কষে দেখি – 16
1. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ 15 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি।
∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল =\frac{22}{7}\times 15\times 24=\frac{7920}{7}=1131\frac{3}{7} বর্গ সেমি।
শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \frac{22}{7}\times 15\left( 15+24 \right)=\frac{22}{7}\times 15\times 39=\frac{12870}{7}=1838\frac{4}{7} বর্গ সেমি।
2. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন,
(i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার,
(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।
উত্তর –
(i) মনেকরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{22}{7}{{r}^{2}}=1.54\]
\[\Rightarrow {{r}^{2}}=\frac{154}{100}\times \frac{7}{22}=\frac{7\times 7}{100}\]
\[\therefore \,\,r=\frac{7}{10}\]
∴ শঙ্কুর আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times \frac{7}{10}\times \frac{7}{10}\times 2.4=1.232 ঘন মিটার।
(ii)
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ = \frac{21}{2}=10.5 মিটার।
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা = \sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 17.5 \right)}^{2}}-{{\left( 10.5 \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( 17.5-10.5 \right)\left( 17.5+10.5 \right)}=\sqrt{28\times 7}=14মিটার।
∴ শঙ্কুর আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 10.5\times 10.5\times 14=1617 ঘন মিটার।
3. আমিনা একটি সমকোনী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি ও 20 সেমি। 15 সেমি দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করি।
উত্তর –
প্রশ্নানুসারে, ঘনবস্তুটি একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু যার ভূমির ব্যাসার্ধ 20 সেমি এবং উচ্চতা 15 সেমি।
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা = \sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 15 \right)}^{2}}+{{\left( 20 \right)}^{2}}}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25 সেমি।
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \pi rl=\frac{22}{7}\times 20\times 25=\frac{11000}{7}=1571\frac{3}{7}বর্গ সেমি।
∴ শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \pi r\left( r+l \right)=\frac{22}{7}\times 20\left( 20+25 \right)=\frac{22}{7}\times 20\times 45=\frac{19800}{7}=2828\frac{4}{7} বর্গ সেমি।
∴ শঙ্কুটির আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 20\times 20\times 15=\frac{44000}{7}=6285\frac{5}{7} ঘন সেমি।
4. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা 6 সেমি ও 10 সেমি হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেতফল ও আয়তন নির্ণয় করি।
উত্তর –
প্রদত্ত শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা 6 সেমি ও 10 সেমি।
অর্থাৎ, শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ = \sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 10 \right)}^{2}}-{{\left( 6 \right)}^{2}}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8 সেমি
∴ শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \pi r\left( r+l \right)=\frac{22}{7}\times 8\left( 8+10 \right)=\frac{22}{7}\times 8\times 18=\frac{3168}{7}=452\frac{4}{7} বর্গ সেমি।
∴ শঙ্কুটির আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 8\times 8\times 6=\frac{2816}{7}=402\frac{2}{7} ঘন সেমি।
5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন (100π) ঘন সেমি এবং উচ্চতা 12 সেমি হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তন (100π) ঘন সেমি এবং উচ্চতা 12 সেমি।
মনেকরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\times 12=100\pi \]
\[\Rightarrow {{r}^{2}}=100\pi \times 3\times \frac{1}{\pi }\times \frac{1}{12}=25\]
\[\therefore \,\,\,r=\sqrt{25}=5\]
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা = \sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 12 \right)}^{2}}+{{\left( 5 \right)}^{2}}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13 সেমি।
6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 77 বর্গ মিটার।
আবার, তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা 7 মিটার।
মনেকরি, তাঁবুটির ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{22}{7}\times r\times 7=77\]
\[\Rightarrow r=77\times \frac{1}{7}\times \frac{7}{22}=\frac{7}{2}\]
∴ তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = \pi {{r}^{2}}=\frac{22}{7}\times \frac{7}{2}\times \frac{7}{2}=38.5 বর্গ মিটার।
7. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।
উত্তর –
শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = \frac{21}{2} মিটার।
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা =\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 14 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{21}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{196+\frac{441}{4}}=\sqrt{\frac{784+441}{4}}=\sqrt{\frac{1225}{4}}=\frac{35}{2} মিটার।
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \pi rl=\frac{22}{7}\times \frac{21}{2}\times \frac{35}{2}=\frac{1155}{2} বর্গ মিটার।
∴ প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে খরচ পড়বে = \frac{1155}{2}\times 1.50=\frac{3465}{4}=866.25 টাকা।
8. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি কাঠ লেগেছে নির্ণয় করি।
উত্তর –
কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = \frac{10}{2}=5 সেমি।
খেলনাটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \frac{429}{2.10} বর্গ সেমি।
মনেকরি, খেলনাটির তির্যক উচ্চতা l সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{22}{7}\times 5\times l=\frac{429}{2.10}\]
\[\Rightarrow l=\frac{429\times 100}{210}\times \frac{1}{5}\times \frac{7}{22}\]
\[\therefore \,\,l=13\]
∴ খেলনাটির উচ্চতা = \sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 13 \right)}^{2}}-{{\left( 5 \right)}^{2}}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12 সেমি।
সুতরাং, খেলনাটির আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 5\times 5\times 12=\frac{2200}{7}=314\frac{2}{7} ঘন সেমি।
অর্থাৎ, খেলনাটি তৈরি করতে 314\frac{2}{7} ঘন সেমি কাঠ লেগেছে।
9. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে 75\frac{3}{7} বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
ওই বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি। [ লোহার পাতের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না ]
উত্তর –
বয়াটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 75\frac{3}{7}=\frac{528}{7} বর্গ মিটার।
মনেকরি, বয়াটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{22}{7}\times r\left( r+5 \right)=\frac{528}{7}\]
\[\Rightarrow {{r}^{2}}+5r=\frac{528}{7}\times \frac{7}{22}=24\]
\[\Rightarrow {{r}^{2}}+5r-24=0\]
\[\Rightarrow {{r}^{2}}+8r-3r-24=0\]
\[\Rightarrow r\left( r+8 \right)-3\left( r+8 \right)=0\]
\[\Rightarrow \left( r+8 \right)\left( r-3 \right)=0\]
\[Either\,\,r+8=0\,\,or\,\,r-3=0\]
\[\therefore \,\,r=-8\,\,or\,\,r=3\]
∴ বয়াটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 3 মিটার।
∴ বয়াটির উচ্চতা = \sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 5 \right)}^{2}}-{{\left( 3 \right)}^{2}}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4 মিটার।
সুতরাং, বয়াটির আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 3\times 3\times 4=\frac{264}{7}=37\frac{5}{7} ঘন মিটার।
∴ বয়াটিতে 37\frac{5}{7}ঘন মিটারবায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা 4 মিটার।
বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে = \frac{528}{7}\times 2.80=211.20 টাকা।
10. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভুমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।
উত্তর –
তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = 11 × 4 = 44 বর্গ মিটার।
তাঁবুর ভিতরের আয়তন = 11 × 20 = 220 ঘন মিটার।
মনেকরি, তাঁবুর উচ্চতা h মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=220\]
\[\Rightarrow \frac{1}{3}\times 44\times h=220\]
\[\therefore \,\,h=220\times 3\times \frac{1}{44}=15\]
∴ তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার।
11. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উত্তর –
মনেকরি টোপরটির তির্যক উচ্চতা l সেমি।
টোপরটির ভূমির ব্যাসার্ধ = \frac{21}{2} সেমি।
টোপরটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \frac{57.75}{0.10}=\frac{5775}{10} বর্গ সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{22}{7}\times \frac{21}{2}\times l=\frac{5775}{10}\]
\[\Rightarrow l=\frac{5775}{10}\times \frac{2}{21}\times \frac{7}{22}\]
\[\therefore \,\,l=\frac{175}{10}=17.5\]
∴ টোপরটির তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি।
∴ টোপরটির উচ্চতা = \sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 17.5 \right)}^{2}}-{{\left( 10.5 \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( 17.5+10.5 \right)\left( 17.5-10.5 \right)}=\sqrt{28\times 7}=14সেমি।
12. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ ধরি, π = 3.14, \sqrt{130}=11.4]
উত্তর –
গমের স্তূপের ভূমির ব্যাসার্ধ = \frac{9}{2}=4.5 মিটার।
গমের স্তূপের উচ্চতা = 3.5 মিটার।
∴ গমের স্তূপের আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 4.5\times 4.5\times 3.5=74.18 ঘন মিটার [প্রায়]।
গমের স্তূপের তির্যক উচ্চতা = \sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3.5 \right)}^{2}}+{{\left( 4.5 \right)}^{2}}}=\sqrt{12.25+20.25}=\sqrt{32.50}=5.7 মিটার [প্রায়]।
∴ প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন = \pi rl=\frac{22}{7}\times 4.5\times 5.7=80.54 বর্গ মিটার [প্রায়]।
13. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি হলে, শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
(a) 60π বর্গ সেমি (b) 68π বর্গ সেমি (c) 120π বর্গ সেমি (d) 130π বর্গ সেমি
উত্তর –
শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ = \frac{16}{2}=8 সেমি।
শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \pi rl=\pi \times 8\times 15=120\pi বর্গ সেমি।
∴ নির্নেয় উত্তর হল - (c) 120π বর্গ সেমি
(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত
(a) 1:5 (b) 5:4 (c) 25:16 (d) 25:64
উত্তর –
মনেকরি, দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা যথাক্রমে h1 ও h2 এবং ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r একক এবং 5r একক।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{\frac{1}{3}\pi {{\left( 4r \right)}^{2}}{{h}_{1}}}{\frac{1}{3}\pi {{\left( 5r \right)}^{2}}{{h}_{2}}}=\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow \frac{16{{r}^{2}}{{h}_{1}}}{25{{r}^{2}}{{h}_{2}}}=\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow \frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{1}{4}\times \frac{25}{16}\]
\[\therefore \,\,{{h}_{1}}:{{h}_{2}}=25:64\]
∴ নির্নেয় উত্তর হল - (d) 25:64
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুন করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায়
(a)100% (b) 200% (c) 300% (d) 400%
উত্তর –
মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুন করলে আয়তন হবে = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( 2h \right)
∴ শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( 2h \right)-\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h
∴ শতকরা বৃদ্ধি = \frac{\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h}{\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h}\times 100%=100%
∴ নির্নেয় উত্তর হল - (a)100%
(iv) একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের
(a) 3 গুণ (b) 4 গুণ (c) 6 গুণ (d) 8 গুণ
উত্তর –
মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h
শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে আয়তন হবে = \frac{1}{3}\pi {{\left( 2r \right)}^{2}}\left( 2h \right)=\frac{1}{3}\pi \times 4r\times 2h=8\times \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h
∴ নির্নেয় উত্তর হল - (d) 8 গুণ
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \frac{r}{2} একক এবং তির্যক উচ্চতা 2l একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
(a) 2\pi r\left( l+r \right) বর্গ একক (b) \pi r\left( l+\frac{r}{4} \right) বর্গ একক (c) \pi r\left( l+r \right) বর্গ একক (d) 2\pi rl বর্গ একক
উত্তর –
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \pi \times \frac{r}{2}\left( \frac{r}{2}+2l \right)=\pi r\left( \frac{r}{4}+l \right) বর্গ একক।
∴ নির্নেয় উত্তর হল - (b) \pi r\left( l+\frac{r}{4} \right)বর্গ একক
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।
উত্তর –
মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে শঙ্কুটির আয়তন = \frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{r}{2} \right)}^{2}}\left( 2h \right)=\frac{1}{3}\pi \times \frac{{{r}^{2}}}{4}\times 2h=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h
∴মিথ্যা।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোনী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।
উত্তর – সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –
(i) ABC সমকোনী ত্রিভুজের AC অতিভুজ। AB বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ন আবর্তনের জন্য যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ __________।
উত্তর – BC
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হলে, উচ্চতা __________।
উত্তর –
\[V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h,\,\,A=\pi {{r}^{2}}\]
\[\therefore \,\,V=\frac{1}{3}Ah\Rightarrow h=\frac{3V}{A}\]
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের উচ্চতা সমান। তাদের আয়তনের অনুপাত __________।
উত্তর –
\[\pi {{r}^{2}}h:\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=3:1\]
14. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘন সেমি। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
উত্তর –
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\times 12=100\pi \]
\[\Rightarrow {{r}^{2}}=\frac{100\pi }{12\pi }=25\]
\[\therefore \,\,r=\sqrt{25}=5\]
∴ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমিতলের ক্ষেত্রফলের \sqrt{5} গুন। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, শঙ্কুটির উচ্চতা h, তির্যক উচ্চতা l এবং ব্যাসার্ধ r।
অর্থাৎ, তির্যক উচ্চতা = \sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}
প্রশ্নানুসারে,
\[\pi rl=\sqrt{5}\pi {{r}^{2}}\]
\[\Rightarrow r\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{5}{{r}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{r}^{2}}\left( {{h}^{2}}+{{r}^{2}} \right)=5{{r}^{4}}\]
\[\Rightarrow {{h}^{2}}+{{r}^{2}}=5{{r}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{h}^{2}}=5{{r}^{2}}-{{r}^{2}}=4{{r}^{2}}\]
\[\Rightarrow \frac{{{h}^{2}}}{{{r}^{2}}}=4\]
\[\Rightarrow \frac{h}{r}=\sqrt{4}=2\]
\[\therefore \,\,h:r=2:1\]
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:1
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক হলে, \frac{AH}{V} -এর মান কত তা লিখি।
উত্তর –
মনেকরি শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ r একক।
\[\therefore \,\,V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h,\,\,A=\pi {{r}^{2}}\]
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক এবং r একক হলে, \frac{1}{{{h}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}} -এর মান কত তা লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l একক, অর্থাৎ l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\pi rl\]
\[\Rightarrow rh=3l\]
\[\Rightarrow {{r}^{2}}{{h}^{2}}=9{{l}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{r}^{2}}{{h}^{2}}=9\left( {{h}^{2}}+{{r}^{2}} \right)\]
\[\Rightarrow \frac{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}{{{r}^{2}}{{h}^{2}}}=\frac{1}{9}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{{{r}^{2}}}+\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{9}\]
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 2:3; চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
উত্তর –
মনেকরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3x একক ও 4x একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 2y একক ও 3y একক, যেখানে ও সাধারণ গুনিতক।
∴ চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত = \frac{\pi \times {{\left( 3x \right)}^{2}}\times 2y}{\frac{1}{3}\pi \times {{\left( 4x \right)}^{2}}\times 3y}=\frac{3\times 9{{x}^{2}}\times 2y}{16{{x}^{2}}\times 3y}=\frac{9}{8}=9:8
;
