অষ্টম শ্রেণি – অধ্যায় ২০ : জ্যামিতিক প্রমাণ সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 20.1

1. ∆ABC এর BC বাহুর উপর D যেকোনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করি যে, AB + BC + CA > 2AD

উত্তরঃ-

প্রদত্ত ∆ABC এর BC বাহুর উপর D যেকোনো একটি বিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB + BC + CA > 2AD
অঙ্কন – A বিন্দু থেকে BC-এর উপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল।

প্রমাণ
∆ABD এর
AB + BD > AD ………(i)[ যেহেতু, ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর থেকে বড়ো ]
আবার, ∆ADC এর
DC + AC > AD ………(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
AB + BD + DC + AC > AD + AD
AB + BC + CA > 2AD [∵ BD + DC = BC] ( প্রমানিত )

2. ∆ABC এর ভিতরে O যেকোনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করি যে,
(i) AB + AC > OB + OC
(ii) AB + BC + AC > OA + OB + OC

উত্তরঃ-

প্রদত্ত ∆ABC এর ভিতরে O যেকোনো একটি বিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে যে,
(i) AB + AC > OB + OC
(ii) AB + BC + AC > OA + OB + OC

অঙ্কন – O, A, যুক্ত করা হল।

(i) প্রমাণ
∆ABC -তে AB + AC > BC [ যেহেতু, ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর থেকে বড়ো ]
∆BOC -তে OB + OC > BC
আবার, AB > OB, AC > OC
∴ AB + AC > OB + OC ( প্রমানিত )

(ii) AO বাহুকে R পর্যন্ত অঙ্কন করা হল যা BC –কে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। একইভাবে BO কে Q পর্যন্ত AC-র Q বিন্দুতে এবং G কে P পর্যন্ত যা AB কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ

∆ABQ -তে AB + AQ > BQ
বা, AB + AQ > OB + OQ ……….(i)
∆COQ-তে OQ + QC >OC ……….(ii)
(i) + (ii) করে পাই, AB + AQ + OQ + QC > OB +OQ +OC
AB + (AQ +QC) > OB +OC
AB + AC > OB +OC ……….(iii)
অনুরুপভাবে, BC > OA ……….(iv)
(iii) + (iv) করে পাই AB + AC +BC > OB + OC +OA
∴ AB + BC + AC > OA + OB + OC (প্রমানিত)।

Remaining Answers will come soon…

3. প্রমাণ করি যে, একটি চতুর্ভুজের পরিসীমা যেকোনো কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুন অপেক্ষা বৃহত্তর।

4. ∆ABC এর ভিতরে P যেকোনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করি যে,
(i) AP + BP > AB
(ii) AB + BC + AC < 2(AP + BP + CP)

5. প্রমাণ করি যে, ত্রিভুজের পরিসীমা ত্রিভুজটির মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড়ো।

6. প্রমাণ করি যে, একটি চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি চতুর্ভুজের যেকোনো দুটি বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড়ো।

7. প্রমাণ করি যে, একটি চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি চতুর্ভুজটির অর্ধ-পরিসীমার চেয়ে বড়ো।

8. প্রমাণ করি যে, যেকোনো চতুর্ভুজের অন্তঃস্থ কোনো বিন্দু (কোনো কর্ণের উপর নয়) থেকে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড়ো। এবার দেখি যে চতুর্ভুজের ভিতর বিন্দুটির কোনো অবস্থানের জন্য চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ক্ষুদ্রতম হবে।

কষে দেখি – 20.2

1. নীচের বহুভুজগুলির অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি লিখি –
(i) পঞ্চভূজ (ii) ষড়ভুজ (iii) সপ্তভুজ (iv) অষ্টভুজ (v) দশভুজ (vi) বহুভুজ যার বাহুসংখ্যা 12

2. একটি চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 104.5°, 65° এবং 72.5°; চতুর্থ কোণটির পরিমাপ লিখি।

3. একটি পঞ্চভুজের চারটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 65°, 89°, 132° এবং 116°; পঞ্চম কোণটির পরিমাপ লিখি।

4. একটি কুব্জ চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 68°, 70° এবং 75° হতে পারে কিনা লিখি।

5. একটি কুব্জ ষড়ভুজের পাঁচটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 120°, 70°, 95°, 78° এবং 160° হতে পারে কিনা লিখি।

6. নীচের সুষম বহুভুজগুলির প্রতিটি অন্তঃকোণ ও প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ লিখি –
(i) পঞ্চভুজ (ii) ষড়ভুজ (iii) অষ্টভুজ (iv) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 9টি (v) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 10টি (vi) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 18টি

7. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি হতে পারে কিনা (হ্যাঁ/ না) লিখি
(i) 6° (ii) 10° (iii) 13° (iv) 18° (v) 35°

8. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি হতে পারে কিনা (হ্যাঁ/ না) লিখি
(i) 80° (ii) 100° (iii) 120° (iv) 144° (v) 155° (vi) 160°

9. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ 60°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

10. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ 135°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

11. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপের অনুপাত 3 : 2; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

12. একটি বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি 1800°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

13. একটি বহুভুজের পাঁচটি অন্তঃকোণের প্রতিটির পরিমাপ 172° এবং অপর অন্তঃকোণগুলির প্রতিটির পরিমাপ 160°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।

14. প্রমাণ করি যে, একটি চতুর্ভুজের যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের দ্বারা উৎপন্ন কোণ চতুর্ভুজের অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক।

15. ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ। প্রমাণ করি যে ∆ABC সমদ্বিবাহু এবং BE ও CD সমান্তরাল সরলরেখাংশ।

16. ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। ∠BAF –এর সমদ্বিখণ্ডক DE-কে X বিন্দুতে ছেক করে। ∠AXD-এর পরিমাপ লিখি।

কষে দেখি – 20.3

1. দুজন ব্যক্তির একজন একটি পূরব-পশ্চিমমুখী রাস্তায় আসার জন্য দক্ষিণদিক বরাবর আসতে শুরু করলেন এবং অপরজন একই স্থান থেকে একই সাথে দক্ষিণ-পূর্ব দিকে আসতে শুরু করলেন। কোন ব্যক্তি রাস্তায় আগে আসবেন হিসাব করে লিখি।

2. ABCD চতুর্ভুজের AB = AD এবং BC = DC; D বিন্দু থেকে AC বাহুর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব DP; প্রমাণ করি যে, B, P, D বিন্দু তিনটি সমরেখ।

3. ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা। B ও C বিন্দু থেকে AD বাহুর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব BP ও CQ; প্রমাণ করি যে, BP = CQ

;