সপ্তম শ্রেণী – অধ্যায় ১২ : বীজগাণিতিক সূত্রাবলি সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 12.1

1. (a + b) কে (a + b) দিয়ে গুন করলে গুণফল নীচের কোনটি হবে দেখি।
(i) a² + b²                          (ii) (a + b)²                       (iii) 2(a + b)                     (iv) 4ab

উত্তর –

∴ \left( a+b \right)\times \left( a+b \right)={{\left( a+b \right)}^{2}}

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল – (ii) (a + b)²

2. (x + 7)² = x² + 14x + k হলে k –এর মান নীচের কোনটি হবে লিখই।
(i) 14                                 (ii) 49                                (iii) 7                                 (iv) কোনটিই নয়। 

উত্তর –

∴ {{\left( x+7 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+14x+49

বা, {{x}^{2}}+2\times x\times 7+{{7}^{2}}={{x}^{2}}+14x+49

বা, {{x}^{2}}+14x+49={{x}^{2}}+14x+49

বা, k=49

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল – (ii) 49

3. a² + b² –এর সাথে কোন বীজগাণিতিক সংখ্যামালা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি। 
(i) 4ab                               (ii) –4ab                           (iii) 2ab বা –2ab                           (iv) 0

উত্তর –

আমরা জানি, {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab এবং {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-b \right)}^{2}}+2ab

সুতরাং, a² + b² –এর সাথে (2ab) বা (–2ab) যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে।

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল – (iii) 2ab বা –2ab

4. (a + b)² = a² + 6a + 9 হলে b –এর ধনাত্মক মান নীচের কোনটি হবে লিখি
(i) 9                                   (ii) 6                                  (iii) 3                                 (iv) –3

উত্তর –

(a + b)² = a² + 6a + 9

বা, {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2\times a\times 3+{{3}^{2}}

বা, {{\left( a+b \right)}^{2}}={{\left( a+3 \right)}^{2}}

বা, a+b=a+3

বা, b=3

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল – (iii) 3

5. x^2+\frac14x এর সঙ্গে নীচের কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।  
(i) \frac1{64} (ii) -\frac1{64} (iii) \frac1{18} (iv) কোনটিই নয়।   

উত্তর –

∴ {{x}^{2}}+\frac{1}{4}x

= {{x}^{2}}+2\times x\times \frac{1}{8}+{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{2}}

= {{\left( x+\frac{1}{8} \right)}^{2}}-\frac{1}{64}

∴ {{x}^{2}}+\frac{1}{4}x এর সঙ্গে \frac{1}{64} যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে।

6. (i) k –এর কোন মান বা মানগুলির জন্য c^2+kc+\frac19 পূর্ণবর্গ হবে লিখি।  

উত্তর –

∴ {{c}^{2}}+kc+\frac{1}{9}

= {{c}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}+kc

= {{\left( c+\frac{1}{3} \right)}^{2}}-2\times c\times \frac{1}{3}+kc

= {{\left( c+\frac{1}{3} \right)}^{2}}+kc-\frac{2c}{3}

এখন, উপরের রাশিমালাটি পূর্ণবর্গ হবে যখন kc-\frac{2c}{3}=0 হবে

বা, kc=\frac{2c}{3}

বা, k=\frac{2}{3}

সুতরাং, k –এর মান \frac{2}{3} হলে  {{c}^{2}}+kc+\frac{1}{9} পূর্ণবর্গ হবে।

(ii) 9p^2+\frac1{9p^2} সংখ্যামালাটি থেকে কোন সংখ্যা বা সংখ্যাগুলি বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে তা নির্ণয় করি।

উত্তর –

∴ 9{{p}^{2}}+\frac{1}{9{{p}^{2}}}

= {{\left( 3p \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3p} \right)}^{2}}

= {{\left( 3p \right)}^{2}}-2\times 3p\times \frac{1}{3p}+{{\left( \frac{1}{3p} \right)}^{2}}+2\times 3p\times \frac{1}{3p}

= {{\left( 3p-\frac{1}{3p} \right)}^{2}}+2

সুতরাং, 9{{p}^{2}}+\frac{1}{9{{p}^{2}}}সংখ্যামালাটি থেকে 2 বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে।

(iii) (x – y)² = 4 – 4y + y² হলে x –এর মান কত হবে তা নির্ণয় করি।

উত্তর –

(x – y)² = 4 – 4y + y²

বা, {{\left( x-y \right)}^{2}}={{\left( 2 \right)}^{2}}-2\times 2\times y+{{\left( y \right)}^{2}}

বা, {{\left( x-y \right)}^{2}}={{\left( 2-y \right)}^{2}}

বা, x-y=2-y

∴ x=2

(iv) (c – 3)² = c² + kc + 9 হলে k –এর মান কী হবে লিখি।

উত্তর –

(c – 3)² = c² + kc + 9

বা, {{c}^{2}}-2\times c\times 3+{{\left( 3 \right)}^{2}}={{c}^{2}}+kc+9

বা, {{c}^{2}}-6c+9={{c}^{2}}+kc+9

বা, kc=-6c

∴ k=-6

7. সূত্রের সাহায্যে সরল করি।

(i) (2q – 3z)² – 2(2q – 3z)(q – 3z) + (q – 3z)²

উত্তর –

মনেকরি, (2q – 3z) = a এবং (q – 3z) = b

∴ (2q – 3z)² – 2(2q – 3z)(q – 3z) + (q – 3z)²

= a² – 2ab + b²

= (a – b)²

= {(2q – 3z) – (q – 3z)}²

= {2q – 3z – q + 3z}²

= {q}² = q²

(ii) (3p + 2q – 4r)² + 2(3p + 2q – 4r)(4r – 2p – q) + (4r – 2p – q)²

উত্তর –

মনেকরি, (3p + 2q – 4r) = a এবং (4r – 2p – q) = b

∴ (3p + 2q – 4r)² + 2(3p + 2q – 4r)(4r – 2p – q) + (4r – 2p – q)²

= a² + 2ab + b²

= (a – b)²

= {(3p + 2q – 4r) + (4r – 2p – q)}²

= {3p + 2q – 4r + 4r – 2p – q}²

= {p + q}²

= p² + 2pq + q²

8. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করি।

(i) 16a² – 40ac + 25c²                                             

উত্তর –

∴ 16a² – 40ac + 25c²

= (4a)² – 2(4a)(5c) + (5c)²

= (4a – 5c)²

(ii) 4p^2-2p+\frac14

উত্তর –

∴ 4{{p}^{2}}-2p+\frac{1}{4}

= {{\left( 2p \right)}^{2}}-2\left( 2p \right)\left( \frac{1}{2} \right)+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}

= {{\left( 2p-\frac{1}{2} \right)}^{2}}

(iii) 1+\frac4a+\frac4{a^2}      

উত্তর –

∴ 1+\frac{4}{a}+\frac{4}{{{a}^{2}}}

= {{\left( 1 \right)}^{2}}+2.\left( 1 \right)\left( \frac{2}{a} \right)+{{\left( \frac{2}{a} \right)}^{2}}

= {{\left( 1+\frac{2}{a} \right)}^{2}}

(iv) 9a² + 24ab + 16b²

উত্তর –

∴ 9a² + 24ab + 16b²

= (3a)² + 2(3a)(4b) + (4b)²

= (3a + 4b)²

9. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করি।

(i) 64a² + 16a + 1 যখন a=1

উত্তর –

∴ 64a² + 16a + 1

= (8a)² + 2(8a)(1) + (1)²

= (8a + 1)²

= {8(1) + 1}² [যখন a = 1]

= {8 + 1}²

= {9}² = 81

(ii) 25a² – 30ab + 9b² যখন a=3 এবং b=2

উত্তর –

∴ 25a² – 30ab + 9b²

= (5a)² – 2(5a)(3b) + (3b)²

= (5a – 3b)²

= {5(3) – 3(2)}² [যখন a = 3 এবং b = 2]

= {15 – 6}² = {9}² = 81

(iii) 64-\frac{16}p+\frac1{p^2} , যখন p=–1

উত্তর –

∴ 64-\frac{16}{p}+\frac{1}{{{p}^{2}}}

= {{\left( 8 \right)}^{2}}-2\left( 8 \right)\left( \frac{1}{p} \right)+{{\left( \frac{1}{p} \right)}^{2}}

= {{\left( 8-\frac{1}{p} \right)}^{2}}

= {{\left\{ 8-\frac{1}{\left( -1 \right)} \right\}}^{2}} [যখন p = –1]

= {{\left\{ 8+1 \right\}}^{2}}={{\left\{ 9 \right\}}^{2}}=81

(iv) p²q² + 10pqr + 25r² যখন p=2, q=–1 ও r=3

উত্তর –

∴ p²q² + 10pqr + 25r²

= (pq)² + 2(pq)(5r) + (5r)²

= (pq + 5r)²

= {(2)( –1) + 5(3)}² [যখন p = 2, q = –1 ও r = 3]

= {–2 + 15}²

= {13}² = 169

10. (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²) এবং
(a + b)² – (a – b)² = 4ab বা
ab=\left(\frac{a+b}2\right)^2-\left(\frac{a-b}2\right)^2 -এর সাহায্যে

(i) st ও (s² + t²) মান লিখি যখন s + t = 12 ও s – t = 8

উত্তর –

∴ st={{\left( \frac{s+t}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{s-t}{2} \right)}^{2}}

বা, st={{\left( \frac{12}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{8}{2} \right)}^{2}} [যখন s + t = 12 ও s – t = 8]

বা, st={{\left( 6 \right)}^{2}}-{{\left( 4 \right)}^{2}}=36-16=20

আবার, {{s}^{2}}+{{t}^{2}}=\frac{{{\left( s+t \right)}^{2}}+{{\left( s-t \right)}^{2}}}{2}

বা, {{s}^{2}}+{{t}^{2}}=\frac{{{\left( 12 \right)}^{2}}+{{\left( 8 \right)}^{2}}}{2} [যখন s + t = 12 ও s – t = 8]

বা, {{s}^{2}}+{{t}^{2}}=\frac{144+64}{2}=\frac{208}{2}=104

(ii) 8xy(x² + y²) এর মান লিখি যখন (x + y)=5 এবং (x – y)=1

উত্তর –

∴ \text{8xy}\left( {{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{ }{{\text{y}}^{\text{2}}} \right)

= \left\{ 4xy \right\}\left\{ 2\left( {{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{ }{{\text{y}}^{\text{2}}} \right) \right\}

= \left\{ {{\left( x+y \right)}^{2}}-{{\left( x-y \right)}^{2}} \right\}\left\{ {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}} \right\}

= \left\{ {{\left( 5 \right)}^{2}}-{{\left( 1 \right)}^{2}} \right\}\left\{ {{\left( 5 \right)}^{2}}+{{\left( 1 \right)}^{2}} \right\}

= \left\{ 25-1 \right\}\left\{ 25+1 \right\} [যখন (x + y)=5 এবং (x – y)=1]

= \left\{ 24 \right\}\left\{ 26 \right\}=624

(iii) \frac{x^2+y^2}{2xy} এর মান লিখি যখন (x + y)=9 এবং (x – y)=5

উত্তর –

∴ \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2xy}

= \frac{2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{4xy}

= \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}}{{{\left( x+y \right)}^{2}}-{{\left( x-y \right)}^{2}}}

= \frac{{{\left( 9 \right)}^{2}}+{{\left( 5 \right)}^{2}}}{{{\left( 9 \right)}^{2}}-{{\left( 5 \right)}^{2}}} [যখন (x + y) = 9 এবং (x – y) = 5]

= \frac{81+25}{81-25}=\frac{106}{56}=\frac{53}{28}

(iv) 36 কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।
[ সংকেত – 36 = 4 × 9 = \left(\frac{4+9}2\right)^2-\left(\frac{4-9}2\right)^2]

উত্তর –

আমরা জানি, ab={{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a-b}{2} \right)}^{2}}

∴ 36 = 4 × 9 = {{\left( \frac{4+9}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{4-9}{2} \right)}^{2}}

(v) 44 কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

উত্তর –

আমরা জানি, ab={{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a-b}{2} \right)}^{2}}

∴ 44=11\times 4={{\left( \frac{11+4}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{11-4}{2} \right)}^{2}}

(vi) 8x² + 50y² কে দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করি। (vii) x কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

উত্তর –

∴ \text{8}{{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{ 5}0{{\text{y}}^{\text{2}}}

= 2\left( 4{{x}^{2}}+25{{y}^{2}} \right)

= 2\left\{ {{\left( 2x \right)}^{2}}+{{\left( 5y \right)}^{2}} \right\}

আমরা জানি, (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)

= {{\left( 2x+5y \right)}^{2}}+{{\left( 2x-5y \right)}^{2}}

(vii) x কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

উত্তর –

আমরা জানি, ab={{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a-b}{2} \right)}^{2}}

∴ x=x\times 1={{\left( \frac{x+1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{x-1}{2} \right)}^{2}}

বা, x=1\times x={{\left( \frac{1+x}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1-x}{2} \right)}^{2}}

কষে দেখি – 12.2

1. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab –এর অভেদের সাহায্যে নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুন করি।

(i) (x + 7)(x + 1)                            (ii) (x – 8)(x – 2)                           (iii) (x + 9)(x – 6)

(iv) (2x + 1)(2x – 1)                     (v) (xy – 4)(xy + 2)                       (vi) (a² + 5)(a² – 4)

উত্তর –

(i) (x + 7)(x + 1)

[(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab –এর অভেদের সাহায্যে]

= x² + (7 + 1)x + 7 × 1

= x² + 8x + 7

(ii) (x – 8)(x – 2)

[(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab –এর অভেদের সাহায্যে]

= x² + {(– 8) + (– 2)}x + (– 8) (– 2)

= x² + {– 8 – 2}x + 16

= x² – 10x + 16

(iii) (x + 9)(x – 6)

[(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab –এর অভেদের সাহায্যে]

= x² + {9 + (– 6)}x + (9) (– 6)

= x² + {9 – 6}x – 54

= x² + 3x – 54

(iv) (2x + 1)(2x – 1)

[(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab –এর অভেদের সাহায্যে]

= x² + {1+ (– 1)} + (1) (– 1)

= x² + {1– 1}x – 1

= x² – {0}x – 1

= x² – 1

(v) (xy – 4)(xy + 2)

[(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab –এর অভেদের সাহায্যে]

= (xy)² + {(– 4} + 2}xy + (– 4)(2)

= (xy)² + {– 4 + 2}xy – 8

= (xy)² – 2x – 8

(vi) (a² + 5)(a² – 4)

[(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab –এর অভেদের সাহায্যে]

= (a²)2 + {5 + (– 4)}a² + (5)( – 4)

= a⁴ + {5 – 4}a² – 20

= a⁴ + a² – 20

2. সুত্রের সাহায্যে দেখাই যে -

(i) (2x + 3y)² – (2x – 3y)² = 24xy                          

উত্তর –

আমরা জানি, (a + b)² – (a – b)² = 4ab

বামপক্ষ, (2x + 3y)² – (2x – 3y)²

= 4 × 2x × 3y [এখানে, a = 2x, b = 3y]

= 24xy = ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(ii) (a + 2b)² + (a – 2b)² = 2(a² + 4b²)

উত্তর –

আমরা জানি, (x + y)² + (x – y)² = 2(x² + y²)

বামপক্ষ, (a + 2b)² + (a – 2b)²

= 2{(a)2 + (2b)2} [এখানে, x = a, y = 2b]

= 2(a² + 4b²) = ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(iii) (l + m)² = (l – m)² + 4lm                                  

উত্তর –

বামপক্ষ, (l + m)²

= l² + 2lm + m² [যেহেতু, (a + b)² = a² + 2ab + b²]

= l² – 2lm + m² + 4lm

= (l – m)² + 4lm [যেহেতু, (a – b)² = a² – 2ab + b²]

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(iv) (2p – q)² = (2p + q)² – 8pq

উত্তর –

বামপক্ষ, (2p – q)²

= (2p)² – 2(2p)(q) + (q)² [যেহেতু, (a – b)² = a² – 2ab + b²]

= 4p² – 4pq + q²

= 4p² + 4pq + q² – 8pq

= (2p)² + 2(2p)(q) + (q)² – 8pq

= (2p + q)² – 8pq [যেহেতু, (a + b)² = a² + 2ab + b²]

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

আবার,

আমরা জানি, (a – b)² = (a + b)² – 4ab

বামপক্ষ, (2p – q)²

= (2p + q)² – 4(2p)(q) [এখানে, a = 2p, b = q]

= (2p + q)² – 8pq

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(v) (3m + 4n)² = (3m – 4n)² + 48mn                    

উত্তর –

বামপক্ষ, (3m + 4n)²

= (3m)² + 2(3m)(4n) + (4n)² [যেহেতু, (a + b)² = a² + 2ab + b²]

= 9m² + 24mn + 16n²

= 9m² – 24mn + 16n² + 48mn

= (3m)² – 2(3m)(4n) + (4n)² + 48mn

= (3m – 4n)² + 48mn [যেহেতু, (a – b)² = a² – 2ab + b²]

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

আবার,

আমরা জানি, (a + b)² = (a – b)² + 4ab

বামপক্ষ, (3m + 4n)²

= (3m – 4n)² + 4(3m)(4n) [এখানে, a = 3m, b = 4n]

= (3m – 4n)² + 48mn

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(vi) (6x + 7y)² – 84xy = 36x² + 49y²

উত্তর –

বামপক্ষ, (6x + 7y)² – 84xy

= (6x)² + 2(6x)(7y) + (7y)² – 84xy [যেহেতু, (a + b)² = a² + 2ab + b²]

= 36x² + 84xy + 49y² – 84xy

= 36x² + 49y²

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

আবার,

আমরা জানি, (a + b)² – 2ab = a² + b²

বামপক্ষ, (6x + 7y)² – 84xy

= (6x)² + (7y)² [এখানে,  a = 6x, b = 7y]

= 36x² + 49y²

= ডানপক্ষ∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(vii) (3a – 4b)² + 24ab = 9a² + 16b²                     

উত্তর –

আমরা জানি, (x – y)² + 2xy = x² + y²

বামপক্ষ, (3a – 4b)² + 24ab

= (3a)2 + (4b)2 [এখানে,  x = 3a, y = 4b]

= 9a² + 16b²

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(viii) \left(2a+\frac1a\right)^2=\left(2a-\frac1a\right)^2+8

উত্তর –

আমরা জানি, (x + y)² = (x – y)² + 4xy

বামপক্ষ, {{\left( 2a+\frac{1}{a} \right)}^{2}}

= {{\left( 2a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}+4\left( 2a \right)\left( \frac{1}{a} \right) [এখানে,   x=2a,\,\,y=\frac{1}{a}]

= {{\left( 2a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}+8

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

3. প্রতিক্ষেত্রে সুত্রের সাহায্যে সমস্যার সমাধান করি।

(i) x – y = 3, xy=28 হলে x² + y² –এর মান কত লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, x – y = 3, xy=28

∴ x² + y²

= (x – y)² + 2xy

= (3)² + 2 × 28

= 9 + 56

= 65

(ii) a² + b² = 52, a – b = 2 হলে ab–এর মান কত লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, a² + b² = 52, a – b = 2

∴ a² + b² = 52

(a – b)² + 2ab = 52

বা, (2)² + 2ab = 52

বা, 4 + 2ab = 52

বা, 2ab = 52 – 4

বা, 2ab = 48

বা, ab = \frac{48}{2}=24

(iii) l² + m² = 13 এবং l + m = 5 হলে lm–এর মান কত লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, l² + m² = 13 এবং l + m = 5

∴ l² + m² = 13

বা, (l + m)² – 2lm = 13

বা, (5)² – 2lm = 13

বা, 25 – 2lm = 13

বা, – 2lm = 13 – 25

বা, – 2lm = – 12

বা, lm = \frac{-12}{-2}=6

(iv) a+\frac1a=4 হলে a^2+\frac1{a^2} –এর মান কত লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, a+\frac{1}{a}=4

∴ {{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}

= {{\left( a+\frac{1}{a} \right)}^{2}}-2\times a\times \frac{1}{a}

= {{\left( 4 \right)}^{2}}-2

= 16-2=14

(v) a-\frac1a=4হলে a^2+\frac1{a^2}–এর মান কত লিখি। 

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, a-\frac{1}{a}=4

∴ {{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}

= {{\left( a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}+2\times a\times\frac{1}{a}

= {{\left( 4 \right)}^{2}}+2

= 16+2=18

(vi) 5x+\frac{1}{x}=6 হলে দেখাই যে 25{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=26  

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, 5x+\frac{1}{x}=6

বামপক্ষ, 25{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}

= {{\left( 5x \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{2}}

= {{\left( 5x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-2\times 5x\times\frac{1}{x}

= {{\left( 6 \right)}^{2}}-10

= 36-10=26

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(vii) 2x+\frac1x=5 হলে 4x^2+\frac1{x^2}-এর মান লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, 2x+\frac{1}{x}=5

∴ 4{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}

= {{\left( 2x \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{2}}

= {{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-2\times 2x\times \frac{1}{x}

= {{\left( 5 \right)}^{2}}-4

= 25-4=21

(viii) \frac xy+\frac yx=3 হলে \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} -এর মান লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3

∴ \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}

= {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{2}}

= {{\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)}^{2}}-2\times \frac{x}{y}\times \frac{y}{x}

= {{\left( 3 \right)}^{2}}-2

= 9-2=7

(ix) x² + y² = 4xy হলে x⁴ + y⁴ = 14x²y²-এর মান কত লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, x² + y² = 4xy

বামপক্ষ, x⁴ + y⁴

= {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}

= {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}

= {{\left( 4xy \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}

= 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}

= 14{{x}^{2}}{{y}^{2}}

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(x) 2a+\frac1{3a}=6 হলে  4a^2+\frac1{9a^2}-এর মান কত লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, 2a+\frac{1}{3a}=6

∴ 4{{a}^{2}}+\frac{1}{9{{a}^{2}}}

= {{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3a} \right)}^{2}}

= {{\left( 2a+\frac{1}{3a} \right)}^{2}}-2\times 2a\times \frac{1}{3a}

= {{\left( 6 \right)}^{2}}-\frac{4}{3}

= 36-\frac{4}{3}

= \frac{108-4}{3}=\frac{104}{3}=34\frac{2}{3}

(xi) 5a+\frac1{7a}=5 হলে 25a^2+\frac1{49a^2}-এর মান কত লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, 5a+\frac{1}{7a}=5

∴ 25{{a}^{2}}+\frac{1}{49{{a}^{2}}}

= {{\left( 5a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{7a} \right)}^{2}}

= {{\left( 5a+\frac{1}{7a} \right)}^{2}}-2\times 5a\times \frac{1}{7a}

= {{\left( 5 \right)}^{2}}-\frac{10}{7}

= 25-\frac{10}{7}

= \frac{175-10}{7}=\frac{165}{7}=23\frac{4}{7}

(xii) 2x-\frac1x=4 হলে x^2+\frac1{4x^2}-এর মান কত লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, 2x-\frac{1}{x}=4

বা, 2\left( x-\frac{1}{2x} \right)=4

বা, x-\frac{1}{2x}=\frac{4}{2}=2

∴ {{x}^{2}}+\frac{1}{4{{x}^{2}}}

= {{\left( x \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2x} \right)}^{2}}

= {{\left( x-\frac{1}{2x} \right)}^{2}}+2\times x\times \frac{1}{2x}

= {{\left( 2\right)}^{2}}+1

= 4+1=5

(xiii) m+\frac1m=-p হলে দেখাই যে m^2+\frac1{m^2}=p^2-2

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, m+\frac{1}{m}=-p

∴ {{\left( m+\frac{1}{m} \right)}^{2}}={{\left( -p \right)}^{2}} [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]

বা, {{m}^{2}}+2\times m\times \frac{1}{m}+{{\left( \frac{1}{m} \right)}^{2}}={{p}^{2}}

বা, {{m}^{2}}+2+\frac{1}{{{m}^{2}}}={{p}^{2}}

বা, {{m}^{2}}+\frac{1}{{{m}^{2}}}={{p}^{2}}-2 [প্রমাণিত]

(xiv) a² + b² = 5ab হলে দেখাই যে \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=23

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, a² + b² = 5ab

বা, \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}=5

বা, \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=5

বা, {{\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right)}^{2}}={{\left( 5 \right)}^{2}} [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]

বা, {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}+2\times \frac{a}{b}\times \frac{b}{a}+{{\left( \frac{b}{a} \right)}^{2}}=25

বা, \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+2+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}=25

বা, \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}=25-2

বা, \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}=23 [প্রমাণিত]

(xv) 6x² – 1 = 4x হলে দেখাই যে 36x^2+\frac1{x^2}=28

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, 6x² – 1 = 4x

বা, x\left( 6x-\frac{1}{x} \right)=4x

বা, 6x-\frac{1}{x}=\frac{4x}{x}=4

বা, {{\left( 6x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{\left( 4 \right)}^{2}} [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]

বা, {{\left( 6x \right)}^{2}}-2\times 6x\times \frac{1}{x}+{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{2}}=16

বা, 36{{x}^{2}}-12+\frac{1}{{{x}^{2}}}=16

বা, 36{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=16+12

বা, 36{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=28 [প্রমাণিত]

(xvi) m+\frac1m=p-2 হলে দেখাই যে, m^2+\frac1{m^2}=p^2-4p+6

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, m+\frac{1}{m}=p-2

বা, {{\left( m+\frac{1}{m} \right)}^{2}}={{\left( p-2 \right)}^{2}} [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]

বা, {{\left( m \right)}^{2}}+2\times m\times \frac{1}{m}+{{\left( \frac{1}{m} \right)}^{2}}={{\left( p \right)}^{2}}-2\times p\times 2+{{\left( 2 \right)}^{2}}

বা, {{m}^{2}}+2+\frac{1}{{{m}^{2}}}={{p}^{2}}-4p+4

বা, {{m}^{2}}+\frac{1}{{{m}^{2}}}={{p}^{2}}-4p+4-2

বা, {{m}^{2}}+\frac{1}{{{m}^{2}}}={{p}^{2}}-4p+2 [প্রমাণিত]

(xvii) m-\frac1{m-2}=6 হলে \left(m-2\right)^2-\frac1{\left(m-2\right)^2} -এর মান কত লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, m-\frac{1}{m-2}=6

বা, m-2-\frac{1}{m-2}=6-2

বা, \left( m-2 \right)-\frac{1}{\left( m-2 \right)}=4

বা, {{\left\{ \left( m-2 \right)-\frac{1}{\left( m-2 \right)} \right\}}^{2}}={{\left( 4 \right)}^{2}} [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]

বা, {{\left( m-2 \right)}^{2}}-2\times \left( m-2 \right)\times \frac{1}{\left( m-2 \right)}+{{\left( \frac{1}{m-2} \right)}^{2}}=16

বা, {{\left( m-2 \right)}^{2}}-2+{{\left( \frac{1}{m-2} \right)}^{2}}=16

বা, {{\left( m-2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{m-2} \right)}^{2}}=16+2

বা, {{\left( m-2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{m-2} \right)}^{2}}=18 [প্রমাণিত]

কষে দেখি – 12.3

1. (a² – b²) = (a + b)(a – b) এই সূত্রের সাহায্যে মান নির্ণয় করি।

(i) (37)² – (13)²                            

উত্তর –

আমরা জানি, (a² – b²) = (a + b)(a – b)

∴ (37)² – (13)²

= (37 + 13)(37 – 13) [এখানে, a = 37, b = 13]

= 50 × 24 = 1200

(ii) (2.06)² – (0.94)²                    

উত্তর –

আমরা জানি, (a² – b²) = (a + b)(a – b)

∴ (2.06)² – (0.94)²

= (2.06 + 0.94)(2.06 – 0.94) [এখানে, a = 2.06, b = 0.94]

= 3 × 1.12 = 3.36

(iii) (78) × (82)

উত্তর –

আমরা জানি, (a² – b²) = (a + b)(a – b)

∴ (78) × (82)

= (80 – 2)(80 + 2)

= (80)² – (2)² [এখানে, a = 80, b = 2]

= 6400 – 4

= 6396

(iv) 1.15 × 0.85                            

উত্তর –

আমরা জানি, (a² – b²) = (a + b)(a – b)

∴ 1.15 × 0.85   

= (1 + 0.5)(1 – 0.15)

= (1)² – (0.15)² [এখানে, a = 1, b = 0.15]

= 1 – 0.0225

= 0.9775

(v) (65)² – (35)²

উত্তর –

আমরা জানি, (a² – b²) = (a + b)(a – b)

∴ (65)² – (35)²

= (65 – 35)(65 + 35) [এখানে, a = 65, b = 35]

= 30 × 100

= 3000

2. (i) k – p² = (9 + p)(9 – p) হলে k –এর মান কত হবে বের করি।

উত্তর –

k – p² = (9 + p)(9 – p)

বা, k – p² = (9)² – p²  [যেহেতু, (a² – b²) = (a + b)(a – b)]

বা, k – p² = 81 – p²  

বা, k = 81

(ii) (25 – 4x²) = (5 + ax)(5 – ax) হলে a –এর ধনাত্মক মান কত হবে হিসাব করি।

উত্তর –

(25 – 4x²) = (5 + ax)(5 – ax)

বা, (25 – 4x²) = (5)² – (ax)² [যেহেতু, (p² – q²) = (p + q)(p – q)]

বা, 25 – 4x² = 25 – a²x²

বা, – 4x² = – a²x²

বা, a² = 4

বা, a = \pm \sqrt{4}=\pm 2

∴ a –এর ধনাত্মক মান 2

(iii) (4 – x) × __________ = (16 – x²) হলে ফাঁকা ঘরে কি হবে লিখি।

উত্তর –

যেহেতু, (16 – x²) = 4² – x² = (4 – x)(4 + x)

∴ (4 – x) × (4 + x) = (16 – x²)

3. সূত্রের সাহায্যে গুণফলরূপে প্রকাশ করি।

(i) 25l² – 16m²                             

উত্তর –

আমরা জানি, (a² – b²) = (a + b)(a – b)

∴ 25l² – 16m²

= (5l)² – (4m)²

= (5l + 4m) (5l – 4m)

(ii) 49x⁴ – 36y⁴

উত্তর –

আমরা জানি, (a² – b²) = (a + b)(a – b)

∴ 49x⁴ – 36y⁴

= (7x²)² – (6y²)²

= (7x² – 6y²) (7x² + 6y²)

(iii) (2a + b)² – (a + b)²              

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ (2a + b)² – (a + b)²    

= {(2a + b) – (a + b)}{(2a + b) + (a + b)}

= {2a + b – a – b}{2a + b + a + b}

= a(3a + 2b)

(iv) (x + y)² – (a + b)²

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ (x + y)² – (a + b)²

= {(x + y) – (a + b)} {(x + y) + (a + b)}

= {x + y – a – b}{x + y + a + b}

(v) (x + y – z)² – (x – y + z)²      

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ (x + y – z)² – (x – y + z)²

= {(x + y – z) – (x – y + z)} {(x + y – z) + (x – y + z)}

= {x + y – z – x + y – z}{x + y – z + x – y + z}

= (2y – 2z)(2x)

= 2(y – z)(2x)

= 4x(y – z)

(vi) (m + p +q)² – (m – p – q)²

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ (m + p +q)² – (m – p – q)²

= {(m + p +q) – (m – p – q)} {(m + p +q) + (m – p – q)}

= {m + p + q – m + p + q}{m + p + q + m – p – q}

= (2p + 2q)(2m)

= 2(p + q)(2m)

= 4m(p + q)

4. সূত্রের সাহায্যে ক্রমিক গুণফল নির্ণয় করি।

(i) (c + d)(c – d)(c² + d²)

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ \left( \text{c }+\text{ d} \right)\left( \text{c }\text{ d} \right)\left( {{\text{c}}^{\text{2}}}+\text{ }{{\text{d}}^{\text{2}}} \right)

= \left\{ \left( \text{c }+\text{ d} \right)\left( \text{c }-\text{ d} \right) \right\}\left( {{\text{c}}^{\text{2}}}+\text{ }{{\text{d}}^{\text{2}}} \right)

= \left( {{\text{c}}^{\text{2}}}\text{ }{{\text{d}}^{\text{2}}} \right)\left( {{\text{c}}^{\text{2}}}+\text{ }{{\text{d}}^{\text{2}}} \right)

= {{\left( {{\text{c}}^{\text{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( {{\text{d}}^{\text{2}}} \right)}^{2}}

= {{\text{c}}^{4}}-{{\text{d}}^{4}}

(ii) (1 – 3x²)(1 + 3x²)(1 + 9x⁴)

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ \left( 1-3{{x}^{2}} \right)\left( 1+3{{x}^{2}} \right)\left( 1+9{{x}^{4}} \right)

= \left\{ \left( 1-3{{x}^{2}} \right)\left( 1+3{{x}^{2}} \right) \right\}\left( 1+9{{x}^{4}} \right)

= \left\{ {{\left( 1 \right)}^{2}}-{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{2}} \right\}\left( 1+9{{x}^{4}} \right)

= \left( 1-9{{x}^{4}} \right)\left( 1+9{{x}^{4}} \right)

= {{\left( 1 \right)}^{2}}-{{\left( 9{{x}^{4}} \right)}^{2}}

= 1-81{{x}^{8}}

(iii) (a² + b²)(a² – b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\left( {{a}^{8}}+{{b}^{8}} \right)

= \left\{ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right) \right\}\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\left( {{a}^{8}}+{{b}^{8}} \right)

= \left\{ {{\left( {{a}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( {{b}^{2}} \right)}^{2}} \right\}\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\left( {{a}^{8}}+{{b}^{8}} \right)

= \left( {{a}^{4}}-{{b}^{4}} \right)\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\left( {{a}^{8}}+{{b}^{8}} \right)

= \left\{ {{\left( {{a}^{4}} \right)}^{2}}-{{\left( {{b}^{4}} \right)}^{2}} \right\}\left( {{a}^{8}}+{{b}^{8}} \right)

 = \left( {{a}^{8}}-{{b}^{8}} \right)\left( {{a}^{8}}+{{b}^{8}} \right)

= {{\left( {{a}^{8}} \right)}^{2}}-{{\left( {{b}^{8}} \right)}^{2}}

= {{a}^{16}}-{{b}^{16}}

5. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুণফলরূপে প্রকাশ করি।

(i) 16c⁴ – 81d⁴                              

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ 16{{c}^{4}}-81{{d}^{4}}

= {{\left( 4{{c}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 9{{d}^{2}} \right)}^{2}}

= \left( 4{{c}^{2}}-9{{d}^{2}} \right)\left( 4{{c}^{2}}+9{{d}^{2}} \right)

= \left\{ {{\left( 2c \right)}^{2}}-{{\left( 3d \right)}^{2}} \right\}\left( 4{{c}^{2}}+9{{d}^{2}} \right)

= \left( 2c-3d \right)\left( 2c-3d \right)\left( 4{{c}^{2}}+9{{d}^{2}} \right)

(ii) p⁴q⁴ – r⁴s⁴

উত্তর –

আমরা জানি, (a² – b²) = (a – b) (a + b)

∴ {{p}^{4}}{{q}^{4}}-{{r}^{4}}{{s}^{4}}

= {{\left( {{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( {{r}^{2}}{{s}^{2}} \right)}^{2}}

= \left( {{p}^{2}}{{q}^{2}}-{{r}^{2}}{{s}^{2}} \right)\left( {{p}^{2}}{{q}^{2}}+{{r}^{2}}{{s}^{2}} \right)

= \left\{ {{\left( pq \right)}^{2}}-{{\left( rs \right)}^{2}} \right\}\left( {{p}^{2}}{{q}^{2}}+{{r}^{2}}{{s}^{2}} \right)

= \left( pq-rs \right)\left( pq+rs \right)\left( {{p}^{2}}{{q}^{2}}+{{r}^{2}}{{s}^{2}} \right)

(iii) 81 – x⁴                                    

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ 81-{{x}^{4}}

= {{\left( 9 \right)}^{2}}-{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}

= \left( 9-{{x}^{2}} \right)\left( 9+{{x}^{2}} \right)

= \left\{ {{\left( 3 \right)}^{2}}-{{\left( x \right)}^{2}} \right\}\left( 9+{{x}^{2}} \right)

= \left( 3-x \right)\left( 3+x \right)\left( 9+{{x}^{2}} \right)

(iv) 625 – a⁴b⁴

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ 625-{{a}^{4}}{{b}^{4}}

= {{\left( 25 \right)}^{2}}-{{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)}^{2}}

= \left( 25-{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)\left( 25+{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)

= \left\{ {{\left( 5 \right)}^{2}}-{{\left( ab \right)}^{2}} \right\}\left( 25+{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)

= \left( 5-ab \right)\left( 5+ab \right)\left( 25+{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)

6. (p + q)⁴ – (p – q)⁴ = 8pq(p² + q²)  -প্রমাণ করি।

উত্তর –

আমরা জানি, (a² – b²) = (a – b) (a + b)

বামপক্ষ, {{\left( p+q \right)}^{4}}-{{\left( p-q \right)}^{4}}

= {{\left\{ {{\left( p+q \right)}^{2}} \right\}}^{2}}-{{\left\{ {{\left( p-q \right)}^{2}} \right\}}^{2}}

= \left\{ {{\left( p+q \right)}^{2}}-{{\left( p-q \right)}^{2}} \right\}\left\{ {{\left( p+q \right)}^{2}}+{{\left( p-q \right)}^{2}} \right\}

আমরা জানি, {{\left( a+b \right)}^{2}}-{{\left( a-b \right)}^{2}}=4ab,\,\,{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)

= \left\{ 4pq \right\}\left\{ 2\left( {{p}^{2}}+{{q}^{2}} \right) \right\}

= 8pq\left( {{p}^{2}}+{{q}^{2}} \right)

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

7. সূত্রের সাহায্যে গুন করি (a + b + c)(b + c – a)(c + a – b)(a + b + c)

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ \left( a+b+c \right)\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)

= \left( b+c+a \right)\left( b+c-a \right)\left( a-b+c \right)\left( a+b-c \right)

= \left\{ \left( b+c \right)+a \right\}\left\{ \left( b+c \right)-a \right\}\left\{ a-\left( b-c \right) \right\}\left\{ a+\left( b-c \right) \right\}

= \left\{ {{\left( b+c \right)}^{2}}-{{a}^{2}} \right\}\left\{ {{a}^{2}}-{{\left( b-c \right)}^{2}} \right\}

= \left\{ {{b}^{2}}+2bc+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right\}\left\{ {{a}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-2bc+{{c}^{2}} \right) \right\}

= \left\{ -{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc \right\}\left\{ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2bc-{{c}^{2}} \right\}

= -\left\{ \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)-2bc \right\}\left\{ \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)+2bc \right\}

= -\left\{ {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 2bc \right)}^{2}} \right\}

= -{{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)}^{2}}+4{{b}^{2}}{{c}^{2}}

= 4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{\left\{ \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)-{{c}^{2}} \right\}}^{2}}

= 4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-\left\{ {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right){{c}^{2}}+{{\left( {{c}^{2}} \right)}^{2}} \right\}

= 4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-\left\{ {{\left( {{a}^{2}} \right)}^{2}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}} \right)}^{2}}-2{{a}^{2}}{{c}^{2}}+2{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}} \right\}

= 4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-\left\{ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}}+2{{b}^{2}}{{c}^{2}}-2{{a}^{2}}{{c}^{2}} \right\}

= 4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{a}^{4}}-{{b}^{4}}-{{c}^{4}}+2{{a}^{2}}{{b}^{2}}-2{{b}^{2}}{{c}^{2}}+2{{a}^{2}}{{c}^{2}}

= 2{{a}^{2}}{{b}^{2}}+2{{b}^{2}}{{c}^{2}}+2{{a}^{2}}{{c}^{2}}-{{a}^{4}}-{{b}^{4}}-{{c}^{4}}

8. x=\frac ab+\frac ba এবং y=\frac ab-\frac ba হলে দেখাই যে,  x⁴ + y⁴ – 2x²y² = 16

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a} এবং y=\frac{a}{b}-\frac{b}{a}

∴ x+y=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{2a}{b}

এবং x-y=\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right)-\left( \frac{a}{b}-\frac{b}{a} \right)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{2b}{a}

বামপক্ষ, {{x}^{4}}+{{y}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}

= {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}

= {{\left\{ {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right\}}^{2}}

= {{\left\{ \left( x-y \right)\left( x+y \right) \right\}}^{2}}[ আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)]

= {{\left\{ \frac{2b}{a}\times \frac{2a}{b} \right\}}^{2}}={{\left\{ 4 \right\}}^{2}}=16

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

9. সূত্রের সাহায্যে গুন করি (a² + a + 1)(a² – a + 1)(a⁴ – a² + 1)

উত্তর –

আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)

∴ \left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\left( {{a}^{2}}-a+1 \right)\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}+1 \right)

= \left\{ \left( {{a}^{2}}+1 \right)+a \right\}\left\{ \left( {{a}^{2}}+1 \right)-a \right\}\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}+1 \right)

= \left\{ {{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}-{{a}^{2}} \right\}\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}+1 \right)

= \left\{ {{a}^{4}}+2{{a}^{2}}+1-{{a}^{2}} \right\}\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}+1 \right)

= \left( {{a}^{4}}+{{a}^{2}}+1 \right)\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}+1 \right)

= \left\{ \left( {{a}^{4}}+1 \right)+{{a}^{2}} \right\}\left\{ \left( {{a}^{4}}+1 \right)-{{a}^{2}} \right\}

= {{\left( {{a}^{4}}+1 \right)}^{2}}-{{\left( {{a}^{2}} \right)}^{2}}

= {{\left( {{a}^{4}} \right)}^{2}}+2{{a}^{4}}+1-{{a}^{4}}

= {{a}^{8}}+{{a}^{4}}+1

10.  যদি x=\left(a+\frac1a\right) এবং y=\left(a-\frac1a\right) হয়, তাহলে x⁴ + y⁴ – 2x²y² –এর মান সূত্রের সাহায্যে বের করি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, x=\left( a+\frac{1}{a} \right) এবং y=\left( a-\frac{1}{a} \right)

∴ x+y=a+\frac{1}{a}+a-\frac{1}{a}=2a

এবং x-y=\left( a+\frac{1}{a} \right)-\left( a-\frac{1}{a} \right)=a+\frac{1}{a}-a+\frac{1}{a}=\frac{2}{a}

∴ {{x}^{4}}+{{y}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}

= {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}

= {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}

= {{\left\{ \left( x-y \right)\left( x+y \right) \right\}}^{2}}[ আমরা জানি, (p² – q²) = (p – q) (p + q)]

= {{\left\{ \frac{2}{a}\times 2a \right\}}^{2}}={{\left\{ 4 \right\}}^{2}}=16

11. (4x² + 4x + 1 – a² + 8a – 16) কে দুটি বর্গের অন্তররূপে (a² – b² আকারে ) প্রকাশ করি।

উত্তর –

∴ 4{{x}^{2}}+4x+1-{{a}^{2}}+8a-16

= {{\left( 4{{x}^{2}}+4x+1 \right)}^{2}}-\left( {{a}^{2}}-8a+16 \right)

= \left\{ {{\left( 2x \right)}^{2}}+2\times 2x\times 1+{{\left( 1 \right)}^{2}} \right\}-\left\{ {{\left( a \right)}^{2}}-2\times a\times 4+{{\left( 4 \right)}^{2}} \right\}

= {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}-{{\left( a-4 \right)}^{2}}

∴ দুটি বর্গের অন্তররূপ = {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}-{{\left( a-4 \right)}^{2}}

12. a^2+\frac1{a^2}-3কে দুটি বর্গের অন্তররূপে (a² – b² আকারে ) প্রকাশ করি।</strong></p> <p><strong>উত্তর –</strong></p> <p>∴ [katex]{{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}-3

= {{\left( a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{a} \right)}^{2}}-3

= {{\left( a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}+2\times a\times \frac{1}{a}-3\,\,\left[ \because \,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x-y \right)}^{2}}+2xy \right]

= {{\left( a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}+2-3

= {{\left( a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}-1

= {{\left( a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}-{{\left( 1 \right)}^{2}}

∴ দুটি বর্গের অন্তররূপ = {{\left( a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}-{{\left( 1 \right)}^{2}}

;