সপ্তম শ্রেণী – নবম অধ্যায় : সর্বসমতার ধারণা সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 9

1. সর্বসমতা বলতে কী বুঝি লিখি।

উত্তর – একটি জ্যামিতিক চিত্রের সাথে অপর একটি জ্যামিতিক চিত্রের সম্পূর্নভাবে মিলে যাওয়াকে অঙ্কের ভাষায় ‘সর্বসম’ বলে। আর এই ধর্মকে সর্বসমতা বলে।

2. ত্রিভুজের সর্বসমতার শর্তগুলি লিখি।

উত্তর –

ত্রিভুজের সর্বসমতার শর্তগুলি হলো –

1. বাহু-বাহু-বাহু বা Side-Side-Side (S-S-S):

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপর একটি ত্রিভুজের অনুরূপ তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে, তাকে বাহু-বাহু-বাহু বা Side-Side-Side (S-S-S) শর্ত বলা হয়।

উদাহরন –

উপরের △ABC এবং △PQR –এর মধ্যে তুলনা করে দেখা যায় যে, AB = PQ, BC = PR এবং AC = PR

∴ বাহু-বাহু-বাহু বা S-S-S শর্ত অনুযায়ী, △ABC এবং △PQR সর্বসম ত্রিভুজ।

2. বাহু-কোণ-বাহু বা Side-Angle-Side (S-A-S):

একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাপ অপর একটি ত্রিভুজের অনুরূপ দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাপ সমান হলে, তাকে বাহু-কোণ-বাহু বা Side-Angle-Side (S-A-S) শর্ত বলা হয়।

উদাহরন –

উপরের △MNP এবং △XYZ –এর মধ্যে তুলনা করে দেখা যায় যে, MN = XY, ∠MNP = ∠XYZ এবং MP = XZ

∴ বাহু-কোণ-বাহু বা S-A-S শর্ত অনুযায়ী, △MNP এবং △XYZ সর্বসম ত্রিভুজ।

3. কোণ-বাহু-কোণ বা Angle-Side-Angle (A-S-A):

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ ও দুটি কোণ সংলগ্ন অন্তর্ভুক্ত বাহুর দৈর্ঘ্য অপর একটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও বাহু সংলগ্ন কোণ দুটির পরিমাপের সমান হলে তাকে কোণ-বাহু-কোণ বা Angle-Side-Angle (A-S-A) শর্ত বলা হয়।

উদাহরন –

উপরের △ABC এবং △XYZ –এর মধ্যে তুলনা করে দেখা যায় যে, ∠ABC = 45° = ∠XYZ, BC = 5 সেমি = YZ এবং ∠ACB = 62° = ∠XZY

∴ কোণ-বাহু-কোণ বা A-S-A শর্ত অনুযায়ী, △ABC এবং △XYZ সর্বসম ত্রিভুজ।

4. সমকোণ-অতিভুজ-বাহু বা Right Angle-Hypotenuse-Side (R-H-S):

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপর একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে, তাকে সমকোণ-অতিভুজ-বাহু বা Right Angle-Hypotenuse-Side (R-H-S) শর্ত বলা হয়।

উদাহরন –

উপরের △STR এবং △MNP –এর মধ্যে তুলনা করে দেখা যায় যে, ∠STR = 90° = ∠MNP, SR = MP [দুটি ত্রিভুজের অতিভুজ] এবং ST = MN

∴ সমকোণ-অতিভুজ-বাহু বা R-H-S শর্ত অনুযায়ী, △STR এবং △MNP সর্বসম ত্রিভুজ।

3. কোণ-কোণ-কোণ ত্রিভুজের সর্বসমতার একটি শর্ত হতে পারে কি? – ছবি এঁকে বোঝাই।

উত্তর –

কোণ-কোণ-কোণ ত্রিভুজের সর্বসমতার একটি শর্ত হতে পারে না। কারণ –

△ABC এবং △XYZ –এর প্রতিটি কোণ সমান। কিন্তু △ABC –এর সাথে △XYZ –এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্যও সমান না। অর্থাৎ, একটি জ্যামিতিক চিত্রের উপর আর একটি জ্যামিতিক চিত্র বসালে সম্পূর্ণভাবে মিলে যাচ্ছে না, অর্থাৎ ত্রিভুজ দুটির কোণগুলি সমান হলেও বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান নয়, অতএব ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে না।

আবার, একটি সমকোণী ত্রিভুজ নিয়ে দেখা যাক –

△PQR এবং △LMN দুটি সমকোণী ত্রিভুজ। ত্রিভুজ দুটির মধ্যে তুলনা করে পাই,

∠PQR = 90° = ∠LMN, ∠QRP = 28° = ∠MNL, ∠QPR = 62° = ∠MLN

কিন্তু PQ = 2.2 সেমি এবং LM = 4 সেমি অর্থাৎ, PQ ≠ LM

QR = 4 সেমি এবং MN = 7 সেমি অর্থাৎ, QR ≠ MN

PR = 4.5 সেমি এবং LN = 8.1 সেমি অর্থাৎ, PR ≠ LN

△PQR এবং △LMN –এর অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান, কিন্তু অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য সমান নয়। অর্থাৎ, একটি জ্যামিতিক চিত্রের উপর আর একটি জ্যামিতিক চিত্র বসালে সম্পূর্ণভাবে মিলে যাচ্ছে না, অতএব ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে না। উপরের দুই জোড়া ত্রিভুজের উদাহরন থেকে এটা প্রমাণিত যে। কোণ-কোণ-কোণ ত্রিভুজের সর্বসমতার একটি শর্ত হতে পারে না।

4. নীচের আঁকা ত্রিভজগুলির প্রত্যেকক্ষেত্রে কোন দুটি সর্বসম এবং কোন দুটি সর্বসম নয় তা সর্বসমতার শর্ত দিয়ে যুক্তিসহ লিখি।

;