Table of Contents
কষে দেখি – 7.1
1. নীচের কোন কোন ক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি বহুপদী সংখ্যামালা লিখি। যেগুলি বহুপদী সংখ্যামালা তাঁদের প্রত্যেকের মাত্রা লিখি।
(i) 2x6 – 4x5 + 7x2 + 3
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা। কারন, সংখ্যামালাটির চল x –এর ঘাত (সূচক) অখন্ড সংখ্যা।
যেহেতু, সংখ্যামালাটির চল x –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত 6, সুতরাং, 2x6 – 4x5 + 7x2 + 3 -এর মাত্রা 6
(ii) x–2 + 2x–1 + 4
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) y^3-\frac34y+\sqrt7
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা। কারন, সংখ্যামালাটির চল y –এর ঘাত (সূচক) অখন্ড সংখ্যা।
যেহেতু, সংখ্যামালাটির চল y –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত 3, সুতরাং, {{y}^{3}}-\frac{3}{4}y+\sqrt{7}-এর মাত্রা 3
(iv) \frac1x-x+2
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(v) x^{51}-\frac13
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা। কারন, সংখ্যামালাটির চল x –এর ঘাত (সূচক) অখন্ড সংখ্যা।
যেহেতু, সংখ্যামালাটির চল x –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত 51, সুতরাং, {{x}^{51}}-\frac{1}{3}-এর মাত্রা 51
(vi) \sqrt[3]t+\frac t{27}
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(vii) 15
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা এবং এর মাত্রা 0
(viii) 0
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা এবং এর মাত্রা অসংজ্ঞাত।
(ix) z+\frac3z+2
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(x) y3 + 4
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা। কারন, সংখ্যামালাটির চল y –এর ঘাত (সূচক) অখন্ড সংখ্যা।
যেহেতু, সংখ্যামালাটির চল y –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত 3, সুতরাং, y3 + 4 -এর মাত্রা 3
(xi) \frac{1}{\sqrt{2}}{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা। কারন, সংখ্যামালাটির চল x –এর ঘাত (সূচক) অখন্ড সংখ্যা।
যেহেতু, সংখ্যামালাটির চল x –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত 2, সুতরাং, -এর মাত্রা 2
2. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি একচলবিশিষ্ট একঘাত সংখ্যামালা, কোনটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সংখ্যামালা এবং কোনটি একচলবিশিষ্ট ত্রিঘাত সংখ্যামালা লিখি।
(i) 2x + 17
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট একঘাত সংখ্যামালা, কারণ, সংখ্যামালাটির চল x –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 1।
(ii) x3 + x2 + x + 1
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট ত্রিঘাত সংখ্যামালা, কারণ, সংখ্যামালাটির চল x –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 3।
(iii) –3 + 2y2 + 5xy
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট সংখ্যামালা নয়। কারণ, এই সংখ্যামালায় x ও y দুটি চল আছে।
(iv) 5 – x – x3
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট ত্রিঘাত সংখ্যামালা, কারণ, সংখ্যামালাটির চল x –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 3।
(v) \sqrt2+t-t^2
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সংখ্যামালা, কারণ, সংখ্যামালাটির চল t –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 2।
(vi) \sqrt5x
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট একঘাত সংখ্যামালা, কারণ, সংখ্যামালাটির চল x –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 1।
3. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির নির্দেশ অনুযায়ী সহগ লিখি।
(i) 5x3 – 13x2 + 2 -এর x3 –এর সহগ
উত্তর –
x3 –এর সহগ 5
(ii) x2 – x + 2 –এর x–এর সহগ
উত্তর –
x–এর সহগ –1
(iii) 8x – 19 -এর x2 –এর সহগ
উত্তর –
8x – 19 = 0.x2 + 8x – 19 -এর x2 –এর সহগ 0
(iv) \sqrt{11}-3\sqrt{11}x+x^2-এর x0 –এর সহগ
উত্তর –
\sqrt{11}-3\sqrt{11}x+{{x}^{2}}=\sqrt{11}.{{x}^{0}}-3\sqrt{11}x+{{x}^{2}} –এর x0 –এর সহগ \sqrt{11}
4. আমি নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির প্রত্যেকটির মাত্রা লিখি।
(i) x4 + 2x3 + x2 + x
উত্তর –
উপরোক্ত বহুপদী সংখ্যামালাটির চল x –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 4 সুতরাং, সংখ্যামালাটির মাত্রা 4 ।
(ii) 7x – 5
উত্তর –
উপরোক্ত বহুপদী সংখ্যামালাটির চল x –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 1 সুতরাং, সংখ্যামালাটির মাত্রা 1 ।
(iii) 16
উত্তর –
উপরোক্ত বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি নেই। শুধুমাত্র ধ্রুবক পদ আছে। সুতরাং, সংখ্যামালাটির মাত্রা 0 ।
(iv) 2 – y – y3
উত্তর –
উপরোক্ত বহুপদী সংখ্যামালাটির চল y –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 3 সুতরাং, সংখ্যামালাটির মাত্রা 3 ।
(v) 7t
উত্তর –
উপরোক্ত বহুপদী সংখ্যামালাটির চল t –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 1 সুতরাং, সংখ্যামালাটির মাত্রা 1 ।
(vi) 5 – x2 + x19
উত্তর –
উপরোক্ত বহুপদী সংখ্যামালাটির চল t –এর সর্ব্বোচ্চ ঘাত বা সূচক সংখ্যা 19 সুতরাং, সংখ্যামালাটির মাত্রা 19 ।
5. আমি দুটি আলাদা একচলবিশিষ্ট দ্বিপদী সংখ্যামালা লিখি যাদের মাত্রা 17
উত্তর – নিজে কর।
6. আমি দুটি আলাদা একচলবিশিষ্ট একপদী সংখ্যামালা লিখি যাদের মাত্রা 4
উত্তর – নিজে কর।
7. আমি দুটি আলাদা একচলবিশিষ্ট ত্রিপদী সংখ্যামালা লিখি যাদের মাত্রা 3
উত্তর – নিজে কর।
8. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা, কোনগুলি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা এবং কোনগুলি বহুপদীসংখ্যামালা নয় তা লিখি।
(i) x2 + 3x + 2
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) x2 + y2 + a2
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা। কারণ, এই সংখ্যামালায় x ও y দুটি চল আছে এবং a ধ্রুবক।
(iii) y2 – 4ax
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা। কারণ, এই সংখ্যামালায় x ও y দুটি চল আছে এবং a ধ্রুবক।
(iv) x + y + 2
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা। কারণ, এই সংখ্যামালায় x ও y দুটি চল আছে।
(v) x8 + y4 + x5y9
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা। কারণ, এই সংখ্যামালায় x ও y দুটি চল আছে।
(vi) x+\frac5x
উত্তর –
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটি একটি বহুপদীসংখ্যামালা নয়।
কষে দেখি – 7.2
1. যদি f(x) = x2 + 9x – 6 হয়, তাহলে f(0), f(1) ও f(3) –এর মান হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, f\left( x \right)={{x}^{2}}+9x-6
∴ f\left( 0 \right)={{0}^{2}}+9\times 0-6=-6
∴ f\left( 1 \right)={{1}^{2}}+9\times 1-6=1+9-6=4
∴ f\left( 3 \right)={{3}^{2}}+9\times 3-6=9+27-6=30
2. নীচের বহুপদী সংখ্যামালা f(x) –এর f(1) ও f(–1) –এর মান হিসাব করে লিখি –
(i) f(x) = 2x3 + x2 + x + 4
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+4
∴ f\left( 1 \right)=2{{\left( 1 \right)}^{3}}+{{\left( 1 \right)}^{2}}+1+4=2+1+1+4=8
∴ f\left( -1 \right)=2{{\left( -1 \right)}^{3}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( -1 \right)+4=-2+1-1+4=2
(ii) f(x) = 3x4 – 5x3 + x2 + 8
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+8
∴ f\left( 1 \right)=3{{\left( 1 \right)}^{4}}-5{{\left( 1 \right)}^{3}}+{{\left( 1 \right)}^{2}}+8=3-5+1+8=7
∴ f\left( 1 \right)=3{{\left( -1 \right)}^{4}}-5{{\left( -1 \right)}^{3}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+8=3+5+1+8=17
(iii) f(x) = 4 + 3x – x3 + 5x6
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, f\left( x \right)=4+3x-{{x}^{3}}+5{{x}^{6}}
∴ f\left( 1 \right)=4+3\left( 1 \right)-{{\left( 1 \right)}^{3}}+5{{\left( 1 \right)}^{6}}=4+3-1+5=11
∴ f\left( 1 \right)=4+3\left( -1 \right)-{{\left( -1 \right)}^{3}}+5{{\left( -1 \right)}^{6}}=4-3+1+5=7
(iv) f(x) = 6 + 10x – 7x2
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, f\left( x \right)=6+10x-7{{x}^{2}}
∴ f\left( 1 \right)=6+10\left( 1 \right)-7{{\left( 1 \right)}^{2}}=6+10-7=9
∴ f\left( 1 \right)=6+10\left( -1 \right)-7{{\left( -1 \right)}^{2}}=6-10-7=-11
3. নীচের বিবৃতিগুলি যাচাই করি –
(i) P(x) = x – 1 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1
উত্তর –
এখানে, P\left( x \right)=x-1=0
∴ x=1
সুতরাং, P(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1
(ii) P(x) – 3 – x বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 3
উত্তর –
এখানে, P\left( x \right)=3-x=0
∴ x=3
সুতরাং, P(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 3
(iii) P(x) = 5x + 1 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য -\frac15
উত্তর –
এখানে, P\left( x \right)=5x+1=0
বা, 5x=-1
∴ x=-\frac{1}{5}
সুতরাং, P(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য -\frac{1}{5}
(iv) P(x) = x2 – 9 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্যদ্বয় 3 ও –3
উত্তর –
এখানে, P\left( x \right)={{x}^{2}}-9=0
বা, {{x}^{2}}=9
∴ x=\pm \sqrt{9}=\pm 3
সুতরাং, P(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্যদ্বয় 3 ও –3
(v) P(x) = x2 – 5x বহুপদী সংখ্যামালার শূন্যদ্বয় 0 এবং 5
উত্তর –
এখানে, P\left( x \right)={{x}^{2}}-5x=0
বা, x\left( x-5 \right)=0
∴ x=0 অথবা, x-5=0\Rightarrow x=5
সুতরাং, P(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্যদ্বয় 0 এবং 5
(v) P(x) = x2 – 2x – 8 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্যদ্বয় 4 এবং (–2)
উত্তর –
এখানে, P\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-8=0
বা, {{x}^{2}}-4x+2x-8=0
বা, x\left( x-4 \right)+2\left( x-4 \right)=0
বা, \left( x-4 \right)\left( x+2 \right)=0
বা, x-4=0 অথবা, x+2=0
∴ x=4 অথবা, x=-2
সুতরাং, P(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্যদ্বয় 4 এবং (–2)
4. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির শূন্য নির্ণয় করি –
(i) f(x) = 2 – x
উত্তর –
f(x) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে,
যখন, f\left( x \right)=2-x=0
বা, x=2
সুতরাং, f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হবে 2
(ii) f(x) = 7x + 2
উত্তর –
f(x) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে,
যখন, f\left( x \right)=7x+2=0
বা, 7x=-2
বা, x=-\frac{2}{7}
সুতরাং, f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হবে -\frac{2}{7}
(iii) f(x) = x + 9
উত্তর –
f(x) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে,
যখন, f\left( x \right)=x+9=0
বা, x=-9
সুতরাং, f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হবে (–9)
(iv) f(x) = 6 – 2x
উত্তর –
f(x) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে,
যখন, f\left( x \right)=6-2x=0
বা, 2x=6
বা, x=\frac{6}{2}=3
সুতরাং, f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হবে 3
(v) f(x) = 2x
উত্তর –
f(x) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে,
যখন, f\left( x \right)=2x=0
বা, x=0
সুতরাং, f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হবে 0
(vi) f(x) = ax + b, (a≠0)
উত্তর –
f(x) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে,
যখন, f\left( x \right)=ax+b=0
বা, ax=-b
বা, x=-\frac{b}{a}\,\left[ \because a\ne 0 \right]
সুতরাং, f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হবে -\frac{b}{a}
কষে দেখি – 7.3
1. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে x3 – 3x2 + 2x + 5 -কে (i) x – 2 (ii) x + 2 (iii) 2x – 1 (iv) 2x + 1 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে কত ভাগশেষ পাবো হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
(i) x-2=0\Rightarrow x=2
x – 2 সংখ্যামালার শূন্য হল 2
ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+5
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( 2 \right)={{\left( 2 \right)}^{3}}-3{{\left( 2 \right)}^{2}}+2\left( 2 \right)+5=8-12+4+5=5
(ii) x+2=0\Rightarrow x=-2
x + 2 সংখ্যামালার শূন্য হল –2
ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+5
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( -2 \right)={{\left( -2 \right)}^{3}}-3{{\left( -2 \right)}^{2}}+2\left( -2 \right)+5=-8-12-4+5=-19
(iii) 2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}
2x – 1 সংখ্যামালার শূন্য হল \frac{1}{2}
ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+5
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( \frac{1}{2} \right)={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}-3{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+2\left( \frac{1}{2} \right)+5
= \frac{1}{8}-\frac{3}{4}+1+5=\frac{1-6+8+40}{8}=\frac{43}{8}=5\frac{3}{8}
(iv) 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}
2x + 1 সংখ্যামালার শূন্য হল -\frac{1}{2}
ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+5
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( -\frac{1}{2} \right)={{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}-3{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}+2\left( -\frac{1}{2} \right)+5
= -\frac{1}{8}-\frac{3}{4}-1+5=\frac{-1-6-8+40}{8}=\frac{25}{8}=3\frac{1}{8}
2. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে (x – 1) দ্বারা নীচের বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করলে কী কী ভাগশেষ পাবো হিসাব করে লিখি।
(i) x3 – 6x2 + 13x + 60
(ii) x3 – 3x2 + 4x + 50
(iii) 4x3 + 4x2 – x – 1
(iv) 11x3 – 12x2 – x + 7
উত্তর –
এখানে x-1=0\Rightarrow x=1
x – 1 সংখ্যামালার শূন্য হল 1
(i) ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+13x+60
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( 1 \right)={{\left( 1 \right)}^{3}}-6{{\left( 1 \right)}^{2}}+13\left( 1 \right)+60=1-6+13+60=68
(ii) ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x+50
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( 1 \right)={{\left( 1 \right)}^{3}}-3{{\left( 1 \right)}^{2}}+4\left( 1 \right)+50=1-3+4+50=52
(iii) ধরি, f\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-x-1
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( 1 \right)=4{{\left( 1 \right)}^{3}}+4{{\left( 1 \right)}^{2}}-\left( 1 \right)-1=4+4-1-1=6
(iv) ধরি, f\left( x \right)=11{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-x+7
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( 1 \right)=11{{\left( 1 \right)}^{3}}-12{{\left( 1 \right)}^{2}}-\left( 1 \right)+7=11-12-1+7=5
3. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে ভাগশেষ লিখি যখন,
(i) (x – 3) দ্বারা (x3 – 6x2 + 9x – 8) বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
(ii) (x – a) দ্বারা (x3 – ax2 + 2x – a) বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
উত্তর –
(i) এখানে x-3=0\Rightarrow x=3
(x – 3) সংখ্যামালার শূন্য হল 3
ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-8
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( 3 \right)={{\left( 3 \right)}^{3}}-6{{\left( 3 \right)}^{2}}+9\left( 3 \right)-8=27-54+27-8=-8
(ii) এখানে x-a=0\Rightarrow x=a
(x – a) সংখ্যামালার শূন্য হল a
ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+2x-a
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( a \right)={{\left( a \right)}^{3}}-a{{\left( a \right)}^{2}}+2\left( a \right)-a={{a}^{3}}-{{a}^{3}}+2a-a=a
4. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে p(x) = 4x3 + 4x2 – x – 1 বহুপদী সংখ্যামালা (2x + 1) –এর গুনিতক কিনা হিসাব করি।
উত্তর –
এখানে 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}
(2x + 1) সংখ্যামালার শূন্য হল -\frac{1}{2}
ধরি, p\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-x-1
সুতরাং, p\left( -\frac{1}{2} \right)=4{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}+4{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\left( -\frac{1}{2} \right)-1
= -\frac{4}{8}+\frac{4}{4}+\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-1=0
সুতরাং, p(x) = 4x3 + 4x2 – x – 1 বহুপদী সংখ্যামালা (2x + 1) –এর গুনিতক।
5. (x – 4) দ্বারা (ax3 + 3x2 – 3) এবং (2x3 – 5x + a) বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে তবে a –এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
এখানে, x-4=0\Rightarrow x=4
(x – 4) সংখ্যামালার শূন্য হল 4
ধরি, f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3 এবং g\left( x \right)=2{{x}^{3}}-5x+a
প্রশ্নানুসারে, f\left( 4 \right)=g\left( 4 \right)
বা, a{{\left( 4 \right)}^{3}}+3{{\left( 4 \right)}^{2}}-3=2{{\left( 4 \right)}^{3}}-5\left( 4 \right)+a
বা, 64a+48-3=128-20+a
বা, 64a-a=128-20-48+3
বা, 63a=63
বা, a=\frac{63}{63}=1
সুতরাং, নির্নেয় a –এর মান 1।
6. x3 + 2x2 – px – 7 এবং x3 + px2 – 12x + 6 এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালাকে যথাক্রমে (x + 1) ও (x – 2) দ্বারা ভাগ করলে যদি R1 ও R2 ভাগশেষ পাওয়া যায় এবং যদি 2R1 + R2 = 6 হয়, তবে p –এর মান কত হিসাব করি।
উত্তর –
এখানে, x+1=0\Rightarrow x=-1
(x + 1) সংখ্যামালার শূন্য হল –1
ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-px-7
সুতরাং, {{R}_{1}}=f\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{3}}+2{{\left( -1 \right)}^{2}}-p\left( -1 \right)-7=-1+2+p-7
বা, {{R}_{1}}=p-6
আবার, x-2=0\Rightarrow x=2
(x – 2) সংখ্যামালার শূন্য হল 2
ধরি, g\left( x \right)={{x}^{3}}+p{{x}^{2}}-12x+6
সুতরাং, {{R}_{2}}=g\left( 2 \right)={{\left( 2 \right)}^{3}}+p{{\left( 2 \right)}^{2}}-12\left( 2 \right)+6=8+4p-24+6
বা, {{R}_{2}}=4p-10
প্রশ্নানুসারে, 2{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=6
বা, 2\left( p-6 \right)+4p-10=6
বা, 2p-12+4p-10=6
বা, 6p=6+12+10
বা, p=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}
সুতরাং, নির্নেয় p –এর মান 4\frac{2}{3}।
7. x4 – 2x3 + 3x2 – ax + b বহুপদী সংখ্যামালাকে (x – 1) এবং (x + 1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 5 এবং 19 হয়। ওই বহুপদী সংখ্যামালাকে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে হিসাব করি।
উত্তর –
(x – 1) সংখ্যামালার শূন্য হল 1
(x + 1) সংখ্যামালার শূন্য হল –1
ধরি, f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-ax+b
প্রশ্নানুসারে, f\left( 1 \right)=5
বা, {{\left( 1 \right)}^{4}}-2{{\left( 1 \right)}^{3}}+3{{\left( 1 \right)}^{2}}-a\left( 1 \right)+b=5
বা, 1-2+3-a+b=5
বা, -a+b=5-1+2-3
বা, -a+b=3.........\left( 1 \right)
আবার, প্রশ্নানুসারে, f\left( -1 \right)=19
বা, {{\left( -1 \right)}^{4}}-2{{\left( -1 \right)}^{3}}+3{{\left( -1 \right)}^{2}}-a\left( -1 \right)+b=19
বা, 1+2+3+a+b=19
বা, a+b=19-1-2-3
বা, a+b=13.........\left( 2 \right)
এখন, (1) + (2) করে পাই, -a+b+a+b=3+13
বা, 2b=16
বা, b=\frac{16}{2}=8
(2) নং –এ b –এর মান বসিয়ে পাই, a=13-8=5
সুতরাং, f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5x+8
(x + 2) সংখ্যামালার শূন্য হল –2
সুতরাং, নির্নেয় ভাগশেষ f\left( -2 \right)={{\left( -2 \right)}^{4}}-2{{\left( -2 \right)}^{3}}+3{{\left( -2 \right)}^{2}}-5\left( -2 \right)+8=16+16+12+10+8=62
8. যদিf(x)=\frac{a\left( x-b \right)}{a-b}+\frac{b\left( x-a \right)}{b-a} হয়, তাহলে দেখাই যে, f(a) + f(b) = f(a + b)
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, f(x)=\frac{a\left( x-b \right)}{a-b}+\frac{b\left( x-a \right)}{b-a}
এখন, f(a)=\frac{a\left( a-b \right)}{a-b}+\frac{b\left( a-a \right)}{b-a}=a+0=a
এবং, f(b)=\frac{a\left( b-b \right)}{a-b}+\frac{b\left( b-a \right)}{b-a}=0+b=b
আবার, f(a+b)=\frac{a\left( a+b-b \right)}{a-b}+\frac{b\left( a+b-a \right)}{b-a}
বা, f(a+b)=\frac{{{a}^{2}}}{a-b}+\frac{{{b}^{2}}}{b-a}=\frac{{{a}^{2}}}{a-b}-\frac{{{b}^{2}}}{a-b}
বা, f(a+b)=\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{a-b}=\frac{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)}=a+b
সুতরাং, f\left( a \right)+f\left( b \right)=f\left( a+b \right) [প্রমাণিত]
9. f(x) = ax + b এবং f(0) = 3, f(2) = 5 হলে, a ও b –এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, f\left( x \right)=ax+b
এখন, f\left( 0 \right)=a\left( 0 \right)+b=3
বা, b=3
আবার, f\left( 2 \right)=a\left( 2 \right)+b=5
বা, 2a+3=5
বা, 2a=5-3=2
বা, a=\frac{2}{2}=1
সুতরাং, a=1,\,\,b=3
10. f(x) = ax2 + bx + c এবং f(0) = 2, f(1) = 1 ও f(4) = 6 হলে, a, b ও c –এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c
এখন, f\left( 0 \right)=a{{\left( 0 \right)}^{2}}+b\left( 0 \right)+c=2
বা, c=2
এবং, f\left( 1 \right)=a{{\left( 1 \right)}^{2}}+b\left( 1 \right)+c=1
বা, a+b+2=1
বা, a+b=1-2=-1
বা, b=-1-a
আবার, f\left( 4 \right)=a{{\left( 4 \right)}^{2}}+b\left( 4 \right)+c=6
বা, 16a+4b+2=6
বা, 16a+4\left( -1-a \right)+2=6\,\,\left[ \because b=-1-a \right]
বা, 16a-4-4a+2=6
বা, 12a=6+4-2
বা, a=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}
সুতরাং, b=-1-\frac{2}{3}=\frac{-3-2}{3}=-\frac{5}{3}
সুতরাং, a=\frac{2}{3},\,\,b=-\frac{5}{3},\,\,c=2
11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) নীচের কোনটি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা
(a) x+\frac2x+3 (b) 3\sqrt x+\frac2{\sqrt x}+5 (c) \sqrt2x^2-\sqrt3x+6 (d) x^{10}+y^5+8
উত্তর –
(c) \sqrt{2}{{x}^{2}}-\sqrt{3}x+6 হল একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) নীচের কোনটি বহুপদী সংখ্যামালা
(a) x – 1 (b) \frac{x-1}{x+1} (c) x^2-\frac2{x^2}+5 (d) {{x}^{2}}+\frac{2{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}}}+6
উত্তর –
(a) x – 1 হল বহুপদী সংখ্যামালা।
(iii) নীচের কোনটি রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালা
(a) x + x2 (b) x + 1 (c) 5x2 – x + 3 (d) x+\frac1x
উত্তর –
(b) x + 1 হল রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালা।
(iv) নীচের কোনটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা
(a) \sqrt x-4 (b) x3 + x (c) x3 + 2x + 6 (d) x2 + 5x + 6
উত্তর –
(d) x2 + 5x + 6 হল দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(v) বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা
(a) ½ (b) 2 (c) 1 (d) 0
উত্তর –
\sqrt{3} বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা (d) 0
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন –
(i) p(x) = 2x – 3 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কত লিখি।
উত্তর –
এখানে, 2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}
সুতরাং, p(x) = 2x – 3 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \frac{3}{2}
(ii) p(x) = x + 4 হলে, p(x) + p(–x) –এর মান কত লিখি।
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, p\left( x \right)=x+4
∴ p\left( -x \right)=-x+4
সুতরাং, p\left( x \right)+p\left( -x \right)=x+4-x+4=8
(iii) x3 + 4x2 + 4x – 3 বহুপদী সংখ্যামালাকে x দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ কত হবে লিখি।
উত্তর –
x3 + 4x2 + 4x – 3 বহুপদী সংখ্যামালাকে x দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ কত হবে – 3
(iv) (3x – 1)7 = a7x7 + a6x6 + a5x5 + ………… + a1x + a0 হলে, a7 + a6 + a5 + ………+ a0 –এর মান কত লিখি। ( যেখানে a7 , a6 , a5 , ………, a0 ধ্রুবক)
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, {{\left( 3x-1 \right)}^{7}}={{a}_{7}}{{x}^{7}}+{{a}_{6}}{{x}^{6}}+{{a}_{5}}{{x}^{5}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}
x = 1 বসিয়ে পাই, {{\left( 3\times 1-1 \right)}^{7}}={{a}_{7}}{{\left( 1 \right)}^{7}}+{{a}_{6}}{{\left( 1 \right)}^{6}}+{{a}_{5}}{{\left( 1 \right)}^{5}}+...+{{a}_{1}}\left( 1 \right)+{{a}_{0}}
বা, {{2}^{7}}={{a}_{7}}+{{a}_{6}}+{{a}_{5}}+...+{{a}_{1}}+{{a}_{0}}
বা, {{a}_{7}}+{{a}_{6}}+{{a}_{5}}+...+{{a}_{1}}+{{a}_{0}}=128
কষে দেখি – 7.4
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলির একটি উৎপাদক (x + 1) হিসাব করে লিখি।
(i) 2x3 + 3x2 – 1
(ii) x4 + x3 – x2 + 4x + 5
(iii) 7x3 + x2 + 7x + 1
(iv) 3 + 3x – 5x3 – 5x4
(v) x4 + x2 + x + 1
(vi) x3 + x2 + x + 1
উত্তর –
(x + 1) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য –1
(i) ধরি, f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1
এখন, f\left( -1 \right)=2{{\left( -1 \right)}^{3}}+3{{\left( -1 \right)}^{2}}-1=-2+3-1=0
সুতরাং, (x + 1), 2x3 + 3x2 – 1 বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক।
(ii) ধরি, f\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x+5
এখন, f\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{4}}+{{\left( -1 \right)}^{3}}-{{\left( -1 \right)}^{2}}+4\left( -1 \right)+5=1-1-1-4+5=0
সুতরাং, (x + 1), x4 + x3 – x2 + 4x + 5 বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক।
(iii) ধরি, f\left( x \right)=7{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+7x+1
এখন, f\left( -1 \right)=7{{\left( -1 \right)}^{3}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+7\left( -1 \right)+1=-7+1-7+1=-12\ne 0
সুতরাং, (x + 1), 7x3 + x2 + 7x + 1বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক নয়।
(iv) ধরি, f\left( x \right)=3+3x-5{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}
এখন, f\left( -1 \right)=3+3\left( -1 \right)-5{{\left( -1 \right)}^{3}}-5{{\left( -1 \right)}^{4}}=3-3+5-5=0
সুতরাং, (x + 1), 3 + 3x – 5x3 – 5x4 বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক।
(v) ধরি, f\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+x+1
এখন, f\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{4}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( -1 \right)+1=1+1-1+1=2\ne 0
সুতরাং, (x + 1), x4 + x2 + x + 1 বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক নয়।
(vi) ধরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1
এখন, f\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{3}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( -1 \right)+1=-1+1-1+1=0
সুতরাং, (x + 1), x3 + x2 + x + 1 বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক।
2. গুণনীয়ক উপপাদ্য ব্যবহার করে নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি f(x) –এর একটি উৎপাদক g(x) কিনা লিখি।
(i) f(x) = x4 – x2 – 12 এবং g(x) = x + 2
উত্তর –
এক্ষেত্রে, g\left( x \right)=x+2 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য –2 এবং f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-12
∴ f\left( -2 \right)={{\left( -2 \right)}^{4}}-{{\left( -2 \right)}^{2}}-12=16-4-12=0
সুতরাং, g\left( x \right)=x+2,\,\,f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-12 -এর একটি উৎপাদক।
(ii) f(x) = 2x3 + 9x2 – 11x – 30 এবং g(x) = x + 5
উত্তর –
এক্ষেত্রে, g\left( x \right)=x+5বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য –5 এবং f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-11x-30
∴ f\left(-5\right)=2{{\left(-5\right)}^{3}}+9{{\left( -5\right)}^{2}}-11\left( -5\right)-30=-250+225+55-30=0
সুতরাং, g\left( x \right)=x+5,\,\,f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-11x-30 -এর একটি উৎপাদক।
(iii) f(x) = 2x3 + 7x2 – 24x – 45 এবং g(x)= x – 3
উত্তর –
এক্ষেত্রে, g\left( x \right)=x-3 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 3 এবং f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-24x-45
∴ f\left( 3 \right)=2{{\left( 3 \right)}^{3}}+7{{\left( 3 \right)}^{2}}-24\left( 3 \right)-45=54+63-72-45=0
সুতরাং, g\left( x \right)=x-3,\,\,f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-24x-45 -এর একটি উৎপাদক।
(iv) f(x) = 3x3 + x2 – 20x + 12 এবং g(x) = 3x – 2
উত্তর –
এক্ষেত্রে, g\left( x \right)=3x-2বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \frac{2}{3} এবং f\left( x \right)=3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-20x+12
∴ f\left( \frac{2}{3} \right)=3{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}-20\left( \frac{2}{3} \right)+12
বা, f\left( \frac{2}{3} \right)=3\times \frac{8}{27}+\frac{4}{9}-20\times \frac{2}{3}+12=\frac{8}{9}+\frac{4}{9}-\frac{40}{3}+12
বা, f\left( \frac{2}{3} \right)=\frac{8+4-120+108}{9}=0
সুতরাং, g\left( x \right)=3x-2,\,\,f\left( x \right)=3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-20x+12-এর একটি উৎপাদক।
3. k –এর মান কত হলে x + 2 দ্বারা 2x4 + 3x3 + 2kx2 + 3x + 6 বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, g\left( x \right)=x+2,\,\,f\left( x \right)=2{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+2k{{x}^{2}}+3x+6
এক্ষেত্রে, g\left( x \right)=x+2 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য –2
যেহেতু, f\left( x \right),\,\,g\left( x \right) দ্বারা বিভাজ্য সুতরাং, f\left( -2 \right)=0
বা, 2{{\left( -2 \right)}^{4}}+3{{\left( -2 \right)}^{3}}+2k{{\left( -2 \right)}^{2}}+3\left( -2 \right)+6=0
বা, 32-24+8k-6+6=0
বা, 8k=-8
বা, k=-\frac{8}{8}=-1
সুতরাং, k –এর মান –1 হলে x + 2 দ্বারা 2x4 + 3x3 + 2kx2 + 3x + 6 বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে।
4. k –এর মান কত হলে, নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি f(x) –এর একটি উৎপাদক g(x) হবে হিসাব করি –
(i) f(x) = 2x3 + 9x2 + x + k এবং g(x) = x – 1
উত্তর –
এক্ষেত্রে, g\left( x \right)=x-1 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1
যেহেতু, f\left( x \right),\,\,g\left( x \right) দ্বারা বিভাজ্য সুতরাং, f\left( 1 \right)=0
বা, 2{{\left( 1 \right)}^{3}}+9{{\left( 1 \right)}^{2}}+\left( 1 \right)+k=0
বা, 2+9+1+k=0
বা, k=-12
সুতরাং, k –এর মান –12 হলে g(x) = x – 1 দ্বারা f(x) = 2x3 + 9x2 + x + k বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে।
(ii) f(x) = kx2 – 3x + k এবং g(x) = x – 1
উত্তর –
এক্ষেত্রে, g\left( x \right)=x-1 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1
যেহেতু, f\left( x \right),\,\,g\left( x \right) দ্বারা বিভাজ্য সুতরাং, f\left( 1 \right)=0
বা, k{{\left( 1 \right)}^{2}}-3\left( 1 \right)+k=0
বা, k-3+k=0
বা, 2k=3
বা, k=\frac{3}{2}
সুতরাং, k –এর মান \frac{3}{2}হলে g(x) = x – 1 দ্বারা f(x) = kx2 – 3x + k বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে।
(iii) f(x) = 2x4 + x3 – kx2 – x + 6 এবং g(x) = 2x – 3
উত্তর –
এক্ষেত্রে, g\left( x \right)=2x-3বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \frac{3}{2}
যেহেতু, f\left( x \right),\,\,g\left( x \right) দ্বারা বিভাজ্য সুতরাং, f\left( \frac{3}{2} \right)=0
বা, 2{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{4}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{3}}-k{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-\left( \frac{3}{2} \right)+6=0
বা, \frac{81}{8}+\frac{27}{8}-\frac{9k}{4}-\frac{3}{2}+6=0
বা, \frac{81+27-18k-12+48}{8}=0
বা, 144-18k=0
বা, k=\frac{144}{18}=8
সুতরাং, k –এর মান 8 হলে g(x) = 2x – 3 দ্বারা f(x) = 2x4 + x3 – kx2 – x + 6 বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে।
(iv) f(x) = 2x3 + kx2 + 11x + k + 3 এবং g(x) = 2x – 1
উত্তর –
এক্ষেত্রে, g\left( x \right)=2x-1 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \frac{1}{2}
যেহেতু, f\left( x \right),\,\,g\left( x \right) দ্বারা বিভাজ্য সুতরাং, f\left( \frac{1}{2} \right)=0
বা, 2{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}+k{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+11\left( \frac{1}{2} \right)+k+3=0
বা, \frac{1}{4}+\frac{k}{4}+\frac{11}{2}+k+3=0
বা, \frac{1+k+22+4k+12}{4}=0
বা, 5k+35=0
বা, k=-\frac{35}{5}=-7
সুতরাং, k –এর মান –7 হলে g(x) = 2x – 1 দ্বারা f(x) = 2x3 + kx2 + 11x + k + 3 বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে।
5. ax4 + 2x3 – 3x2 + bx – 4 বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক x2 – 4 হলে, a ও b এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+bx-4 এবং g\left( x \right)={{x}^{2}}-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)
এখন, \left( x-2 \right) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 2
এবং \left( x+2 \right) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য –2
সুতরাং, f\left( 2 \right)=0
বা, a{{\left( 2 \right)}^{4}}+2{{\left( 2 \right)}^{3}}-3{{\left( 2 \right)}^{2}}+b\left( 2 \right)-4=0
বা, 16a+16-12+2b-4=0
বা, 16a+2b=30
বা, 8a+b=0.........\left( 1 \right)
আবার, f\left( -2 \right)=0
বা, a{{\left( -2 \right)}^{4}}+2{{\left( -2 \right)}^{3}}-3{{\left( -2 \right)}^{2}}+b\left( -2 \right)-4=0
বা, 16a-16-12-2b-4=0
বা, 16a-2b=32
বা, 8a-b=16.........\left( 2 \right)
(1) + (2) করে পাই, 8a+b+8a-b=0+16
বা, 16a=16
বা, a=1
(1) নং থেকে পাই, 8\times 1+b=0\Rightarrow b=-8
সুতরাং, a = 1 ও b = –8
6. x3 + 3x2 + 2ax + b বহুপদী সংখ্যামালাগুলির দুটি উৎপাদক (x + 1) এবং (x + 2) হলে, a ও b –এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2ax+b
এখন, \left( x+1 \right)বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য –1
এবং \left( x+2 \right) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য –2
সুতরাং, f\left( -1 \right)=0
বা, {{\left( -1 \right)}^{3}}+3{{\left( -1 \right)}^{2}}+2a\left( -1 \right)+b=0
বা, -1+3-2a+b=0
বা, -2a+b=-2.........\left( 1 \right)
আবার, f\left( -2 \right)=0
বা, {{\left( -2 \right)}^{3}}+3{{\left( -2 \right)}^{2}}+2a\left( -2 \right)+b=0
বা, -8+12-4a+b=0
বা, -4a+b=-4.........\left( 2 \right)
(1) – (2) করে পাই, \left( -2a+b \right)-\left( -4a+b \right)=\left( -2 \right)-\left( -4 \right)
বা, -2a+b+4a-b=-2+4
বা, 2a=2\Rightarrow a=1
(1) নং থেকে পাই, -2\left( 1 \right)+b=-2\Rightarrow b=-2+2=0
সুতরাং, a = 1 ও b = 0
7. ax3 + bx2 + x – 6 বহুপদী সংখ্যামালাকে (x – 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হয় এবং এই বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক x + 2 হলে, a ও b –এর মান কত হবে হিসাব করি।
উত্তর –
মনেকরি, f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+x-6
এখন, \left( x-2 \right) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 2
এবং \left( x+2 \right) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য –2
প্রশ্নানুসারে, f\left( 2 \right)=4
বা, a{{\left( 2 \right)}^{3}}+b{{\left( 2 \right)}^{2}}+\left( 2 \right)-6=4
বা, 8a+4b-4=4
বা, 8a+4b=8
বা, 2a+b=2.........\left( 1 \right)
আবার, f\left( -2 \right)=0
বা, a{{\left( -2 \right)}^{3}}+b{{\left( -2 \right)}^{2}}+\left( -2 \right)-6=0
বা, -8a+4b-8=0
বা, -8a+4b=8
বা, -2a+b=2.........\left( 2 \right)
(1) + (2) করে পাই, 2a+b-2a+b=2+2
বা, 2b=4\Rightarrow b=2
(1) নং থেকে পাই, 2a+2=2\Rightarrow a=0
সুতরাং, a = 0 ও b = 2
8. n যেকোনো ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাই যে, xn – yn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x – y
উত্তর –
মনেকরি, f\left( x \right)={{x}^{n}}-{{y}^{n}}
এক্ষেত্রে, x-y=0\Rightarrow x=y
সুতরাং, f\left( y \right)={{y}^{n}}-{{y}^{n}}=0
অর্থাৎ, \left( x-y \right),\,\,\left( {{x}^{n}}-{{y}^{n}} \right) -এর একটি উৎপাদক।
9. n যেকোনো অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা হলে, দেখাই যে xn + yn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x + y
উত্তর –
মনেকরি, f\left( x \right)={{x}^{n}}+{{y}^{n}}
এক্ষেত্রে, x+y=0\Rightarrow x=-y
সুতরাং, f\left( -y \right)={{\left( -y \right)}^{n}}-{{y}^{n}}
= -{{y}^{n}}+{{y}^{n}}=0 [যখন n যেকোনো অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা]
অর্থাৎ, \left( x+y \right),\,\,\left( {{x}^{n}}+{{y}^{n}} \right)-এর একটি উৎপাদক।
10. n যেকোনো ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাই যে, xn + yn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক কখনই x – y হবে না।
উত্তর –
মনেকরি, f\left( x \right)={{x}^{n}}+{{y}^{n}}
এক্ষেত্রে, x-y=0\Rightarrow x=y
সুতরাং, f\left( y \right)={{y}^{n}}+{{y}^{n}}=2{{y}^{n}}\ne 0[যখন n যেকোনো ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম)]
অর্থাৎ, \left( x-y \right),\,\,\left( {{x}^{n}}+{{y}^{n}} \right)-এর একটি উৎপাদক নয়।
11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন(M.C.Q.):
(i) x3 + 6x2 + 4x + k বহুপদী সংখ্যামালাটি (x + 2) দ্বারা বিভাজ্য হলে, k –এর মান
(a) –6 (b) –7 (c) –8 (d) –10
(ii) f(x) বহুপদী সংখ্যামালার f(– ½) = 0 হলে, f(x) –এর একটি উৎপাদক হবে
(a) 2x – 1 (b) 2x + 1 (c) x – 1 (d) x + 1
(iii) f(x) বহুপদী সংখ্যামালার (x – 1) একটি উৎপাদক, কিন্তু g(x) বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক নয়। সুতরাং (x – 1) একটি উৎপাদক হবে
(a) f(x)g(x) (b) –f(x) + g(x) (c) f(x) – g(x) (d) {f(x) + g(x)}g(x)
(iv) xn + 1 বহুপদী সংখ্যামালার (x + 1) একটি উৎপাদক হবে যখন
(a) n একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (b) n একটি যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
(c) n একটি ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (d) n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
(v) an4 + bn3 + cn2 + dn + e বহুপদী সংখ্যামালার n2 – 1 উৎপাদক হলে
(a) a + c + e = b + d (b) a + b + e = c + d (c) a + b + c = d + e (d) b + c + d = a + e
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন –
(i) x3 + ax2 – 2x + a – 12 বহুপদী সংখ্যামালার x + a একটি উৎপাদক হলে, a –এর মান কত হিসাব করে লিখি।
(ii) k2x3 – kx2 + 3kx – k বহুপদী সংখ্যামালার x – 3 একটি উৎপাদক হলে, k –এর মান কত হিসাব করে লিখি।
(iii) f(x) = 2x + 5 হলে, f(x) + f(–x) –এর মান কত হবে লিখি।
(iv) px2 + 5x + r বহুপদী সংখ্যামালার (x – 2) এবং (x – ½ ) উভয়েই উৎপাদক হলে, p ও r –এর মধ্যে সম্পর্ক হিসাব করে লিখি।
(v) f(x) = 2x + 3 রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কত হবে লিখি।
;
