সপ্তম শ্রেণী – ষষ্ঠ অধ্যায় : বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 6.1

1. বীজগাণিতিক রাশিমালা তৈরি করি।

(a) x –এর সঙ্গে y যোগ।                            

(b) z থেকে x বিয়োগ।

(c) p –এর দ্বিগুণের সঙ্গে q যোগ।           

(d) x –এর বর্গের সঙ্গে x গুন।

(e) x ও y –এর যোগফলের \frac14অংশ।       

(f) a ও b –এর গুণফলের 4 গুনের সঙ্গে 7 যোগ করলাম।

(g) x –এর দ্বিগুনের সঙ্গে y –এর অর্ধেক যোগ।

(h) x ও y –এর সমষ্টি থেকে x ও y –এর গুণফল বিয়োগ।

2. নীচের দেশলাই কাঠির প্যাটার্ন দেখি ও ছকে লিখি।

উপরের দেশলাই কাঠি দিয়ে তৈরি প্যাটানের সংখ্যা	1	2	3	4	5	6	7	…
দেশলাই কাঠির সংখ্যা	7	12

এবার চল দিয়ে সাধারণ নিয়মটি তৈরি করি।

ট্রাপিজিয়ামের সংখ্যা	1	2	3	4	5	6	………
দেশলাই কাঠির সংখ্যা	5	9

এবার চল দিয়ে সাধারণ নিয়মটি তৈরি করি।

3. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি উৎপাদক গাছের চিত্রের আকারে সাজিয়ে প্রত্যেকটি পদের মৌলিক উৎপাদকগুলি দেখাই ও তারা কতপদী সংখ্যা লিখি।

(a) 5x                               

(b) 7 + 2x + x²                

(c) x² + x + 1                   

(d) 2x²y + 7

(e) 2y³ + y                       

(f) x²y + xy² + xyz         

(g) xy + 2x²y²                 

(h) 5x + 2y

4. নীচে বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় ধ্রুবক ছাড়া অন্য পদগুলির সংখ্যামূলক সহগ (Numerical coefficient) লিখি।

(a) 2x + 3y                      

(b) x² + 2x + 5                

(c) x + 5xy – 7y

(d) – 5 – z                        

(e) x³ + x – y                   

(f) \frac x2+4

5. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় x উৎপাদকযুক্ত পদের বা পদ্গুলির x –এর সহগ লিখি।

(a) y³x + y²

(b) 15z² – 8zx

(c) – x – y + 2

(d) 4 + y + yx

(e) 2 + x + xy²

(f) 15xy⁴ – 14

6. নীচের বীজগাণিতিক পদ্গুলির মধ্যে সদৃশ পদ্গুলি আলাদা আলাদা ঘরে লিখি।

2x, y, 12xy, 3y², –5x, 18y, –4xy, –2y², 21x²y, 3x, 3xy, –xy, –y, –6x², –15x² 

7. নীচের জোড়া পদ্গুলির মধ্যে কোনগুলি সদৃশ পদ ও কোনগুলি অসদৃশ পদ তা যুক্তি দিয়ে লিখি।

(a) 2x, 3y (b) 7x, 8x (c) –29x, 6x (d) 4xy, 6yz (e) –15yx, 8xy (f) 5xy, 6x²y²

8. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় যে পদটিতে x² পদ আছে সেটি লিখি এবং x² –এর সহগ লিখি।

(a) 5 – xy²

(b) –6x² – 8y

(c) 3x² – 15xy² – 8y²

(d) 2 + 3x²y + 4x

(e) 5 – 6x²y² + 6xy

কষে দেখি – 6.2

1. মনে মনে হিসাব করি –

(i) 5x + 3x

(ii) 9y – 3y

(iii) –4y + 7y

(iv) –10x – 2x

(v) 3a + 4a – 2a

(vi) –7x – 2x + 5x

(vii) 6p – 2p + 3p

(viii) 4x² – 2x² – 3x² + x²

(ix) 5a²b – 2a²b – 3a²b + 8a²b

(x) 3x² – 6x² – 2x² – x² + 6x²

2. (a) আমার বয়স x বছর। পল্লবী আমার থেকে 2 বছরের বড়ো। আমাদের দুজনের মোট বয়স হিসাব করি।

(b) আজ আমি x টি ফুলের মালা গেঁথেছি। মীর আমার গাঁথা মালার সংখ্যার দ্বিগুনের থেকে 6 টি বেশি মালা গেঁথেছে। আমি ও মীর দুজনে মোট কতগুলি ফুলের মালা গেঁথেছি হিসাব করি।

(c) রাতুল আজকে x টাকার পেয়ারা, (x + 15) টাকার আপেল, (2x + 3) টাকার শশা কিনল। রাতুল আজকে মোট কত টাকার ফল কিনল হিসাব করি।

(d) গতবছরে ফিরোজা x দিন স্কুলে উপস্থিত ছিল। ফিরোজার বন্ধু মোহিনী (3x + 13) দিন স্কুলে উপস্থিত ছিল। গতবছরে স্কুলে মোহিনীর উপস্থিতি ফিরোজার চেয়ে কত বেশি ছিল হিসাব করি।

(e) দীপুদা আজ (2x + 19) টি কাগজ বিক্রি করেছে। কিন্তু গতকাল সে (5x – 8) টি কাগজ বিক্রি করেছিল। দীপুদা আজকের তুলনায় গতকাল কত বেশি কাগজ বিক্রি করেছিল হিসাব করি।

(f) পরেশবাবু প্রতি মাসে 8x টাকা আয় করেন। কিন্তু প্রতি মাসে তিনি (3x – 15) টাকা ব্যয় করেন। তিনি প্রতিমাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন হিসাব করি।

3. যোগ করি

(i) 3a + b; 2a + 4b; 5a – b

(ii) 5a – 4; 2a + 3; 2a – 4

(iii) 6a² + 7a + 3; 9a² – 2a + 7; 4a² – 2a + 9

(iv) 2a²b + 5b²a + 7; 3a² – 2b²a + 6; 8a²b – b²a + 9

(v) 4xy + 5x + 7y; –4xy – y – 3x; 3xy – 3y + 2x

4. বিয়োগ করি

(i) (8x + 6y) থেকে (2x + 3y)

(ii) (–3m² + 2m + 2) থেকে (m² – 2)

(iii) (2x + 3y) থেকে (8x + 4y + 7)

(iv) (–9a² + 3a + 2) থেকে (5a² + 2a – 1)

(v) x থেকে (–2x² + 3y²)

(vi) 3x² + 5xy থেকে 2x² + xy + 3y²

5. সরল করি

(a) 17x²y – 3xy² + 14x²y + 2xy²

(b) –5b + 18a + 6b – 2a

(c) 4m² + 3n² – (6m² + 7n²)

(d) a – b – (b – a)

(e) (6p – 4q + 2r) + (2p + 3q – 4r)

(f) –x + y + z – (2x – 3y + z)

(g) (x² + 2x – 5) + (3x² – 8x + 5)

(h) (7x² – 3x + 3) – (2x² – 13x – 7)

(i) 6a – 2b – ab – (3a + b – ab) + 2ab – b + a

6. রামুর (13x² + x – 3) টাকা ছিল। সে (4x² – 3x – 12) টাকা খরচ করল। এখন হিসাব করে দেখি তার কাছে আর কত টাকা আছে।

7. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে (x + 4) সেমি, (2x + 1) সেমি ও (4x – 8) সেমি। এই ত্রিভুজের পরিসীমা কত তা হিসাব করে দেখি।

8. –8x² + 8x + 1 –এর সাথে কত যোগ করলে –14x² + 11x – 3 পাব হিসাব করি।

9. –11x – 7y – 9z থেকে কত বিয়োগ করলে –7x + 3y – 5z পাব হিসাব করি।

10. (3x² + 4x) ও (5x² – x) –এর যোগফল (3x – 5x²) –এর থেকে কত বেশি হিসাব করি।

11. (5 + 9x) এবং (6 – 7x + 4x²) এর যোগফল থেকে (x² – 9x) এবং (–2x² + 3x + 5) এর যোগফল বিয়োগ করি।

কষে দেখি – 6.3

1. মনে মনে হিসাব করি –

(i) 3a × 4b = _____

(ii) 12ab ÷ 3a = _____

(iii) 12ab ÷ _____ = 4ab

(iv) (–x²) × x = ____

(v) 9x² ÷ 3x² = ____

(vi) x² × x² = _____

(vii) x² × _____ = 1

(viii) 0 ÷ ab = _____

(ix) 4a²b²c² × _____ = 0

(x) 3ab ÷ _____ = a

(xi) x⁰ × y = ____

(xii) x ÷ 0 = ____

2. গুন করি –

(a) 2x² × (–3y) × 6z

(b) 7xy² × 8x² × xy

(c) (–3a²) × (4a²b) × (–2)

(d) (-2mn)\times \frac{1}{6}{{m}^{2}}{{n}^{2}}\times 13{{m}^{4}}{{n}^{4}}

(e) \frac{2}{3}{{x}^{2}}y\times \frac{3}{5}x{{y}^{2}}

(f) \left( -\frac{18}{5}{{x}^{2}}z \right)\times \left( \frac{25}{6}x{{z}^{2}}y \right)

(g) \left( -\frac{3}{5}{{s}^{2}}t \right)\times \left( \frac{15}{7}s{{t}^{2}}u \right)\times \left( \frac{7}{9}s{{u}^{2}} \right)

(h) \left( \frac{4}{3}{{x}^{2}}yz \right)\times \left( \frac{1}{3}{{y}^{2}}zx \right)\times \left( -6xy{{z}^{2}} \right)

(i) 4a(3a + 7b)

(j) 8a² × (2a + 5b)

(k) –17x² ×(3x – 4)

(l) \frac{2}{3}abc\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-3{{c}^{2}} \right)

(m) 2 × 5x(10x²y – 100xy²)

(n) (2x + 3y)(5x – y)

(o) (a² – b²)(2b – 6a)

(p) (x + 2)(3x + 1)

[ প্রতিক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যা x, y, z, a, b, c, m, n, s, t ও u কারও মান শূন্য নয়।]

3. (i) সীমা প্রতি সারিতে 3x টি চারাগাছ লাগিয়েছে। এইরকম 2x টি সারিতে সীমা কতগুলি চারাগাছ লাগিয়েছে হিসাব করি।

(ii) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (4x + 1) মিটার এবং প্রস্থ 3x মিটার। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হিসাব করি।

(iii) এখন 1 ডজন কলার দাম আগের থেকে 6 টাকা বেড়েছে। আগে 1 ডজন কলার দাম x টাকা থাকলে, এখন 2x ডজন কলা কিনতে কত টাকা লাগবে হিসাব করি।

(iv) একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 7x সেমি হলে, বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত দেখি।

(v) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 8x² বর্গ একক। দৈর্ঘ্য 4x একক হলে, প্রস্থ কত হতে পারে হিসাব করি।

(vi) সুশোভন 9y দিনে 729y⁴ টি ঘুড়ি বিক্রি করেছে। সে গড়ে প্রতিদিন কতগুলি ঘুড়ি বিক্রি করেছে হিসাব করি।

[ প্রতিক্ষেত্রে কোনো বীজগাণিতিক সংখ্যার মান শূন্য নয়।]

4. প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দিয়ে ভাগ করি।

(i) 8x³b, x²b

(ii) –9xy³, xy

(iii) –15x²y⁴z², –x²yz²

(iv) 21l³m³n³, –4l⁴mn

(v) (5a² – 7ab²), a

(vi) (–48x⁹ + 12x⁶), 3x³

(vii) 15m²n + 20m²n², 5mn

(viii) 36a⁵b² – 24a²b⁵, –4a²b²

(ix) 3pqr + 6p²qr² – 9p³q²r³, –3pqr

(x) m²n⁴ + m³n³ – m⁴n², –m⁴n⁴

[ প্রতিক্ষেত্রে কোনো বীজগাণিতিক সংখ্যার মান শূন্য নয়।]

5. সরল করি –

(i) a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)

(ii) a(b – c) – b(c – a) – c(a – b)

(iii) x(x + 4) + 2x(x – 3) – 3x²

(iv) 3x² + x(x + 2) – 3x(2x + 1)

(v) (a + b)(a – b) + (b + c)(b – c) + (c + a)(c – a)

(vi) (a² + b²)(a² – b²) + (b² + c²)(b² – c²) + (c² + a²)(c² – a²)

;