কষে দেখি – 22
1. যদি কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ হয়, তবে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে হিসাব করে লিখি
(i) 8 15 17 (ii) 9 11 6
উত্তর –
(i) 82 + 152 = 64 + 225 = 289
172 = 289
∴ 172 = 82 + 152
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, 8 সেমি, 15 সেমি, 17 সেমি বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
(ii) 92 + 62 = 81 + 36 = 117
112 = 121
112≠ 92 + 62
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, 9 সেমি, 11 সেমি, 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
2. আমাদের পাড়ার রাস্তায় একটি 15 মিটার লম্বা মই এমনভাবে রাখা আছে যে মইটি ভূমি থেকে 9 মিটার উঁচুতে অবস্থিত মিলিদের জানালা স্পর্শ করেছে। এবার ওই রাস্তার একই বিন্দুতে মইটির পাদদেশ রেখে মইটিকে ঘুরিয়ে এমনভাবে রাখা হলো যে মইটি রাস্তার অপর প্রান্তে অবস্থিত আমাদের জানালা স্পর্শ করল। আমাদের জানালা যদি ভূমি থেকে 12 মিটার উপরে থাকে, তবে পাড়ার ওই রাস্তাটি কত চওড়া হিসাবে করে লিখি।
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, AB = AE = 15 মিটার লম্বা মই,
BC = 9 মিটার উঁচু মিলিদের জানালা
DE = 12 মিটার উঁচু আমাদের জানালা
CD = রাস্তার চওড়া
△ABC –এর AC2 = AB2 – BC2 [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ]
বা, AC2 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144
∴ AC = 12
△ADE –এর DA2 = AE2 – DE2 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ]
বা, DA2 = 152 – 122 = 225 – 144 = 81∴ DA = 9
∴ CD = DA + AC = 12 + 9 = 21
∴ নির্নেয় রাস্তাটি 21 মিটার চওড়া।
3. 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাবে করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, ABCD রম্বসের একটি বাহু AB = 10 সেমি এবং কর্ণ BD = 12 সেমি।
যেহেতু, কর্নদ্বয় AC ও BD পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
OB = ½ BD = ½ × 12 = 6 সেমি
△AOB থেকে পাই, AB2 = OA2 + OB2 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ]
OA2 = AB2 – OB2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64
∴ OA = 8
∴ AC = 2 × OA = 2 × 8 = 16
∴ রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 16 সেমি।
4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, PS2 + QR2 = PR2 + QS2
উত্তর –
△PQS ও △PQR দুটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ △PQS থেকে পাই, PS2 = PQ2 + QS2 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ]
আবার, △PQR থেকে পাই, PR2 = PQ2 + QR2
বা, QR2 = PR2 – PQ2
∴ বামপক্ষ = PS2 + QR2 = PQ2 + QS2 + PR2 – PQ2 = PR2 + QS2
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
5. প্রমাণ করি, যে-কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গ দুটির সমষ্টির সমান হবে।
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, ABCD রম্বসের AC ও BD কর্ণ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2
প্রমাণ – আমরা জানি যে, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।
অর্থাৎ, AC⟂BC এবং OA = OC ও OB = OD
সুতরাং, △AOB, △BOC, △COD, △DOA প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
△AOB –এর AB2 = OB2 + OA2
△BOC –এর BC2 = OB2 + OC2
△COD –এর CD2 = OC2 + OD2
△DOA –এর DA2 = OD2 + OA2
∴ AB2 + BC2 + CD2 + DA2
= OB2 + OA2 + OB2 + OC2 + OC2 + OD2 + OD2 + OA2
= OB2 + OA2 + OB2 + OA2 + OA2 + OB2 + OB2 + OA2 [ যেহেতু, OA = OC, OB = OD]
= 4 OA2 + 4OB2 = (2OA)2 + (2OB)2 = AC2 + BD2
∴ AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 [প্রমাণিত]
6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে, AB2 + BC2 + CA2 = 4AD2.
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC –এর উপর লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 + BC2 + CA2 = 4AD2
প্রমাণ – যেহেতু, ABC সমবাহু ত্রিভুজের AD⟂BC
∴ BD = DC
∴ △ABD ও △ACD দুটি সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
△ABD –এর AB2 = AD2 + BD2
△ACD –এর CA2 = AD2 + DC2
∴ AB2 + BC2 + CA2
= AD2 + BD2 + BC2 + AD2 + DC2
= 2AD2 + BD2 + (2BD)2 + BD2 [ যেহেতু, DC = BD, BC = 2BD ]
= 2AD2 + 6BD2
আবার, AD, △ABC সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা
∴ AD = \frac{\sqrt{3}}{2}× BC = \frac{\sqrt{3}}{2}× 2BD [ যেহেতু, BC = 2BD ]
বা, AD = \sqrt{3}BD
∴ BD = \frac{1}{\sqrt{3}}AD
∴ AB2 + BC2 + CA2
= 2AD2 + 6{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}}AD \right)}^{2}} = 2AD2 + 6 × \frac{1}{3}AD2 = 2AD2 + 2AD2
∴AB2 + BC2 + CA2 = 4AD2 [প্রমাণিত]
7. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করলাম যার ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম। P, Q; B, Q ও C, P যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, BQ2 + PC2 = BC2 + PQ2
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর যথাক্রমে P ও Q বিন্দু নেওয়া হল। P, Q; B, Q ও C, P যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, BQ2 + PC2 = BC2 + PQ2
প্রমাণ – △ABC, △APC, △ABQ, △APQ প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ যাদের ∠A সমকোণ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
△ABC –এর BC2 = AB2 + AC2
△APC –এর PC2 = AC2 + AP2
△ABQ –এর BQ2 = AQ2 + AB2
△APQ –এর PQ2 = AQ2 + AP2
∴ BQ2 + PC2 = AQ2 + AB2 + AC2 + AP2 = (AB2 + AC2 ) + (AQ2 + AP2)
∴ BQ2 + PC2 = BC2 + PQ2 [প্রমাণিত]
8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB2 + CD2 = BC2 + DA2
উত্তর –
মনেকরি, ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 + CD2 = BC2 + DA2
প্রমাণ – △AOB, △BOC, △COD, △DOA প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
△AOB –এর AB2 = OB2 + OA2
△BOC –এর BC2 = OB2 + OC2
△COD –এর CD2 = OC2 + OD2
△DOA –এর DA2 = OD2 + OA2
∴ AB2 + CD2 = OB2 + OA2 + OC2 + OD2 = (OB2 + OC2) + (OA2 + OD2) = BC2 + DA2
∴ AB2 + CD2 = BC2 + DA2 [প্রমাণিত]
9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ করি যে AB2 – AC2 = BD2 – CD2
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, ABC একটি ত্রিভুজ যার উচ্চতা AD এবং AB > AC
প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 – AC2 = BD2 – CD2
প্রমাণ – যেহেতু, △ABC –এর AD উচ্চতা
∴ AD⟂BC
∴ △ABD ও △ADC প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
△ABD –এর AB2 = AD2 + BD2
△ADC –এর AC2 = AD2 + CD2
∴ AB2 – AC2 = (AD2 + BD2) – (AD2 + CD2) = AD2 + BD2 – AD2 – CD2 = BD2 – CD2
∴ AB2 – AC2 = BD2 – CD2[প্রমাণিত]
10. △ABC-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC > AB) বাহুদুটির উপর দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC2 + BP2 = AB2 + CP2
উত্তর –
মনেকরি, △ABC –এর B ও C শীর্ষবিন্দু থেকে AC ও AB (AC > AB)বাহুদুটির উপর লম্ব যথাক্রমে BX, CZ অঙ্কন করা হল যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AC2 + BP2 = AB2 + CP2
অঙ্কন – A, P যুক্ত করে বর্ধিত করলে BC –কে M বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ – যেহেতু, △ABC –এর BX⟂AC ও CZ⟂AB
∴ AM⟂BC
△ABM, △BPM, △ACM, △CPM প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
△ABM –এর AB2 = AM2 + BM2 সুতরাং, AM2 = AB2 – BM2
এবং △ACM –এর AC2 = AM2 + CM2 সুতরাং, AM2 = AC2 – CM2
অর্থাৎ, AB2 – BM2 = = AC2 – CM2 ………(1)
আবার, △BPM –এর BP2 = PM2 + BM2 সুতরাং, BM2 = BP2 – PM2
এবং △CPM –এর CP2 = PM2 + CM2 সুতরাং, CM2 = CP2 – PM2
(1) নং থেকে পাই,
AB2 – (BP2 – PM2) = AC2 – (CP2 – PM2)
বা, AB2 – BP2 + PM2 = AC2 – CP2 + PM2
বা, AB2 – BP2 = AC2 – CP2
∴ AB2 + CP2 = AC2 + BP2 [প্রমাণিত]
11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD2 + DB2 = 2CD2
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AC = BC এবং ∠C সমকোণ। D, AB বাহুর উপর যেকোনো বিন্দু নেওয়া হল। C, D যুক্ত করলাম।
প্রমাণ করতে হবে যে, AD2 + DB2 = 2CD2
অঙ্কন – D বিন্দু থেকে BC ও AC –এর উপর যথাক্রমে DE ও DF লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, ∠DFC = 90°, ∠DEC = 90°
∴ FCED চতুর্ভুজের ∠FCE = ∠DEC = ∠DFC = 90°
অর্থাৎ, FCED একটি আয়তক্ষেত্র।
∴ DF = CE, FC = DE
আবার, FCED চতুর্ভুজের CF||ED
অর্থাৎ, CA||ED এবং ADB তাদের ছেদক।
∴ ∠CAD = অনুরূপ ∠EDB
∴ ∠EDB = ∠DBE [যেহেতু, ∠CAD = ∠DBE, কারণ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ]
যেহেতু, △BDE –এর ∠EDB = ∠DBE
∴ DE = BE
∴ CF = DE = BE
△ADF, △BDE ও △CDE প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
△ADF –এর AD2 = AF2 + DF2
△BDE –এর BD2 = DE2 + BE2
△CDE –এর CD2 = DE2 + CE2
∴ AD2 + DB2 = AF2 + DF2 + DE2 + BE2
বা, AD2 + DB2 = CE2 + CE2 + DE2 + DE2 [ AC – CF = BC – DE = BC – BE সুতরাং, AF = CE]
বা, AD2 + DB2 = 2CE2 + 2DE2 = 2(CE2 + DE2)
∴ AD2 + DB2 = 2CD2[প্রমাণিত]
12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হলে, প্রমাণ করি যে, BC2 = CD2 + 3AD2
উত্তর –
ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ এবং CD মধ্যমা।
প্রমাণ করতে হবে যে, BC2 = CD2 + 3AD2
প্রমাণ – যেহেতু, AB বাহুর উপর D বিন্দুতে CD মধ্যমা।
∴ AD = BD
আবার, △ADC ও △ABC প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
△ADC –এর CD2 = AC2 + AD2
বা, AC2 = CD2 – AD2
△ABC –এর BC2 = AC2 + AB2
বা, BC2 = CD2 – AD2 + (2AD)2 [ যেহেতু, AD = BD সুতরাং, AB = 2AD]
বা, BC2 = CD2 – AD2 + 4AD2
∴ BC2 = CD2 + 3AD2[প্রমাণিত]
13. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব অঙ্কন করেছি। প্রমাণ করি যে, AZ2 + BX2 + CY2 = AY2 + CX2 + BZ2
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব অঙ্কন করেছি।
প্রমাণ করতে হবে যে, AZ2 + BX2 + CY2 = AY2 + CX2 + BZ2
অঙ্কন – O, A; O, B; O, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – △AOZ, △BOZ, △BOX, △COX, △COY, △AOY প্রত্যেকেই সমকোনী ত্রিভুজ।
△AOZ ও △AOY থেকে পাই,OA2 = AZ2 + OZ2 = AY2 + OY2 [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই ]
বা, AZ2 = AY2 + OY2 – OZ2
△BOZ ও △BOX থেকে পাই,OB2 = BZ2 + OZ2 = BX2 + OX2
বা, BX2 = BZ2 + OZ2 – OX2
△COX ও △COY থেকে পাই,OC2 = CX2 + OX2 = CY2 + OY2
বা, CY2 = CX2 + OX2 – OY2
∴ AZ2 + BX2 + CY2 = AY2 + OY2 – OZ2 + BZ2 + OZ2 – OX2 + CX2 + OX2 – OY2
∴ AZ2 + BX2 + CY2 = AY2 + CX2 + BZ2 [ প্রমাণিত ]
14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, RY2 + XT2 = 5XY2
উত্তর –
দেওয়া আছে যে, RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y।
প্রমাণ করতে হবে যে, RY2 + XT2 = 5XY2
প্রমাণ – △RST, △RSY, △SXT, △XYS প্রত্যেকেই সমকোনী ত্রিভুজ যাদের ∠S সমকোণ।পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই
△RST –এর RT2 = RS2 + ST2△RSY –এর RY2 = RS2 + SY2
△SXT –এর XT2 = SX2 + ST2
△XYS –এর XY2 = SX2 + SY2
∴ RY2 + XT2 = RS2 + SY2 + SX2 + ST2 = (RS2 + ST2) + (SX2 + SY2) = RT2 + XY2 = (2XY)2 + XY2
[যেহেতু, △RST –এর RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y অতএব, XY = ½ RT]
∴ RY2 + XT2 = 5XY2 [প্রমাণিত]
15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) এক ব্যক্তি একটি স্থান 24 মিটার পশ্চিমদিকে যান এবং তারপর 10 মিটার উত্তর দিকে যান। যাত্রাস্থান থেকে ব্যক্তির দূরত্ব
(a) 34 মিটার (ii) 17 মিটার (iii) 26 মিটার (d) 25 মিটার
উত্তর –
AC2 = AB2 + BC2 = (24)2 + (10)2 = 576 + 100 = 676
∴ AC = \sqrt{676}=26
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) 26 মিটার
(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD⟂BC হলে, AD2 =
(a) 3/2 DC2 (b) 2 DC2 (c) 3 DC2 (d) 4 DC2
উত্তর –
AD2 = AC2 – DC2 = BC2 – DC2 [∵ AC = BC = AB]
= (2DC)2 – DC2 [∵ △ABC সমবাহু ত্রিভুজ, AD⟂BC]
= 4DC2 – DC2 = 3DC2
∴ সঠিক উত্তরটি হল – (c) 3 DC2
(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC=BC এবং AB2 = 2AC2 হলে ∠C-এর পরিমাপ
(a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) 60°
(iv)13 মিটার ও 7 মিটার উচ্চ দুটি দণ্ড ভুমিতলে লম্বভাবে অবস্থিত এবং তাদের পাদদেশের মধ্যে দূরত্ব 8 মিটার। তাদের শীর্ষদেশের মধ্যে দূরত্ব
(a) 9 মিটার (b) 10 মিটার (c) 11 মিটার (d) 12 মিটার
(v) একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি এবং 10 সেমি হলে, রম্বসটির পরিসীমা
(a) 13 সেমি (b) 26 সেমি (c) 52 সেমি (d) 25 সেমি
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –
(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4:5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
(ii) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তে কোনো জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করলে জ্যাটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি হবে।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের __________ সমান।
(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 4\sqrt{2}সেমি হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য ___________ সেমি।
(iii) ABCD আয়তাকার চিত্রের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। AB = 12 সেমি, AO = 6.5 সেমি হলে, BC –এর দৈর্ঘ্য ____________ সেমি।
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) ABC ত্রিভুজের AB = (2a – 1) সেমি, AC = 2\sqrt{2a}সেমি এবং BC = (2a + 1) সেমি হলে ∠BAC-এর মান লিখি।
(ii) পাশের চিত্রে PQR ত্রিভুজের অব্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে ∠POR = 90°, OP = 6 সেমি এবং OR = 8 সেমি। যদি PR = 24 সেমি এবং ∠QPR = 90° হয়, তাহলে QR বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
(iii) ABCD আয়তাকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি, OD = 8 সেমি এবং OA = 5 সেমি। OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
(iv) ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব BC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। যদি BD = 8 সেমি, DC = 2 সেমি এবং AD = 4 সেমি হয়, তাহলে ∠BAC-এর পরিমাপ কত তা লিখি।
(v) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°, AB = 3 সেমি, BC = 4 সেমি এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
;
