সপ্তম শ্রেণী – অধ্যায় ১১ : ভগ্নাংশের বর্গমূল সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 11.1

1. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \frac{1089}{625} বর্গ সেমি। বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি হবে হিসাব করি।  

উত্তর –

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)² বর্গ একক

প্রশ্নানুসারে,

(বাহু)² = \frac{1089}{625}

বা, বাহু = \sqrt{\frac{1089}{625}}=\sqrt{\frac{3\times 3\times 11\times 11}{5\times 5\times 5\times 5}}=\frac{3\times 11}{5\times 5}=\frac{33}{25}

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \frac{33}{25} সেমি।

2. নীচের ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল নির্ণয় করি।

(i) 3\frac{22}{49}         (ii) \frac{375}{1215}         (iii) 6\frac{433}{676}        (iv) 1\frac{496}{729}           (v) \frac{324}{576}

উত্তর –

(i) \sqrt{3\frac{22}{49}}=\sqrt{\frac{169}{49}}=\sqrt{\frac{13\times 13}{7\times 7}}=\frac{13}{7}=1\frac{6}{7}

(ii) \sqrt{\frac{375}{1215}}=\sqrt{\frac{5\times 5\times 5\times 3}{5\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3}}=\sqrt{\frac{5\times 5}{3\times 3\times 3\times 3}}=\frac{5}{3\times 3}

(iii) \sqrt{6\frac{433}{676}}=\sqrt{\frac{4489}{676}}=\frac{67}{26}=2\frac{15}{26}

(iv) \sqrt{1\frac{496}{729}}=\sqrt{\frac{1225}{729}}=\sqrt{\frac{5\times 5\times 7\times 7}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3}}=\frac{5\times 7}{3\times 3\times 3}=\frac{35}{27}=1\frac{8}{27}

(v) \sqrt{\frac{324}{576}}=\sqrt{\frac{3\times 3\times 3\times 3\times 2\times 2}{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3}}=\sqrt{\frac{3\times 3}{2\times 2\times 2\times 2}}=\frac{3}{2\times 2}=\frac{3}{4}

3. \frac{121}{169} -এর বর্গমূলকে কত দিয়ে গুন করলে গুণফল 1 হবে হিসাব করি।

উত্তর –

∴ \frac{121}{169} -এর বর্গমূল = \sqrt{\frac{121}{169}}=\sqrt{\frac{11\times 11}{13\times 13}}=\frac{11}{13}

নির্নয় করতে হবে \frac{121}{169} -এর বর্গমূলকে কত দিয়ে গুন করলে গুণফল 1 হবে।

অর্থাৎ, 1\div \frac{11}{13}=1\times \frac{13}{11}=\frac{13}{11}

সুতরাং, \frac{121}{169} -এর বর্গমূলকে \frac{13}{11} দিয়ে গুন করলে গুণফল 1 হবে।

4. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার একটি অপরটির 2 গুন। সংখ্যা দুটির গুণফল 1\frac{17}{32} হলে সংখ্যা দুটি কী কি হবে নির্ণয় করি। 

উত্তর –

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার একটি অপরটির 2 গুন।

∴ বড়ো সংখ্যা = 2 × ছোটো সংখ্যা

সুতরাং, সংখ্যা দুটির গুণফল = ( বড়ো সংখ্যা ) × ( ছোটো সংখ্যা )

= 2 × ( ছোটো সংখ্যা ) × ( ছোটো সংখ্যা )

= 2 × ( ছোটো সংখ্যা )²

প্রশ্নানুসারে,

2 × ( ছোটো সংখ্যা )² = 1\frac{17}{32}

বা, 2 × ( ছোটো সংখ্যা )² = \frac{49}{32}

বা ( ছোটো সংখ্যা )² = \frac{49}{32\times 2}=\frac{49}{64}

বা, ছোটো সংখ্যা = \sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}

∴ বড়ো সংখ্যা = 2\times \frac{7}{8}=\frac{7}{4}

সুতরাং, সংখ্যা দুটি হল \frac{7}{8} এবং \frac{7}{4}।

5. হিসাব করে দেখি কোন ভগ্নাংশকে সেই ভগ্নাংশ দিয়ে গুন করলে গুণফল 6\frac{145}{256} হবে। 

উত্তর –

প্রশ্নানুসারে,

ভগ্নাংশটির বর্গ = 6\frac{145}{256}=\frac{1681}{256}

বা, ভগ্নাংশটি = \sqrt{\frac{1681}{256}}=\sqrt{\frac{41\times 41}{16\times 16}}=\frac{41}{16}

সুতরাং, ভগ্নাংশটি হল \frac{41}{16}।

6. হিসাব করে দেখি \frac{49}{91} -কে কোন ভগ্নাংশ দিয়ে গুন করলে গুণফলের বর্গমূল 1 হবে। 

উত্তর –

1 –এর বর্গ = 1

সুতরাং, দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = 1

অর্থাৎ, অপর ভগ্নাংশটি হল = 1\div \frac{49}{91}=1\times \frac{91}{49}=\frac{91}{49}=1\frac{42}{49}

সুতরাং, \frac{49}{91}-কে \frac{91}{49} বা 1\frac{42}{49} দিয়ে গুন করলে গুণফলের বর্গমূল 1 হবে।

7. হিসাব করে দেখি- \frac{35}{42} কে কোন ভগ্নাংশ দিয়ে গুন করলে গুণফলের বর্গমূল 2 হবে। 

উত্তর –

ভগ্নাংশ দুটির গুণফলের বর্গমূল = 2

ভগ্নাংশ দুটির গুণফল = 2 –এর বর্গ = 2 × 2 = 4

অর্থাৎ, অপর ভগ্নাংশটি হল = 4\div \frac{35}{42}=4\times \frac{42}{35}=\frac{24}{5}=4\frac{4}{5}

সুতরাং, \frac{35}{42}-কে \frac{24}{5} বা, 4\frac{4}{5} দিয়ে গুন করলে গুণফলের বর্গমূল 2 হবে।

8. \frac9{50} কে সবচেয়ে ছোটো কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুন করলে গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা নির্ণয় করি।

উত্তর –

এখন, \frac{9}{50}=\frac{3\times 3}{2\times 5\times 5}, এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

আবার, \frac{9}{50}=\frac{3\times 3}{2\times 5\times 5}\times 2=\frac{3\times 3}{5\times 5}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}} একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

অর্থাৎ, \frac{9}{50}কে সবচেয়ে ছোটো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 2 দিয়ে গুন করলে গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

9.  দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল \frac{14}{15} এবং তাদের ভাগফল \frac{35}{24} হলে, সংখ্যা দুটি কী কী হবে তা নির্ণয় করি। 

উত্তর –

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল \frac{14}{15}এবং তাদের ভাগফল \frac{35}{24}

∴ বড়ো সংখ্যাটি = \frac{35}{24} × ছোটো সংখ্যা

আবার, সংখ্যা দুটির গুণফল = বড়ো সংখ্যা × ছোটো সংখ্যা

= \frac{35}{24} × ছোটো সংখ্যা × ছোটো সংখ্যা

= \frac{35}{24} × ( ছোটো সংখ্যা )²

প্রশ্নানুসারে,

\frac{35}{24} × ( ছোটো সংখ্যা )² = \frac{14}{15}

বা, ( ছোটো সংখ্যা )² = \frac{14}{15}\times \frac{24}{35}=\frac{16}{25}

বা, ছোটো সংখ্যা = \sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}

সুতরাং, বড়ো সংখ্যা = \frac{35}{24}\times \frac{4}{5}=\frac{7}{6}

নির্নেয় সংখ্যা দুটি যথাক্রমে \frac{4}{5} এবং \frac{7}{6}।

10. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল \frac{16}{50} এবং তাদের ভাগফল \frac12 হলে, সংখ্যা দুটি কী কী হবে তা নির্ণয় করি। 

উত্তর –

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল \frac{16}{50}এবং তাদের ভাগফল \frac{1}{2}

∴ বড়ো সংখ্যাটি = \frac{1}{2} × ছোটো সংখ্যা

আবার, সংখ্যা দুটির গুণফল = বড়ো সংখ্যা × ছোটো সংখ্যা

= \frac{1}{2} × ছোটো সংখ্যা × ছোটো সংখ্যা

= \frac{1}{2} × ( ছোটো সংখ্যা )²

প্রশ্নানুসারে,

\frac{1}{2}× ( ছোটো সংখ্যা )² = \frac{16}{50}

বা, ( ছোটো সংখ্যা )² = \frac{16}{50}\times 2=\frac{16}{25}

বা, ছোটো সংখ্যা = \sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}

সুতরাং, বড়ো সংখ্যা = \frac{1}{2}\times \frac{4}{5}=\frac{2}{5}

নির্নেয় সংখ্যা দুটি যথাক্রমে \frac{4}{5} এবং \frac{2}{5}।

11. \sqrt{\sqrt{\frac9{64}}+\sqrt{\frac{25}{64}}} -এর মান কত হবে হিসাব করি।

উত্তর –

∴ \sqrt{\sqrt{\frac{9}{64}}+\sqrt{\frac{25}{64}}}

= \sqrt{\sqrt{\frac{{{3}^{2}}}{{{8}^{2}}}}+\sqrt{\frac{{{5}^{2}}}{{{8}^{2}}}}}

= \sqrt{\frac{3}{8}+\frac{5}{8}}

= \sqrt{\frac{3+5}{8}}=\sqrt{\frac{8}{8}}=\sqrt{1}=1

12. \sqrt{\frac14}+\sqrt{\frac19}-\sqrt{\frac1{16}}-\sqrt{\frac1{25}}-এর মান কত হবে হিসাব করি।

উত্তর –

∴ \sqrt{\frac{1}{4}}+\sqrt{\frac{1}{9}}-\sqrt{\frac{1}{16}}-\sqrt{\frac{1}{25}}

= \sqrt{\frac{{{1}^{2}}}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{\frac{{{1}^{2}}}{{{3}^{2}}}}-\sqrt{\frac{{{1}^{2}}}{{{4}^{2}}}}-\sqrt{\frac{{{1}^{2}}}{{{5}^{2}}}}

= \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}

= \frac{30+20-15-12}{60}

= \frac{50-27}{60}=\frac{23}{60}

13. \sqrt{\frac1{16}},\;\sqrt{\frac1{25}},\;\sqrt{\frac1{36}},\;\sqrt{\frac1{49}} -কে মানের অধঃক্রমে সাজাই।

উত্তর –

∴ \sqrt{\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{1}{{{4}^{2}}}}=\frac{1}{4}=0.25

∴ \sqrt{\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{1}{{{5}^{2}}}}=\frac{1}{5}=0.20

∴ \sqrt{\frac{1}{36}}=\sqrt{\frac{1}{{{6}^{2}}}}=\frac{1}{6}=0.1666\approx 0.17 [আসন্ন মান]

∴ \sqrt{\frac{1}{49}}=\sqrt{\frac{1}{{{7}^{2}}}}=\frac{1}{7}=0.1428\approx 0.14 [আসন্ন মান]

এখন, 0.25>0.20>0.17>0.14

সুতরাং, মানের অধঃক্রমে সাজিয়ে পাই \sqrt{\frac{1}{16}}>\sqrt{\frac{1}{25}}>\sqrt{\frac{1}{36}}>\sqrt{\frac{1}{49}}

14. \left(\sqrt{16}+\sqrt{36}\right)-এর চেয়ে \left(\sqrt{25}+\sqrt{81}\right) কত বেশি হিসাব করি। 

উত্তর –

∴ \left( \sqrt{16}+\sqrt{36} \right)=\sqrt{{{4}^{2}}}+\sqrt{{{6}^{2}}}=4+6=10

এবং \left( \sqrt{25}+\sqrt{81} \right)=\sqrt{{{5}^{2}}}+\sqrt{{{9}^{2}}}=5+9=14

অর্থাৎ, \left( \sqrt{16}+\sqrt{36} \right)-এর চেয়ে = 14 – 10 = 4 বেশি।

15.  ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল করি – (i) 3\frac{22}{49} (ii) 7\frac{57}{256} (iii) \frac{1089}{2025} (iv) 3\frac{814}{1225}

উত্তর –

(i) \sqrt{3\frac{22}{49}}=\sqrt{\frac{169}{49}}=\sqrt{\frac{{{13}^{2}}}{{{7}^{2}}}}=\frac{13}{7}=1\frac{6}{7}

(ii) \sqrt{7\frac{57}{256}}=\sqrt{\frac{1849}{256}}=\sqrt{\frac{{{43}^{2}}}{{{16}^{2}}}}=\frac{43}{16}=2\frac{11}{16}

(iii) \sqrt{\frac{1089}{2025}}=\sqrt{\frac{3\times 3\times 11\times 11}{3\times 3\times 3\times 3\times 5\times 5}}=\sqrt{\frac{11\times 11}{3\times 3\times 5\times 5}}=\frac{11}{3\times 5}=\frac{11}{15}

(iv) \sqrt{3\frac{814}{1225}}=\sqrt{\frac{4489}{1225}}=\sqrt{\frac{{{67}^{2}}}{5\times 5\times 7\times 7}}=\frac{67}{5\times 7}=\frac{67}{35}=1\frac{32}{35}

কষে দেখি – 11.2

1. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 32.49 বর্গ সেমি। এই বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি হবে হিসাব করি।

উত্তর –

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু বর্গ একক = ( বাহু )² বর্গ একক।

প্রদত্ত বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = 32.49 বর্গ সেমি।

শর্তানুসারে,

( বাহু )² = 32.49

বা, বাহু = \sqrt{32.49}=5.7

∴ বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5.7 সেমি।

2. 2.1214 বর্গ মিটার এবং 2.9411 বর্গ মিটার বিশিষ্ট দুটি আয়তক্ষেত্রাকার ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করি।

উত্তর –

আয়তক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = (2.1214 + 2.9411) বর্গ মিটার = 5.0625 বর্গ মিটার

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু বর্গ একক = ( বাহু )² বর্গ একক।

প্রশ্নানুসারে,

( বাহু )² = 5.0625

বা, বাহু = \sqrt{\text{5}.0\text{625}}=2.25

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 2.25 মিটার।

3. 0.28 –এর সাথে কোন দশমিক সংখ্যা যোগ করলে যোগফলের বর্গমূল 1 হবে হিসাব করি।

উত্তর –

1 –এর বর্গ = (1)² = 1

∴ সংখ্যা দুটির যোগফল = 1

একটি সংখ্যা = 0.28

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হল = 1 – 0.28 = 0.72

অর্থাৎ, 0.28 –এর সাথে 0.72 যোগ করলে যোগফলের বর্গমূল 1 হবে।

4. 0.162 এবং 0.2 –এর গুণফলের বর্গমূল কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

0.162 এবং 0.2 –এর গুণফলের বর্গমূল = \sqrt{0.162\times 0.2}=\sqrt{0.0324}=0.18

5. \sqrt{240.25}+\sqrt{2.4025}+\sqrt{0.024025}-এর মান কী হবে হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।

উত্তর –

∴ \sqrt{240.25}+\sqrt{2.4025}+\sqrt{0.024025}

= 15.5+1.55+0.155

= 17.205

6. 1.4641 বর্গ মিটার ও 1.0609 বর্গ মিটার ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে কোন বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বেশি ও কত বেশি হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।  

উত্তর –

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু বর্গ একক = ( বাহু )² বর্গ একক।

∴ প্রথম বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = \sqrt{\text{1}.\text{4641}}=1.21 মিটার

এবং দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = \sqrt{\text{1}.0\text{6}0\text{9}}=1.03 মিটার

সুতরাং, প্রথম বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য বেশি এবং (1.21 – 1.03) = 0.18 মিটার বেশি।

7. 0.4 –এর বর্গের সঙ্গে 0.3 –এর বর্গ যোগ করলে যে যোগফল পাব তা যে সংখ্যার বর্গের সমান সেই সংখ্যাটি কী হবে নির্ণয় করি।

উত্তর –

0.4 –এর বর্গের সঙ্গে 0.3 –এর বর্গ যোগ যোগফল = {{\left( 0.4 \right)}^{2}}+{{\left( 0.3 \right)}^{2}}=0.16+0.09=0.25

0.25 –এর বর্গমূল = \sqrt{0.25}=0.5

অর্থাৎ, 0.4 –এর বর্গের সঙ্গে 0.3 –এর বর্গ যোগ করলে যে যোগফল পাব তা 0.5 -এর বর্গের সমান।

8. ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করি।

(i) 2.56  (ii) 4.84  (iii) 5.76  (iv) 6.76  (v) 0.045369  (vi) 0.000169  (vii) 76.195441  (viii) 170.485249 (ix) 5505.64

9. কোন দশমিক সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুন করলে গুণফল 1.1025 হবে তা নির্ণয় করি।

উত্তর –

নির্নেয় দশমিক সংখ্যাটি হল = \sqrt{\text{1}.1025}=1.05

অর্থাৎ, 1.05 কে 1.05 দিয়ে গুন করলে গুণফল 1.1025 হবে।

10. 0.75 –এর সাথে কোন দশমিক সংখ্যা যোগ করলে তার বর্গমূল 2 হবে তা নির্ণয় করি।

উত্তর –

2 –এর বর্গ = {{\left( 2 \right)}^{2}}=4

সুতরাং, সংখ্যা দুটির যোগফল = 4

অর্থাৎ, অপর সংখ্যাটি = 4 – 0.75 = 3.25

সুতরাং, 0.75 –এর সাথে 3.25 যোগ করলে তার বর্গমূল 2 হবে।

11. 48.09 থেকে কোন দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফলের বর্গমূল 5.7 হবে তা নির্ণয় করি।

উত্তর –

5.7 –এর বর্গ = {{\left( 0.57 \right)}^{2}}=32.49

সুতরাং, সংখ্যা দুটির বিয়োগফল = 32.49

বড়ো সংখ্যাটি = 48.09 এবং ছোট সংখ্যাটি = 48.09 – 32.49 = 15.6

48.09 থেকে 15.6 বিয়োগ করলে বিয়োগফলের বর্গমূল 5.7 হবে।

12. 0.000328 থেকে কোন ক্ষুদ্রতম দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা ( ছয় দশমিক স্থান পর্যন্ত) হবে তা নির্ণয় করি।

13. নীচের সংখ্যামালাগুলির আসন্ন মান লিখি।

(i) \sqrt6 (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)   (ii) \sqrt8 (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)   (iii) \sqrt{11}(তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)  (iv) \sqrt{12} (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)  

14. \sqrt{15} -এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান লিখি। এই আসন্ন মানের বর্গ করি ও এই বর্গ 15 –এর চেয়ে কত কম বা বেশি হিসাব করি।

;