = AC অর্থাৎ, AC = CE
সুতরাং, ACE ত্রিভুজের AC = CE
∴ ∠AEC = ∠CAE
∴ বহিঃস্থ ∠BCA = ∠AEC + ∠CAE
বা, 60° = 2∠CAE
∴ ∠CAE = \frac{60{}^\circ }{2}=30{}^\circ
∴ ∠AEC = 30°
∴ ∠ACE = 180° – (30° + 30°) = 120°
30° –এর বৃত্তীয় মান = 30\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{6}120° –এর বৃত্তীয় মান =
120\times \frac{\pi }{180}=\frac{2\pi }{3}
∴ ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}।
13. কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে \frac{\pi }{3}, \frac{5\pi }{6} ও 90° হলে, চতুর্থ কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
90° –এর বৃত্তীয় মান =90\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{2}
∴ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণটির বৃত্তীয় মান =
\[2\pi -\left( \frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{2} \right)=2\pi -\left( \frac{2\pi +5\pi +3\pi }{6} \right)=2\pi -\frac{10\pi }{6}\]
\[=\frac{12\pi -10\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}\]
∴ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণটির \left( \frac{\pi }{3} \right) ষষ্টিক মান =\frac{180{}^\circ }{3}=60{}^\circ
14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টায় আবর্তন করে
(a) \frac{\pi }{4} রেডিয়ান (b) \frac{\pi }{2} রেডিয়ান (c) \pi রেডিয়ান (d) 2\pi রেডিয়ান
উত্তর –
সঠিক উত্তরটি হল – (d) রেডিয়ান
(ii) \frac{\pi }{6} রেডিয়ান সমান
(a) 60° (b) 45° (c) 90° (d) 30°
উত্তর –
\[\frac{\pi }{6}=\frac{180{}^\circ }{6}=30{}^\circ \]
সঠিক উত্তরটি হল – (d) 30°
(iii) একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান
(a) \frac{\pi }{3} (b) \frac{2\pi }{3} (c) \frac{\pi }{6} (d) \frac{\pi }{4}
উত্তর –
সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান = \frac{2\left( 6-2 \right)\times \frac{\pi }{2}}{6}=\frac{2\times 4\times \frac{\pi }{2}}{6}=\frac{2\pi }{3}
সঠিক উত্তরটি হল – (b) \frac{2\pi }{3}
(iv) s = rθ সম্পর্কে θ-এর পরিমাপ করা হয়
(a) ষষ্টিক পদ্ধতিতে (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে (c) ওই দুই পদ্ধতিতে (d) ওই দুই পদ্ধতির কোনটিতেই নয়
উত্তর –
সঠিক উত্তরটি হল – (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে
(v) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A = 120° হলে, ∠C-এর বৃত্তীয় মান
(a) \frac{\pi }{3} (b) \frac{\pi }{6} (c) \frac{\pi }{2} (d) \frac{2\pi }{3}
উত্তর –
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A + ∠C = 180°
বা, ∠C = 180° – ∠A = 180° – 120° = 60°
∠C-এর বৃত্তীয় মান = 60\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{3}
সঠিক উত্তরটি হল – (b)\frac{\pi }{6}
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –
(i) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক।
উত্তর – সত্য।
(ii) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার দিকে দু-বার পূর্ণ আবর্তনের জন্য 720° কোণ উৎপন্ন হয়।
উত্তর – মিথ্যা।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –
(i) π রেডিয়ান একটি __________ কোণ।
উত্তর – π রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ।
(ii) ষষ্টিক পদ্ধতিতে 1 রেডিয়ান সমান _________ (প্রায়)।
উত্তর –
1 রেডিয়ান = \frac{180{}^\circ }{\pi }=\frac{180{}^\circ }{\frac{22}{7}}=180{}^\circ \times \frac{7}{22}=57{}^\circ 16'22''
(iii) \frac{3\pi }{8}পরিমাপের কোণটির সম্পুরক কোণের বৃত্তীয় মান __________।
উত্তর –
\frac{3\pi }{8}পরিমাপের কোণটির সম্পুরক কোণের বৃত্তীয় মান = \pi -\frac{3\pi }{8}=\frac{8\pi -3\pi }{8}=\frac{5\pi }{8}
15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি কোণের ডিগ্রিতে মান D এবং ওই কোণের রেডিয়ানে মান R হলে, \frac{R}{D}-এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
\[R=D\times \frac{\pi }{180}\]
\[\Rightarrow \frac{R}{D}=\frac{\pi }{180}\]
∴ \frac{R}{D}-এর মান \frac{\pi }{180}
(ii) 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পূরক কোণের মান লিখি।
উত্তর –
90° = 89°60’ = 89°59’60”
∴ 63°35’15” কোণটির পূরক কোণের মান = 90° – 63°35’15” = 89°59’60” – 63°35’15” = 26°24’45”
(iii) একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5” হলে, তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
ত্রিভুজের দুটি কোণের সমষ্টি = 65°56’55” + 64°3’5” = 130°
তৃতীয় কোণটির ষষ্টিক মান = 180° – 130° = 50°
∴ তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = 50\times \frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{18}
(iv) একটি বৃত্তে 220 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 63° পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
উত্তর –
মনেকরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
63° বৃত্তীয় মান = 63\times \frac{\pi }{180}=\frac{63\times 22}{180\times 7}রেডিয়ান
আমরা জানি,
\[S=r\times \theta \]
\[\Rightarrow 220=r\times \frac{63\times 22}{180\times 7}\]
\[\therefore \,\,r=220\times \frac{180\times 7}{63\times 22}=200\]
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 200 সেমি।
(v) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান লিখি।
উত্তর –
একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে কোণ উৎপন্ন করে = \frac{360{}^\circ }{12}=30{}^\circ
∴ 30° বৃত্তীয় মান = 30\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{6}
;
