দশম শ্রেণী – দশম অধ্যায় : বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি -10

1. পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে ∠PRS = 65° এবং ∠RQS = 45°; ∠SQP ও ∠RSP-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

∵ PS বৃত্তচাপে ∠SQP ও ∠PRS বৃত্তস্থ কোণ,
অর্থাৎ, ∠SQP = ∠PRS = 65°
সুতরাং, ∠PQR = ∠SQP + ∠RQS = 65° + 45° = 110°
∴ PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠PQR + ∠RSP = 180°
বা, 110° + ∠RSP = 180°
বা, ∠RSP = 180° – 110° = 70°
∴ ∠SQP = 65°, ∠RSP = 70°

2. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখছি ∠XBC = 82° এবং ∠ADB = 47°; ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

∵ ∠CBX = 82° সুতরাং, ∠ABC = 180° – 82° = 98°
∴ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°
বা, ∠ADC + 98° = 180°
বা, ∠ADC = 180° – 98° = 82°
∵ ∠ADB = 47° সুতরাং, ∠BDC = 82° – 47° = 35°
∵ BC বৃত্তচাপে ∠BAC ও ∠BDC বৃত্তস্থ কোণ,
অর্থাৎ, ∠BAC = ∠BDC = 35°

3. PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PQ, SR বাহু দুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হলো। বৃত্তের কেন্দ্র O; ∠POQ = 110°, ∠QOR = 60°, ∠ROS = 80° হলে ∠RQS ও ∠QTR –এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

SR বৃত্তচাপে ∠SOR কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠RQS বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠SOR = 2∠RQS∴ 2∠RQS = 80°
বা, ∠RQS = \frac{80{}^\circ }{2}=40{}^\circ
∠POS = 360° – (110° + 60° + 80°) = 360° – 250° = 110°
∴ PS বৃত্তচাপে ∠POS কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠PQS বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠POS = 2∠PQSবা, 2∠PQS = 110°
বা, ∠PQS = \frac{110{}^\circ }{2}=55{}^\circ
∴ ∠PQR = ∠PQS + ∠RQS = 55° + 40° = 95°
∴ ∠RQT = 180° – ∠PQR = 180° – 95° = 85°
আবার, PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ = ∠QRT = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠SPQ
যেহেতু, QS বৃত্তচাপে কেন্দ্রস্থ কোণ ∠SOQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠SPQ
∴ ∠SOQ = 2∠SPQ
বা, 60° + 80° = 2∠SPQ
বা, 2∠SPQ = 140°
∴ ∠SPQ = \frac{140{}^\circ }{2}=70{}^\circ
∴ ∠QRT = 70°△RQT থেকে পাই,
∠QTR = 180° – (∠RQT + ∠QRT) = 180° – (85° + 70°) = 180° – 155° = 25°
∴ ∠RQS = 40°, ∠QTR = 25°

4. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC ∥ BD।

উত্তর –

দুটি বৃত্ত P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দু দিয়ে AB ও CD সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AC∥BD
অঙ্কন – A, C; P, Q; B, D যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – যেহেতু, APQC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠PAC + ∠PQC = 2 সমকোণ
আবার, PBDQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠PQC = ∠PBD
∴ ∠PAC + ∠PBD = 2
∴ AC∥BD (প্রমানিত)।

5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ করে যে, ∠BAD ও ∠DCE-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।

উত্তর –

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। ∠BAD –এর সমদ্বিখণ্ডক AF পরিধিকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে। C, F যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, CF, ∠DCE –এর সমদ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ – যেহেতু ABCF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ বহিঃস্থ কোণ ∠ECF = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠BAC ……….(1)
যেহেতু, FD বৃত্তচাপে বৃত্তস্থ কোণ ∠DCF ও ∠FAD
∴ ∠DCF = ∠FAD
আবার, ∠FAD = ∠BAC [ যেহেতু AF, ∠BAD –এর সমদ্বিখণ্ডক ]
∴ ∠DCF = ∠BAC ……….(2)
∴ (1) নং ও (2) নং থেকে পাই, ∠ECF = ∠DCF
∴ CF, ∠DCE –এর সমদ্বিখণ্ডক।
∴ ∠BAD ও ∠DCE –এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।
(প্রমানিত)

6. মোহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A, B বিন্দু ও C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে, △XAC ও △XBD-এর দুটি করে কোণ সমান।

উত্তর –

X বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু দুটি সরলরেখা বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দু ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, △XAC ও △XBD দুটি করে কোণ সমান।
অঙ্কন – A, C ও B, D যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
বহিঃস্থ কোণ ∠CAX = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠BDC
এবং বহিঃস্থ কোণ ∠ACX = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠ABD
△XAC ও △XBD থেকে পাই,
∠CAX = ∠BDC, ∠ACX = ∠ABD
∴ △XAC ও △XBD –এর দুটি করি কোণ সমান। (প্রমানিত)

7. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ-এর সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্তদুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PQ = RS।

উত্তর –

দুটি বৃত্ত পরস্পর G, H বিন্দুতে ছেদ করেছে। G ও H বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q এবং R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে। PQ∥RS
প্রমাণ করতে হবে যে, PQ = RS
অঙ্কন – A, B, C, D বিন্দুগুলি যথাক্রমে PG, RH, GQ, HS –এর মধ্যবিন্দু নেওয়া হল।

প্রমাণ – AB, X কেন্দ্রগামী এবং CD, Y কেন্দ্রগামী
∵ AB ⊥ PG ও RH এবং CD⊥GQ ও HS
∴ ABCD একটি আয়তক্ষেত্র,
AC = AG + GC = ½ PG + ½ GQ = ½ (PG + GQ) = ½ PQ
আবার, BD = BH + HD = ½ RH + ½ HS = ½ (RH + HS) = ½ RS
∵ AC = BD
∴ PQ = RS (প্রমাণিত)

8. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC এবং বর্ধিত BC-এর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। △ABC-এর পরিবৃত্ত AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, ∠ACD = ∠AEC।

উত্তর –

ABC ত্রিভুজে AB = AC এবং BC –এর উপর E যেকোনো বিন্দু। AE পরিধিকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACD = ∠AEC
অঙ্কন – C, D যুক্ত করা হল।

প্রমাণ –  যেহেতু, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ বহিঃস্থ ∠CDE = অন্তস্থ ∠ABD
আবার, ABC ত্রিভুজের AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
∴ ∠CDE = ∠ACB
△DCE –এর বহিঃস্থ কোণ ∠BCD = ∠CDE + ∠CED
বা, ∠ACB + ∠ACD = ∠CDE + ∠AEC [∵ ∠CED = ∠AEC ]
বা, ∠CDE + ∠ACD = ∠CDE + ∠AEC [∵ ∠CDE = ∠ACB ]
∴ ∠ACD = ∠AEC(প্রমাণিত)

9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC-এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখন্ডক।

উত্তর –

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার DE জ্যা ∠BDC –এর বহির্দ্বিখন্ডক।
প্রমাণ করতে হবে যে, AE ( বা বর্ধিত AE), ∠BAC –এর বহির্দ্বিখন্ডক।
অঙ্কন – B, E যোগ করলাম। CD -কে X পর্যন্ত এবং CE -কে Y পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।

প্রমাণ – যেহেতু, জ্যা DE, ∠BDC –এর বহির্দ্বিখন্ডক।
∴ ∠BDE = ∠EDX ………(1)
∴ EB বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BAE, ∠BDE
∴ ∠BAE = ∠BDE ………(2)
∴ CDEB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
বহিঃস্থ ∠EDX = বিপরীত অন্তস্থ ∠EBC ………(3)
আবার যেহেতু AEBC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ,
বহিঃস্থ ∠EAY = বিপরীত অন্তস্থ ∠EBC ………(4)
(3) নং ও (4) নং থেকে পাই,
∠EAY = ∠EDX
বা, ∠EAY = ∠BDE [ (1) নং থেকে পাই ]
বা, ∠EAY = ∠BAE [ (2) নং থেকে পাই ]
সুতরাং, AE, ∠BAC –এর বহির্দ্বিখন্ডক। (প্রমাণিত)

10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। এর থেকে প্রমাণ করি যে, △AEF ও △ABC এর দুটি করে কোণ সমান।

উত্তর –

ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যে, B, C, E, F বিন্দু সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন – E, F যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – যেহেতু, BE⊥AC, CF⊥AB
∴ ∠BFC = 90°, ∠BEC = 90°
∠BFE + ∠BCE = ∠BFC + ∠CFE + ∠BCF + ∠ECF
= 90° + ∠CFE + 90° – ∠CBF + ∠ECF [∵ ∠BCF = 90° – ∠CBF]
= 180° + ∠CFE – ∠FBE – ∠CBE + ∠ECF [∵ ∠CBF = ∠FBE + ∠CBE]
= 180° [∵ ∠CFE = ∠CBE, ∠FBE = ∠ECF]
∴ BCEF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
∵ BCEF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠FEA = অন্তস্থ ∠CBF এবং বহিঃস্থ কোণ ∠AFE = অন্তস্থ ∠BCE
△AEF ও △ABC –এর ∠FEA = ∠CBA এবং ∠AFE = ∠BCA
∴ △AEF ও △ABC –এর দুটি করে কোণ সমান। (প্রমাণিত)

11. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

উত্তর –

ABCD সামান্তরিকের A ও B বিন্দুগামী বৃত্ত AD ও BC –কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, E, F, C, D সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন – E, F যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – এখানে ABFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
অর্থাৎ, ∠BAE + ∠BFE = 180°
আবার ABCD সামান্তরিকের ∠BAD + ∠ADC = 180°
∴ ∠BAE + ∠EDC = 180°
বা, ∠BAE + ∠BFE = ∠BAE + ∠EDC
বা, ∠BFE = ∠EDC
বা, 180° – ∠EFC = ∠EDC
বা, ∠EFC + ∠EDC = 180
∴ DEFC চতুর্ভুজের ∠EFC + ∠EDC = 180°
∴ DEFC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।(প্রমাণিত)

12. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতের এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। △BCP এবং △CDR-এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, P, T, R সমরেখ।

উত্তর –

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে ছেদ করে। △BCP ও △CDR –এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, P, T, R সমরেখ।
অঙ্কন – C, T; R, T; T, P যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – AD, DR একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ ∠RDC + ∠ADC = 180°
∵ DCTR বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠RTC + ∠RDC = 180°
∴ ∠RTC + ∠RDC = ∠RDC + ∠ADC
∴ ∠RTC = ∠ADC ………(1)
∵ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°
∵ AB ও BP একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ ∠ABC + ∠PBC = 180°
∴ ∠ADC + ∠ABC = ∠ABC + ∠PBC
∴ ∠ADC = ∠PBC∴ ∠RTC = ∠PBC [ (1) নং থেকে পাই ]
আবার যেহেতু, BCTP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∠PBC + ∠PTC = 180°
বা, ∠RTC + ∠PTC = 180° [∵ ∠RTC = ∠PBC]
∴ RT ও TP একই সরলরেখায় অবস্থিত।
P, T, R সমরেখ।(প্রমাণিত)

13. ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ করি যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

উত্তর –

ধরি, ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর উপর AB, BE, CF লম্ব টানা হল যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। D, E; E, F; F, D যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ DEF –এর অন্তঃকেন্দ্র।

প্রমাণ – যেহেতু AD⊥BC ও CF⊥AB∴ BDOF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ বৃত্তস্থ ∠ODF = বৃত্তস্থ ∠OBF ………(1)
আবার যেহেতু, AD⊥BC ও BE⊥AB
∴ CDOE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ বৃত্তস্থ ∠ODE = বৃত্তস্থ ∠OCE ………(2)
আবার, BCEF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
বৃত্তস্থ ∠EBF = বৃত্তস্থ ∠FCE
অর্থাৎ, ∠OBF = ∠OCE
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই, ∠ODF = ∠ODE
অর্থাৎ, AD, ∠FDE –এর অন্তর্সমদ্বিখন্ডক।
অনুরূপভাবে, BE, ∠DEF–এর অন্তর্সমদ্বিখন্ডক।
CF, ∠DFE –এর অন্তর্সমদ্বিখন্ডক।
∴ O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ DEF –এর অন্তঃকেন্দ্র। (প্রমাণিত)

14. ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC, ∠BAD-কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। এবার AD-কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন DE = AB হয়। প্রমাণ করি যে, CE =  CA

উত্তর –

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AC, ∠BAD –কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। AD –কে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলে DE = AB হয়।
প্রমাণ করতে হবে যে, CE = CA
অঙ্কন – C, E যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – △ABC ও △DCE থেকে পাই, DE = AB
∠CDE = ∠ABC [∵ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ ∠CDE = অন্তস্থ ∠ABC ]
BC = CD [∵ AC, ∠BAD –কে সমদ্বিখন্ডিত করে ]
∠BAC = ∠CAD
অর্থাৎ, BC = CD
△ABC ≅ △DCE
∴ CE = CA (প্রমাণিত)

15. দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বেন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেক করেছে। P, B ও R, B যুক্ত করে, প্রমাণ করে যে PR = PB

উত্তর –

দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী। RAP সরলরেখা O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, PR = PB
অঙ্কন – B, R; B, P; B, O এবং A, O যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – AB চাপের উপর ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠ARB বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = 2∠ARB
∴ AOBP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠AOB + ∠APB = 180°
বা, 2∠ARB + ∠APB = 180° ………(1)
আবার △BPR –এর ∠BRP + ∠RPB + ∠PBR = 180° ………(2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
2∠ARB + ∠RPB = ∠BRP + ∠RPB + ∠PBR∠BRP = ∠PBR
∴ PR = PB (প্রমাণিত)

16. প্রমাণ করি যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।

উত্তর –

ধরি, ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ।
প্রমাণ করতে হবে যে, ABCDE এর যেকোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন – A, C; B, D; E, C এবং E, B যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – যেহেতু, ABCDE একটি পঞ্চভুজ।
∴ △ABC, △ACE ও △EBD সমবাহু ত্রিভুজ।
অর্থাৎ, ∠BAC = ∠EAC = ∠EDB = 60°
∴ ABDE চতুর্ভুজের
∠BAE + ∠EDB = ∠BAC + ∠EAC + ∠EDB = 60° + 60° + 60° = 180°
∴ ABDE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ A, B, D, E সমবৃত্তস্থ।
সুতরাং, সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADC = 120° হলে, ∠BAC-এর মান

(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°

উত্তর –

যেহেতু ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠ADC + ∠ABC = 180°
∴ ∠ABC = 180° – 120° = 60°
আবার, ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ
∴ ∠ACB = 90°
∴ ∠BAC = 180° – (90° + 60°) = 180° – 150° = 30°

সঠিক উত্তর (c) 40°

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65°, ∠DAC = 40° হলে, ∠BCD-এর মান

(a) 75°               (b) 105°              (c) 115°              (d) 80°

উত্তর –

∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ
∴ ∠ACB = 90°
∴ ∠BAC = 180° – (90° + 65°) = 25°
∴ ∠BAD = 25° + 40° = 65°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 180° – 65° = 115°

সঠিক উত্তর (c) 115°

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB ∥ DC এবং ∠BAC = 25° হলে ∠DAC-এর মান

(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°

উত্তর –

∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ
∴ ∠ACB = 90°
∴ ∠ABC = 180° – (90° + 25°) = 65°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°
∴ ∠ADC = 180° – 65° = 115°
AB∥CD
∴ ∠ACD = ∠BAC = 25°
∴ ∠DAC = 180° – (115° + 25°) = 180° – 140° = 40°

সঠিক উত্তর (d) 40°

(iv) পাশের চিত্রে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BA-কে F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। AE ∥ CD, ∠ABC = 92° এবং ∠FAE = 20° হলে, ∠BCD-এর মান

(a) 20° (b) 88° (c) 108° (d) 72°

উত্তর –

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°
∴ ∠ADC = 180° – 92° = 88°
AE∥CD
∴ ∠ADC = একান্তর ∠DAE = 88°
∴ ∠DAF = 88° + 20° = 108°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ ∠DAF = অন্তস্থ ∠BCD = 108°

সঠিক উত্তর (c) 108°

(v) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। D ও C বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। ∠DAB = 75° হলে, ∠DEF-এর মান

(a) 75° (b) 70° (c) 60° (d) 105°

উত্তর –C, D যুক্ত করা হল।
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠BAD + ∠BCD = 180°
∴∠BCD = 180° – 75° = 105°
∵ BCF সরলরেখা
∴∠BCD + ∠DCF = 180°
∴∠DCF = 180° – 105° = 75°
BCFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠DCF + ∠DEF = 180°
∴∠DEF = 180° – 75° = 105°

সঠিক উত্তর (d) 105°

(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর পূরক।

উত্তর – মিথ্যা।

(ii) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।

উত্তর – সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পুরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি ________।

উত্তর – সমবৃত্তস্থ।

(ii) একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি __________ চিত্র।

উত্তর – আয়তাকার।

(iii) একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি ________।

উত্তর – সমবৃত্তস্থ।

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদুটি B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। ACD একটি সরলরেখাংশ। ∠ARB = 150°, ∠BQD = x° হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

ARBC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ ∠BCD = অন্তস্থ ∠ARB
∴ ∠BCD = 150°
BD বৃত্তচাপে কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BQD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
∴ প্রবৃদ্ধ ∠BQD = 2∠BCD = 2 × 150° = 300°
∴ ∠BQD = 360° – প্রবৃদ্ধ ∠BQD = 360° – 300° = 60°
∴ নির্ণেয় x –এর মান 60।

(ii) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। ∠QAD = 80° এবং ∠PDA = 84° হলে, ∠QBC ও ∠BCP-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

AQPD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠ADP + ∠AQP = 180°
∴ ∠AQP = 180° – 84° = 96°
আবার ∠DAQ + ∠DPQ = 180°
বা, ∠DPQ = 180° – 80° = 100°
BCPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ ∠DPQ = অন্তস্থ ∠QBC
∴ ∠QBC = 100°
এবং বহিঃস্থ ∠AQP = অন্তস্থ ∠BCP
∴ ∠BCP = 96°
∴ ∠QBC = 100°, ∠BCP = 96°

(iii) পাশের চিত্রে ∠BAD = 60°, ∠ABC = 80° হলে, ∠DPC এবং ∠BQC-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠DAB + ∠DCB = 180°
∴ ∠DCB = 180° – 60° = 120° এবং ∠ABC + ∠ADC = 180°
∴ ∠ADC = 180° – 80° = 100°
∴ ∠CDP = 180° – 100° = 80°
∵ ∠BCD = 120°
∴ ∠DCP = 180° – 120° = 60°
∠CDP  থেকে পাই,
∴ ∠DPC = 180° – (80° + 60°) = 40°
∵ ∠BCD = 120°
∴ ∠BCQ = 180° – 120° = 60°
∵ ∠ABC = 80°
∴ ∠CBQ = 180° – 80° = 100°
△BCQ থেকে পাই,
∴ ∠BQC = 180° – (100° + 60°) = 20°

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। ∠AOB = 80° এবং ∠ACE = 10° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

যেহেতু ∠AOB = 80°
∴ ∠BOC = 180° – 80° = 100°
△BOC –এর BO = OC
∴ ∠OCB = \frac{180{}^\circ -100{}^\circ }{2}=\frac{80{}^\circ }{2}=40{}^\circ
∠BCE = 2∠ACE + ∠BCA = ∠ACE + ∠OCB = 10° + 40° = 50°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BEC
∴ ∠BOC = 2∠BEC
∴ 2∠BEC = 100°
∴ ∠BEC = \frac{100{}^\circ }{2}=50{}^\circ
যেহেতু, CD∥BE
∴ ∠BEC = ∠DCE = 50°
∴ ∠BCD = ∠ECD + ∠BCE = 50° + 50° = 100°
∴ EBCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠BED + ∠BCD = 180°
∴ ∠BED = 180° – 100° = 80°

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ∠AOD = 140° এবং ∠CAB = 50° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ বহিঃস্থ ∠BDE = অন্তস্থ ∠CAB
∴ ∠BDE = 50°
△BOD –এর বহিঃস্থ ∠AOD = ∠OBD + ∠ODB
∴ ∠OBD + ∠ODB = 140°
বা, 2∠OBD = 140° [ যেহেতু, OB = OD (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) ]
বা, ∠OBD = \frac{140{}^\circ }{2}=70{}^\circ
∴ ∠DBE = 180° – ∠OBD = 180° – 70° = 110°
∴ ∠BED = 180° – (110° + 50°) = 180° – 160° = 20°

;