দশম শ্রেণী – অধ্যায় ২৪ : পূরক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 24

1. মান নির্ণয় করি –

(i) \frac{\sin 38{}^\circ }{\cos 52{}^\circ }

উত্তর –

\[\frac{\sin 38{}^\circ }{\cos 52{}^\circ }=\frac{\sin 38{}^\circ }{\cos \left( 90-38 \right){}^\circ }=\frac{\sin 38{}^\circ }{\sin 38{}^\circ }=1\]

(ii) \frac{\cos ec79{}^\circ }{\sec 11{}^\circ }

উত্তর –

\[\frac{\cos ec79{}^\circ }{\sec 11{}^\circ }=\frac{\cos ec\left( 90-11 \right){}^\circ }{\sec 11{}^\circ }=\frac{\sec 11{}^\circ }{\sec 11{}^\circ }=1\]

(iii) \frac{\tan 27{}^\circ }{\cot 63{}^\circ }

উত্তর –

\[\frac{\tan 27{}^\circ }{\cot 63{}^\circ }=\frac{\tan 27{}^\circ }{\cot \left( 90-27 \right){}^\circ }=\frac{\tan 27{}^\circ }{\tan 27{}^\circ }=1\]

2.  দেখাই যে,

(i) sin66° – cos24° = 0 

উত্তর –

\[\sin 66{}^\circ -\cos 24{}^\circ =\sin \left( 90-24 \right){}^\circ -\cos 24{}^\circ =\cos 24{}^\circ -\cos 24{}^\circ =0\]

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

(ii) cos²57° + cos²33° = 1

উত্তর –

\[{{\cos }^{2}}57{}^\circ +{{\cos }^{2}}33{}^\circ ={{\cos }^{2}}\left( 90-33 \right){}^\circ +{{\cos }^{2}}33{}^\circ ={{\sin }^{2}}33{}^\circ +{{\cos }^{2}}33{}^\circ =1\]

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

(iii) cos²75° – sin²15° = 0          

উত্তর –

\[{{\cos }^{2}}75{}^\circ -{{\sin }^{2}}15{}^\circ ={{\cos }^{2}}\left( 90-15 \right){}^\circ -{{\sin }^{2}}15{}^\circ ={{\sin }^{2}}15{}^\circ -{{\sin }^{2}}15{}^\circ =0\]

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

(iv) cosec²48° – tan²42° = 1

উত্তর –

\[\text{cose}{{\text{c}}^{2}}48{}^\circ -{{\tan }^{2}}42{}^\circ =\text{cose}{{\text{c}}^{2}}48{}^\circ -{{\tan }^{2}}\left( 90-48 \right){}^\circ =\text{cose}{{\text{c}}^{2}}48{}^\circ -{{\cot }^{2}}48{}^\circ =1\]

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

(v) sec70°sin20° + cos20°cosec70° = 2

উত্তর –

বামপক্ষ = \sec 70{}^\circ \sin 20{}^\circ +\cos 20{}^\circ \text{cosec}70{}^\circ

= \sec \left( 90-20 \right){}^\circ \sin 20{}^\circ +\cos 20{}^\circ \text{cosec}\left( 90-20 \right){}^\circ

= \text{cosec}20{}^\circ \sin 20{}^\circ +\cos 20{}^\circ \sec 20{}^\circ

= \frac{1}{\sin 20{}^\circ }\times \sin 20{}^\circ +\cos 20{}^\circ \times \frac{1}{\cos 20{}^\circ }=1+1=2

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

3. যদি α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয়, তাহলে দেখাই যে,

(i) sin2α + sin2β = 1     

উত্তর –

বামপক্ষ = {{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta

= {{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\left( 90{}^\circ -\alpha\right)

= {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

(ii) \cot \beta +\cos \beta =\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }\left( 1+\sin \beta  \right)

উত্তর –

ডানপক্ষ = \frac{\cos \beta}{\cos \left( 90{}^\circ-\beta\right)}\left( 1+\sin \beta\right)\,\,\left[ \because \alpha +\beta =90{}^\circ\right]

= \frac{\cos \beta }{\sin \beta }\left( 1+\sin \beta\right)

= \frac{\cos \beta }{\sin \beta }+\frac{\cos \beta }{\sin \beta }\times \sin \beta

= \cot \beta +\cos \beta

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

(iii) \frac{\sec \alpha }{\cos \alpha }-{{\cot }^{2}}\beta =1

বামপক্ষ = \frac{\sec \alpha }{\cos \alpha }-{{\cot }^{2}}\beta

= {{\sec }^{2}}\alpha -{{\cot }^{2}}\left( 90{}^\circ -\alpha\right)\,\,\left[ \because \,\frac{1}{\cos \alpha }=\sec \alpha,\,\alpha +\beta =90{}^\circ\right]

= {{\sec }^{2}}\alpha -{{\tan }^{2}}\alpha =1

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

4. যদি \sin 17{}^\circ \,=\frac{x}{y} হয়, তাহলে দেখাই যে, \sec 17{}^\circ -\sin 73{}^\circ =\frac{{x}^{2}}{y\sqrt{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, \sin 17{}^\circ \,=\frac{x}{y}

∴ \cos 17{}^\circ =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}17{}^\circ }=\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}}=\frac{\sqrt{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}{y}

অর্থাৎ, \sec 17{}^\circ =\frac{y}{\sqrt{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}

বামপক্ষ = \sec 17{}^\circ -\sin 73{}^\circ

= \sec 17{}^\circ -\sin \left( 90{}^\circ -17{}^\circ\right)

= \sec 17{}^\circ -\cos 17{}^\circ

= \frac{y}{\sqrt{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}-\frac{\sqrt{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}{y}

= \frac{{{y}^{2}}-{{y}^{2}}+{{x}^{2}}}{y\sqrt{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\frac{{{x}^{2}}}{y\sqrt{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

5.  দেখাই যে, {{\sec }^{2}}12{}^\circ -\frac{1}{{{\tan }^{2}}78{}^\circ }=1

উত্তর –

বামপক্ষ = {{\sec }^{2}}12{}^\circ -\frac{1}{{{\tan }^{2}}78{}^\circ }

= {{\sec }^{2}}12{}^\circ -{{\cot }^{2}}78{}^\circ \,\left[ \frac{1}{\tan 78{}^\circ }=\cot 78{}^\circ\right]

= {{\sec }^{2}}12{}^\circ -{{\cot }^{2}}\left( 90{}^\circ -12{}^\circ\right)

= {{\sec }^{2}}12{}^\circ -{{\tan }^{2}}12{}^\circ =1

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

6. ∠A + ∠B = 90° হলে, দেখাই যে, 1+\frac{\tan A}{\tan B}={{\sec }^{2}}A

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ∠A + ∠B = 90°

বামপক্ষ = 1+\frac{\tan A}{\tan B}

= 1+\frac{\tan A}{\tan \left( 90{}^\circ -A \right)}

= 1+\frac{\tan A}{\cot A}

= 1+{{\tan }^{2}}A={{\sec }^{2}}A

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

7. দেখাই যে, cosec²22°cot²68° = sin²22° + sin²68° + cot²68°

উত্তর –

বামপক্ষ = \text{cose}{{\text{c}}^{\text{2}}}\text{22}{}^\circ \text{co}{{\text{t}}^{\text{2}}}\text{68}{}^\circ

= \text{cose}{{\text{c}}^{\text{2}}}\left( \text{90}{}^\circ -68{}^\circ\right)\text{co}{{\text{t}}^{\text{2}}}\text{68}{}^\circ

= {{\sec }^{2}}68{}^\circ {{\cot }^{2}}68{}^\circ

= \frac{1}{{{\cos }^{2}}68{}^\circ }\times \frac{{{\cos }^{2}}68{}^\circ }{{{\sin }^{2}}68{}^\circ }

= \frac{1}{{{\sin }^{2}}68{}^\circ }=\text{cose}{{\text{c}}^{\text{2}}}68{}^\circ

ডানপক্ষ = \text{si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{22}{}^\circ \text{ }+\text{ si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{68}{}^\circ\text{ }+\text{ co}{{\text{t}}^{\text{2}}}\text{68}{}^\circ

= \text{si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\left( \text{90}{}^\circ-68{}^\circ\right)\text{ }+\text{ si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{68}{}^\circ\text{ }+\text{ co}{{\text{t}}^{\text{2}}}\text{68}{}^\circ

= {{\cos }^{2}}68{}^\circ +\text{si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{68}{}^\circ \text{ }+\text{ co}{{\text{t}}^{\text{2}}}\text{68}{}^\circ

= 1+\text{ co}{{\text{t}}^{\text{2}}}\text{68}{}^\circ=\text{cose}{{\text{c}}^{\text{2}}}68{}^\circ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

8. যদি ∠P + ∠Q = 90° হয়, তবে দেখাই যে,  \sqrt{\frac{\sin P}{\cos Q}-\sin P\cos Q}=\cos P

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, ∠P + ∠Q = 90°

বামপক্ষ = \sqrt{\frac{\sin P}{\cos Q}-\sin P\cos Q}

= \sqrt{\frac{\sin P}{\cos \left( 90{}^\circ -P \right)}-\sin P\cos \left( 90{}^\circ -P \right)}

= \sqrt{\frac{\sin P}{\sin P}-\sin P.\sin P}

= \sqrt{1-{{\sin }^{2}}P}=\cos P

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

9. প্রমাণ করি যে, cot12°cot38°cot52°cot78°cot60° = \frac{1}{\sqrt{3}}

উত্তর –

বামপক্ষ = \text{cot12}{}^\circ \text{cot38}{}^\circ \text{cot52}{}^\circ \text{cot78}{}^\circ \text{cot6}0{}^\circ

= \cot12{}^\circ\cot 38{}^\circ\cot\left( 90{}^\circ-38{}^\circ\right)\cot\left( 90{}^\circ -12{}^\circ\right)\text{cot6}0{}^\circ

= \cot 12{}^\circ \cot 38{}^\circ \tan 38{}^\circ\tan 12{}^\circ \cot 60{}^\circ

= \cot 12{}^\circ \cot 38{}^\circ \times \frac{1}{\cot 38{}^\circ }\times \frac{1}{\cot 12{}^\circ }\times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

10. O কেন্দ্রীয় যে-কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে-কোনো একটি বিন্দু। এবার A, C; B, C এবং O, C যুক্ত করে দেখাই যে,

(i) tan∠ABC = cot∠ACO             

(ii) sin²∠BCO + sin²∠ACO = 1

(iii) cosec²∠CAB – 1 = tan²∠ABC

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় যে-কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে-কোনো একটি বিন্দু অর্থাৎ,  ∠ACB = 90°

△AOC –এর ক্ষেত্রে AO = OC [ যেহেতু একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

সুতরাং, ∠ACO = ∠CAO অর্থাৎ, ∠ACO = ∠CAB ……….(1)

আবার, △BOC –এর ক্ষেত্রে BO = OC [যেহেতু একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

সুতরাং, ∠BOC = ∠CBO অর্থাৎ, ∠BCO = ∠CBA ……..(2)

△ABC –এর ক্ষেত্রে, ∠ACB = 90° অর্থাৎ, AB = অতিভুজ।

(i) বামপক্ষ =  tan ∠ABC = AC/BC

ডানপক্ষ = cot ∠ACO = cot ∠CAB [(1) থেকে পাই]

= AC/BC

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

(ii) বামপক্ষ = \text{si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\angle \text{BCO }+\text{ si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\angle \text{ACO}

= {{\sin }^{2}}\angle CBA+{{\sin }^{2}}\angle CAB

= \frac{A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}}+\frac{B{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}}

= \frac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{B}^{2}}}\,\left[ A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}} \right]=1

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

(iii) বামপক্ষ = \text{cose}{{\text{c}}^{\text{2}}}\angle \text{CAB }\text{ 1}

= \frac{A{{B}^{2}}}{B{{C}^{2}}}-1=\frac{A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}}

= \frac{A{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}}\,\left[ \because A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}} \right]

= {{\tan }^{2}}\angle ABC

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

11. ABCD একটি আয়তাকার চিত্র। A, C যুক্ত করে প্রমাণ করি যে,

(i) tan∠ACD = cot∠ACB             

(ii) {{\tan }^{2}}\angle CAD+1=\frac{1}{{{\sin }^{2}}\angle BAC}

উত্তর –

এখানে ABCD একটি আয়তাকার চিত্র যার AC একটি কর্ণ অর্থাৎ, △ABC ও △ACD দুটি সমকোণী ত্রিভুজ যাদের AC অতিভুজ। আবার, AB = CD, AD = BC

(i) বামপক্ষ = \text{tan}\angle \text{ACD }=\frac{AD}{CD}

ডানপক্ষ = \text{cot}\angle \text{ACB}=\frac{BC}{AB}=\frac{AD}{CD}\,\,\left[ \because \,BC=AD,\,AB=CD \right]

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

(ii) বামপক্ষ ={{\tan }^{2}}\angle CAD+1

= \frac{C{{D}^{2}}}{A{{D}^{2}}}+1=\frac{C{{D}^{2}}+A{{D}^{2}}}{A{{D}^{2}}}

= \frac{A{{C}^{2}}}{A{{D}^{2}}}\,\left[ \because \,A{{C}^{2}}=C{{D}^{2}}+A{{D}^{2}} \right]

ডানপক্ষ = \frac{1}{{{\sin }^{2}}\angle BAC}=\frac{1}{\frac{B{{C}^{2}}}{A{{C}^{2}}}}=\frac{A{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}}=\frac{A{{C}^{2}}}{A{{D}^{2}}}\,\left[ \because \,BC=AD \right]

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]।

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) (sin43°cos47° + cos43°sin47°) –এর মান

(a) 0      (b) 1     (c) sin4°             (d) cos4°

উত্তর –

\[\sin 43{}^\circ \cos 47{}^\circ +\cos 43{}^\circ \sin 47{}^\circ \]

\[=\sin 43{}^\circ \cos \left( 90{}^\circ -43{}^\circ  \right)+\cos 43{}^\circ \sin \left( 90{}^\circ -43{}^\circ  \right)\]

\[=\sin 43{}^\circ \times \sin 43{}^\circ +\cos 43{}^\circ \times \cos 43{}^\circ \]

\[={{\sin }^{2}}43{}^\circ +{{\cos }^{2}}43{}^\circ \]

\[=1\]

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (b) 1

(ii) \left( \frac{\tan 35{}^\circ }{\cot 55{}^\circ }+\frac{\cot 78{}^\circ }{\tan 12{}^\circ } \right)-এর মান

(a) 0      (b) 1     (c) 2      (d)

উত্তর –

\[\frac{\tan 35{}^\circ }{\cot 55{}^\circ }+\frac{\cot 78{}^\circ }{\tan 12{}^\circ }\]

\[=\frac{\tan 35{}^\circ }{\cot \left( 90{}^\circ -35{}^\circ  \right)}+\frac{\cot \left( 90{}^\circ -12{}^\circ  \right)}{\tan 12{}^\circ }\]

\[=\frac{\tan 35{}^\circ }{\tan 35{}^\circ }+\frac{\tan 12{}^\circ }{\tan 12{}^\circ }\]

\[=1+1=2\]

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) 2

(iii) {cos(40° + θ) – sin(50° – θ)} –এর মান

(a) 2cosθ           (b) 7sinθ            (c) 0      (d) 1

উত্তর –

\[\text{cos}\left( \text{4}0{}^\circ \text{ }+\text{ }\theta  \right)\text{ }\text{ sin}\left( \text{5}0{}^\circ \text{ }\text{ }\theta  \right)\]

\[=\text{cos}\left( \text{4}0{}^\circ \text{ }+\text{ }\theta  \right)\text{ }\text{ sin}\left( 90{}^\circ \text{ }40{}^\circ \text{ }\theta  \right)\]

\[=\text{cos}\left( \text{4}0{}^\circ \text{ }+\text{ }\theta  \right)\text{ }\text{ sin}\left\{ 90{}^\circ \text{ }\left( 40{}^\circ +\text{ }\theta  \right) \right\}\]

\[=\text{cos}\left( \text{4}0{}^\circ \text{ }+\text{ }\theta  \right)\text{ }\,\text{cos}\left( \text{4}0{}^\circ \text{ }+\text{ }\theta  \right)=0\]

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) 0

(iv) ABC একটি ত্রিভুজ। \sin \left( \frac{B+C}{2} \right)=

(a) \sin \frac{A}{2}           (b) \cos \frac{A}{2}          (c) \sin A           (d) \cos A

উত্তর –

ABC ত্রিভুজের ∠A + ∠B + ∠C = 180° বা, ∠B + ∠C = 180° – ∠A

\[\therefore \sin \left( \frac{B+C}{2} \right)=\sin \left( \frac{180{}^\circ -A}{2} \right)=\sin \left( 90{}^\circ -\frac{A}{2} \right)=\cos \frac{A}{2}\]

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (b) \cos \frac{A}{2}

(v) A + B = 90° এবং tanA = \frac{3}{4} হলে, cotB –এর মান

(a) \frac{3}{4}   (b) \frac{4}{3}    (c) \frac{3}{5}     (d) \frac{4}{5}

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, A + B = 90° এবং tanA =\frac{3}{4}

\[\therefore \cot B=\cot \left( 90{}^\circ -A \right)=\tan A=\frac{3}{4}\]

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) \frac{3}{4}

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) cos54° sin36° -এর মান সমান।

উত্তর –

\[\text{cos54}{}^\circ =\cos \left( 90{}^\circ -36{}^\circ  \right)=\sin 36{}^\circ \]

∴ বিবৃতিটি সত্য।

(ii) (sin12° – cos78°) –এর সরলতম মান 1.

উত্তর –

\[\text{sin12}{}^\circ \text{cos78}{}^\circ =\text{sin12}{}^\circ \text{cos}\left( 90{}^\circ -12{}^\circ  \right)=\sin 12{}^\circ -\sin 12{}^\circ =0\]

∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) (tan15°×tan45°×tan60°×tan75°) –এর মান __________

উত্তর –

\[\text{tan15}{}^\circ \times \text{tan45}{}^\circ \times \text{tan6}0{}^\circ \times \text{tan75}{}^\circ \]

\[\text{=}\,\text{tan15}{}^\circ \times \text{tan45}{}^\circ \times \text{tan6}0{}^\circ \times \text{tan}\left( 90{}^\circ -15{}^\circ  \right)\]

\[=\,\text{tan15}{}^\circ \times \text{tan45}{}^\circ \times \text{tan6}0{}^\circ \times \cot 15{}^\circ \]

\[=\,\text{tan15}{}^\circ \times 1\times \sqrt{3}\times \frac{1}{\tan 15{}^\circ }\]

\[=\sqrt{3}\]

(ii) (sin12°×cos18°×sec78°×cosec72°) –এর মান __________

উত্তর –

\[\text{sin12}{}^\circ \times \text{cos18}{}^\circ \times \text{sec78}{}^\circ \times \text{cosec72}{}^\circ \]

\[=\,\text{sin12}{}^\circ \times \text{cos18}{}^\circ \times \text{sec}\left( 90{}^\circ -12{}^\circ  \right)\times \text{cosec}\left( 90{}^\circ -18{}^\circ  \right)\]

\[=\,\text{sin12}{}^\circ \times \text{cos18}{}^\circ \times \text{cosec}12{}^\circ \times \sec 18{}^\circ \]

\[=\,\text{sin12}{}^\circ \times \text{cos18}{}^\circ \times \frac{1}{\sin 12{}^\circ }\times \frac{1}{\cos 18{}^\circ }=1\]

(iii) A এবং B পরস্পর পূরক কোণ হলে, sinA = _________

উত্তর –

প্রশ্নানুসারে, A + B = 90°

\[\sin A=\sin \left( 90{}^\circ -B \right)=\cos B\]

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) sin10θ = cos8θ এবং 10θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে,  tan9θ-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

\[\text{sin1}0\theta \text{ }=\text{ cos8}\theta \]

\[\Rightarrow \text{sin1}0\theta \text{ }=\text{ sin}\left( 90{}^\circ -\text{8}\theta  \right)\]

\[\Rightarrow 10\theta =90{}^\circ -\text{8}\theta \]

\[\Rightarrow 10\theta +\text{8}\theta =90{}^\circ \]

\[\Rightarrow 1\text{8}\theta =90{}^\circ \]

\[\Rightarrow 9\theta =45{}^\circ \]

\[\therefore \tan 9\theta =\tan 45{}^\circ =1\]

(ii) tan4θ×tan6θ = 1 এবং 6θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, θ-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

\[\text{tan4}\theta \times \text{tan6}\theta \text{ }=\text{ 1}\]

\[\Rightarrow \text{tan4}\theta =\frac{1}{\text{tan6}\theta }\]

\[\Rightarrow \text{tan4}\theta =\cot 6\theta \]

\[\Rightarrow \text{tan4}\theta =\tan \left( 90{}^\circ -6\theta  \right)\]

\[\Rightarrow 4\theta =90{}^\circ -6\theta \]

\[\Rightarrow 4\theta +6\theta =90{}^\circ \]

\[\therefore 10\theta =90{}^\circ \Rightarrow \theta =\frac{90{}^\circ }{10}=9{}^\circ \]

(iii) \frac{2{{\sin }^{2}}63{}^\circ +1+2{{\sin }^{2}}27{}^\circ }{3{{\cos }^{2}}17{}^\circ -2+3{{\cos }^{2}}73{}^\circ } -এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

\[\frac{2{{\sin }^{2}}63{}^\circ +1+2{{\sin }^{2}}27{}^\circ }{3{{\cos }^{2}}17{}^\circ -2+3{{\cos }^{2}}73{}^\circ }\]

\[=\frac{2{{\sin }^{2}}\left( 90{}^\circ -27{}^\circ  \right)+1+2{{\sin }^{2}}27{}^\circ }{3{{\cos }^{2}}17{}^\circ -2+3{{\cos }^{2}}\left( 90{}^\circ -17{}^\circ  \right)}\]

\[=\frac{2{{\cos }^{2}}63{}^\circ +1+2{{\sin }^{2}}27{}^\circ }{3{{\cos }^{2}}17{}^\circ -2+3{{\sin }^{2}}73{}^\circ }\]

\[=\frac{2\left( {{\cos }^{2}}63{}^\circ +{{\sin }^{2}}27{}^\circ  \right)+1}{3\left( {{\cos }^{2}}17{}^\circ +{{\sin }^{2}}73{}^\circ  \right)-2}\]

\[=\frac{2+1}{3-2}=\frac{3}{1}=3\]

(iv) (tan1°×tan2°×tan3°…………tan89°)-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

\[\text{tan1}{}^\circ \times \text{tan2}{}^\circ \times \text{tan3}{}^\circ \ldots \ldots \ldots \ldots \text{tan89}{}^\circ \]

\[=\text{tan1}{}^\circ \times \text{tan2}{}^\circ \times \text{tan3}{}^\circ \times \ldots \ldots \times \tan 45{}^\circ \times \ldots \ldots \times \tan 88{}^\circ \times \text{tan89}{}^\circ \]

\[=\text{tan1}{}^\circ \times \text{tan2}{}^\circ \times \text{tan3}{}^\circ \times \ldots \ldots \times \tan 45{}^\circ \times \ldots \ldots \times \tan \left( 90{}^\circ -2{}^\circ  \right)\times \text{tan}\left( 90{}^\circ -1{}^\circ  \right)\]

\[=\text{tan1}{}^\circ \times \text{tan2}{}^\circ \times \text{tan3}{}^\circ \times \ldots \ldots \times \tan 45{}^\circ \times \ldots \ldots \times \cot 2{}^\circ \times \cot 1{}^\circ \]

\[=\text{tan1}{}^\circ \times \text{tan2}{}^\circ \times \text{tan3}{}^\circ \times \ldots \ldots \times 1\times \ldots \ldots \times \frac{1}{\tan 2{}^\circ }\times \frac{1}{\tan 1{}^\circ }\]

\[=1\times 1\times 1\times …..\times 1\times 1=1\]

(v) sec5A = cosec(A + 36°) এবং 5A ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, A-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

\[\text{sec5}A\text{ }=\text{ cosec}(A\text{ }+\text{ 36}{}^\circ )\]

\[\Rightarrow \sec \left( 90{}^\circ -5A \right)=\text{ cosec}(A\text{ }+\text{ 36}{}^\circ )\]

\[\Rightarrow \text{cosec}\,5A=\text{ cosec}(A\text{ }+\text{ 36}{}^\circ )\]

\[\Rightarrow 5A=A+36{}^\circ \]

\[\Rightarrow 5A-A=36{}^\circ \]

\[\Rightarrow 4A=36{}^\circ \]

\[\therefore \,A=\frac{36{}^\circ }{4}=9{}^\circ \]

;