নবম শ্রেণী – অধ্যায় ১৫ : ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজেরপরিসীমা ও ক্ষেত্রফল সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 15.1

1. আমি কামালদের বাড়ির ছবি দেখি ও উত্তর খুঁজি।
(i) কামালদের বাগানের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
(ii) প্রতি বর্গ মিটারে 30 টাকা হিসাবে কামালদের বারান্দার মেঝে মেরামত করতে কত খরচ হবে হিসাব করে লিখি।
(iii) কামাল তার পড়ার ঘরের টালি বসাতে চায়। যদি প্রতিটি টালি 25 সেমি × 25 সেমি হয়, তবে তার পড়ার ঘরের মেঝেতে টালি বসাতে কতগুলি টালি লাগবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

কামালদের বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার, প্রস্থ 20 মিটার।

(i) কামালদের বাগানের ক্ষেত্রফল = (20 × 20) বর্গ মিটার = 400 বর্গ মিটার

(ii) কামালদের বারান্দার মেঝের দৈর্ঘ্য 10 মিটার এবং প্রস্থ 5 মিটার।

∴ কামালদের বারান্দার ক্ষেত্রফল = (10 × 5) বর্গ মিটার = 50 বর্গ মিটার

সুতরাং, প্রতি বর্গ মিটারে 30 টাকা হিসাবে কামালদের বারান্দার মেঝে মেরামত করতে কত খরচ হবে = 50 × 30 টাকা = 1500 টাকা।

(iii) কামালের পড়ার ঘরের দৈর্ঘ্য 6 মিটার = 600 সেমি এবং প্রস্থ 5 মিটার = 500 সেমি ।

∴ পড়ার ঘরের ক্ষেত্রফল = (600 × 500) বর্গ সেমি।

আবার, প্রতিটি টালির ক্ষেত্রফল 25 সেমি × 25 সেমি = (25 × 25) বর্গ সেমি

∴ টালি লাগবে = \frac{600\times 500}{25\times 25}=480 টি।

2. নীচের ছবি দেখি ও রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি

উত্তর –

(i) সবুজ অংশ সমেত আয়তাকার অংশের ক্ষেত্রফল = (12 × 8) বর্গ মিটার = 96 বর্গ মিটার

সবুজ অংশ বাদে আয়তাকার অংশের দৈর্ঘ্য = (12 – 3) = 9 মিটার এবং প্রস্থ = (8 – 3) = 5 মিটার।

সুতরাং, সবুজ অংশ বাদে আয়তাকার অংশের ক্ষেত্রফল = (9 × 5) বর্গ মিটার = 45 বর্গ মিটার

∴ সবুজ অংশের ক্ষেত্রফল = (96 – 45) = 51 বর্গ মিটার।

(ii) দৈর্ঘ্য বরাবর নীল রং করা অংশের দৈর্ঘ্য 26 মিটার ও প্রস্থ 3 মিটার।

∴ দৈর্ঘ্য বরাবর নীল রং করা অংশের ক্ষেত্রফল = (26 × 3) বর্গ মিটার = 78 বর্গ মিটার

আবার, প্রস্থ বরাবর নীল রং করা অংশের দৈর্ঘ্য 14 মিটার ও প্রস্থ 3 মিটার।

∴ প্রস্থ বরাবর নীল রং করা অংশের ক্ষেত্রফল = (14 × 3) বর্গ মিটার = 42 বর্গ মিটার

সুতরাং, নীল রং করা অংশের ক্ষেত্রফল = {78 + 42 – (3 × 3)} বর্গ মিটার = {120 – 9} বর্গ মিটার = 111 বর্গ মিটার।

(iii) গোলাপী অংশ বাদে আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (16 × 9) বর্গ মিটার = 144 বর্গ মিটার।

গোলাপী অংশ সমেত আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (16 + 4 × 2) মিটার = 24 এবং প্রস্থ = (9 + 4 × 2) মিটার = 17 মিটার

∴ গোলাপী অংশ সমেত আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (24 × 17) বর্গ মিটার = 408 বর্গ মিটার।

সুতরাং, গোলাপী অংশের ক্ষেত্রফল = (408 – 144) = 264 বর্গ মিটার।

(iv) কমলা অংশ সমেত আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (28 × 20) বর্গ মিটার = 560 বর্গ মিটার।

কমলা অংশ বাদে আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (28 – 3 × 2) মিটার = 22 এবং প্রস্থ = (20 – 3 × 2) মিটার = 14 মিটার

∴ কমলা অংশ বাদে আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (22 × 14) বর্গ মিটার = 308 বর্গ মিটার।

সুতরাং, কমলা অংশের ক্ষেত্রফল = (560 – 308) = 252 বর্গ মিটার।

(v) দৈর্ঘ্য বরাবর হলুদ রং করা অংশের দৈর্ঘ্য 120 সেমি ও প্রস্থ 3 সেমি ।

∴ দৈর্ঘ্য বরাবর হলুদ রং করা অংশের ক্ষেত্রফল = (120 × 3) বর্গ সেমি = 360 বর্গ সেমি

আবার, প্রস্থ বরাবর হলুদ রং করা অংশের দৈর্ঘ্য 90 সেমি ও প্রস্থ 3 সেমি ।

∴ প্রস্থ বরাবর হলুদ রং করা 2 টি অংশের ক্ষেত্রফল = 2 × (90 × 3) বর্গ সেমি = 540 বর্গ সেমি

সুতরাং, হলুদ রং করা অংশের ক্ষেত্রফল = {360 + 540 – 2 × (3 × 3)} বর্গ সেমি = {900 – 18} বর্গ সেমি = 882 বর্গ সেমি ।

3. বিরাটি মহাজাতি সঙ্ঘের আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3; মাঠটির চারদিকে একবার হেঁটে এলে 336 মিটার পথ অতিক্রম করা যায়। মাঠের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

বিরাটি মহাজাতি সঙ্ঘের আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3

মনেকরি, দৈর্ঘ্য = 4x মিটার এবং প্রস্থ = 3x মিটার।

আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

∴ মাঠটির চারদিকে একবার হেঁটে এলে পথ অতিক্রম করবে = 2 × (4x + 3x) = 14x মিটার।

প্রশ্নানুসারে, 14x=336

বা, x=\frac{336}{14}=24

∴ মাঠের দৈর্ঘ্য = (4 × 24) = 96 মিটার প্রস্থ = (3 × 24) = 72 মিটার।

সুতরাং, মাঠের ক্ষেত্রফল = (96 × 72) = 6912 বর্গ মিটার।

4. প্রতি বর্গ মিটারে 3.50 টাকা হিসাবে সমরদের একটি বর্গাকার জমি চাষ করতে খরচ হয় 1400 টাকা। প্রতি মিটার 8.50 টাকা হিসাবে সমরদের জমিটির চারধারে একই উচ্চতার তারের বেড়া দিতে কত খরচ হবে হিসাব করি।

উত্তর –

প্রতি বর্গ মিটারে 3.50 টাকা হিসাবে সমরদের একটি বর্গাকার জমি চাষ করতে খরচ হয় 1400 টাকা।

∴ সমরদের বর্গাকার জমিটির ক্ষেত্রফল = \frac{1400}{3.50}=400 বর্গ মিটার।

∴ সমরদের বর্গাকার জমিটির দৈর্ঘ্য = \sqrt{400}=20 মিটার।

আমরা জানি, বর্গাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য

∴ সমরদের বর্গাকার জমিটির পরিসীমা = 4 × 20 = 80 মিটার।

প্রতি মিটার 8.50 টাকা হিসাবে সমরদের জমিটির চারধারে একই উচ্চতার তারের বেড়া দিতে খরচ হবে = 8.50 × 80 = 680 টাকা।

5. সুহাসদের আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 500 বর্গ মিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়ালে জমিটি বর্গাকার হয়। সুহাসদের জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

সুহাসদের আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 500 বর্গ মিটার।

মনেকরি, জমিটির দৈর্ঘ্য x মিটার।

∴ জমিটির প্রস্থ = \frac{500}{x} মিটার।

জমিটি বর্গাকার হবে যখন দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ সমান হয়।

প্রশ্নানুসারে, x-3=\frac{500}{x}+2

বা, x-\frac{500}{x}=2+3

বা, \frac{{{x}^{2}}-500}{x}=5

বা, {{x}^{2}}-500=5x

বা, {{x}^{2}}-5x-500=0

বা, {{x}^{2}}-25x+20x-500=0

বা, x\left( x-25 \right)+20\left( x-25 \right)=0

বা, \left( x-25 \right)\left( x+20 \right)=0

বা, x-25=0 অথবা, x+20=0

বা, x=25 অথবা, x=-20 [অগ্রাহ্য, যেহেতু জমির দৈর্ঘ্য ঋনাত্মক হতে পারে না]

সুতরাং, জমিটির দৈর্ঘ্য 25 মিটার এবং প্রস্থ = \frac{500}{25}=20 মিটার।

6. আমাদের গ্রামে একটি বর্গাকার জমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার। এই বর্গাকার জমির চারধার একই উচ্চতার 3 ডেসিমিটার চওড়া দেয়াল দিয়ে ঘিরব। হিসাব করে দেখি প্রতি 100 বর্গ মিটার জমিতে 5000 টাকা হিসাবে দেয়ালের জন্য কর খরচ পড়বে।

7. রেহানাদের আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 14 মিটার এবং প্রস্থ 2 মিটার। বাগানটির ভিতরে চারদিকে সমান চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে প্রতি বর্গ মিটারে 20 টাকা হিসাবে মোট 1380 টাকা খরচ হলে, রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।

8. 1200 বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 40 সেমি হলে, তার কর্ণের

উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

9. একটি হলঘরের দৈর্ঘ্য 4 মিটার, প্রস্থ 6 মিটার এবং উচ্চতা 4 মিটার। ঘরটিতে তিনটি দরজা আছে যাদের প্রত্যেকটি 1.5 মি × 1 মি এবং চারটি জানালা আছে যাদের প্রত্যেকটি 1.2 মি × 1 মি। ঘরটির চার দেয়াল প্রতি বর্গ মিটারে 70 টাকা হিসাবে রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে কত খরচ হবে।

10. একটি ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল 42 বর্গ মিটার এবং মেঝের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ মিটার। ঘরটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, ঘরটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

11. সুজাতা 84 বর্গ সেমি ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তাকার কাগজে ছবি আঁকবে। কাগজটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 5 সেমি। সুজাতার কাগজটির পরিসীমা হিসাব করি।

12. সিরাজদের বর্গাকার বাগানের বাইরের চারদিকে 2.5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল 165 বর্গ মিটার। বাগানটির ক্ষেত্রফল এবং কর্ণে দৈর্ঘ্য হিসাব করি। (\sqrt2 = 1.414)

13.  যে বর্গাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য 20\sqrt2মিটার তার চারধার পাঁচিল দিয়ে ঘিরতে কত মিটার দৈর্ঘ্যের পাঁচিল দিতে হবে হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ মিটারে 20 টাকা হিসাবে ঘাস বসাতে কত খরচ হবে হিসাব করে লিখি।

14. আমাদের আয়তাকার বাগানের একটি কর্ণ বরাবর একটি বেড়া দেব। আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 মিটার ও 7 মিটার হলে, বেড়ার দৈর্ঘ্য হিসাব করে দেখি। বেড়াটির আয়তাকার বাগানকে যে দুটি ত্রিভুজের ভাগ করবে তার পরিসীমা লিখি।

15. মৌসুমীদের বাড়ির আয়তাকার বড় হলঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 9:5 এবং পরিসীমা 140 মিটার। মৌসুমীরা হলঘরের মেঝেতে 25 সেমি × 20 সেমি আকারের আয়তাকার টালি বসাতে চায়। প্রতি 100 টালির দাম 500 টাকা হলে, মৌসুমীদের হলঘরের মাঝেতে টালি বসাতে কত খরচ হবে হিসাব করি।

16. 18 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি বড়ো হলঘরের কার্পেট দিয়ে মুড়তে 2160 টাকা খরচ হয়। যদি হলঘরের প্রস্থ 4 মিটার কম হতো তাহলে 1620 টাকা খরচ হতো। হলঘরের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

17. একটি আয়তাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 3 মিটার। জমিটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

18. 385 মিটার × 60 মিটার পরিমাপের একটি আয়তাকার চাতাল পাকা করতে সর্ববৃহৎ কত মাপের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করা যাবে এবং সেক্ষেত্রে টাইলসের সংখ্যা কত হবে হিসাব করি।

19. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :

(i) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 12\sqrt2সেমি। বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

(a) 288 বর্গ সেমি  (b) 144 বর্গ সেমি  (c) 72 বর্গ সেমি  (d) 18 বর্গ সেমি

(ii) যদি একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল A₁ বর্গ একক এবং ওই বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল A₂ বর্গ একক হয়, তাহলে A₁ : A₂ হবে

(a) 1:2    (b) 2:1    (c) 1:4    (d) 4:1

(iii) 6 মিটার লম্বা ও 4 মিটার চওড়া একটি আয়তাকার জায়গা 2 ডেসিমি বর্গ টালি দিয়ে বাঁধাতে হলে টালি লাগবে

(a) 1200    (b) 2400    (c) 600    (d) 1800

(iv) সমান পরিসীমাবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে S এবং R হলে,

(a) S = R    (b) S > R    (c) S < R

(v) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 62.5 বর্গ সেমি হলে, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সমষ্টি  

(a) 12 সেমি    (b) 15 সেমি    (c) 20 সেমি    (d) 25 সেমি    

20. সংক্ষিপ্ত উত্তর ভিত্তিক প্রশ্ন –

(i) একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

(ii) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে?

(iii) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে আয়তক্ষেত্রের একটি প্রস্থের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 2 সেমি। আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য কত ?

(iv) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্নদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে তার যেকোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য2\sqrt2সেমি হলে, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য কত ? 

(v) একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 34 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গ সেমি। আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

কষে দেখি – 15.2

1. নীচের ছবিগুলির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

2. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 48 সেমি হলে, তার ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

3. ABC সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 5\sqrt3 সেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি। 

4. △ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 4 সেমি হলে, △ABC –এর ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

5. যদি কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সেমি এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি হয়, তবে ওই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

6. কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 544 সেমি এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ভূমির দৈর্ঘ্যের \frac56অংশ; ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

7. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12\sqrt2সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

8. পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি ও 8 সেমি এবং কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির প্রত্যেকটি 90°; সামান্তরিকের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য লিখি ও সামান্তরিকটির বৈশিষ্ট লিখি।

9. আমাদের পাড়ার ত্রিভুজাকৃতি একটি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3:4; পার্কটির পরিসীমা 216 মিটার।
(i) হিসাব করে পার্কটির ক্ষেত্রফল লিখি।
(ii) পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌনিক বিন্দু থেকে ওই বাহুতে সোজাসুজি যেতে কত পথ হাঁটতে হবে হিসাব করে লিখি।

10. পহলমপুর গ্রামের ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিনদিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার ও 30 মিটার।
(i) প্রতি বর্গ মিটারে 5 টাকা হিসাবে ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি।
(ii) ওই ত্রিভুজাকৃতি মাঠে প্রবেশের গেট তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধারে বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি মিটার 18 টাকা হিসাবে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি।

11. শাকিল একটি সমবাহু ত্রিভুজ PQR এঁকেছে। আমি ওই সমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ত্রিভুজের বাহুগুলির উপর তিনটি লম্ব অঙ্কন করেছি যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি, 12 সেমি ও 8 সেমি। হিসাব করে △PQR –এর ক্ষেত্রফল লিখি।

12. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

13. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

14. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা \left(\sqrt2+1\right) সেমি হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

15. মারিয়া ঘন্টায় 18 কিমি বেগে সাইকেল চালিয়ে 10 মিনিটে একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার মাঠের পরিসীমা বরাবর ঘুরে এল। ত্রিভুজটির একটি কৌনিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত সোজা যেতে মারিয়ার কত সময় লাগবে হিসাব করে লিখি। \left(\sqrt3\approx1.732\right)

16. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বৃদ্ধি করলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \sqrt3 বর্গ মিটার বৃদ্ধি পায়। সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

17. একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \sqrt3:2; বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 60 সেমি হলে, সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা হিসাব করে লিখি।

18. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং পরিসীমা যথাক্রমে 13 সেমি এবং 30 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

19. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সেমি এবং 5 সেমি। সমকৌনিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি। ( 3 দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান )

20. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র থেকে একটি সর্ববৃহৎ বর্গাকারক্ষেত্র এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যার একটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজাকৃতি অতিভুজের উপর অবস্থিত। বর্গাকারক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

21. বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) –

(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতার পরিমাপ

(a) 4\sqrt3 সেমি (b) 16\sqrt3 সেমি (c) 8\sqrt3 সেমি (d) 2\sqrt3 সেমি

(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a একক। ত্রিভুজটির পরিসীমা

(a) \left(1+\sqrt2\right)a একক (b) \left(2+\sqrt2\right)aএকক (c) 3a একক (d) \left(3+2\sqrt2\right)a একক

(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, পরিসীমা এবং উচ্চতা যথাক্রমে a, s এবং h হলে, \frac{2a}{sh}-এর মান

(a) 1 (b) \frac12  (c) \frac13  (d) \frac14

(iv) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 6 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল  

(a) 18 বর্গ সেমি (b) 12 বর্গ সেমি (c) 15 বর্গ সেমি (d) 30 বর্গ সেমি

(v) ABC ত্রিভুজের AC বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু যে AD:DC=3:2; ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 40 বর্গ সেমি হলে BDC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

(a) 16 বর্গ সেমি (b) 24 বর্গ সেমি (c) 30 বর্গ সেমি (d) 36 বর্গ সেমি

(vi) একটি ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা থেকে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর যথাক্রমে 8 সেমি, 7 সেমি ও 5 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

(a) 20\sqrt7 বর্গ সেমি  (b) 10\sqrt14 বর্গ সেমি (c) 20\sqrt14 বর্গ সেমি (d) 140 বর্গ সেমি

22. সংক্ষিপ্ত উত্তর ভিত্তিক প্রশ্ন –

(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও উচ্চতার সাংখ্যমান সমান। ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

(ii) একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি হয়?

(iii) একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুন করলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি হয়?

(iv) একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x – 2) সেমি, x সেমি এবং (x + 2) সেমি। ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

(v) একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার উপর একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করা হলো। ত্রিভুজ ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

কষে দেখি – 15.3

1. রাতুল একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার ভূমির দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি। রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

2. একটি সামান্তরিকের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুন। যদি সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 98 বর্গ সেমি হয়, তাহলে সামান্তরিকটির দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার পরিমাপ হিসাব করি।

3. আমাদের বাড়ির পাশে একটি সামান্তরিক আকারের জমি আছে যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মিটার ও 13 মিটার। যদি এই জমির একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 14 মিটার হয়, তবে হিসাব করে সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল লিখি।

4. পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার সন্নিহিত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 25 সেমি ও 15 সেমি এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 20 সেমি। হিসাব করে 25 সেমি বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতা পরিমাপ করি।

5. একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য 15 সেমি ও 12 সেমি। ক্ষুদ্রতর বাহু দুটির দূরত্ব 7.5 সেমি হলে, বৃহত্তর বাহু দুটির দূরত্ব হিসাব করি।

6. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পরিমাপ 15 মিটার ও 20 মিটার হলে, উহার পরিসীমা, ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

7. একটি রম্বসের পরিসীমা 440 মিটার এবং সমান্তরাল বাহুদুটির মধ্যে দূরত্ব 22 মিটার হলে, রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

8. যদি একটি রম্বসের পরিসীমা 20 সেমি এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 সেমি হয়, তবে ওই রম্বসের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

9. একটি ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গ ডেকামিটার। উহার সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 20 ডেকামিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 হলে, ওই বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

10. 8 সেমি বাহুবিশিষ্ট সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি। (সংকেত – সুষম ষড়ভুজের কর্ণগুলি আঁকা হলে ছয়টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজ পাব)

11.  ABCD চতুর্ভুজের AB=5 মিটার, BC=12 মিটার, CD=14 মিটার, DA=15 মিটার এবং ∠ABC=90° হলে,  ABCD চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

12. সাহিন ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম এঁকেছে, যার BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 11 সেমি এবং A ও C বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর দুটি লম্ব এঁকেছে যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি ও 11 সেমি। হিসাব করে ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্র ABCD –এর ক্ষেত্রফল লিখি।

13. ABCDE একটি পঞ্চভুজ যার BC বাহুটি AD কর্ণের সমান্তরাল। EP, BC –এর উপর লম্ব এবং EP, AD –কে  Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। BC=7 সেমি, AD=13 সেমি PE=9 সেমি এবং PQ=\frac49PE হলে, ABCDE পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

14. একটি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য সেমি। যদি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 হয়, তাহলে রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

15. একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং সমান্তরাল বাহুদুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি ও 17 সেমি। ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

16. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 19 সেমি ও 9 সেমি এবং তির্যক বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 8 সেমি ও 6 সেমি। ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

17. বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) –

(i) একটি সামান্তরিকের উচ্চতা ভূমির এক-তৃতীয়াংশ। সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 192 বর্গ সেমি  হলে, সামান্তরিকটির উচ্চতা

(a) 4  (b) 8  (c) 16  (d) 24

(ii) একটি রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি এবং একটি কোণের পরিমাপ 60° হলে, রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 9\sqrt3 বর্গ সেমি   (b) 9\sqrt3 বর্গ সেমি  (c) 9\sqrt3 বর্গ সেমি (d) 9\sqrt3  বর্গ সেমি

(iii) একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্যের তিনগুন। যদি রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি হয়, তাহলে বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য

(a) 8 সেমি (b) 12 সেমি (c) 16 সেমি (d) 24 সেমি

(iv) একটি রম্বস ও একটি বর্গক্ষেত্রের একই ভূমির উপর অবস্থিত। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² বর্গ একক এবং রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল y বর্গ একক হলে,

(a) y > x²  (b) y < x²  (c) y = x²   

(v) একটি ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 162 বর্গ সেমি এবং উচ্চতা 6 সেমি। ট্রাপিজিয়ামটির একটি সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য 23 সেমি হলে, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য

(a) 29 সেমি (b) 31 সেমি (c) 32 সেমি (d) 33 সেমি

18. সংক্ষিপ্ত উত্তর ভিত্তিক প্রশ্ন –

(i) ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি ও BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি। A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

(ii) একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং 3 সেমি। বৃহত্তর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 2 সেমি হলে, ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?

(iii) একটি রম্বসের উচ্চতা 4 সেমি এবং বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি। রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

(iv) একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের যেকোনো সমান্তরাল বাহু সংলগ্ন একটি কোণ 45°; ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুর দৈর্ঘ্য 62 সেমি হলে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?

(v) ABCD সামান্তরিকের AB=4 সেমি, BC=6 সেমি এবং ∠ABC=30° হলে, ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

;