দশম শ্রেণী – অধ্যায় ১৯ : বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 19

1. আনোয়ারদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার স্তম্ভ আছে যার নীচের অংশ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ আকৃতির এবং উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির। এদের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি, চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি। 1 ঘন সেমি লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

চোঙাকৃতি অংশের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = \frac{20}{2}=10 সেমি।

চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা = 2.8 মিটার = 280 সেমি

সুতরাং, চোঙাকৃতি অংশের আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\frac{22}{7}\times 10\times 10\times 280=88000 ঘন সেমি।

শঙ্কু আকৃতি অংশের ব্যাসার্ধ = \frac{20}{2}=10 সেমি।

শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি।

সুতরাং, শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 10\times 10\times 42=4400 ঘন সেমি।

∴ লোহার স্তম্ভের মোট আয়তন = (88000 + 4400) = 92400 ঘন সেমি।

সুতরাং, 1 ঘন সেমি লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন = 92400 × 7.5 = 693000 গ্রাম = 693 কিগ্রা।

2. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি। শঙ্কুটির সমান আয়তনবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি।

সুতরাং, শঙ্কুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = \sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 25 \right)}^{2}}-{{\left( 20 \right)}^{2}}}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15 সেমি।

∴ প্রদত্ত শঙ্কুটির আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 15\times 15\times 20 ঘন সেমি।

মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r সেমি।

সুতরাং, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\frac{22}{7}{{r}^{2}}\times 15 ঘন সেমি।

প্রশ্নানুসারে, \frac{22}{7}{{r}^{2}}\times 15=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 15\times 15\times 20

বা, {{r}^{2}}=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 15\times 15\times 20\times \frac{7}{22}\times \frac{1}{15}=100

∴ r=\sqrt{100}=10

সুতরাং, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = (10 × 2) = 20 সেমি।

3. 24 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি উচ্চতাবিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলের সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = \frac{6}{2}=3 সেমি।

লোহার টুকরোর উচ্চতা 4 সেমি।

সুতরাং, প্রতিটি লোহার টুকরোর আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 3\times 3\times 4 ঘন সেমি।

অর্থাৎ, 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার আয়তন = 60\times \frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 3\times 3\times 4 ঘন সেমি।

লোহার টুকরোগুলি চোঙাকৃতি পাত্রের জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে লোহার টুকরোগুলির সমান আয়তনের জল অপসারিত হবে।

মনেকরি, জলতল h সেমি বৃদ্ধি পাবে।

লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের ব্যাসার্ধ = \frac{24}{2}=12 সেমি।

h সেমি বৃদ্ধি প্রাপ্ত জলতলের আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\frac{22}{7}\times 12\times 12\times h ঘন সেমি।

প্রশ্নানুসারে, \frac{22}{7}\times 12\times 12\times h=60\times \frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 3\times 3\times 4

∴ h=60\times \frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 3\times 3\times 4\times \frac{1}{12}\times \frac{1}{12}\times \frac{7}{22}=5

সুতরাং, জলতলের উচ্চতা 15 সেমি বৃদ্ধি পাবে।

4. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5 :8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি।

উত্তর –

মনেকরি, নিরেট শঙ্কু ও লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক এবং একই উচ্চতা h একক।

শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা = \sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}} একক

নিরেট শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = \pi rl বর্গ একক

লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2\pi rh বর্গ একক

প্রশ্নানুসারে, \pi rl:2\pi rh=5:8

বা, \frac{\pi rl}{2\pi rh}=\frac{5}{8}

বা, \frac{l}{2h}=\frac{5}{8}

বা, 8l=10h

বা, 4l=5h

বা, 16{{l}^{2}}=25{{h}^{2}}

বা, 16{{\left( \sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}} \right)}^{2}}=25{{h}^{2}}

বা, 16\left( {{h}^{2}}+{{r}^{2}} \right)=25{{h}^{2}}

বা, 16{{h}^{2}}+16{{r}^{2}}=25{{h}^{2}}

বা, 16{{r}^{2}}=25{{h}^{2}}-16{{h}^{2}}=9{{h}^{2}}

বা, 4r=3h

বা, \frac{r}{h}=\frac{3}{4}

∴ r:h=3:4

সুতরাং, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3:4।

5. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ 8 সেমি।

সুতরাং, নিরেট লোহার গোলকের আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \times 8\times 8\times 8 ঘন সেমি।

প্রতিটি নিরেট গুলির ব্যাসার্ধ = \frac{1}{2} সেমি।

সুতরাং, প্রতিটি নিরেট গুলির আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} ঘন সেমি।

∴ একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে নিরেট গুলি পাওয়া যাবে

= \frac{\frac{4}{3}\pi \times 8\times 8\times 8}{\frac{4}{3}\pi \times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}=8\times 8\times 8\times 2\times 2\times 2=4096 টি।

6. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দন্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি। দন্ডটি গলিয়ে 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি উচ্চতাবিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দন্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি।

সুতরাং, লোহার দন্ডের আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\pi \times 32\times 32\times 35 ঘন সেমি।

প্রতিটি নিরেট শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 8 সেমি এবং উচ্চতা 28 সেমি।

সুতরাং, প্রতিটি নিরেট শঙ্কুর আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \times 8\times 8\times 28 ঘন সেমি।

∴ দন্ডটি গলিয়ে নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে = \frac{\pi \times 32\times 32\times 35}{\frac{1}{3}\pi \times 8\times 8\times 28}=\frac{3\times 32\times 32\times 35}{8\times 8\times 28}=60 টি।

7. 4.2 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি।

উত্তর –

কাঠের ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 4.2 ডেসিমি = 42 সেমি।

নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \frac{42}{2}=21 সেমি এবং উচ্চতা 42 সেমি।

∴ প্রাপ্ত নিরেট শঙ্কুটির আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 21\times 21\times 42=19404 ঘন সেমি।

8. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফলও সমান হলে , চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, চোঙটির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।

সুতরাং, গোলকটির ব্যাসার্ধ r একক।

চোঙটির আয়তন = \pi {{r}^{2}}h ঘন একক এবং গোলকটির আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}} ঘন একক

প্রশ্নানুসারে, \pi {{r}^{2}}h=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}

বা, 4r=3h

বা, \frac{r}{h}=\frac{3}{4}

∴ r:h=3:4

সুতরাং, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3:4।

9. 6.6 ডেসিমি দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি পুরু একটি তামার নিরেট আয়তঘানাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘন ডেসিমি ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি।

উত্তর –

তামার নিরেট আয়তঘানাকার টুকরোর দৈর্ঘ্য 6.6 ডেসিমি, প্রস্থ 4.2 ডেসিমি এবং উচ্চতা 1.4 ডেসিমি।

∴ তামার নিরেট আয়তঘানাকার টুকরোর আয়তন =6.6\times 4.2\times 1.4 ঘন ডেসিমি ।

প্রতিটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = \frac{2.1}{2} ডেসিমি।

∴ প্রতিটি নিরেট গোলকের আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times \frac{2.1}{2}\times \frac{2.1}{2}\times \frac{2.1}{2}=4.851 ঘন ডেসিমি।

∴ নির্নেয় নিরেট গোলকের সংখ্যা = \frac{6.6\times 4.2\times 1.4}{4.851}=8 টি।

10. 4.2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

সোনার নিরেট গোলকটির ব্যাসার্ধ 4.2 সেমি।

সুতরাং সোনার নিরেট গোলকটির আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \times 4.2\times 4.2\times 4.2 ঘন সেমি।

লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির ব্যাসার্ধ = \frac{2.8}{2}=1.4 সেমি।

মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির উচ্চতা h সেমি।

সুতরাং, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\pi \times 1.4\times 1.4\times h ঘন সেমি।

প্রশ্নানুসারে, \pi \times 1.4\times 1.4\times h=\frac{4}{3}\pi \times 4.2\times 4.2\times 4.2

∴ h=\frac{4\times 4.2\times 4.2\times 4.2}{3\times 1.4\times 1.4}=50.4

সুতরাং নির্নেয় দন্ডটির দৈর্ঘ্য 50. 4 সেমি।

11. 6 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি লম্বা একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

নিরেট রৌপ্য গোলকটির ব্যাসার্ধ = \frac{6}{2}=3 ডেসিমি

সুতরাং, নিরেট রৌপ্য গোলকটির আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \times 3\times 3\times 3 ঘন ডেসিমি।

নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির উচ্চতা 1 ডেসিমি।

মনেকরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির ব্যাসার্ধ r ডেসিমি।

সুতরাং, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}\times 1 ঘন ডেসিমি।

প্রশ্নানুসারে, \pi {{r}^{2}}\times 1=\frac{4}{3}\pi \times 3\times 3\times 3

বা, {{r}^{2}}=4\times 3\times 3

∴ r=\sqrt{4\times 3\times 3}=2\times 3=6

সুতরাং, দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = (6 × 2) = 12 ডেসিমি।

12. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি। সেই দন্ডটি গলিয়ে 21 টি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যদি 8 সেমি হয়, তবে দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য h সেমি।

লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির ব্যাসার্ধ = 3.2 ডেসিমি = 32 সেমি।

সুতরাং, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\pi \times 32\times 32\times h ঘন সেমি।

গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি।

প্রতিটি গোলকের আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \times 8\times 8\times 8 ঘন সেমি।

∴ 21 টি গোলকের আয়তন = 21\times \frac{4}{3}\pi \times 8\times 8\times 8 ঘন সেমি।

প্রশ্নানুসারে, \pi \times 32\times 32\times h=21\times \frac{4}{3}\pi \times 8\times 8\times 8

∴ h=\frac{21\times 4\times 8\times 8\times 8}{3\times 32\times 32}=14

সুতরাং, দন্ডটির দৈর্ঘ্য 14 সেমি ছিল।

13. 21 ডেসিমি দীর্ঘ, 11 ডেসিমি প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কত ডেসিমি উঠবে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

প্রতিটি লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = \frac{21}{2} সেমি = \frac{21}{20} ডেসিমি ।

সুতরাং, প্রতিটি লোহার গোলকের আয়তন = \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{21}{20} \right)}^{3}} ঘন ডেসিমি ।

∴ 100 টি লোহার গোলকের আয়তন = 100\times \frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{21}{20} \right)}^{3}} ঘন ডেসিমি ।

চৌবাচ্চায় 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডোবালে লোহার গোলকগুলির সমআয়তন জল অপসারিত হবে।

মনেকরি, চৌবাচ্চার জলতল h ডেসিমি উঠবে।

প্রশ্নানুসারে,  21\times 11\times h=100\times \frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{21}{20} \right)}^{3}}

বা, h=100\times \frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\times \frac{1}{21\times 11}

∴ h=2.1

সুতরাং, চৌবাচ্চার জলতল 2.1 ডেসিমি উঠবে।

14. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

উত্তর –

মনেকরি, ভূমিতলের ব্যাস 2r এবং উচ্চতা h একক। অর্থাৎ, r = h।

সুতরাং, নিরেট শঙ্কুর আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.r=\frac{1}{3}\pi {{r}^{3}} ঘন একক।

নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন = \frac{2}{3}\pi {{r}^{3}} ঘন একক।

এবং নিরেট চোঙের আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}.r=\pi {{r}^{3}} ঘন একক।

∴ নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধগোলক এবং নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত

= \frac{1}{3}\pi {{r}^{3}}:\frac{2}{3}\pi {{r}^{3}}:\pi {{r}^{3}}\,=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}:1=1:2:3

15. 1 সেমি পুরু সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি। গোলকটি গলিয়ে 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, 1 সেমি পুরু সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।

∴ গোলকটির ভিতরের ব্যাসার্ধ = (6 – 1) = 5 সেমি।

সুতরাং, গোলকটির আয়তন = \frac{4}{3}\pi \left( {{R}^{3}}-{{r}^{3}} \right)=\frac{4}{3}\pi \left( {{6}^{3}}-{{5}^{3}} \right)=\frac{4}{3}\pi \left( 216-125 \right)=\frac{4}{3}\pi \times 91 ঘন সেমি।

মনেকরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য h সেমি।

2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দন্ডটির আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\pi {{\left( 2 \right)}^{2}}h=4\pi h ঘন সেমি।

প্রশ্নানুসারে, 4\pi h=\frac{4}{3}\pi \times 91

বা, h=\frac{4}{3}\times 91\times \frac{1}{4}

∴ h=\frac{91}{3}=30\frac{1}{3}

সুরতাং, দন্ডটির দৈর্ঘ্য 30\frac{1}{3} সেমি।

16. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে কত ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি।

[উত্তর সংকেত – বর্গাকার চিত্রের অন্তর্লিখিত পরিবৃত্ত হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য বর্গাকার চিত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান।]

উত্তর –

2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি = 1.4 মিটার।

আয়তঘনাকার কাঠের লগের আয়তন = 2 × 1.4 × 1.4 = 3.92 ঘন মিটার।

লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির ব্যাস হবে 1.4 মিটার এবং উচ্চতা হবে 2 মিটার।

লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির আয়তন = \pi {{r}^{2}}h=\frac{22}{7}\times \frac{1.4}{2}\times \frac{1.4}{2}\times 2=3.08 ঘন মিটার।

∴ লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে 3.08 ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং (3.92 – 3.08) = 0.84 ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে।

17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হলো। শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য  

(a) 2r একক      (b) 3r একক      (c) r একক         (d) 4r একক

উত্তর –

মনেকরি শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধ R একক।

প্রশ্নানুসারে, \frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.r=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}

বা, {{R}^{2}}=4{{r}^{2}}

∴ R=2r

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) 2r একক

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার উচ্চতা 5 সেমি। শঙ্কুটি উচ্চতা

(a) 10 সেমি       (b) 15 সেমি       (c) 18 সেমি       (d) 24 সেমি

উত্তর –

প্রশ্নানুসারে, \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}\times 5

∴ h=15

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (b) 15 সেমি

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক। চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য

(a) r একক         (b) 2r একক      (c) r/2 একক    (d) 4r একক

উত্তর –

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (b) 2r একক

(iv) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন

(a) 4πr³ ঘন একক         (b) 3πr³ ঘন একক         (c) \frac{\pi {{r}^{3}}}{4} ঘন একক         (d) \frac{\pi {{r}^{3}}}{3} ঘন একক

উত্তর –

যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\times r=\frac{1}{3}\pi {{r}^{3}}

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (d) \frac{\pi {{r}^{3}}}{3} ঘন একক

(v) x একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য

(a) x একক        (b) 2x একক      (c) x/2 একক    (d) 4x একক

উত্তর –

∴ সঠিক উত্তরটি হল – (a) x একক

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমিতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে 6πr² বর্গ একক।

উত্তর –

মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4\pi {{r}^{2}} বর্গ একক।

∴ মিথ্যা।

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা l একক। শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভুমিতল বরাবর জুড়ে দেওয়া হলো। যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (πrl + 2πrh + 2πr²) বর্গ একক।

উত্তর –

মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = (πrl + 2πrh + πr²) বর্গ একক।

∴ মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + __________ বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল।

উত্তর – চোঙের।

(ii) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার শঙ্কু ও __________ সমন্বয়।

উত্তর – চোঙের।

(iii) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। গোলক ও চোঙের আয়তন __________।

উত্তর – সমান।

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি হয়, তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং উচ্চতা h সেমি। সুতরাং, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r সেমি।

প্রশ্নানুসারে, \pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\times 5

বা, h=5

সুতরাং, নিরেট চোঙের উচ্চতা 5 সেমি।

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং আয়তন সমান। গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত কত তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক। অর্থাৎ, গোলকের ব্যাসার্ধ r একক।

প্রশ্নানুসারে, \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}

বা, h=4r

বা, \frac{2r}{h}=\frac{1}{2}

∴ 2r:h=1:2

সুতরাং, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত 1:2।

(iii) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।

∴ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত

= \pi {{r}^{2}}h:\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h:\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=1:\frac{1}{3}:\frac{4}{3}=3:1:4

(iv) একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের। যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক। অর্থাৎ, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r একক।

প্রশ্নানুসারে, 2\pi {{r}^{2}}=\pi rl

বা, 2r=l\Rightarrow 4{{r}^{2}}={{l}^{2}}

বা, 4{{r}^{2}}={{h}^{2}}+{{r}^{2}}\,\,\left[ \because l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}} \right]

বা, 3{{r}^{2}}={{h}^{2}}\Rightarrow \frac{{{r}^{2}}}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{r}{h}=\frac{1}{\sqrt{3}}

∴ r:h=1:\sqrt{3}

(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুন হলে, শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

উত্তর –

মনেকরি শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক। অর্থাৎ, গোলকের ব্যাসার্ধ r একক।

প্রশ্নানুসারে, 2\times \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}

বা, h=2r\Rightarrow \frac{h}{r}=2

∴ h:r=2:1

;