দশম শ্রেণী – অধ্যায় ১৫ : বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 15.1

1. মাসুম O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার AB একটি জ্যা। B বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যা বর্ধিত AO-কে T বিন্দুতে ছেদ করল। ∠BAT = 21° হলে, ∠BTA-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB জ্যা। B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত AO –কে T বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠BAT = 21° হলে ∠BTA –এর মান নির্ণয় করতে হবে।
অঙ্কন – O, B যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, BT স্পর্শক ও OB স্পর্শক বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴∠OBT = 90°
△AOB থেকে পাই, OA = OB
∴ ∠OAB = ∠OBA
∴ ∠BAT = 21°
∴ ∠OAB = ∠OBA = 21°
আবার বহিঃস্থ ∠BOT = ∠OAB + ∠OBA = 21° + 21° = 42°
△BOT থেকে পাই, ∠BTA = 180° – (∠BOT + ∠OBT)
∴ ∠BTA = 180° – (90° + 42°) = 180° – 132° = 48°

2. কোনো বৃত্তের XY একটি ব্যাস। বৃত্তটির উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব PAQ-কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, XA, ∠YXZ-এর সমদ্বিখণ্ডক।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের XY ব্যাস এবং বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু A –তে PAQ স্পর্শক অঙ্কন করা হয়েছে। X বিন্দু থেকে PAQ স্পর্শকের উপর XZ লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, XA, ∠YXZ –এর সমদ্বিখণ্ডক।
অঙ্কন – X, A; A, O যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, XZ⟂ PAQ
∴ ∠AZX = 90°
আবার, PAQ স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠OAZ = 90°
∴ ∠AZX = ∠OAZ
∴ ZX || AO
∴ ∠AXZ = একান্তর ∠OAX ……….(1)
আবার, △AOX থেকে পাই, OX = OA
∴ ∠AXO = ∠OAX ……….(2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই, ∠AXZ = ∠AXO
∴ XA, ∠YXZ–এর সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

3. একটি বৃত্ত অঙ্কন করলাম যার PR একটি ব্যাস। P বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করলাম এবং এই স্পর্শকের উপর S এমন একটি বিন্দু নিলাম যাতে PR = PS হয়। RS, বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ST = RT = PT.

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, PR বৃত্তের ব্যাস। P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর যে-কোনো বিন্দু S নিলাম যাতে PR = PS হয়। RS বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ST = RT = PT
অঙ্কন – P, T যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু ∠PTR অর্ধবৃত্তস্থ
∴ ∠PTR = 90°
∴ ∠PTS = 90°
△PTR ও △PTS থেকে পাই
∠PTR = ∠PTS
PT সাধারণ বাহু।PR = PS (প্রশ্নানুসারে)
∴ △PTR ≅ △PTS
RT = ST ……..(1)
যেহেতু, PR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ, ∠SPR = 90°
△RPS –এর PT, RS অতিভুজের মধ্যবিন্দু T –এর সঙ্গে সমকোনে যুক্ত হয়েছে।
∴ PT=\frac{1}{2}RS=RT.........\left( 2 \right)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
ST = RT = PT (প্রমাণিত)।

4. একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত অঙ্কন করি যার দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের OA ও OB ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুদ্বয়ে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।
অঙ্কন – A, B; O, T যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, AT স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OA ⟂ AT
অর্থাৎ, ∠OAT = 90°
আবার, যেহেতু BT স্পর্শক এবং OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OB ⟂ BT
অর্থাৎ, ∠OBT = 90°
∴ OATB চতুর্ভুজের ∠OAT + ∠OBT = 90° + 90° = 180°
অর্থাৎ, OATB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
আবার, ∠AOB = 90°
∴ ∠ATB = 180° – 90° = 90°
∴ OATB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের প্রতিটি কোণ সমকোণআবার OA = OB (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ OATB একটি বৃত্তস্থ বর্গক্ষেত্র।
∴ AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে। (প্রমাণিত)

5. দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করলে, প্রমাণ করি যে, PQ = ½ BC.

উত্তর –

মনেকরি এককেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটির কেন্দ্র O। বৃহত্তর বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও AC ছোটো বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, PQ = ½ BC
অঙ্কন – O, P ও O, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – O কেন্দ্রীয় ছোটো বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ OP ⟂ AB
আবার, O কেন্দ্রীয় ছোটো বৃত্তের AC স্পর্শক এবং OQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ OQ ⟂ ACO কেন্দ্রীয় বড়ো বৃত্তের জ্যা AB –এর P বিন্দুতে OP লম্ব।
∴ AP = PB
অর্থাৎ, P, AB –এর মধ্যবিন্দু।
অনুরূপে O কেন্দ্রীয় বড়ো বৃত্তটির AC জ্যা –এর Q বিন্দুতে OQ লম্ব।
∴ AQ = QC অর্থাৎ Q, AC –এর মধ্যবিন্দু।
△ ABC -এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q এবং PQ সংযোজক সরলরেখা।
∴ PQ = ½ BC (প্রমাণিত)

6. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে স্পর্শকের উপর X যে-কোনো একটি বিন্দু। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করে। YZ-এর মধ্যবিন্দু P হলে, প্রমাণ করি যে, XAPO বা XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে AX স্পর্শক। XYZ বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। YZ –এর মধ্যবিন্দু P।
প্রমাণ করতে হবে যে, XAOP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
অঙ্কন – O, Y ও O, Z যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু AX স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OA ⟂ AX
অর্থাৎ, ∠OAX = 90°
△YOP ও △ZOP থেকে পাই,
OY = OZ [ যেহেতু একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
OP সাধারণ বাহু।
YP = PZ [ যেহেতু, P, YZ বাহুর মধ্যবিন্দু ]
∴ △YOP ≅ △ZOP
∴ ∠YPO = ∠ZPO
অর্থাৎ, OP ⟂ YZ
∴ ∠OPY = 90°
XAOP চতুর্ভুজের ∠OAX + ∠OPY = 90° + 90° = 180°
∴ XAOP চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
∴ XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। (প্রমাণিত)

7. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P যে-কোনো একটি বিন্দু। ওই ব্যাসের উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP-কে S বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, SP = SR.

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P একটি বিন্দু। OP –এর উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP –কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, SP = SR
অঙ্কন – O, R যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – △ROQ থেকে পাই, OR = OQ [ যেহেতু, একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠ORQ = ∠OQR ………(1)
যেহেতু, RS স্পর্শক ও OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
অর্থাৎ, ∠ORS = 90°
∴ ∠PRS = 90° – ∠ORP
বা, ∠PRS = 90° – ∠OQP [(1) নং থেকে পাই ]
যেহেতু, OQ ⟂ OP
∴ ∠QOP = 90°
∴ ∠OPQ = 90° – ∠OQP
আবার, ∠OPQ = বিপ্রতীপ ∠RPS
∴ ∠RPS = 90° – ∠OQP
সুতরাং △PRS থেকে পাই,
∠RPS = ∠PRS
∴ SP = SR (প্রমাণিত)

8. রুমেলা O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার QR একটি জ্যা। Q ও R বিন্দুতে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, ∠QPR = 2∠RQM

উত্তর –

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের QR জ্যা। Q ও R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠QPR = 2∠RQM
অঙ্কন – O, R এবং R, M যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু QP স্পর্শক এবং OQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠OQP = 90°
আবার, যেহেতু RP স্পর্শক এবং OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠ORP = 90°
∴ ∠OQP + ∠ORP = 90° + 90° = 180°
∴ OQPR চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ ∠OQP, ∠ORP পরস্পর সম্পূরক।
∴ OQPR একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ বহিঃস্থ কোণ ∠MOR = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠QPR ………(1)
আবার, ∠MOR = ∠OQR + ∠ORQ = ∠OQR + ∠OQR [যেহেতু, △ROQ –এর OQ = OR]
∴ ∠MOR = 2∠OQR
∴ ∠MOR = 2∠RQM ………(2)
(1) নং ও (2) থেকে পাই,
∠QPR = 2∠RQM (প্রমাণিত)

9. কোনো বৃত্তের AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠P + ∠Q = 2∠BOC

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, বৃত্তের জ্যা AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠P + ∠Q = 2∠BOC
প্রমাণ – যেহেতু PA ও PB স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ যথাক্রমে AO ও BO
অর্থাৎ, ∠OAP = 90°, ∠OBP = 90°
সুতরাং, ∠OAP + ∠OBP = 90° + 90° = 180°
∴ OAPB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
অর্থাৎ, বহিঃস্থ কোণ ∠BOC = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠APB ………(1)
আবার, যেহেতু, DQ এবং CQ স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ যথাক্রমে DO ও CO
অর্থাৎ, ∠ODQ = 90°, ∠OCQ = 90°
সুতরাং, ∠ODQ + ∠OCQ = 90° + 90° = 180°
∴ ODQC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
অর্থাৎ, বহিঃস্থ কোণ ∠BOC = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠CQD ………(2)
(1) নং এবং (2) নং থেকে পাই,
∠P + ∠Q = ∠BOC + ∠BOC
বা, ∠P + ∠Q = 2∠BOC (প্রমাণিত)

কষে দেখি – 15.2

1. 16 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি দূরত্বে অবস্থিত বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর –

মনেকরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P এবং OA ব্যাসার্ধ।
∴ OP = 17 সেমি, OA = \frac{16}{2}=8 সেমি
সমকোনী ত্রিভুজ AOP –এর
AP = \sqrt{O{{P}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{17}^{2}}-{{8}^{2}}}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15
∴ নির্নেয় বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 15 সেমি।

2. একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠PAQ = 60° হলে ∠APQ-এর মান নির্ণয় করি।

যেহেতু, বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে AP ও AQ।
∴ AP = AQ
APQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
∴ ∠APQ = ∠AQP
∴ ∠PAQ = 60°
∴ ∠APQ = \frac{180{}^\circ -60{}^\circ }{2}=\frac{120{}^\circ }{2}=60{}^\circ

3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, OA ∥ RQ

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে AP ও AQ স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। PR বৃত্তের ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে যে, OA || RQ
অঙ্কন – O, Q; P, Q যুক্ত করা হল। ধরি, PQ, OA –কে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ – যেহেতু, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে PA ও QA দুটি স্পর্শক।
∴ ∠AOP = ∠AOQ
অর্থাৎ, ∠TOP = ∠TOQ
△POT ও △QOT থেকে পাই,
OP = OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠TOP = ∠TOQ
OT সাধারণ বাহু।
∴ △POT ≅ △QOT
∴ PT = TQ এবং ∠PTO = ∠QTO
যেহেতু, PQ সরলরেখার উপর OT রেখাংশ দন্ডায়মান এবং ∠PTO = ∠QTO
∴ OT ⟂ PQ অর্থাৎ OA ⟂ PQ
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PR ব্যাসের উপর ∠PQR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠PQR = 90°
∴ PQ ⟂ RQ
এখন PQ সরলরেখার উপর T ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে OT ও RQ দুটি রেখাংশ লম্ব হওয়ায় OT ও RQ পরস্পর সমান্তরাল হবে।
∴ OT || RQ
অর্থাৎ, OA || RQ (প্রমাণিত)

4. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।

উত্তর –

মনেকরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি পরিলিখিত চতুর্ভুজ। বৃত্তটি AB, BC, CE ও AD বাহুগুলিকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB + ∠COD = 180°
অথবা, ∠AOD + ∠BOC = 180°
অঙ্কন – O, A; O, B; O, C; O, D; O, P; O, Q; O, R; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – যেহেতু, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P ও S বিন্দুতে যথাক্রমে AP ও AS দুটি স্পর্শক
∴ ∠AOP = ∠AOS
যেহেতু, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে BP ও BQ দুটি স্পর্শক
∴ ∠BOP = ∠BOQ
∴ ∠AOB = ∠AOP + ∠BOP = ∠AOS + ∠BOQ
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের S ও R বিন্দুতে যথাক্রমে DS ও DR দুটি স্পর্শক
∴ ∠DOS = ∠DOR
যেহেতু, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের R ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে CR ও CQ দুটি স্পর্শক
∴ ∠COR = ∠COQ∴ ∠COD = ∠COR + ∠DOR = ∠COQ + ∠DOS
∴ ∠AOB + ∠COD = ∠AOS + ∠BOQ + ∠COQ + ∠DOS
                           = (∠AOS + ∠DOS) + (∠BOQ + ∠COQ)
                           = ∠AOD + ∠BOC
∴ ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠AOD = 360°
∴ ∠AOB + ∠COD + ∠AOD + ∠BOC = 360°
বা, 2(∠AOB + ∠COD) = 360°
∴ ∠AOB + ∠COD = 180°
∴ ∠AOD + ∠BOC = 180° (প্রমাণিত)

5. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।

উত্তর –

মনেকরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি পরিলিখিত  সামান্তরিক এবং বৃত্তটি AB, BC, CD ও AD বাহুকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি রম্বস।
অঙ্কন – O, A; O, P; O, B; O, Q; O, R; O, D; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P ও S বিন্দুতে যথাক্রমে AP ও AS দুটি স্পর্শক
∴ AP = AS এবং ∠AOP = ∠AOS
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে BP ও BQ দুটি স্পর্শক
∴ BP = BQ এবং ∠POB = ∠BOQ
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃতের S ও R বিন্দুতে যথাক্রমে DS ও DR দুটি স্পর্শক
∴ DS = DR এবং ∠DOS = ∠DOR
△BOP ও △BOQ থেকে পাই,
∠OPB = ∠OQB [প্রত্যেকেই সমকোণ]
PB = BQ
∠POB = ∠BOQ
∴ △BOP ≅ △BOQ
∴ ∠PBO = ∠QBO
∠ABC = 2∠PBO
অনুরূপভাবে, △DOS ও △DOR থেকে পাই,
∠SDO = ∠RDO অর্থাৎ, ∠ADC = 2∠RDO
যেহেতু, ABCD সামান্তরিকের ∠ABC ও ∠ADC দুটি বিপরীত কোণ
∴ ∠ABC = ∠ADC
∴ 2∠PBO = 2∠RDO
∴ ∠PBO = ∠RDO
△PBO ও △RDO থেকে পাই,
∠BPO = ∠DRO [প্রত্যেকেই সমকোণ]
∠PBO = ∠RDO
OP = OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ △PBO ≅ △RDO
∴ PB = DR
∴ PB = SD
সুতরাং, AP + PB = AS + SD
∴ AB = AD
∴ AB = BC = CD = DA
∴ ABCD সামান্তরিকের প্রত্যেকটি বাহুর সমান,
সুতরাং, ABCD সামান্তরিক একটি রম্বস। (প্রমাণিত)

6. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y° হলে প্রমাণ করি যে, OD = OC = OE এবং x – y = 8

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের O একটি বিন্দু। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y°
প্রমান করতে হবে যে, OD = OC = OE এবং x – y = 8
প্রমাণ – A কেন্দ্রীয় বৃত্তের D ও C বিন্দুতে যথাক্রমে OD ও OC দুটি স্পর্শক।
∴ OD = OC এবং ∠ODC = ∠OCD
আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্তের C ও E বিন্দুতে যথাক্রমে OC ও OE দুটি স্পর্শক।
∴ OC = OE এবং ∠OCE = OEC
যেহেতু, OD = OC, OC = OE
∴ OD = OC = OE (প্রমাণিত)
যেহেতু, ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y°
∴ ∠OCD = \frac{180{}^\circ -56{}^\circ }{2}=\frac{124{}^\circ }{2}=62{}^\circ
যেহেতু, OC বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক এবং AB কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা।
∴ OC ⟂ AB
∴ ∠OCA = ∠OCB = 90°
∴ ∠ACD = 90° – 62° = 28°
∴ x° = 28° ⇒ x = 28
আবার, ∠OCE = \frac{180{}^\circ -40{}^\circ }{2}=\frac{140{}^\circ }{2}=70{}^\circ
∴ ∠BCE = 90° – 70° = 20°
∴ y° = 20° ⇒ y = 20
∴ x – y = 28 – 20
বা, x – y = 8 (প্রমাণিত)

7. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AO + BO ধ্রুবক হবে।

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, A ও B কেন্দ্রীয় যথাক্রমে বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর বৃত্তদ্বয় পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত বৃহত্তর বৃত্তকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ ও Y বিন্দুতে ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AO + BO = ধ্রুবক।
অঙ্কন – O, X; O, A; O, Y; Y, B যুক্ত করা হল।
প্রমাণ –  যেহেতু, A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে।
∴ স্পর্শবিন্দুটি A ও B কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশের উপর অবস্থিত।
আবার, O ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
∴ Y বিন্দুটি OB রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
আবার যেহেতু, A ও O কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ X বিন্দুটি OX রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
∴ OA = AX – OX এবং OB = OY + BY
∴ OA + OB = AX – OX + OY + BY = AX + BY [ যেহেতু, OX = OY = O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
     = A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ + B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ধ্রুবক
∴ OA + OB = ধ্রুবক। (প্রমাণিত)

8. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু  দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AP ∥ BQ.

উত্তর –

দেওয়া আছে যে, A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পর O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। POQ সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AP || BQ
অঙ্কন – A, P; B, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ – △AOP –এর OA = OP [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠AOP = ∠APO
আবার, △BOQ –এর OB = BQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠BOQ = ∠BQO
যেহেতু A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AB তাদের কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ।
∴ O বিন্দুটি AB সংযোজক রেখাংশের উপর অবস্থিত।
আবার PQ ও AB রেখাংশদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ ∠AOP = বিপ্রতীপ ∠BOQ
∴ ∠APO = ∠BQO
সুতরাং AP ও BQ রেখাংশ দুটিকে অপর একটি রেখাংশ PQ যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং ∠APO = একান্তর ∠BQO
∴ AP || BQ (প্রমাণিত)

9. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করি যে, ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

উত্তর –

মনেকরি, A, B, C কেন্দ্রীয় বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে P, Q, R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ – যেহেতু A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে এবং AB হল কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশ।
∴ P বিন্দুটি AB রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অনুরূপভাবে, Q বিন্দুটি BC রেখাংশের উপর অবস্থিত এবং R বিন্দুটি AC রেখাংশের উপর অবস্থিত।
যেহেতু বৃত্ত তিনটি সমান ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট
∴ AP = PB = BQ = QC = CR = RA
∴ AP + PB = BQ + QC = CR + RA
∴ AB = BC = CA
∴ △ABC –এর AB, BC, CA বাহু তিনটি পরস্পর সমান।
∴ △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

10. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC-এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC-কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, △ADE-এর পরিসীমা = 2AB.

উত্তর –

মনেকরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। উপচাপ BC, X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC –কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, △ADE –এর পরিসীমা = 2AB
প্রমাণ – O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ AB = AC
আবার যেহেতু, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের B ও X বিন্দুতে যথাক্রমে BD ও DX দুটি স্পর্শক।
∴ BD = DXআবার যেহেতু, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের X ও C বিন্দুতে যথাক্রমে XE ও CE দুটি স্পর্শক।
∴ XE = CE
∴ AB + AC = AD + BD + AD + CE
বা, 2AB = AD + DX + AE + XE = AD + AE + (DX + XE) = AD + AE + DE
∴ 2AB = △ADE
সুতরাং, △ADE-এর পরিসীমা = 2AB. (প্রমাণিত)

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি হলে, AB-এর দৈর্ঘ্য

(a) 12 সেমি       (b) 13 সেমি       (c) 6.5 সেমি      (d) 6 সেমি

উত্তর –

OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি
∴ AB = \sqrt{A{{O}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{13}^{2}}-{{5}^{2}}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12 সেমি
∴ নির্নেয় উত্তর হল – (a) 12 সেমি

(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠ACB-এর মান পরিমাপ

(a) 60°                (b) 45°                (c) 30°                (d) 90°

উত্তর –

∠ACB-এর মান 90°
∴ নির্নেয় উত্তর হল – (d) 90°

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দুরত্বে P একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য PQ এবং PR; PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

(a) 60 বর্গ সেমি            (b) 30 বর্গ সেমি              (c) 120 বর্গ সেমি            (d) 150 বর্গ সেমি 

উত্তর –

OQ = OR = 5 সেমি, OP = 13 সেমি
∴PQ = PR = \sqrt{{{13}^{2}}-{{5}^{2}}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12সেমি
△POQ –এর ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2}\times 12\times 5=30 বর্গ সেমি
∴ PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 2 × 30 = 60 বর্গ সেমি
∴ নির্নেয় উত্তর হল – (a) 60 বর্গ সেমি 

(iv) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব   

(a) 2 সেমি          (b) 2.5 সেমি      (c) 1.5 সেমি      (d) 8 সেমি

উত্তর –

5 + 3 = 8 সেমি
∴ নির্নেয় উত্তর হল – (d) 8 সেমি

(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.5 সেমি ও 2 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব   

(a) 5.5 সেমি      (b) 1 সেমি         (c) 1.5 সেমি      (d) কোনোটিই নয়

উত্তর –

AX = 3.5 সেমি, BX = 2 সেমি
∴ AB = AX – BX = 3.5 – 2 = 1.5 সেমি
∴ নির্নেয় উত্তর হল – (c) 1.5 সেমি

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু P; বৃত্তে অঙ্কিত কোনো স্পর্শক P বিন্দুগামী নয়।

উত্তর – সত্য।

(ii) একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুইয়ের অধিক স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

উত্তর – মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একটি সরলরেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটি বৃত্তের __________ বলে।

উত্তর – ছেদক।

(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্তদুটির সর্বাধিক সংখ্যায় __________ টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

উত্তর – 4 টি।

(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। A বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক হলো __________ সাধারণ স্পর্শক (সরল / তির্যক)।

উত্তর – তির্যক।

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O এবং BOA বৃত্তের ব্যাস। বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত BA-কে T বিন্দুতে ছেদ করে। ∠PBO = 30° হলে, ∠PTA-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

△BOP –এর OB = OP [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠OBP = ∠OPB
যেহেতু, ∠PBO = 30°
∴ ∠OPB = 30°
∴ △APT –এর বহিঃস্থ ∠POA = ∠OBP + ∠OPB = 30° + 30° = 60°
যেহেতু, PT স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠OPA = 90°
∴ ∠PTA = 180° – (90° + 60°) = 180° – 150° = 30°

(ii) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P, Q, R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP = 4 সেমি, BP = 6 সেমি, AC = 12 সেমি এবং BC = x সেমি হয়। তাহলে x-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর –

এখানে, AP = 4সেমি, BP = 6 সেমি, AC = 12 সেমি।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P ও R বিন্দুতে AP ও AR দুটি স্পর্শক।
∴ AP = AR∴ AR = 4 সেমি
যেহেতু, AC = 12 সেমি
∴ CR = 12 – 4 = 8 সেমি
যেহেতু বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে BP ও BQ দুটি স্পর্শক।
∴ BP = BQ
∴ BQ = 6 সেমি
আবার, যেহেতু Q ও R বিন্দুতে CQ ও CR দুটি স্পর্শক।
∴ CQ = CR
∴ CQ = 8 সেমি
∴ BC = BQ + CQ = (6 + 8) = 14 সেমি।
∴ নির্নেয় x –এর মান 14।

(iii) পাশের চিত্রে A, B, C কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। যদি AB = 5 সেমি, BC = 7 সেমি এবং CA = 6 সেমি হয়, তাহলে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

এখানে, AB = 5 সেমি, BC = 7 সেমি, CA = 6 সেমি
AB = AP + PB = 5 ………(1)
BC = BR + RC = 7 ………(2)
CA = CQ + QA = 6 ………(3)
(1) – (2) করে পাই,
AP – RC = –2 [ যেহেতু, BR = PB ] ………(4)
(3) নং ও (4) নং থেকে পাই,
RC + QA = 6 [ RC = CQ]
QA – RC = –2 [ QA = AP]
∴ 2QA = 4 ⇒ QA = 2
∴ A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 সেমি।

(iv) পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের অপর একটি বিন্দু R-তে অঙ্কিত স্পর্শক CP ও CQ-কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি হয়, তাহলে BR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

এখানে CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি
যেহেতু, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে CP ও CQ দুটি স্পর্শক।
∴ CP = CQ ⇒ CQ = 11 সেমি
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের R ও Q বিন্দুতে BR ও BQ দুটি স্পর্শক
∴ BQ = BR
এখন, CQ = 11
বা, BC + BQ = 11
বা, 7 + BR = 11
বা, BR = 11 – 7 = 4
∴ নির্নেয় BR –এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।

(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি ও 3 সেমি এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারনণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উত্তর –

এখানে, AB = 13 সেমি, AC = 8 সেমি, BD = 3 সেমি
যেহেতু, CD সাধারণ স্পর্শক
∴ ∠ACD = 90°, ∠BDC = 90°
∴ AC || BD
ABDE  
একটি সামান্তরিক টানলাম যার AB = DE = 13 সেমি, BD = AE = 3 সেমি
∴ সমকোনী ত্রিভুজ △DEC –এর DE = 13 সেমি, CE = AC – AE = 8 – 3 = 5 সেমি
CD = \sqrt{D{{E}^{2}}-C{{E}^{2}}}=\sqrt{{{13}^{2}}-{{5}^{2}}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12
∴ নির্নেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি।

;