অষ্টম শ্রেণি – সপ্তম অধ্যায় : বিপ্রতীপ কোনের ধারণা সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 7.1

1. দুটি সরলরেখা PQ ও RS পরস্পরকে 0 বিন্দুতে ছেদ করলে যে বিপ্রতীপ কোণগুলি তৈরি হয় তাদের আঁকি ও নাম লিখি।

উত্তরঃ-

দুটি সরলরেখা PQ ও RS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করলে দু-জোড়া বিপ্রতীপ কোণ তৈরি হয়। তাদের নাম –
∠POR ও ∠SOR এবং ∠POS ও ∠ROQ।

2. ছবি দেখি ও কোণগুলির মান লেখার চেষ্টা করি:

a)

∠1 = 35° ∠2 =_____ ∠3 =_____ ∠4 =_____ লিখি।

b)

∠TOS=20° ∠ROQ=60° ∠POT=_____ ∠ROP=_____ ∠QOS=_____

উত্তরঃ-

(a)

∠3 = ∠1 = 35° [ বিপ্রতীপ কোণ ]
∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 35° = 145°
∠4 = ∠2 = 145° [ বিপ্রতীপ কোণ ]

(b)

∠POT = ∠POS – ∠TOS
               =60° – 20° [∠POS = ∠ROQ, কারণ পরস্পর  বিপ্রতীপ কোণ ]
               =60° – 20° [∠POS = ∠ROQ, কারণ পরস্পর  বিপ্রতীপ কোণ ]

∠ROP = 180° – ∠ROQ    [ PQ সরলরেখার উপর OR রশ্মি দণ্ডায়মান, ∴ ∠ROP + ∠ROQ = 180° ]
               = 180° – 60° = 120°
∠QOS = ∠ROP = 120° [ বিপ্রতীপ কোণ ]

3. তীর্থ PQও XY দুটি সরলরেখা আঁকল যারা পরস্পরকে বিন্দুতে ছেদ করেছে। আমি চাদার সাহায্যে বিপ্রতীপ কোণগুলি মেপে দেখি।

উত্তরঃ-

PQ ও XY দুটি সরলরেখা, যারা পরস্পরকে  O বিন্দুতে ছেদ করেছে। চাঁদার সাহায্যে বিপ্রতীপ কোণগুলি মেপে দেখা গেল –
বিপ্রতীপ কোণ ∠POX = 150° ও ∠YOQ = 150° এবং ∠POY = 30° ও ∠XOQ = 30°

4. পাশের ছবি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর খোঁজার চেষ্টা করি:

i) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর পূরক কোণ। ii) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর সম্পূরক কোণ। iii) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

 উত্তরঃ-

(i) ∠AOM ও ∠MOD পরস্পর পূরক কোণ।
(ii) ∠BOC ও ∠AOC পরস্পর সম্পূরক কোণ।
(iii) ∠AOC ও ∠BOD পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ এবং ∠BOC ও ∠AOD পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

5. দুটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে বিপ্রতীপকোণগুলির পরিমাপ সমান হবে – যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি।

উত্তরঃ-

AB ও CD দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ফলে -জোড়া বিপ্রতীপ কোণ তৈরি হয়েছে, যথা – ∠AOC ও ∠BOD এবং ∠COB ও ∠AOD

∵ O বিন্দুতে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাপ 360°
∴ ∠AOC + ∠BOC + ∠BOD + ∠AOD = 360°
কিন্তু প্রশ্ন অনুসারে, ∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = ∠AOD হতে হবে।
∴ ∠AOC + ∠AOC + ∠AOC + ∠AOC = 360°
বা, 4∠AOC = 360°
∴ ∠AOC = 360°/4 = 90°
∵ প্রতিটি কোণের মান সমান হতে হবে
∴ প্রতিটি কোণের মান 90° হলে বিপ্রতীপ কোণগুলির পরিমাপ সমান হবে। সুতরাং, দুটি সরলরেখা পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণগুলির পরিমাপ সমান হবে।

6. ∠BOD, ∠BOC  এবং ∠AOC এর পরিমাপ লিখি।

উত্তরঃ-

∵ AB সরলরেখার উপর O বিন্দু থেকে নির্গত রশ্মি OD
∴∠AOD + ∠BOD = 180°
বা, 120° + ∠BOD = 180 [ প্রদত্ত ∠AOD = 120° ]
বা, ∠BOD = 180° – 120°
∴ ∠BOD = 60°
∠BOC ও ∠AOD একজোড়া বিপ্রতীপ কোণ
∴ ∠BOC = ∠AOD = 120°
∠AOC ও ∠BOD একজোড়া বিপ্রতীপ কোণ
∴ ∠AOC = ∠BOD = 60°
∴ ∠BOD = 60°, ∠BOC = 120° ও ∠AOC = 60°

7. ∠POR ও ∠QOS – এর সমষ্টি 110°; ∠POS, ∠QOS, ∠QOR ও ∠POR – এর পরিমাপ লিখি।

উত্তরঃ-

∠PQR ও ∠QOS একজোড়া বিপ্রতীপ কোণ
∴ ∠POR = ∠QOS ……….(i)
প্রশ্নানুসারে, ∠POR + ∠QOS = 110°
বা, ∠POR + ∠POR = 110° [ (i) নং থেকে ]
বা, 2∠POR = 110°
বা, ∠POR = 110°/2
∴ ∠POR = 55°
সুতরাং, ∠POR = ∠QOS = 55°
∵ PD সরলরেখাংশের উপর OS রশ্মি দণ্ডায়মান
∴ ∠POS + ∠QOS = 180°
বা, ∠POS + 55° = 180°
বা, ∠POS = 180° – 55°
∴ ∠POS = 125°
∠QOR ও ∠POS একজোড়া বিপ্রতীপ কোণ
∴ ∠QOR = ∠POS = 125°
∴ ∠POS = 125°, ∠QOS = 55°, ∠QOR = 125° ও ∠POR = 55°

8. OP, OQ, OR এবং OS সমবিন্দু। OP এবং OR একই সরলরেখায় অবস্থিত। P ও R বিন্দু O বিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। ∠POQ = ∠ROS এবং ∠POS = ∠QOR । যদি ∠POQ= 50° হয় তবে ∠QOR, ∠ROS এবং ∠POS এর পরিমাপ লিখি।

উত্তরঃ-

প্রদত্ত চিত্রে, OP, OQ, OR এবং OS সমবিন্দু। OP এবং OR একই সরলরেখায় অবস্থিত। P ও R বিন্দুর O বিপরীত পাশে অবস্থিত।

এখানে, ∠POQ = ∠ROS [বিপ্রতীপ কোণ ]
∠POQ = 50° [বিপ্রতীপ কোণ ]
∴ ∠QOR = 180° – 50° = 130°
∠ROS = ∠POQ = 50°
∠POS = ∠QOR = 130° [বিপ্রতীপ কোণ ]
সুতরাং, ∠QOR = 130°, ∠ROS = 50° এবং ∠POS = 130°

9. চারটি রশ্মি একটি বিন্দুতে এমনভাবে মিলিত হয় যে বিপরীত দিকের কোণগুলি সমান। প্রমাণ করি যে ওই চারটি রশ্মি দ্বারা দুটি সরলরেখা তৈরি হয়।

উত্তরঃ-

প্রদত্ত চিত্রে, OA, OB, OC ও OD চারটি রশ্মি O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। তার ফলে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে, যথাক্রমে ∠AOB, ∠BOC, ∠COD ও ∠AOD। এদের মধ্যে ∠AOB = ∠COD এবং ∠BOC = ∠AOD। প্রমান করতে হবে যে, এই চারটি রশ্মি দ্বারা দুটি সরলরেখা যথা AC ও BD তৈরি হয়েছে।

প্রমানঃ

∠AOB = ∠COD
∠BOC = ∠AOD
∵ একটি বিন্দুতে উৎপন্ন প্রতিটি কোণের সমষ্টি 360°
∴ ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠AOD = 360°
বা, ∠AOB + ∠BOC + ∠AOB + ∠BOC = 360°
বা, 2∠AOB + 2∠BOC = 360°
বা, 2(∠AOB + ∠BOC) = 360°
বা, ∠AOB + ∠BOC = 360°/2 = 180°
∠AOB ও ∠BOC দুটি সন্নিহিত কোণ
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180°
∴ ∠AOC একটি সরলকোণ
অর্থাৎ, AC একটি সরলরেখা। অনুরূপভাবে প্রমান করা যায় যে BD – ও একটি সরলরেখা। (প্রমানিত)

10. একটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক ও বহিঃসমদ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত—প্রমাণ করি।

উত্তরঃ-

প্রদত্ত ∠BOC-এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক OP এবং বহিঃসমদ্বিখন্ডক OQ। প্রমান করতে হবে যে, OQ⟂OP অর্থাৎ ∠POQ = 90°

প্রমানঃ

∵ ∠BOC-কে  OP সমদ্বিখন্ডিত করেছে
∴ ∠BOC = ∠POC
অর্থাৎ ∠BOC = ∠BOP + ∠POC
=∠POC + ∠POC
= 2∠POC

আবার, ∠AOC-কে OQ সমদ্বিখন্ডিত করেছে
∴ ∠AOQ = ∠QOC
অর্থাৎ ∠AOC = ∠AOQ + ∠QOC
= ∠QOC + ∠QOC
= 2∠QOC

∵ OC রশ্মি সরলরেখাংশ AB-এর উপর দন্ডায়মান
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°
বা, 2∠QOC + 2∠POC = 180°
বা, 2 (∠QOC + ∠POC) = 180°
বা, ∠QOC + ∠POC = 180°/2 = 90°
∴ ∠POQ = 90° ( প্রমানিত)

11. দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি চার সমকোণ —প্রমাণ করি।

উত্তরঃ-

প্রদত্ত AB ও CD দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। তার ফলে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। যথা – ∠AOC, ∠COB, ∠BOD ও ∠AOD। প্রমান করতে হবে যে, ∠AOC + ∠COB + ∠BOD + ∠AOD = চার সমকোণ।

প্রমানঃ

AB সরলরেখার উপর OC দন্ডায়মান।
∴ ∠AOC + ∠COB = 180° ………(i)
আবার AB সরলরেখার অপরদিকে OD রশ্মি নির্গত হয়েছে
∴ ∠AOD + ∠BOD = 180° ……….(ii)
(i) + (ii) করে পাই,
∠AOC + ∠COB + ∠AOD + ∠BOD = 180° + 180° = 360° = চার সমকোণ। ( প্রমানিত)

12. PQR ত্রিভুজের ∠PQR = ∠PRQ; QR বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের মান সমান—প্রমাণ করি।

উত্তরঃ-

প্রদত্ত △PQR-এর ∠PQR = ∠PRQ। QR বাহুকে উভয়দিকে যথাক্রমে S ও T বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। তার ফলে △PQR-এর দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হল। যথা ∠PQS ও ∠PRT। প্রমান করতে হবে যে, ∠PQS = ∠PRT

প্রমানঃ

∵ SR একটি সরলরেখাংশের উপর QP রশ্মি দন্ডায়মান।
∠PQS + ∠PQR = 180° ……….(i)
আবার QT একটি সরলরেখাংশের উপর RP রশ্মি দন্ডায়মান।
∴ ∠PRT + ∠PRQ = 180° ……….(ii)
(i) এবং (ii) থেকে পাই,
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ
∵ ∠PQR = ∠PRQ [ প্রদত্ত ]
∴ ∠PQS = ∠PRT ( প্রমানিত)।

13. দুটি সরলরেখা পরস্পরকে একটি বিন্দুতে ছেদ করায় যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর দুটি লম্ব সরলরেখা – প্রমাণ করি।

উত্তরঃ-

AB ও CD দুটি সরলরেখা পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে, তার ফলে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে, যথা –  ∠AOC, ∠COB, ∠BOD ও ∠AOD। এখন EF ও GH সরলরেখাদ্বয় যথাক্রমে ∠AOD ও ∠COB এবং ∠AOC ও ∠BOD-কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। প্রমান করতে হবে যে, EF ও GH পরস্পর লম্ব।

প্রমানঃ

∠AOC + ∠COB = 180°
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
∠2 + ∠2 + ∠3 + ∠3 = 180° [∠AOC ও ∠COB-এর সমদ্বিখন্ডক যথাক্রমে OG ও OF, তাই ∠1 = ∠2 এবং ∠3 = ∠4 ]
বা, 2∠2 + 2 ∠3 = 180°
বা, 2 (∠2 + ∠3 ) = 180°
বা, ∠2 + ∠3 = 180°/2 = 90°
বা, ∠GOF = 90°
অনুরূপভাবে প্রমান করা যায় যে, ∠4 + ∠5 =90°, ∠6 + ∠7 = 90° এবং ∠8 + ∠1 = 90°
সুতরাং, ∠GOF = 90°, ∠FOH = 90°, ∠EOH = 90° এবং ∠GOF = 90°
EF ও GH পরস্পর লম্ব ( প্রমানিত)।

;