নবম শ্রেণী – নবম অধ্যায় : ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি-9

1. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, EF = \frac{1}{2}BC

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, EF=\frac{1}{2}BC

প্রমান – △ABC –এর BC –এর মধ্যবিন্দু D এবং CA||DE ও DF||BA
∴ ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুসারে, E, AB –এর মধ্যবিন্দু এবং F, AC –এর মধ্যবিন্দু।
∴ E ও F –এর সংযোজক রেখাংশ EF, তৃতীয় বাহু BC –এর অর্ধেক।
∴ EF=\frac{1}{2}BC(প্রমানিত)।

2. D এবং E বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর এমনভাবে অবস্থিত যে, AD = \frac{1}{4}AB এবং AE = \frac{1}{4}AC; প্রমাণ করি যে, DE || BC এবং DE = \frac{1}{4}BC।

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, D এবং E যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের উপর এমনভাবে অবস্থিত যে, \text{AD }=\frac{1}{4}\text{AB} এবং \text{AE }=\frac{1}{4}\text{AC}।

প্রমাণ করতে হবে যে, DE||BC এবং DE=\frac{1}{4}BC।

অঙ্কন – P ও Q যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু নেওয়া হল এবং P, Q যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – △APQ –এর AP ও AQ –এর মধ্যবিন্দু D ও E কারণ AP=\frac{1}{2}AB[অঙ্কনানুসারে] এবং \text{AD }=\frac{1}{4}\text{AB}
আবার, AQ=\frac{1}{2}AC [অঙ্কনানুসারে] এবং\text{AE }=\frac{1}{4}\text{AC}
কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয় – এই উপপাদ্য অনুসারে, △APQ -এর DE||PQ।
আবার ওই একই উপপাদ্য অনুসারে △ABC –এর PQ||BC, সুতরাং, DE||PQ||BC
অর্থাৎ, DE||BC (প্রমানিত)।
∵ P ও Q যথাক্রমে AB ও AC –এর মধ্যবিন্দু এবং PQ||BC
∴PQ=\frac{1}{2}BC\,\,..........(i)
আবার, যেহেতু △APQ, D ও E যথাক্রমে AP ও AQ এর মধ্যবিন্দু এবং DE||PQ
∴ DE=\frac{1}{2}PQ\,..........(ii)
(i) এবং (ii) থেকে পাই,
DE=\frac{1}{2}PQ\,=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}BC \right)\,\,\,\left[ \because PQ=\frac{1}{2}BC \right]
অর্থাৎ, DE=\frac{1}{4}BC(প্রমানিত)।

3. X এবং Z যথাক্রমে PQR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু। QP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যাতে PS =ZP হয়। SX, PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PY = \frac{1}{4}PR

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, △PQR –এর X, Z যথাক্রমে QR ও QP –এর মধ্যবিন্দু। QP –কে S পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো যা ZP = PS। SX, PR –কে Y বিন্দুতে ছেদ করল।

প্রমাণ করতে হবে যে, PY=\frac{1}{4}PR

অঙ্কন – X, Z যোগ করা হলো।

প্রমাণ – যেহেতু, △PQR –এর QR ও QP –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Z।
কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক হয়। এই উপপাদ্য অনুযায়ী,
XZ||PR এবং XZ=\frac{1}{2}PR\,\,..........(1)
আবার, △XSZ –এর ZP = PS
অর্থাৎ, P, ZS –এর মধ্যবিন্দু।
∵ XZ||PR
∴ XZ||PY
কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক হয়। – এই উপপাদ্য অনুযায়ী
PY=\frac{1}{2}XZ\,\,..........(2)
(1) ও (2) থেকে পাই,
PY=\frac{1}{2}XZ\,=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}PR \right)
বা, PY=\frac{1}{4}PR (প্রমানিত)।

4. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয়, সেটি একটি সামান্তরিক।

উত্তরঃ-

মনেকরি, ABCD একটি সামান্তরিক। P, Q, R ও S যথাক্রমে AB, BC, CD ও DA –এর মধ্যবিন্দু। P, Q; Q, R; R, S ও S, P যোগ করে PQRS চতুর্ভুজ তৈরি করা হল।

প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি সামান্তরিক।

অঙ্কন – BD কর্ণ অঙ্কন করা হল।

প্রমাণ – △ABD –এর AB ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও S।
∴ PS||BD এবং PS=\frac{1}{2}BD [ ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুসারে ]
অনুরূপ ভাবে, △CBD –এর CB ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও R।
∴ QR||BD এবং QR=\frac{1}{2}BD[ ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুসারে ]
∵ PS||BD এবং QR||BD
সুতরাং, PS||QR
আবার, PS=\frac{1}{2}BD এবং QR=\frac{1}{2}BD
∴ PS = QR
অর্থাৎ, PQRS চতুর্ভুজের PS||QR এবং PS = QR।
কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজটি সামান্তরিক হয়।
সুতরাং, PQRS একটি সামান্তরিক। (প্রমানিত)

5. প্রমাণ করি যে, একটি আয়তাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যেবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি রম্বস, কিন্তু বর্গাকার চিত্র নয়।

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, ABCD আয়তক্ষেত্র যার P, Q, R ও S বিন্দুগুলি যথাক্রমে AB, BC, CD ও AD –এর মধ্যবিন্দু। PQ, QR, RS ও SP যুক্ত করা হল।

প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি রম্বস।

অঙ্কন – A, C যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – যেহেতু, △ABC –এর P ও Q যথাক্রমে AB ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ PQ||AC এবং PQ=\frac{1}{2}AC\,..........(1)
আবার, যেহেতু, △ADC –এর R ও S যথাক্রমে CD ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ SR||AC এবং SR=\frac{1}{2}AC\,..........(2)
(1) ও (2) থেকে পাই,PQ||SR  এবং PQ = SR ……….(3)
সুতরাং, PQRS একটি সামান্তরিক।
এখন, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।
∴ AD = BC
বা, \frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC
সুতরাং, AS = BQ ……….(4)
△APS ও △BPQ –এর AP = BP [∵ P, AB –এর মধ্যবিন্দু ]
∠PAS = ∠PBQ [ প্রতিটির মান এক সমকোণ ]
এবং AS = BQ [ (4) থেকে পাই ]
সুতরাং, △APS ≅ △BPQ [ সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে ]
∴ PS = PQ ……….(5) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]
(3) ও (4) থেকে পাই যে PQRS একটি সামান্তরিক যার PS = PQ।
সুতরাং, PQRS একটি রম্বস। (প্রমানিত)

6. প্রমাণ করি যে, একটি বর্গাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি বর্গাকার চিত্র।

উত্তরঃ-

মনেকরি, ABCD একটি বর্গাকার চিত্র যার P, Q, R ও S যথাক্রমে AB, BC, CD ও AD –এর মধ্যবিন্দু। PQ, QR, RS ও SP যুক্ত করা হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি বর্গাকার চিত্র।

অঙ্কন – AC ও BD যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – △ABC –এর P ও Q যথাক্রমে AB ও BC –এর মধ্যবিন্দু।
∴ PQ||AC এবং PQ=\frac{1}{2}AC\,..........\left( 1 \right)
△ADC –এর S ও R যথাক্রমে AD ও DC –এর মধ্যবিন্দু।
∴ SR||AC এবং SR=\frac{1}{2}AC\,..........\left( 2 \right)
(1) ও (2) থেকে পাই,
PQ||SR এবং PQ = SR ……….(3)
যেহেতু চতুর্ভুজ PQRS –এর একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল
অতএব, PQRS একটি সামান্তরিক।
যেহেতু ABCD একটি বর্গাকার চিত্র
∴ AB = BC = CD = DA
বা, \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}DA
বা, \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD এবং \frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}DA
বা, PB = RC এবং BQ = CQ
এখন △PBQ ও △RCQ এর মধ্যে
PB = RC, BQ = CQ
এবং ∠PBQ = ∠RCQ [ প্রতিটি এক সমকোণের সমান ]
সুতরাং, △PBQ ≅ △RCQ [ সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে ]
PQ = QR ……….(4) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]
(3) ও (4) থেকে পাই
PQ = QR = SR
কিন্তু, PQRS একটি সামান্তরিক।
∴ QR = PS
সুতরাং, PQ = QR = SR = PS ………..(5)
এখন, PQ||AC [ (1) নং থেকে পাই ]
বা, PM||NO ……….(6)
যেহেতু, P ও S যথাক্রমে AB ও AD –এর মধ্যবিন্দু
PS||BD
বা, PN||MO ……….(7)
সুতরাং, চতুর্ভুজ PMON থেকে পাই,
PM||NO [(6) নং থেকে পাই ]
এবং PN||MO [(7) নং থেকে পাই ]
সুতরাং, PMON একটি সামান্তরিক।
∴ ∠MPN = ∠MON
বা, ∠MPN = ∠BOA [∵ ∠MON = ∠BOA ]
বা, ∠MPN = 90° [∵ বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব, ∴ AC⟂BD ⇒ ∠BOA = 90° ]
∴ ∠QPS = 90°
সুতরাং, PQRS একটি চতুর্ভুজ যার PQ = QR = RS = SP এবং ∠QPS = 90°
অর্থাৎ, PQRS একটি বর্গক্ষেত্র বা বর্গাকার চিত্র। (প্রমানিত)

7. প্রমাণ করি যে, একটি রম্বসের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি আয়তাকার চিত্র।

উত্তরঃ-

মনেকরি, ABCD একটি রম্বস। P, Q, R ও S যথাক্রমে AB, BC, CD ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু। PQ, QR, RS ও SP যুক্ত করা হল।

প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি আয়তক্ষেত্র।

অঙ্কন – A, C যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – PQRS –কে আয়তক্ষেত্র প্রমাণ করার জন্য প্রথমে দেখাতে হবে PQRS একটি সামান্তরিক এবং তার একটি কোণ সমকোণ।
△ABC -এর P ও Q যথাক্রমে AB ও BC –এর মধ্যবিন্দু
∴ PQ||AC এবং PQ=\frac{1}{2}AC\,........\left( 1 \right)
△ADC –এর S ও R যথাক্রমে AD ও CD –এর মধ্যবিন্দু
∴ SR||AC এবং SR=\frac{1}{2}AC\,..........\left( 2 \right)
(1) ও (2) থেকে পাই,
PQ||SR এবং PQ = SR
অর্থাৎ, PQRS একটি চতুর্ভুজ যার একজোড়া বাহু সমান ও সমান্তরাল।
সুতরাং, PQRS একটি সামান্তরিক।
এবার প্রমাণ করতে হবে PQRS –এর একটি কোণ সমকোণ।
যেহেতু ABCD একটি রম্বস
∴ AB = BC [ রম্বসের চারটি বাহু সমান ]
বা, ½ AB = ½ BC
বা, PB = BQ [∵ P ও Q যথাক্রমে AB ও BC এর মধ্যবিন্দু ]
∠BQP = ∠BPQ [ ত্রিভুজের সমান দৈর্ঘ্যের বাহুর বিপরীত কোণগুলি সমান হয় ]
আবার, ABCD একটি রম্বসবা, AB = BC = CD = AD
বা, AB = BC এবং CD = AD
বা, ½ AB = ½ BC এবং ½ CD = ½ AD
বা, AP = CQ, CR = AS ………(3)
এখন, △APS ও △CQR এর মধ্যে
AP = CQ এবং AS = CR
PS = QR [ ∵ PQRS সামান্তরিক ]
∴ △APS ≅ △CQR [ সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে ]
∴ ∠APS = ∠CQR [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] ………(4)
এখন, ∠APS + ∠SPQ + ∠BPQ = 180°
এবং ∠BQP + ∠PQR + ∠CQR = 180°
∴ ∠APS + ∠SPQ + ∠BPQ = ∠BQP + ∠PQR + ∠CQR
বা, ∠SPQ = ∠PQR ……..(5) [ (2) এবং (4) থেকে পাই ]
সমান্তরাল SP ও RQ এর ভেদক PQ যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ ∠SPQ + ∠PQR = 180°
বা, ∠SPQ + ∠SPQ = 180°
বা, 2∠SPQ = 180°
∴ ∠SPQ = 90°
সুতরাং, PQRS একটি সামান্তরিক যার ∠SPQ = 90°
অর্থাৎ, PQRS একটি আয়তক্ষেত্র। (প্রমাণিত)

8. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D এবং E ; P এবং Q যথাক্রমে CD ও BD -এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করি যে, BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, △ABC –এর D, E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু। P, Q যথাক্রমে CD ও BD –এর মধ্যবিন্দু। BE ও PQ সরলরেখা দুটি X বিন্দুতে ছেদ করল।

প্রমাণ করতে হবে যে, BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

প্রমাণ – যেহেতু, △ABC –এর AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E।
∴ DE||BC, DE=\frac{1}{2}BC
আবার △BCD -এর BD ও CD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও P।
∴ PQ||DE, অর্থাৎ QX||DE এবং PQ = DE
△BED -এর BD বাহুর মধ্যবিন্দু Q এবং QX||DE
∴ X, BE বাহুর মধ্যবিন্দু এবং QX=\frac{1}{2}DE
অর্থাৎ, QX=\frac{1}{2}PQ\,\,\left[ \because \,PQ=DE \right]
∴ X, PQ বাহুর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং, BE, PQ পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে। (প্রমাণিত)

9. ABC ত্রিভুজের ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব। D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হলো যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AE = EC

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, ABC ত্রিভুজের ∠ABC –এর সমদ্বিখন্ডকের উপর AD লম্ব। D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হল যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অঙ্কন – বর্ধিত AD, BC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, AE = EC

প্রমাণ – △ABD ও △BDF –এর
∠ABD = ∠DBF [∵ ∠B –এর সমদ্বিখণ্ডক BD ]
∠ADB = ∠BDF [∵ AD ⟂ BD ]
BD সাধারণ বাহু।
∴ △ABD ≅ △BDF
∴ AD = DF, অর্থাৎ D, AF –এর মধ্যবিন্দু।
△AFC –এর D, AF –এর মধ্যবিন্দু
এবং DE||BC অর্থাৎ DE||FC
∴ E, AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ AE = EC (প্রমাণিত)

10. ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা। B ও C বিন্দু দিয়ে AD-এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR এবং CT টানা হলো যারা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, \frac{1}{AD}=\frac{1}{RB}+\frac{1}{TC}

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা। B ও C বিন্দু দিয়ে AD –এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR এবং  CT টানা হল যারা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, \frac{1}{AD}=\frac{1}{RB}+\frac{1}{TC}

প্রমাণ – △RBC –এর RB||AD এবং D, BC –এর মধ্যবিন্দু [ কারণ AD মধ্যমা ]
∴ AD=\frac{1}{2}RB
আবার, △TBC –এর AD|TC এবং D, BC –এর মধ্যবিন্দু
∴ AD=\frac{1}{2}TC
সুতরাং, \frac{1}{2}RB=\frac{1}{2}TC
বা, RB = TC ……….(1)
ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুসারে, 2AD = RB
বা, \frac{1}{2AD}=\frac{1}{RB}
বা, \frac{1}{AD}=\frac{2}{RB}=\frac{1}{RB}+\frac{1}{RB}
∴ \frac{1}{AD}=\frac{1}{RB}+\frac{1}{TC} [ (1) থেকে পাই ] (প্রমাণিত)।

11. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB > DC ; E এবং F যথাক্রমে কর্ণদ্বয় AC ও BD-এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করি যে, EF = \frac{1}{2} (AB – DC)

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, ABCD ট্রাপিজিয়মের AB||DC এবং AB > DC; E এবং F যথাক্রমে কর্ণদ্বয় AC ও BD এর মধ্যবিন্দু।

প্রমান করতে হবে যে, EF=\frac{1}{2}\left( AB-DC \right)

অঙ্কন – D ও E যুক্ত করা হল। DE –এর বর্ধিতাংশ AB -তে R বিন্দুতে মিলিত হল।

প্রমাণ – যেহেতু, AB||DC এবং AC ভেদক তাদেরকে A এবং C বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ ∠CAB = ∠ACD [ একান্তর  কোণ ] ………(1)
এখন △AER ও △DEC –এর মধ্যে
∠EAR = ∠ECD [ (1) নং থেকে পাই ]
AE = CE [∵ E, AC –এর মধ্যবিন্দু ]
এবং ∠AER = ∠CAD [ বিপ্রতীপ কোণ ]
সুতরাং, △AER ≅ △DEC [ ত্রিভুজের সর্বসমতার A-S-A শর্তানুসারে ]
∴ AR = DC এবং ER = DE ……..(2) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]
△DRB -এর E ও F যথাক্রমে DR ও DB –এর মধ্যবিন্দু
∴ EF|| RBবা, EF||AB [∵ RB –এর বর্ধিতাংশ AB]
বা, EF||AB এবং EF||DC [∵ AB||DC ]
আবার, E ও F যথাক্রমে DR ও DB –এর মধ্যবিন্দু
∴ △DRB –এর EF=\frac{1}{2}RB=\frac{1}{2}\left( AB-AR \right)
বা, EF=\frac{1}{2}\left( AB-DC \right) [ (2) থেকে পাই AR = DC ]
সুতরাং, EF=\frac{1}{2}\left( AB-DC \right) (প্রমাণিত)  

12. AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। A, B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথক্রমে AR, BS এবং CT; প্রমাণ করি যে, AR+ BS = 2CT

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। A, B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব AR, BS ও CT।

প্রমাণ করতে হবে যে, AR + BS = 2CT

অঙ্কন – R, B যুক্ত করা হল। RB, CT –কে K বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ – A, B, C বিন্দুগুলি থেকে PQ –এর দূরত্ব যথাক্রমে AR, BS ও CT
∴ AR, BS ও CT প্রত্যেকটি PQ বাহুর উপর লম্বভাবে অবস্থিত। [ AR⟂PQ, BS⟂PQ, CT⟂PQ ]
সুতরাং, AR||BS||CTAR, BS ও CT সমান্তরাল সরলরেখা এবং AB ভেদক।
আবার, AC = BC [∵ C, AB –এর মধ্যবিন্দু ]
△ARB –এর AR||CT, অর্থাৎ AR||CK এবং C মধ্যবিন্দু
∴ PK = KB
আবার, △RBS –এর KT||BS [∵ CT||BS ]
এবং K, PB –এর মধ্যবিন্দু
∴ RT = TS এবং BS = 2KT
∵ CT||AR অর্থাৎ CK||AR এবং CK=\frac{1}{2}AR
বা, 2CK = AR
∴ AR + BS = 2CK + 2KT = 2(CK + KT) = 2CT
অর্থাৎ, AR + BS = 2CT (প্রমাণিত)

13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। B, C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার উপর লম্ব যথাক্রমে BL, CM এবং DN; প্রমাণ করি যে, DL = DM.

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। B, C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার উপর লম্ব যথাক্রমে BL, CM এবং DN।

প্রমাণ করতে হবে যে, DL = DM

প্রমাণ – BC সরলরেখার উপর BL, CM ও DN লম্বভাবে অবস্থিত।
সুতরাং, BL, CM ও DN পরস্পর সমান্তরাল।
আবার, BL, CM ও DN পরস্পর সমান্তরাল এবং BC ও LM তাদের ভেদক।
∵ D, BC –এর মধ্যবিন্দু
∴ N, LM –এর মধ্যবিন্দু
এখন, △NLD ও △NMD –এর মধ্যে
NL = NM [ N মধ্যবিন্দু ]
∠LND = ∠MND [ প্রতিটি এক সমকোণ ]
এবং ND সাধারণ বাহু।
∴ △NLD ≅ △NMD [ ত্রিভুজের সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে ]
∴ DL = DM (প্রমাণিত)

14. ABCD একটি বর্গাকার চিত্র। AC এবং BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে। ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক  BO-কে P বিন্দুতে এবং BC -কে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OP = \frac{1}{2}CQ

উত্তরঃ-

দেওয়া আছে যে, ABCD একটি বর্গাকার চিত্রের AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠BAC –এর সমদ্বিখন্ডক OB ও BC -কে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, OP=\frac{1}{2}CQ

অঙ্কন – O বিন্দু থেকে BC –এর সমান্তরাল সরলরেখা AP ও AB –কে যথাক্রমে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল।

যেহেতু, ABCD একটি বর্গাকার চিত্র।
∴ ∠BAO = ∠OBC = 45°
আবার, ∠SAR = ½ ∠BAO = \frac{45{}^\circ}{2}=22\frac{1}{2}{}^\circ,
আবার, ∠SAR = ½ ∠BAO =\frac{45{}^\circ }{2}=22\frac{1}{2}{}^\circ, ∠ASR = 90°
∴ \angle ARS=180{}^\circ-\left( 90{}^\circ+22\frac{1}{2}{}^\circ\right)=180{}^\circ-112\frac{1}{2}{}^\circ=67\frac{1}{2}{}^\circ
∠PRO = বিপ্রতীপ ∠ARS = 67\frac{1}{2}{}^\circ
∵ SO||BC∴ ∠PQB = একান্তর ∠PRO = 67\frac{1}{2}{}^\circ
△BPQ –এর ∠BPQ = 180{}^\circ-\left( 45{}^\circ+67\frac{1}{2}{}^\circ\right)=180{}^\circ-112\frac{1}{2}{}^\circ=67\frac{1}{2}{}^\circ
আবার, ∠RPO = বিপ্রতীপ ∠BPQ = 67\frac{1}{2}{}^\circ
△PRO –এর ∠PRO = ∠RPO = 67\frac{1}{2}{}^\circ
∴ OP = OR
△ACQ –এর O, AC –এর মধ্যবিন্দু এবং OR||CQ
∴  OR=\frac{1}{2}CQ
অর্থাৎ, OP=\frac{1}{2}CQ (প্রমাণিত)

15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(i) PQR ত্রিভুজে ∠PQR = 90° এবং PR = 10 সেমি.। PR বাহুর মধ্যবিন্দু S হলে, QS-এর দৈর্ঘ্য

(a) 4 সেমি. (b) 5 সেমি. (c) 6 সেমি. (d) 3 সেমি.।

উত্তরঃ-

△PQR -এর ∠PQR = 90° এবং PR = 10 সেমি.

QS=SR=\frac{10}{2}=5 সেমি.

∴ নির্নেয় সমাধান (b) 5 সেমি.

(ii) ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB = 7 সেমি. ও DC = 5 সেমি.। AD ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F হলে, EF-এর দৈর্ঘ্য

(a) 5 সেমি. (b) 7 সেমি. (c) 6 সেমি. (d) 12 সেমি.

উত্তরঃ-

EF=\frac{1}{2}\left( AB+CD \right)=\frac{1}{2}\left( 7+5 \right)=\frac{1}{2}\times 12=6 সেমি.

∴ নির্নেয় সমাধান (c) 6 সেমি.

(iii) ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার মধ্যবিন্দু E; বর্ধিত BE, AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। AC = 10.5 সেমি. হলে, AF-এর দৈর্ঘ্য

(a) 3 সেমি. (b) 5 সেমি. (c) 2.5 সেমি. (d) 3.5 সেমি.

উত্তরঃ-

AF=\frac{1}{3}AC=\frac{10.5}{3}=3.5 সেমি.

∴ নির্নেয় সমাধান (d) 3.5 সেমি.

(iv) ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দুযথাক্রমে D, E ও F; BE ও DF,X বিন্দুতে এবং CF ও DE, Y বিন্দুতে ছেদ করলে, XY-এর দৈর্ঘ্য সমান

(a) \frac{1}{2}BC (b) \frac{1}{4}BC (c) \frac{1}{3}BC (d) \frac{1}{8}BC

উত্তরঃ-

△ABC -এর EF=\frac{1}{2}BC

△EFD –এর XY=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}BC \right)=\frac{1}{4}BC

∴ নির্নেয় সমাধান (b) \frac{1}{4}BC

(v) ABCD সামান্তরিকের BC বাহুর মধ্যবিন্দু E; DE এবং বর্ধিত AB, F বিন্দুতে মিলিত হয়। AF-এর দৈর্ঘ্য সমান |

(a) \frac{3}{2}AB (b) 2AB (c) 3AB (d) \frac{5}{4}AB

উত্তরঃ-

∵ E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AD||BC

∴ △ADF –এর B, AF এর মধ্যবিন্দু

∴ AF=AB+BF=AB+AB=2AB

∴ নির্নেয় সমাধান (b) 2AB

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন:

(i) ABC ত্রিভুজের AD এবং BE মধ্যমা এবং BE-এর সমান্তরাল সরলরেখা DF, AC বাহুর সঙ্গে F বিন্দুতে মিলিত হয়। AC বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি. হলে, CF বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

উত্তরঃ-

△ABC –এর AD ও BE মধ্যমা।

∴ D ও E যথাক্রমে BC ও AC –এর মধ্যবিন্দু।

ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুসারে, CF=\frac{1}{2}CE
বা, CF=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}AC \right)\,\,\left[ \because \,EC=\frac{1}{2}AC \right]
∴ CF=\frac{1}{4}AC=\frac{1}{4}\times 8=2 সেমি.

(ii) ABC ত্রিভুজের BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R; যদি AC = 21 সেমি., BC = 29 সেমি. এবং AB = 30 সেমি. হয়, তাহলে ARPQ চতুর্ভুজের পরিসীমা লিখি।

উত্তরঃ-

AC = 21 সেমি., Q, AC
∴ AQ=\frac{21}{2}=10.5 সেমি.
R, AB –এর মধ্যবিন্দু
AB = 30 সেমি.
∴ AR=\frac{30}{2}=15
P, BC –এর মধ্যবিন্দু।
ত্রিভুজের মধ্যবিন্দুর উপপাদ্য অনুসারে,
PR=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times 21=10.5 সেমি.
এবং PQ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times 30=15 সেমি.
ARPQ চতুর্ভুজের পরিসীমা = AR + RP + PQ + AQ
= (15 + 10.5 + 15 + 10.5) সেমি. = 51 সেমি.

(iii) ABC ত্রিভুজের AC বাহুর উপর D যে-কোনাে একটি বিন্দু। P, Q, X, Y, যথাক্রমে AB, BC, AD এবং DC-এর মধ্যবিন্দু। PX = 5 সেমি. হলে, QY-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

উত্তরঃ-

△ABC –এর P ও Q যথাক্রমে AB ও BC –এর মধ্যবিন্দু।
D, AC –এর উপর যেকোনো বিন্দু। X ও Y যথাক্রমে AD ও DC –এর মধ্যবিন্দু।
∴ QY = PX = 5 সেমি.
অর্থাৎ QY –এর দৈর্ঘ্য 5 সেমি.।

(iv) ABC ত্রিভুজের BE ও CF মধ্যমা G বিন্দুতে ছেদ করে। P এবং Q যথাক্রমে BG এবং CG-এর মধ্যবিন্দু। PQ = 3 সেমি. হলে, BC -এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।।

উত্তরঃ-

ABC ত্রিভুজের BE ও CF মধ্যমা G বিন্দুতে ছেদ করে। P এবং Q যথাক্রমে BG এবং CG-এর মধ্যবিন্দু। সুতরাং, ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুসারে, △BGC –এর BC=2PQ=2\times 3=6 সেমি.

∴ BC –এর দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

(v) ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F; FE, AD -কে O বিন্দুতে ছেদ করে। AD = 6 সেমি. হলে, AO-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

উত্তরঃ-

যেহেতু, △ABC –এর F ও E যথাক্রমে AB ও AC –এর মধ্যবিন্দু।
∴ FE||BC
বা, FE||BD
∴ △ABD –এর O বিন্দু AD –এর মধ্যবিন্দু।
বা, 2AO = AD = 6
বা, AO=\frac{6}{2}=3
∴ AO –এর দৈর্ঘ্য 3 সেমি.।

;