নবম শ্রেণী – অধ্যায় ১৭ : সমবিন্দু : সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 17

1. ABC ত্রিভুজে ∠B ও ∠C –এর অন্তসমদ্বিখন্ডক I বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি \angle BIC=90{}^\circ +\frac{\angle BAC}{2}

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABC ত্রিভুজে ∠B ও ∠C –এর অন্তসমদ্বিখন্ডক I বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, \angle BIC=90{}^\circ +\frac{\angle BAC}{2}
প্রমাণ – ∠ABI = ∠IBC এর ∠ACI = ∠ICB
△ABC –এর ক্ষেত্রে, \angle \text{BAC }+\text{ }\angle \text{ABC }+\text{ }\angle \text{ACB }=\text{ 18}0{}^\circ
বা, \frac{\angle BAC}{2}+\frac{\angle ABC}{2}+\frac{\angle ACB}{2}=90{}^\circ
বা, \angle IBC+\angle ICB=90{}^\circ -\frac{\angle BAC}{2}.........\left( 1 \right)
আবার, △BIC –এর ক্ষেত্রে, \angle \text{BIC }+\text{ }\angle \text{BIC }+\text{ }\angle \text{ICB }=\text{ 18}0{}^\circ
বা, \angle \text{BIC}+90{}^\circ +\frac{\angle BAC}{2}=180{}^\circ [(1) নং থেকে পাই]
বা, \angle BIC=180{}^\circ -90{}^\circ -\frac{\angle BAC}{2}
∴ \angle BIC=90{}^\circ +\frac{\angle BAC}{2} [প্রমাণিত]

2. একটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য সমান হলে প্রমাণ করি যে, ত্রিভুজটি সমবাহু।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, △ABC –এর AD, BE, CF মধ্যমাত্রয় সমান।
প্রমাণ করতে হবে যে, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ – মনেকরি, AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় G বিন্দুতে ছেদ করেছে। যেহেতু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমত্রিখন্ডক বিন্দুতে ছেদ করে
∴ DG=\frac{1}{3}AD,\,EG=\frac{1}{3}BE,\,FG=\frac{1}{3}CF
কিন্তু AD = BE = CF
∴ DG = EG = FG ……..(1)
এবং AG = BG = CG ……..(2)
এবার, △FGB ও △EGC –এর মধ্যে
BG = CG
FG = EG
∠FGB = বিপ্রতীপ ∠EGC
∴ △FGB ≅ △EGC
সুতরাং, BF = CE
বা, 2BF = 2CE
∴ AB = AC ……..(3)
আবার, △FGA ও △DGC –এর মধ্যে
FG = DG
AG = CG
∠AGF = বিপ্রতীপ ∠CGD
∴ △FGA ≅ △DGC
সুতরাং, AF = CD
বা, 2AF = 2CD
AB = BC ………(4)
(3) নং এবং (4) নং থেকে পাই, AB = BC = AC
∴ △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। [প্রমাণিত]

3. প্রমাণ করি যে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমাপতিত হয়।

উত্তর –

মনেকরি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের AD, BE ও CF মধ্যমা তিনটি G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, G হল পরিকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু।
প্রমাণ – G হল ভরকেন্দ্র
△ABD ও △ACD থেকে পাই,
AB = AC [ যেহেতু, ABC সমবাহু ত্রিভুজ ]
AD সাধারণ বাহু
BD = CD [ যেহেতু, AD মধ্যমা ]
∴ △ABD ≅ △ACD ……..(1)
∴ ∠BAD = ∠CAD
আবার, ∠ADB = ∠ADC ………(2)
(1) নং থেকে পাই, AD, ∠A –এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক।
একইভাবে প্রমাণ করা যায় BE ও CF, যথাক্রমে ∠B ও ∠C –এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক।
∴ G হল অন্তঃকেন্দ্র।
(2) নং থেকে পাই, AD ⟂ BC
একইভাবে প্রমাণ করা যায়, BE ⟂ AC, CF ⟂ AB
∴ G হল লম্ববিন্দু।
আবার, AD ⟂ BC এবং D, BC –এর মধ্যবিন্দু অর্থাৎ AD, BC –এর লম্বসমদ্বিখন্ডক।
একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, BE ও CF, যথাক্রমে AC ও AB –এর লম্বসমদ্বিখন্ডক।
∴ G হল পরিকেন্দ্র।

4. ABC ত্রিভুজের AD, BE ও CF মধ্যমা। প্রমাণ করি যে, ABC ও DEF ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র একই বিন্দু।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABC ত্রিভুজের AD, BE ও CD মধ্যমা।
প্রমাণ করতে হবে যে, ABC ও DEF ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র একই বিন্দু।
প্রমাণ – মনেকরি, AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় G বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ G, △ABC –এর ভরকেন্দ্র।
আবার, মনেকরি DF, BE –কে P বিন্দুতে, DE, CF –কে Q বিন্দুতে এবং EF, AD –কে R বিন্দুতে ছেদ করে। △ABC –এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F ও E
∴ FE || BC ও FE = ½ BC
সুত্ররাং, FE || DC ও FE = DC [D, BC –এর মধ্যবিন্দু]
আবার, FE || BD ও FE = BC
∴ FEDB ও FECD দুটি সামান্তরিক।
আবার, △ABC –এর AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও D
∴ ED || AB ও ED = ½ AB
সুতরাং, ED || AF এবং ED = AF
∴ EDFA একটি সামান্তরিক।
FEDB সামান্তরিকের BE ও FD দুটি কর্ণ।
∴ FP = PD∴ P, FD –এর মধ্যবিন্দু।
অনুরূপভাবে, FECD ও EDFA সামান্তরিকের ক্ষেত্রে,
Q, DE –এর মধ্যবিন্দু এবং R, EF –এর মধ্যবিন্দু >br>∴ DEF ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G।
∴ ABC ও DEF ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র একই বিন্দু। [প্রমাণিত]

5. প্রমাণ করি যে, একটি ত্রিভুজের দুটি মধ্যমার দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় মধ্যমার দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর –

মনেকরি, △ABC –এর AD, BE ও CF তিনটি মধ্যমা এবং G মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে যে, BE + CF > AD
অঙ্কন – AD –কে H পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যাতে GD = DH হয়। B ও H, C ও H যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – BHCG চতুর্ভুজের BD = CD [যেহেতু D, BC –এর মধ্যবিন্দু]
GO = DH
∴ BHCG চতুর্ভুজে কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ BHCG একটি সামান্তরিক।
∴ BH = CG
এখন △BGH –এর BG + BH > GH
অর্থাৎ, BG + CG > 2GD [যেহেতু BH = CG, GH = DH]
∴ \frac{2}{3}BE+\frac{2}{3}CF>2\times \frac{1}{3}AD
অর্থাৎ, BE + CF > AD [প্রমাণিত]

6. ABC ত্রিভুজের AD, BE ও CF মধ্যমা। প্রমাণ করি যে,

(i) 4(AD + BE + CF)>3(AB + BC + CA)  (ii) 3(AB + BC + CA)>2(AD + BE + CF)

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, △ABC –এর AD, BE ও CF মধ্যমা তিনটি G বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, (i) 4(AD + BE + CF)>3(AB + BC + CA)  (ii) 3(AB + BC + CA)>2(AD + BE + CF)
প্রমাণ – △AGB –এর ক্ষেত্রে, AG + BG > AB ………(1)
△ACG –এর ক্ষেত্রে, AG + CG > AC ………(2)
△BGC –এর ক্ষেত্রে, BG + CG > BC ………(3)
(1) + (2) + (3) করে পাই,
2(AG + BG + CG) > (AB + AC + BC)
যেহেতু, G ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র
∴ AG=\frac{2}{3}AD,\,\,BG=\frac{2}{3}BE,\,\,CG=\frac{2}{3}CF
∴ 2\left( \frac{2}{3}AD+\frac{2}{3}BE+\frac{2}{3}CF \right)>\left( AB+AC+BC \right)
∴ 4\left( AD+BE+CF \right)>3\left( AB+BC+CA \right).........\left( i \right) [প্রমাণিত]
আবার, △ABD AGB –এর ক্ষেত্রে, AB + BD > AD
△ACD AGB –এর ক্ষেত্রে, CA + DC > AD
অর্থাৎ, AB + BD + CA + DC > 2AD
∴ AB + CA + BD + DC > 2AD
∴ AB + CA + BC > 2AD
একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, AB + BC + CA > 2BE
এবং AB + BC + CA > 2CF
অর্থাৎ, 3(AB + BC + CA) > 2(AD + BE + CF) ………(ii) [প্রমাণিত]

7. △ABC -এর AD, BE ও CF মধ্যমা তিনটি G বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। △ABC –এর ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সেমি হলে, (i) △AGB –এর ক্ষেত্রফল (ii) △CGE –এর ক্ষেত্রফল (iii) চতুর্ভুজ BDGF –এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, △ABC -এর AD, BE ও CF মধ্যমা তিনটি G বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। △ABC –এর ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সেমি হলে।
নির্নয় করতে হবে, i) △AGB –এর ক্ষেত্রফল (ii) △CGE –এর ক্ষেত্রফল (iii) চতুর্ভুজ BDGF –এর ক্ষেত্রফল
নির্নয় – ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
△ABC -এর AD মধ্যমা,
∴ △ABD = △ACD ………(1)
আবার, △GBC –এর GD মধ্যমা,
△GBD = △GCD ………(2)
(1) – (2) করে পাই,
△ABD – △GBD = △ACD – △GCD
∴ △AGB = △AGC
একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, △AGB = △BGC
∴ \Delta AGB=\Delta AGC=\Delta BGC=\frac{1}{3}\left( \Delta AGB+\Delta AGC+\Delta BGC \right)
বা, \Delta AGB=\Delta AGC=\Delta BGC=\frac{1}{3}\Delta ABC
বা, \Delta AGB=\frac{1}{3}\times 36=12 বর্গসেমি
আবার, △CGE = ½ △AGC [যেহেতু, △AGC –এর GE মধ্যমা ]
বা, \Delta CGE=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{3}\Delta ABC \right)=\frac{1}{6}\times 36=6 বর্গসেমি
চতুর্ভুজ BDGF = △BGD + △BGF = ½ △BGC + ½ △AGB
= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{3}\Delta ABC \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{3}\Delta ABC \right)
= \frac{1}{6}\times 36+\frac{1}{6}\times 36=6+6=12 বর্গসেমি

8. ABC ত্রিভুজের AD, BE ও CF মধ্যমা। যদি \frac23AD = BC হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, অপর দুটি মধ্যমার অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাপ 90°।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABC ত্রিভুজের AD, BE ও CF মধ্যমা এবং \frac{2}{3}\text{AD }=\text{ BC}
প্রমাণ করতে হবে যে, BE ও CF মধ্যমা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাপ 90°।
প্রমাণ – মনেকরি, AD, BE, CF মধ্যমা তিনটি G বিন্দুতে ছেদ করে।
এখানে, \frac{2}{3}\text{AD }=\text{ BC}.........\left( 1 \right)
আবার, \frac{1}{3}AD=DG
বা, AD=3DG.........\left( 2 \right)
(1) ও (2) নং থেকে পাই, \frac{2}{3}\left( 3DG \right)=BC
বা, 2DG=BCবা, DG=\frac{1}{2}BC.........\left( 3 \right)
আবার, BD = CD = ½ BC
∴ DG = BD = CD
∴ △BGD ও △GDC ত্রিভুজ দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
∴ △GBC –এর GD মধ্যমা।
∴ △BGD = △GCD
∴ △BGD ≅ △GCD
∴ ∠GDB = ∠GDC
∴ GD ⟂ BC
∴ △BGD ও △GDC দুটি সমকোনী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
△BGD –এর ক্ষেত্রে, B{{G}^{2}}=B{{D}^{2}}+D{{G}^{2}}=2D{{G}^{2}}
△GDC –এর ক্ষেত্রে, G{{C}^{2}}=D{{G}^{2}}+C{{D}^{2}}=2D{{G}^{2}}
∴ B{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}=2D{{G}^{2}}+2D{{G}^{2}}= 4D{{G}^{2}}=4{{\left( \frac{1}{2}BC \right)}^{2}}=4\times \frac{1}{4}B{{C}^{2}}
∴ B{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}
△BGC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠BGC = 90°
∴ BE ও CF মধ্যমা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাপ 90°।

9. ABCD সামান্তরিকের BC এবং CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; AP এবং AQ কর্ণ BD –কে যথাক্রমে K ও L বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, BK = KL = LD

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ABCD সামান্তরিকের BC এবং CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; AP এবং AQ কর্ণ BD –কে যথাক্রমে K ও L বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, BK = KL = LD
অঙ্কন – AC কর্ণ আঁকলাম যা কর্ণ BD –কে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ – যেহেতু, ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণ
∴ AO = OC, OB = OD
অর্থাৎ, O, AC –এর মধ্যবিন্দু।
∴ △ABC –এর OB ও AP দুটি মধ্যমা যারা K বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ BK=\frac{2}{3}OB.........\left( 1 \right)
বা, OB=\frac{3}{2}BK
আবার, OK=\frac{1}{3}OB.........\left( 2 \right)
বা, OB=3OK
বা, \frac{3}{2}BK=3OK
∴ BK=2OK.........\left( 3 \right)
একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, DL=\frac{2}{3}OD.........\left( 4 \right)
এবং OK=\frac{1}{3}OD.........\left( 5 \right)
যেহেতু, OB = OD
অর্থাৎ, BK = DL, OK = OL
আবার, LK = OK + OL = 2OK = BK
∴ BK = DL = LK
∴ BK = LK = LD [প্রমানিত]

10. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; ∠BOC = 80° হলে, ∠BAC –এর পরিমাপ

(a) 40°   (b) 160°   (c) 130°   (d) 110°

(ii) ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; ∠BAC = 40° হলে, ∠BOC –এর পরিমাপ

(a) 80°   (b) 140°   (c) 110°   (d) 40°

(iii) ABC ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র O; ∠BAC = 40° হলে, ∠BOC –এর পরিমাপ

(a) 80°   (b) 110°   (c) 140°   (d) 40°

(iv) ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G; GBC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সেমি হলে, ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 24 বর্গ সেমি     (b) 6 বর্গ সেমি      (c) 36 বর্গ সেমি      (d) কোনোটিই নয়।

(v) ABC সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য

(a) 2.5 বর্গ সেমি   (b) 10 বর্গ সেমি      (c) 5 বর্গ সেমি      (d) কোনোটিই নয়।

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন

(i) একটি ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি, 8 সেমি ও 10 সেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের কোথায় অবস্থিত তা লিখি।

(ii) ABC সমবাহু ত্রিভুজের AD মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 3\sqrt3 সেমি হলে AG – এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

(iii) একটি ত্রিভুজের কয়টি বিন্দু ত্রিভুজের বাহুগুলি থেকে সমদূরবর্তী তা লিখি।

(iv) ABC সমবাহু ত্রিভুজের পাদ ত্রিভুজ DEF; ∠FDA –এর পরিমাপ কত তা লিখি।

(v) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠ABC = ∠ACB এবং মধ্যমা AD = ½ BC। যদি AB = \sqrt2সেমি হয়, তাহলে ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

;