অষ্টম শ্রেণি – নবম অধ্যায় : ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 9

1. নিচের সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলি দেখি ও না মেপে প্রতিটি ত্রিভুজের কোণ দুটি বাহু সমান হবে লিখি:

উত্তরঃ-

ত্রিভুজ ABC-এর ∠BAC = ∠BCA = 70°
∠ABC-এর সমদ্বিখন্ডক BD অঙ্কন করা হল যা AC বাহুকে D বিন্দুকে ছেদ করেছে।
∆ABD ও ∆BCD-এর মধ্যে
∠ABD = ∠CBD = 20° [ কারন BD, ∠ABC-এর সমদ্বিখন্ডক ]
BD ত্রিভুজ দুটির সাধারণ বাহু
∠BAD = ∠BCD [ প্রচত্ত ]
∴ ∆ABD ≅ ∆BCD [ A-S-A সর্বসমতার শর্তানুসারে ]
∴ AB = BC
উপরের মতো একই পদ্ধতিতে ∆PQR-এ ∠QPR = ∠PRQ = 45°
∴ QP = QR
∆XYZ-এ ∠YXZ = ∠XYZ = 35°
∴ XY = YZ

2. নীচের সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলি দেখি ও না মেপে প্রতিটি ত্রিভুজের কোন কোণগুলি সমান হবে লিখি:

উত্তরঃ-

∆ACB-এর BC = BA = 5 সেমি।
∠ABC-র সমদ্বিখণ্ডক BD অঙ্কন করা হল যা AC-কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∆ABD ও ∆BCD-এর মধ্যে
∠ABD = ∠DBC [ কারন BD, ∠ABC-এর সমদ্বিখন্ডক ]
BD ত্রিভুজ দুটির সাধারণ বাহু।
এবং BC = BA [ প্রদত্ত ]
∴ ∆ABD ≅ ∆CBD [ S-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে ]
∴ ∠BCD = ∠BAD
অর্থাৎ, ∠BCA = ∠BAC
একই পদ্ধতিতে ∆PQR-এ
PQ = PR = 8 সেমি।
∴ ∠PQR = ∠PRQ

3. AB এবং CD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে 0 বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে। প্রমাণ করি যে AC ও BD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পর সমান্তরাল। ACBD চতুর্ভুজটি কী ধরনের চতুর্ভুজ তা লিখি।

উত্তরঃ-

AB ও CD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AC ও BD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
প্রমাণ
AO = OB এবং CO = OD [ যেহেতু, O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত ]
∆AOD ও ∆COB-এর মধ্যে
AO = OB এবং CO = OD,
∠AOD = ∠COB [ বিপ্রতীপ কোণ ]
∴ ∆AOD ≅ ∆COB [ S-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে ]
∴ AD = CB
এবার, ∆ACB ও ∆ABD-এর মধ্যে
AD = CB, AB সাধারণ বাহু
∴ ∆ACB ≅ ∆ABD
∴ AC = BD
এখন ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং কর্ণ দুটি সমান দৈর্ঘ্যের।
∴ ABCD একটি আয়তক্ষেত্র এবং AC || BD (প্রমানিত)।

4. AB এবং CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখার উপর E ও F দুটি বিন্দু। EF সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু O; O বিন্দু দিয়ে যেকোনো সরলরেখাংশ টানা হলো যা AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ সরলরেখাংশ O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

উত্তরঃ-

AB || CD, OE = OF এবং O বিন্দু দিয়ে QP রেখাংশ টানা হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, PO = OQ

প্রমাণ
∆EOP ও ∆QOF-এর মধ্যে
∠EOP = ∠QOF [ বিপ্রতীপ কোণ]
OE = OF [ প্রদত্ত ]
∠PEO = ∠OFQ [AB || CD অর্থাৎ EP = QF ]
∴ ∆EOP ≅ ∆QOF [ S-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে ]
∴ PO = OQ
অর্থাৎ, PQ সরলরেখাংশ O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে। (প্রমানিত)

5. প্রমাণ করি যে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের পরিমাপ সমান।

উত্তরঃ-

∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB = AC। সমদ্বিবাহু ∆ABC-এর ভূমি BC-কে উভয়দিকে BD ও CE পর্যন্ত বর্ধিত করা আছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABD = ∠ACE

প্রমাণ:-
∆ABC-এর AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 180°
∠DBC = ∠ABD + ∠ABC = 180°
∴ ∠ACB + ∠ACE = ∠ABD + ∠ABC
∴ ∠ACE = ∠ABD [∠ACB = ∠ABC]
∴ ∠ABD = ∠ACE (প্রমানিত)

6. প্রমাণ করি যে, সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য সমান।

উত্তরঃ-

∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার মধ্যমা তিনটি AD, BE ও CF।
প্রমাণ করতে হবে যে, AD = BE = CF

প্রমাণ:-
AB = AC = BC = x (ধরি)
∆BFC ও ∆CEB-এর মধ্যে
BF = CE [ AB = AC ⇒ ½ AB = ½ AC]
∠ABC = ∠ACB [ প্রত্যেকটি কোণ 60° ] এবং BC সাধারণ বাহু
∆BFC ≅ ∆CEB [ S-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে ]
∴ BE = CF
একই ভাবে প্রমাণ করা যায় যে, AD = BE
∴ AD = BE = CF (প্রমানিত)।

7. ABCD ট্রাপিজিয়ামের  AD || BC এবং ∠ABC=∠BCD; প্রমাণ করি যে, ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

উত্তরঃ-

ABCD ট্রাপিজিয়মের AD || BC এবং ∠ABC = ∠BCD
প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সমদ্বিবাহু  ট্রাপিজিয়ম অর্থাৎ AB = CD
অঙ্কন
B, D ও A,C যোগ করা হল। BD ও AC পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ
∆ABC ও ∆DCB-এর মধ্যে ∠B = ∠C [ প্রদত্ত ]
BC সাধারণ বাহু
∠BAC = ∠BDC
[∠B = ∠C, ∠A + ∠B = 180°
এবং ∠D + ∠C = 180°
∴ ∠A + ∠B = ∠D + ∠C
কিন্তু ∠B = ∠C
∴ ∠A = ∠D ]
∴∆ABC ≅ ∆DCB [ A-S-A সর্বসমতার শর্তানুসারে ]
∴ AB = CD [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] (প্রমানিত)।

9. ABC এবং DBC দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ BC বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, AD, BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উত্তরঃ-

∆ABC এবং ∆DBC দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB = AC এবং BD = CD।
প্রমাণ করতে হবে যে, AD, BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করেছে।

প্রমাণ
∆ABD ও ∆ACD-এর মধ্যে AB = AC এবং BD = CD [প্রদত্ত]
AD সাধারণ বাহু।
∴∆ABC ≅ ∆ACD [ S-S-S সর্বসমতার শর্তানুসারে ]
আবার, ∆AOB ও ∆AOC-এর মধ্যে
AB = AC
∠ABO = ∠ACO [∆ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ]
এবং AO সাধারণ বাহু।
∴∆AOB ≅ ∆AOC
∴∆ABC সমবাহু এবং AO সরলরেখাংশ BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করেছে ।
একইভাবে, ∆BOD ≅ ∆COD
এবং সমদ্বিবাহু ∆DBC-তে OD সরলরেখাংশ BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করেছে । (প্রমানিত)

10. দুটি সরলরেখাংশ PQ এবং RS পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করে যাতে XP = XR এবং ∠PSX = ∠RQX হয়। প্রমাণ করি যে, ∆PXS = ∆RQX

উত্তরঃ-

PQ এবং RS পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে XP = XR এবং ∠PSX = ∠RQX
প্রমাণ করতে হবে যে, ∆PXS ≅ ∆RQX
অঙ্কন
PS ও RQ যোগ করা হল।

প্রমাণ
∆PXS ও ∆RQX-এর মধ্যে XP = XR এবং
∠PSX = ∠RQX [ প্রদত্ত]
∠PXS = ∠RXQ [ বিপ্রতীপ কোণ] ∆PXS ≅ ∆RQX [ A-S-A সর্বসমতার শর্তানুসারে ] (প্রমানিত)।

;