নবম শ্রেণী – অধ্যায় ১৯ : স্থানাঙ্ক জ্যামিতি সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃবিভক্ত সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 19

1. নীচের বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশগুলি যে বিন্দুতে প্রদত্ত অনুপাতে বিভক্ত তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।

(i) (6, –12) এবং (–8, 10); 3:4 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে।

উত্তর –

যে বিন্দুতে (6, –12) এবং (–8, 10) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ 3:4 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত তার স্থানাঙ্ক

= \left( \frac{3\times \left( -8 \right)+4\times 6}{3+4},\frac{3\times 10+4\times \left( -14 \right)}{3+4} \right)

= \left( \frac{-24+24}{7},\frac{30-56}{7} \right)

= \left( 0,-\frac{26}{7} \right)

(ii) (5, 3) এবং (–7, –2); 2:3 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে।

উত্তর –

যে বিন্দুতে (5, 3) এবং (–7, –2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ 2:3 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত তার স্থানাঙ্ক

= \left( \frac{2\times \left( -7 \right)+3\times 5}{2+3},\frac{2\times \left( -2 \right)+3\times 3}{2+3} \right)

= \left( \frac{-14+15}{5},\frac{-4+9}{5} \right)

= \left( \frac{1}{5},1 \right)

(iii) (–1, 2) (4, –5); 3:2 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।

উত্তর –

যে বিন্দুতে (–1, 2) এবং (4, –5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ 3:2 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত তার স্থানাঙ্ক

= \left( \frac{3\times 4-2\times \left( -1 \right)}{3-2},\frac{3\times \left( -5 \right)-2\times 2}{3-2} \right)

= \left( \frac{12+2}{1},\frac{-15-4}{1} \right)

= \left( 14,-19 \right)

(iv) (3, 2) (6, 5); 2:1 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।

উত্তর –

যে বিন্দুতে (3, 2) এবং (6, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ 2:1 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত তার স্থানাঙ্ক

= \left( \frac{2\times 6-1\times 3}{2-1},\frac{2\times 5-1\times 2}{2-1} \right)

= \left( \frac{12-3}{1},\frac{10-2}{1} \right)

= \left( 9,8 \right)

2. নীচের প্রত্যেক বিন্দুগুলোর সংযোজক সরলরেখাংশগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি –

(i) (5, 4) এবং (3, –4)      (ii) (6, 0) এবং (0. 7)

উত্তর –

(i) (5, 4) এবং (3, –4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক

= \left( \frac{5+3}{2},\frac{4-4}{2} \right)=\left( \frac{8}{2},\frac{0}{2} \right)=\left( 4,0 \right)

(ii) (6, 0) এবং (0. 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক

= \left( \frac{6+0}{2},\frac{0+7}{2} \right)=\left( \frac{6}{2},\frac{7}{2} \right)=\left( 3,\frac{7}{2} \right)

3. (1, 3) বিন্দুটি (4, 6) ও (3, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে কী অনুপাতে বিভক্ত করেছে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, (1, 3) বিন্দুটি (4, 6) ও (3, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করেছে।

প্রশ্নানুসারে, \frac{m\times 3+n\times 4}{m+n}=1

বা, 3m+4n=m+n

বা, 3m-m=n-4n

বা, 2m=-3n

বা, \frac{m}{n}=\frac{-3}{2}

বা, m:n=-3:2

যেহেতু, m : n –এর মান ঋনাত্মক সুতরাং (1, 3) বিন্দুটি (4, 6) ও (3, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে 3 : 2 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে।

4. (7, 3) ও (–9, 6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ y –অক্ষ দ্বারা কী অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, (7, 3) ও (–9, 6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ y –অক্ষ দ্বারা m : n অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে।

সুতরাং, বিন্দুটির ভুজ = \frac{m\times \left( -9 \right)+n\times 7}{m+n}

যেহেতু, বিন্দুটি y –অক্ষের উপর অবস্থিত, সুতরাং, তার ভুজ অর্থাৎ x –স্থানাঙ্কের মান = 0

∴ \frac{m\times \left( -9 \right)+n\times 7}{m+n}=0

বা, -9m+7n=0

বা, 9m=7n

বা, \frac{m}{n}=\frac{7}{9}

বা, m:n=7:9

সুতরাং, (7, 3) ও (–9, 6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ y –অক্ষ দ্বারা 7 : 9 অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে।

5. প্রমাণ করি যে, A (7, 3), B (9, 6), C (10, 12) এবং D (8, 9) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হবে।

উত্তর –

মনেকরি, A (7, 3), B (9, 6), C (10, 12) এবং D (8, 9) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজ উৎপন্ন হয় তার কর্ণ AC ও BD –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।

সুতরাং, AC কর্ণের মধ্যবিন্দু P –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{7+10}{2},\frac{3+12}{2} \right)=\left( \frac{17}{2},\frac{15}{2} \right)

এবং BD কর্ণের মধ্যবিন্দু Q –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{9+8}{2},\frac{6+9}{2} \right)=\left( \frac{17}{2},\frac{15}{2} \right)

যেহেতু, ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্নদ্বয় পরস্পরকে \left( \frac{17}{2},\frac{15}{2} \right) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করেছে।

সুতরাং, ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। [প্রমাণিত]

6. যদি (3, 2), (6, 3), (x, y) এবং (6, 5) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে (x, y) কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, (3, 2), (6, 3), (x, y) এবং (6, 5) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে উৎপন্ন সামান্তরিক ABCD –এর কর্ণ AC ও BD –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।

সুতরাং, AC কর্ণের মধ্যবিন্দু P –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{3+x}{2},\frac{2+y}{2} \right)

এবং BD কর্ণের মধ্যবিন্দু Q –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{6+6}{2},\frac{3+5}{2} \right)=\left( 6,4 \right)

যেহেতু, ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্নদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে, সুতরাং, P ও Q একই বিন্দু।

সুতরাং, \frac{3+x}{2}=6

বা, 3+x=12

বা, x=12-3=9

এবং, \frac{2+y}{2}=4

বা, 2+y=8

বা, y=8-2=6

সুতরাং, নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক (9, 6)।

7. যদি (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) এবং (x₄, y₄) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, x₁ + x₃ = x₂ + x₄ এবং y₁ + y₃ = y₂ + y₄

উত্তর –

মনেকরি, A (x₁, y₁), B (x₂, y₂), C (x₃, y₃) এবং D (x₄, y₄) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে উৎপন্ন সামান্তরিক ABCD –এর কর্ণ AC ও BD –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।

সুতরাং, AC কর্ণের মধ্যবিন্দু P –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{3}}}{2},\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{3}}}{2} \right)

এবং BD কর্ণের মধ্যবিন্দু Q –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{{{x}_{2}}+{{x}_{4}}}{2},\frac{{{y}_{2}}+{{y}_{4}}}{2} \right)

যেহেতু, ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্নদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে, সুতরাং, P ও Q একই বিন্দু।

সুতরাং, \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{3}}}{2}=\frac{{{x}_{2}}+{{x}_{4}}}{2}

বা, {{x}_{1}}+{{x}_{3}}={{x}_{2}}+{{x}_{4}} [প্রমাণিত]

এবং \frac{{{y}_{1}}+{{y}_{3}}}{2}=\frac{{{y}_{2}}+{{y}_{4}}}{2}

বা, {{y}_{1}}+{{y}_{3}}={{y}_{2}}+{{y}_{4}} [প্রমাণিত]

8. ABC ত্রিভুজের A, B ও C শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (–1, 3), (1, –1) এবং (5, 1); AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

ABC ত্রিভুজের A, B ও C শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (–1, 3), (1, –1) এবং (5, 1);

BC বাহুর মধ্যবিন্দু D –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{1+5}{2},\frac{-1+1}{2} \right)=\left( 3,0 \right)

সুতরাং, AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 3+1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 একক।

9. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, –4), (6, –2) এবং (–4, 2); ত্রিভুজটির তিনটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

মনেকরি, ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A (2, –4), B (6, –2) এবং C (–4, 2);

AB বাহুর মধ্যবিন্দু F –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{2+6}{2},\frac{-4-2}{2} \right)=\left( 4,-3 \right)

BC বাহুর মধ্যবিন্দু D –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{6-4}{2},\frac{-2+2}{2} \right)=\left( 1,0 \right)

CA বাহুর মধ্যবিন্দু E –এর স্থানাঙ্ক = \left( \frac{-4+2}{2},\frac{2-4}{2} \right)=\left( -1,-1 \right)

সুতরাং, AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( -4-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17} একক

BE মধ্যমার দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( 6+1 \right)}^{2}}+{{\left( -2+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} একক

CF মধ্যমার দৈর্ঘ্য = \sqrt{{{\left( -4-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2+3 \right)}^{2}}}=\sqrt{64+25}=\sqrt{89} একক

10. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 3), (–2, 7) এবং (0, 11); ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A (x₁, y₁), B (x₂, y₂), C (x₃, y₃)

AB বাহুর মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক = \left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right)

BC বাহুর মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক = \left( \frac{{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{2},\frac{{{y}_{2}}+{{y}_{3}}}{2} \right)

CA বাহুর মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক = \left( \frac{{{x}_{3}}+{{x}_{1}}}{2},\frac{{{y}_{3}}+{{y}_{1}}}{2} \right)

প্রশ্নানুসারে, \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=4

বা, {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=8\,.........\left( 1 \right)

এবং  \frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}=3

বা, {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=6\,.........\left( 2 \right)

আবার, \frac{{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{2}=-2

বা, {{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-4\,.........\left( 3 \right)

এবং \frac{{{y}_{2}}+{{y}_{3}}}{2}=7

বা, {{y}_{2}}+{{y}_{3}}=14\,.........\left( 4 \right)

আবার, \frac{{{x}_{3}}+{{x}_{1}}}{2}=0

বা, {{x}_{3}}+{{x}_{1}}=0\,.........\left( 5 \right)

এবং \frac{{{y}_{3}}+{{y}_{1}}}{2}=11

বা, {{y}_{3}}+{{y}_{1}}=22\,.........\left( 6 \right)

(1) + (3) + (5) করে পাই, {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{3}}+{{x}_{1}}=8-4+0

বা, 2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)=4

বা, {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=2

বা, 8+{{x}_{3}}=2

বা, {{x}_{3}}=-6

এখন (5) থেকে পাই, -6+{{x}_{1}}=0\Rightarrow {{x}_{1}}=6

এবং (1) থেকে পাই, 6+{{x}_{2}}=8\,\Rightarrow {{x}_{2}}=8-6=2

(2) + (4) + (6) থেকে পাই, 2\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right)=42

বা, {{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}=21

বা, 6+{{y}_{3}}=21

বা, {{y}_{3}}=21-6=15

এখন (6) থেকে পাই, 15+{{y}_{1}}=22\Rightarrow {{y}_{1}}=22-15=7

এবং (2) থেকে পাই, 7+{{y}_{2}}=6\Rightarrow {{y}_{2}}=6-7=-1

সুতরাং, ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক (6, 7), (2, –1) এবং (–6, 15)।

11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(i) (l, 2m) এবং (–l + 2m, 2l – 2m) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক

(a) (l, m)   (b) (l, –m)   (c) (m, –l)   (d) (m, l)

(ii) A (1, 5) এবং B (–4, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে P বিন্দু অন্তস্থভাবে 2:3 অনুপাতে বিভক্ত করলে P বিন্দুর ভুজ

(a) –1   (b) 11   (c) 1   (d) –11

(iii) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (7, 9) এবং (–1, –3); বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক

(a) (3, 3)   (b) (4, 6)   (c) (3, –3)   (d) (4, –6)

(iv) (2, –5) এবং (–3, –2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে একটি বিন্দু 4:3 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে। ওই বিন্দুর কোটি

(a) –18   (b) –7   (c) 18   (d) 7

(v) PQRS সামান্তরিকের P (1, 2), Q (4, 6), R (5, 7) এবং S (x, y) শীর্ষবিন্দু হলে,

(a) x=2, y=4   (b) x=3, y=4   (c) x=2, y=3   (d) x=2, y=5

12. (i) একটি বৃত্তের কেন্দ্র C এবং ব্যাস AB; A এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (6, –7) এবং (5, –2) হলে, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হিসাব করে লিখি।

(ii) P ও Q বিন্দু যথাক্রমে প্রথম ও তৃতীয় পাদে অবস্থিত এবং x –অক্ষ ও y –অক্ষ থেকে বিন্দুদুটির প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 6 একক এবং 4 একক। PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।

(iii) A ও B বিন্দু দ্বিতীয় ও চতুর্থ পাদে অবস্থিত এবং x –অক্ষ ও y –অক্ষ থেকে বিন্দুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 8 একক ও 6 একক। AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।

(iv) AB সরলরেখাংশের উপর P একটি বিন্দু এবং AP=PB; A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3, –4) এবং (–5, 2); P বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।

(v) ABCD আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল। B এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (7, 3) এবং (2, 6); A ও C বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।

;