সপ্তম শ্রেণী – দ্বিতীয় অধ্যায় : অনুপাত সম্পূর্ণ সমাধান

অনুপাত কাকে বলে?

উত্তর – অনুপাত হল ভাগ দ্বারা একই ধরনের দুই বা ততোধিক পরিমাণের তুলনা।
যদি a এবং b একই ধরণের (একই একক) দুটি পরিমাণ হয়, তবে a/b ভগ্নাংশটিকে a এবং b এর অনুপাত বলে। এটি a : b হিসাবে লেখা হয় (পড়ব ‘a is to b’)। এইভাবে, a এবং b এর অনুপাত = a : b।

মনে রাখিঃ

১) এখানে a এবং b কে অনুপাতের পদ বলা হয়। a –কে বলা হয় প্রথম পদ বা পূর্বপদ এবং b কে বলা হয় দ্বিতীয় পদ বা উত্তরপদ।
২)  অনুপাতের উত্তরপদ কখনোই শূন্য হয় না।
৩) একটি অনুপাতের উভয় পদকে একই অশূন্য সংখ্যা দ্বারা গুন বা ভাগ করলে অনুপাতটি অপরিবর্তিত থাকে।
৪)  অনুপাত a : b এবং b : a সমান হবে যদি a = b।
৫) একটি অনুপাতকে সর্বদা তার লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করতে হবে অর্থাৎ অনুপাতের উভয় পদ পরস্পর মৌলিক হতে হবে।

অনুপাতের প্রকারভেদ

সাধারণত অনুপাত তিন প্রকারের হয়।

গুরু অনুপাত

যখন কোনো অনুপাতের পূর্বপদ > উত্তরপদ হয়, তখন সেই অনুপাতকে গুরু অনুপাত বলে।
যেমন, 7 : 3 অনুপাতের 7 > 3 অর্থাৎ 7 : 3 হল গুরু অনুপাত।

লঘু অনুপাত

যখন কোনো অনুপাতের পূর্বপদ < উত্তরপদ হয়, তখন সেই অনুপাতকে লঘু অনুপাত বলে।
যেমন, 3 : 7 অনুপাতের 3 < 7 অর্থাৎ 3 : 7 হল লঘু অনুপাত।

সাম্যানুপাত

যখন কোনো অনুপাতের পূর্বপদ = উত্তরপদ হয়, তখন সেই অনুপাতকে সাম্যানুপাত বলে।
যেমন, 7 : 7 অনুপাতের 7 = 7 অর্থাৎ 7 : 7 হল সাম্যানুপাত।

মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত

দুই বা দুইয়ের বেশি অনুপাত থাকলে তাদের পূর্বপদগুলির গুণফল ও উত্তরপদগুলির গুণফলের অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত বলা হয়।
উদাহরণ – a : b এবং c : d অনুপাত দুটির যৌগিক অনুপাত হল  (a × c): (b × d)। আবার, a : b, c : d এবং e : f অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত হল (a × c × e): (b × d × f) ইত্যাদি।

কষে দেখি – 2.1

1. 1 কিগ্রা চালের দাম 40 টাকা ও 1 কিগ্রা ডালের দাম 100 টাকা। চাল ও ডালের দামের অনুপাত কত হিসাব করি।

উত্তর –

1 কিগ্রা চালের দাম 40 টাকা ও 1 কিগ্রা ডালের দাম 100 টাকা।

∴ চালের দাম : ডালের দাম = 40 : 100 = 2 : 5

2. ∠BAC: ∠ABC: ∠ACB = কত ?

উত্তর –

∠BAC = 60°, ∠ABC = 50°, ∠ACB = 70°

∴ ∠BAC: ∠ABC: ∠ACB = 60 : 50 : 70 = 6 : 5 : 7

3. 1 টি পেনসিলের দাম 3 টাকা ও 1 টি লজেন্সের দাম 50 পয়সা। 1 টি পেনসিল ও 1 টি লজেন্সের দামের অনুপাত হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

1 টি পেনসিলের দাম 3 টাকা = 300 পয়সা ও 1 টি লজেন্সের দাম 50 পয়সা।

∴ পেনসিলের দাম : লজেন্সের দাম = 300 : 50 = 6 : 1

4. একটি আধুলি, একটি এক টাকা ও একটি দু-টাকার মুদ্রার মূল্যের অনুপাত লিখি।

উত্তর –

একটি আধুলি = 50 পয়সা, একটি এক টাকা = 100 পয়সা ও একটি দু-টাকা = 200 পয়সা।

∴ একটি আধুলি : একটি এক টাকা : একটি দু-টাকা = 50 : 100 : 200 = 1 : 2 : 4

5. উমার বয়স 12 বছর 6 মাস, রাতুলের বয়স 12 বছর 4 মাস ও নুরজাহানের বয়স 12 বছর হলে, ওদের তিনজনের বয়সের অনুপাত কত লিখি।

উত্তর –

উমার বয়স 12 বছর 6 মাস = {(12 × 12) + 6} মাস = {144 + 6} মাস = 150 মাস

রাতুলের বয়স 12 বছর 4 মাস = {(12 × 12) + 4} মাস = {144 + 4} মাস = 148 মাস

নুরজাহানের বয়স 12 বছর = (12 × 12) মাস = 144 মাস

∴ উমার বয়স : রাতুলের বয়স : নুরজাহানের বয়স = 150 : 148 : 144 = 75 : 74 : 72

6. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত কত লিখি।

উত্তর –

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির মান হল 90°, 45° এবং 45°

∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত = 90 : 45 : 45 = 2 : 1 : 1

7. সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত কত লিখি।

উত্তর –

সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির মান হল 60°, 60° এবং 60°

সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত = 60 : 60 : 60 = 1 : 1 : 1

8. পুলকবাবু ও মানিকবাবুর বয়সের অনুপাত 7:9; মানিকবাবুর বয়স 72 বছর হলে, পুলকবাবুর বয়স হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

পুলকবাবু ও মানিকবাবুর বয়সের অনুপাত 7:9; মানিকবাবুর বয়স 72 বছর।

পুলকবাবুর বয়স : মানিকবাবুর বয়স = 7 : 9 = \frac{7}{9}=\frac{?}{72}

যেহেতু, 72 ÷ 9 = 8

∴ পুলকবাবুর বয়স = 7 × 8 = 56 বছর।

9. দুটি বইয়ের দামের অনুপাত 2:5; প্রথম বইটির দাম 32.20 টাকা হলে, দ্বিতীয় বইটির দাম হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

দুটি বইয়ের দামের অনুপাত 2:5; প্রথম বইটির দাম 32.20 টাকা।

প্রথম বইয়ের দাম : দ্বিতীয় বইয়ের দাম = 2:5 = \frac{2}{5}=\frac{32.20}{?}

যেহেতু, 32.20 ÷ 2 = 16.10

∴ দ্বিতীয় বইটির দাম = 5 × 16.10 = 80.50 টাকা।

10. বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22:7; যে বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2 মিটার 1 ডেসিমিটার, সেই বৃত্তের পরিধি হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22:7; বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2 মিটার 1 ডেসিমিটার = 21 ডেসিমিটার।

বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস = 22 : 7 = \frac{22}{7}=\frac{?}{21}

যেহেতু, 21 ÷ 7 = 3

∴ দ্বিতীয় বইটির দাম = 22 × 3 = 66 ডেসিমিটার = 6 মিটার 6 ডেসিমিটার।

11. আমাদের সপ্তম শ্রেণিতে 150 জনের মধ্যে 90 জন ও ষষ্ঠ শ্রেণিতে 140 জনের মধ্যে 80 জন অঙ্কন প্রতিযোগিতায় নাম দিয়েছেন। অনুপাত প্রকাশ করে দেখি কোন শ্রেণিতে প্রতিযোগী বেশি ?

উত্তর –

সপ্তম শ্রেণিতে 150 জনের মধ্যে 90 জন = \frac{90}{150}=\frac{3}{5}

ষষ্ঠ শ্রেণিতে 140 জনের মধ্যে 80 জন = \frac{80}{140}=\frac{4}{7}

এখন, \frac{3}{5}=0.6 এবং \frac{4}{7}=0.57

অর্থাৎ, \frac{3}{5}>\frac{4}{7}\Rightarrow \left( 3:5 \right)>\left( 4:7 \right)

∴ সপ্তম শ্রেণিতে প্রতিযোগী বেশি।

12. দুটি সংখ্যার অনুপাত 5:7 এবং সংখ্যাদুটির গসাগু 13 হলে সংখ্যাদুটি কী কী ?

উত্তর –

দুটি সংখ্যার অনুপাত 5:7 এবং সংখ্যাদুটির গসাগু 13।

∴ প্রথম সংখ্যাটি = 5 × 13 = 65

এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি = 7 × 13 = 91

কষে দেখি – 2.2

1. নীচের অনুপাতগুলিকে লঘিষ্ঠ আকারে পরিণত করি ও প্রত্যেকটি অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত লিখি।

(a) 12:15 (b) 36:54  (c) 75:120  (d) 169:221  (e) 9xy:12xy  (f) 429:663  (g) 3b:12c  (h) 25xyz:625xyz ( যেখানে a, b, x, y, z শূন্য নয় )

উত্তর –

(a) 12 : 15 = 4 : 5
∴ 4 : 5 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 5 : 4

(b) 36 : 54 = 2 : 3
∴ 2 : 3–এর ব্যস্ত অনুপাত = 3 : 2

(c) 75 : 120 = 5 : 8
∴ 5 : 8–এর ব্যস্ত অনুপাত = 8 : 5

(d) 169 : 221 = 13 : 17
∴ 13 : 17 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 17 : 13

(e) 9xy : 12xy = 3 : 4
∴ 3 : 4 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 4 : 3

(f) 429 : 663 = 11 : 17
∴ 11 : 17 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 17 : 11

(g) 3b : 12c = b : 4c
∴ b : 4c –এর ব্যস্ত অনুপাত = 4c : b

(h) 25xyz : 625xyz = 1 : 25
∴ 1 : 25 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 25 : 1

2. নীচের অনুপাতগুলিকে পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে পরিণত করি ও তার ব্যস্ত অনুপাত লিখি।

(a) 2.5:12.5 (b) \frac58:\frac7{16} (c) 0.7:0.49 (d) \frac25:\frac34

(e) 22:4\frac57 (f) \frac7{15}:\frac3{20} (g) 1\frac25:\frac7{10} (h) 4.4:5.61

উত্তর –

(a) 2.5:12.5 = \frac{2.5}{12.5}=\frac{25\times 10}{125\times 10}=\frac{1}{5}=1:5

∴ 1 : 5 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 5 : 1

(b) \frac{5}{8}:\frac{7}{16}=\frac{\frac{5}{8}}{\frac{7}{16}}=\frac{5}{8}\times \frac{16}{7}=\frac{10}{7}=10:7

∴ 10 : 7 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 7 : 10

(c) 0.7:0.49 = \frac{0.7}{0.49}=\frac{7\times 100}{49\times 10}=10:7

∴ 10 : 7 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 7 : 10

(d) \frac{2}{5}:\frac{3}{4}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}=\frac{8}{15}=8:15

∴ 8 : 15 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 15 : 8

(e) 22:4\frac{5}{7}=22:\frac{33}{7}=\left( 22\times 7 \right):\left( \frac{33}{7}\times 7 \right)=14:3

∴ 14 : 3 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 3 : 14

(f) \frac{7}{15}:\frac{3}{20}=\frac{\frac{7}{15}}{\frac{3}{20}}=\frac{7}{15}\times \frac{20}{3}=\frac{28}{9}=28:9

∴ 28 : 9 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 9 : 28

(g) 1\frac{2}{5}:\frac{7}{10}=\frac{7}{5}:\frac{7}{10}=\frac{\frac{7}{5}}{\frac{7}{10}}=\frac{7}{5}\times \frac{10}{7}=\frac{2}{1}=2:1

∴ 2 : 1 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 1 : 2

(h) 4.4 : 5.61 = \frac{4.4}{5.61}=\frac{44\times 100}{561\times 10}=\frac{40}{51}=40:51

∴ 40 : 51 –এর ব্যস্ত অনুপাত = 51 : 40

3. নীচের অনুপাতগুলির মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি এবং মিশ্র অনুপাতটি গুরু অনুপাত, লঘু অনুপাত না সাম্যানুপাত তা লিখি।

(a) 8:6, 3:6 ও 26:13  (b) \frac75:3, \frac57:1\frac1{16} ও 3:16

(c) 8:5, 7:12 ও 22:13 (d) \frac23:5, \frac78:2

উত্তর –

(a) 8:6, 3:6 26:13 –এর মিশ্র অনুপাত = (8 × 3 × 26) : (6 × 6 × 13) = 4 : 3

4 : 3 একটি গুরু অনুপাত।

(b) \frac{7}{5}:3, \frac{5}{7}:1\frac{1}{16}, 3:16 –এর মিশ্র অনুপাত = \left( \frac{7}{5}\times \frac{5}{7}\times 3 \right):\left( 3\times \frac{17}{16}\times 16 \right)=3:51=1:17

1 : 17 একটি লঘু অনুপাত।

(c) 8:5, 7:12, 22:13 –এর মিশ্র অনুপাত = (8 × 7 × 22) : (5 × 12 × 13) = 308 : 195

308 : 195 একটি গুরু অনুপাত।

(d) \frac{2}{3}:5, \frac{7}{8}:2–এর মিশ্র অনুপাত = \left( \frac{2}{5}\times \frac{7}{8} \right):\left( 5\times 2 \right)=\frac{7}{12}:10=\frac{7}{12}\times 12:10\times 12=7:120

7 : 120  একটি লঘু অনুপাত।

4. রীতা 100 টি অঙ্কের মধ্যে 60 টি সঠিক করেছে। বিনয় ওই অঙ্কের 80 টির মধ্যে 50 টি সঠিক করেছে। অনুপাতে প্রকাশ করে দেখি কে বেশি অঙ্ক ঠিক করেছে।

উত্তর –

রীতার ক্ষেত্রে,

সঠিক অঙ্ক : মোট অঙ্ক = 60 : 100 = 3 : 5

বিনয়ের ক্ষেত্রে,

সঠিক অঙ্ক : মোট অঙ্ক = 50 : 80 = 5 : 8

এখন 3:5=\frac{3}{5} এবং 5:8=\frac{5}{8}

5 ও 8 –এর ল.সা.গু. = 40

এবার, \frac{3}{5}=\frac{3\times 8}{5\times 8}=\frac{24}{40}এবং \frac{5}{8}=\frac{5\times 5}{8\times 5}=\frac{25}{40}

সুতরাং, \frac{25}{40}>\frac{24}{40}\Rightarrow \left( 5:8 \right)>\left( 3:5 \right)

অর্থাৎ, বিনয় বেশি অঙ্ক ঠিক করেছে।

5. এবছরে মাধ্যমিক পরীক্ষায় আমাদের বিদ্যালয়ে 150 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 100 জন গ্রেড – A পেয়ে উত্তীর্ণ হয়েছে। পাশের বিদ্যালয়ে 100 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 80 জন গ্রেড – A পেয়ে উত্তীর্ণ হয়েছে। এবছর মাধ্যমিকে কোন বিদ্যালয় গ্রেড – A ভালো ফল করেছে তা অনুপাতে প্রকাশ করে বের করি।

উত্তর –

আমাদের বিদ্যালয়ের ক্ষেত্রে,

গ্রেড – A পাওয়া পরীক্ষার্থী : মোট পরীক্ষার্থী = 100 : 150 = 2 : 3

পাশের বিদ্যালয়ের ক্ষেত্রে,

গ্রেড – A পাওয়া পরীক্ষার্থী : মোট পরীক্ষার্থী = 80 : 100 = 4 : 5

এখন 2:3=\frac{2}{3} এবং 4:5=\frac{4}{5}

3 ও 5 –এর ল.সা.গু. = 15

এবার, \frac{2}{3}=\frac{2\times 5}{3\times 5}=\frac{10}{15} এবং \frac{4}{5}=\frac{4\times 3}{5\times 3}=\frac{12}{15}

সুতরাং, \frac{12}{15}>\frac{10}{15}\Rightarrow \left( 4:5 \right)>\left( 2:3 \right) অর্থাৎ, এবছর মাধ্যমিকে পাশের বিদ্যালয় গ্রেড – A ভালো ফল করেছে।

6. দুটি বাড়ির দামের অনুপাত 4:3 এবং দ্বিতীয়টির দাম 4,20,000 টাকা। প্রথম বাড়িটির দাম কত হিসাব করি। প্রথম বাড়িটির দাম যদি 70,000 টাকা বেশি হতো, তবে তাদের দামের অনুপাত কত হতো দেখি।

উত্তর –

দুটি বাড়ির দামের অনুপাত 4:3 এবং দ্বিতীয়টির দাম 4,20,000 টাকা।

∴ প্রথম বাড়িটির দাম = \text{4},\text{2}0,000\times \frac{4}{3}=5,60,000 টাকা।

প্রথম বাড়িটির দাম যদি 70,000 টাকা বেশি হতো, তবে প্রথম বাড়িটির দাম হতো = (560000 + 70000) = 630000 টাকা।

এখন, প্রথম বাড়িটির দাম : দ্বিতীয়টি বাড়িটির দাম = 630000 : 560000 = 3 : 2

7. একটি বাঁশ থেকে এক টুকরো বাঁশ কেটে নেওয়া হলো এবং দেখা গেল দুটি অংশের বাঁশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:1। নীচের সারনী থেকে টুকরো দুটির দৈর্ঘ্য কী কী হতে পারে এবং বাঁশটির দৈর্ঘ্য কী হতে পারে লিখি।

অনুপাত	প্রথম টুকরোর দৈর্ঘ্য	দ্বিতীয় টুকরোর দৈর্ঘ্য	মোট বাঁশের দৈর্ঘ্য
3:1	30 ডেসিমি
3:1		15 ডেসিমি

উত্তর –

অনুপাত	প্রথম টুকরোর দৈর্ঘ্য	দ্বিতীয় টুকরোর দৈর্ঘ্য	মোট বাঁশের দৈর্ঘ্য
3:1	30 ডেসিমি	10 ডেসিমি	40 ডেসিমি
3:1	45 ডেসিমি	15 ডেসিমি	60 ডেসিমি

কষে দেখি – 2.3

1. গত বছরে রসকুন্ডূ গ্রামে সাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যার অনুপাত ছিল 4:1। গ্রামের মোট জনসংখ্যা 6550 জন হলে সাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যা কত ছিল দেখি।

উত্তর –

গ্রামে সাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যার অনুপাত ছিল 4:1।

∴ সাক্ষর ও লোকের সংখ্যার আনুপাতীক ভাগ হার = \frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}

এবং অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যার আনুপাতীক ভাগ হার = \frac{1}{4+1}=\frac{1}{5}

∴ গ্রামের 6550 জন লোকের মধ্যে সাক্ষর লোকের সংখ্যা = \frac{4}{5}\times 6550=5240 জন

এবং গ্রামের 6550 জন লোকের মধ্যে অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যা = \frac{1}{5}\times 6550=1310 জন।

2. 640 টাকা বিশু ও অপর্ণার মধ্যে 5:3 অনুপাতে ভাগ করে দিই। কাকে কত টাকা দেব হিসাব করি।

উত্তর –

বিশু ও অপর্ণার প্রাপ্ত টাকার অনুপাত = 5:3

∴ বিশুর আনুপাতীক ভাগহার = \frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}

এবং অপর্ণার আনুপাতীক ভাগহার = \frac{3}{5+3}=\frac{3}{8}

∴ 640 টাকার মধ্যে বিশু পায় = \frac{5}{8}\times 640=400 টাকা

এবং 640 টাকার মধ্যে অপর্ণা পায় = \frac{3}{8}\times 640=240 টাকা।

3. এক বিশেষ প্রকার ইস্পাতে লোহা ও কার্বনের অনুপাত 49:1 হলে, হিসাব করে দেখি এইপ্রকার 250 কুইন্টাল ইস্পাতে কত কুইন্টাল লোহা আছে।

উত্তর –

ইস্পাতে লোহা ও কার্বনের অনুপাত 49:1

∴ লোহার আনুপাতীক ভাগহার = \frac{49}{49+1}=\frac{49}{50}

এবং কার্বনের আনুপাতীক ভাগহার = \frac{1}{49+1}=\frac{1}{50}

∴ 250 কুইন্টাল ইস্পাতে লোহা আছে = \frac{49}{50}\times 250=245 কুইন্টাল

এবং 250 কুইন্টাল ইস্পাতে কার্বন আছে = \frac{1}{50}\times 250=5 কুইন্টাল।

4. কোনো বিদ্যালয়ে 143 জন ছাত্রীর মধ্যে শুধুমাত্র গান করতে পারা ও নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত 9:2; যদি আরও 3 জন ছাত্রী গান করতে আসে, তবে গান করতে পারা ও নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত কত হিসাব করে দেখি।

উত্তর –

শুধুমাত্র গান করতে পারা ও নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত 9:2

∴ শুধুমাত্র গান করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার আনুপাতীক ভাগহার = \frac{9}{9+2}=\frac{9}{11}

এবং শুধুমাত্র নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার আনুপাতীক ভাগহার = \frac{2}{9+2}=\frac{2}{11}

∴ 143 জন ছাত্রীর মধ্যে শুধুমাত্র গান করতে পারে = \frac{9}{11}\times 143=117 জন

এবং 143 জন ছাত্রীর মধ্যে শুধুমাত্র নাচ করতে পারে = \frac{2}{11}\times 143=26 জন।

যদি আরও 3 জন ছাত্রী গান করতে আসে, তবে গান করতে পারা ছাত্রীর সংখ্যা = (117 + 3) = 120 জন।

∴ এখন শুধুমাত্র গান করতে পারা ও নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত = 120 : 26 = 60 : 13।

5. 240 মিলিলি ডেটল-জলে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত 1:3; এর সঙ্গে আরও 60 মিলিলি জল মেশালে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত কত হবে হিসাব করি।

উত্তর –

ডেটল-জলে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত 1:3

∴ ডেটল-জলে জলের আনুপাতীক ভাগহার = \frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}

এবং ডেটল-জলে ডেটলের আনুপাতীক ভাগহার = \frac{3}{1+3}=\frac{3}{4}

∴ 240 মিলিলি ডেটল-জলে জল আছে = \frac{1}{4}\times 240=60 মিলিলি

এবং 240 মিলিলি ডেটল-জলে ডেটল আছে = \frac{3}{4}\times 240=180 মিলিলি

আরও 60 মিলিলি জল মেশালে ডেটল-জলে জলের পরিমাণ হবে = (60 + 60) = 120 মিলিলি

∴ এখন ডেটল-জলে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত = 120 : 180 = 2 : 3

6. এক ব্যক্তির মাসিক আয় 24,750 টাকা। তিনি 750 টাকা বাড়ি ভাড়া দেন এবং বাকি টাকা 3:1 অনুপাতে সংসার খরচ ও ছেলেমেয়েদের শিক্ষার জন্য খরচ করেন। তিনি কত টাকা সংসারে খরচ করেন দেখি।

উত্তর –

এক ব্যক্তির মাসিক আয় 24,750 টাকা।

∴ 750 টাকা বাড়ি ভাড়া দেওয়ার পর অবশিষ্ট থাকে = (24750 – 750) = 24000 টাকা।

সংসার খরচ ও ছেলেমেয়েদের শিক্ষার জন্য খরচের অনুপাত = 3:1

∴ সংসার খরচের আনুপাতীক ভাগহার = \frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}

এবং ছেলেমেয়েদের শিক্ষার জন্য খরচের আনুপাতীক ভাগহার = \frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}

∴ 24000 টাকার মধ্যে সংসার খরচ হয় = \frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}\times 24000=18000 টাকা।

7. বিবেকানন্দ যুব পাঠাগার কোনো এক বছর 74,350 টাকা সরকারি অনুদান পেল, 4,350 টাকা চাঁদা আদায় করল এবং পুরোনো কাগজপত্র ইত্যাদি বিক্রি করে পেল 1,300 টাকা। যদি সব টাকাই নতুন বই কিনতে, পুরোনো বই বাঁধাতে এবং পাঠাগারের কর্মচারীদের বেতন দিতে 15:3:2 অনুপাতে খরচ করা হয়, তবে হিসাব করে দেখি কত টাকার নতুন বই কেনা হয়েছিল।

উত্তর –

বিবেকানন্দ যুব পাঠাগার কোনো এক বছর 74,350 টাকা সরকারি অনুদান পেল, 4,350 টাকা চাঁদা আদায় করল এবং পুরোনো কাগজপত্র ইত্যাদি বিক্রি করে পেল 1,300 টাকা।

∴ বিবেকানন্দ যুব পাঠাগার মোট টাকা পেল = (74,350 + 4,350 + 1,300) টাকা = 80000 টাকা।

নতুন বই কিনতে, পুরোনো বই বাঁধাতে এবং পাঠাগারের কর্মচারীদের বেতন দিতে 15:3:2 অনুপাতে খরচ করা

∴ নতুন বই কিনতে খরচের আনুপাতিক ভাগহার = \frac{15}{15+3+2}=\frac{15}{20}

পুরোনো বই বাঁধাতে খরচের আনুপাতিক ভাগহার = \frac{3}{15+3+2}=\frac{3}{20}

এবং পাঠাগারের কর্মচারীদের বেতন দিতে খরচের আনুপাতিক ভাগহার = \frac{2}{15+3+2}=\frac{2}{20}

∴ নতুন বই কিনতে খরচ হয় = \frac{15}{20}\times 80000=60000 টাকা।

8. কোনো এক ট্রেনিং সেন্টারে 1050 জন ব্যক্তি ট্রেনিং নিতে এসেছেন। তাদের তিনটি বড়ো হলঘরে 11:3:3\frac12 অনুপাতে বসতে দেওয়া হয়েছে। প্রতি হলঘরে কতজন বসবেন হিসাব করি। 

উত্তর –

তিনটি বড়ো হলঘরে 11:3:3\frac{1}{2}অনুপাতে বসতে দেওয়া হয়েছে।

প্রথম হলঘরে বসানো লোকের আনুপাতিক ভাগহার = \frac{11}{11+3+3\frac{1}{2}}=\frac{11}{11+3+\frac{7}{2}}=\frac{11}{\frac{22+6+7}{2}}=\frac{22}{35}

দ্বিতীয় হলঘরে বসানো লোকের আনুপাতিক ভাগহার = \frac{3}{11+3+3\frac{1}{2}}=\frac{3}{11+3+\frac{7}{2}}=\frac{3}{\frac{22+6+7}{2}}=\frac{6}{35}

এবং তৃতীয় হলঘরে বসানো লোকের আনুপাতিক ভাগহার = \frac{3\frac{1}{2}}{11+3+3\frac{1}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{11+3+\frac{7}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{22+6+7}{2}}=\frac{7}{2}\times \frac{2}{35}=\frac{1}{5}

∴ 1050 জনের মধ্যে প্রথম হলঘরে বসবেন = \frac{22}{35}\times 1050=660 জন

1050 জনের মধ্যে দ্বিতীয় হলঘরে বসবেন = \frac{6}{35}\times 1050=180 জন

এবং 1050 জনের মধ্যে তৃতীয় হলঘরে বসবেন = \frac{1}{5}\times 1050=210 জন

9. 12,100 টাকা মধু, মানস, কুন্তল ও ইন্দ্রর মধ্যে 2:3:4:2 অনুপাতে ভাগ করে দিলে কে কত টাকা পাবে হিসাব করে দেখি।

উত্তর –

মধু, মানস, কুন্তল ও ইন্দ্রর প্রাপ্ত টাকার অনুপাত = 2:3:4:2

∴ মধুর প্রাপ্ত টাকার আনুপাতিক ভাগহার = \frac{2}{2+3+4+2}=\frac{2}{11}

মানসের প্রাপ্ত টাকার আনুপাতিক ভাগহার = \frac{3}{2+3+4+2}=\frac{3}{11}

কুন্তলের প্রাপ্ত টাকার আনুপাতিক ভাগহার = \frac{4}{2+3+4+2}=\frac{4}{11}

এবং ইন্দ্রর প্রাপ্ত টাকার আনুপাতিক ভাগহার = \frac{2}{2+3+4+2}=\frac{2}{11}

∴ 12,100 টাকা থেকে মধু পাবে = \frac{2}{11}\times 12100=2200 টাকা

12,100 টাকা থেকে মানস পাবে = \frac{3}{11}\times 12100=3300 টাকা

12,100 টাকা থেকে কুন্তল পাবে = \frac{4}{11}\times 12100=4400 টাকা

এবং 12,100 টাকা থেকে ইন্দ্র পাবে = \frac{2}{11}\times 12100=2200 টাকা

10. ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°; ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB –এর অনুপাত 3:5:10; যদি ∠BAC -এর মান 10° কম এবং ∠ABC –এর মান 10° বেশি হয়, কোণ তিনটির অনুপাত কত হবে হিসাব করি।

উত্তর –

∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB –এর অনুপাত 3:5:10 এবং ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°

∴ ∠BAC –এর মান = \frac{3}{3+5+10}\times 180{}^\circ =\frac{3}{18}\times 180{}^\circ =30{}^\circ

∠ABC –এর মান = \frac{5}{3+5+10}\times 180{}^\circ =\frac{5}{18}\times 180{}^\circ =50{}^\circ

এবং ∠ACB –এর মান = \frac{10}{3+5+10}\times 180{}^\circ =\frac{10}{18}\times 180{}^\circ =100{}^\circ

∠BAC -এর মান 10° কম হলে ∠BAC -এর মান হবে = (30° – 10°) = 20°

এবং ∠ABC –এর মান 10° বেশি হলে ∠ABC -এর মান হবে = (50° + 10°) = 60°

এক্ষেত্রে, ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB –এর অনুপাত = 20 : 60 : 100 = 1 : 3 : 5

11. 9,000 টাকা তিন বন্ধুর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিই যেন প্রথম বন্ধু যা পায়, দ্বিতীয় বন্ধু তার দ্বিগুন পায় এবং তৃতীয় বন্ধু প্রথম দুই বন্ধুর প্রাপ্য মোট টাকার অর্ধেক পায়। কে কত টাকা পায় হিসাব করি।
( প্রথম বন্ধু 1 টাকা পেলে, দ্বিতীয় বন্ধু পায় 2 টাকা, তৃতীয় বন্ধু পাবে \frac{1+2}2 টাকা = \frac32টাকা
∴ প্রথম বন্ধুর প্রাপ্য টাকা : দ্বিতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকা : তৃতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকা = 1:2:\frac32=2:4:3 )

উত্তর –

প্রথম বন্ধু 1 টাকা পেলে, দ্বিতীয় বন্ধু পায় 2 টাকা, তৃতীয় বন্ধু পাবে \frac{1+2}{2}টাকা = \frac{3}{2}টাকা

∴ প্রথম বন্ধুর প্রাপ্য টাকা : দ্বিতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকা : তৃতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকা = 1:2:\frac{3}{2}=2:4:3

∴ 9,000 টাকা থেকে প্রথম বন্ধু পায় = \frac{2}{2+4+3}\times 9000=\frac{2}{9}\times 9000=2000 টাকা

9,000 টাকা থেকে দ্বিতীয় বন্ধু পায় = \frac{4}{2+4+3}\times 9000=\frac{4}{9}\times 9000=4000 টাকা

এবং 9,000 টাকা থেকে তৃতীয় বন্ধু পায় = \frac{3}{2+4+3}\times 9000=\frac{3}{9}\times 9000=3000 টাকা

12. আমাদের গ্রামের রাস্তা তৈরির জন্য পরপর চার বছরের খরচের অনুপাত যদি 2:4:3:2 হয় এবং ওই চার বছরে যদি 132 লক্ষ টাকা খরচ হয়, তবে হিসাব করে দেখি দ্বিতীয় বছরে কত টাকা খরচ হয়েছে। প্রথম ও তৃতীয় বছরে মোট কত টাকা খরচ হয়েছে হিসাব করি।

উত্তর –

গ্রামের রাস্তা তৈরির জন্য পরপর চার বছরের খরচের অনুপাত যদি 2:4:3:2

∴ প্রথম বছরে খরচ হয়েছে = \frac{2}{2+4+3+2}\times 13200000=\frac{2}{11}\times 13200000=2400000 টাকা

দ্বিতীয় বছরে খরচ হয়েছে = \frac{4}{2+4+3+2}\times 13200000=\frac{4}{11}\times 13200000=4800000 টাকা

তৃতীয় বছরে খরচ হয়েছে = \frac{3}{2+4+3+2}\times 13200000=\frac{3}{11}\times 13200000=3600000 টাকা

∴ প্রথম ও তৃতীয় বছরে মোট খরচ হয়েছে = (2400000 + 3600000) টাকা = 6000000 টাকা = লক্ষ টাকা।

13. বিনয়বাবু তাঁর অবসর গ্রহণের সময়ে এককালীন 1,96,150 টাকা পেলেন। তিনি 20,000 টাকা বিদ্যালয়ের গ্রন্থাগারে দান করলেন এবং বাকি টাকা তিনি তাঁর স্ত্রী, পুত্র ও কন্যার মধ্যে 5:4:4 অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। হিসাব করে দেখি তিনি কাকে কত টাকা দিলেন।

উত্তর –

20,000 টাকা বিদ্যালয়ের গ্রন্থাগারে দান করার পর বিনয়বাবুর অবশিষ্ট টাকার পরিমাণ = (1,96,150 – 20,000) টাকা = 176150 টাকা।

স্ত্রী, পুত্র ও কন্যার প্রাপ্ত টাকার অনুপাত = 5:4:4

∴ 176150 টাকা থেকে স্ত্রী পেলেন = \frac{5}{5+4+4}\times 176150=\frac{5}{13}\times 176150=67750 টাকা

176150 টাকা থেকে পুত্র পেলেন = \frac{4}{5+4+4}\times 176150=\frac{4}{13}\times 176150=54200 টাকা

এবং 176150 টাকা থেকে কন্যা পেলেন = \frac{4}{5+4+4}\times 176150=\frac{4}{13}\times 176150=54200 টাকা

14. আমিনুরচাচা তাঁর 35 কাঠা জমিতে 4:3 অনুপাতে বেগুন ও পটল চাষ করেছেন। প্রতি কাঠায় বেগুন থেকে 150 টাকা ও প্রতি কাঠায় পটল থেকে 125 টাকা লাভ করলেন। আমিনুরচাচার মোট জমি থেকে বেগুন ও পটল চাষ করে লাভের পরিমাণের অনুপাত হিসাব করি।

উত্তর –

আমিনুরচাচা তাঁর 35 কাঠা জমিতে 4:3 অনুপাতে বেগুন ও পটল চাষ করেছেন।

∴ 35 কাঠা জমির মধ্যে বেগুন চাষ হয়েছে = \frac{4}{4+3}\times 35=\frac{4}{7}\times 35=20 কাঠা

এবং 35 কাঠা জমির মধ্যে পটল চাষ হয়েছে = \frac{3}{4+3}\times 35=\frac{3}{7}\times 35=15 কাঠা

∴ 20 কাঠা জমিতে বেগুন চাষ করে লাভ হয় = (150 × 20) = 3000 টাকা

এবং 15 কাঠা জমিতে বেগুন চাষ করে লাভ হয় = (125 × 15) = 1875 টাকা।

∴ আমিনুরচাচার মোট জমি থেকে বেগুন ও পটল চাষ করে লাভের পরিমাণের অনুপাত = 3000 : 1875 = 8 : 5।

;