অষ্টম শ্রেণি – দশম অধ্যায় : ত্রৈরাশিক সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি – 10.1

1.  আজ আমার বাবা 390 টাকায় 15 কিগ্রা চাল কিনে এনেছেন। যদি 17 কিগ্রা একই রকম চাল কিনতেন তবে বাবা কত টাকা খরচ করতেন ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

চাল (কিগ্রা)	দাম (টাকা)
15	390
17	?

চালের পরিমান বাড়লে চালের দাম বাড়বে।
সুতরাং, চালের পরিমান ও তার দাম সরল সমানুপাতী।
∴ 15 : 17 :: 390 : ?
বা, 17 কিগ্রা চাল কিনতে খরচ =390\times\frac{17}{15} টাকা
=26\times17 টাকা
=442 টাকা (উত্তর)

2. ভেঙ্কট মামা 20 মিটার ছিট কাপড়ে একই মাপের 4 টি জামা তৈরি করবেন। একই রকম 12 টি জামা তৈরি করতে হলে ভেঙ্কট মামাকে কত মিটার ছিট কাপড় কিনে দিতে হবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

জামার সংখ্যা (টি)	ছিট কাপড় (মিটার)
4	20
12	?

জামার সংখ্যা বাড়লে ছিট কাপড়ের পরিমাণও বাড়বে।
সুতরাং জামার সংখ্যা ও ছিট কাপড়ের পরিমাণ সরল সমানুপাতী।
∴ 4 : 12 ::20 : ?
বা, 12 টি জামা তৈরি করতে ছিট কাপড় লাগবে =20\times\frac{12}4 মিটার
=20\times3=60 মিটার।

3. বকুলতলা গ্রামে একটি পুকুর কাটতে 30 জন লোকের 15 দিন লেগেছে। যদি 25 জন লোক ওই পুকুর কাটত তবে কত দিনে কাজ শেষ করতে পারত ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

লোকের সংখ্যাোক (জন)	সময় (দিন)
30	15
25	?

একই কাজ করতে লোকসংখ্যা বাড়লে সময়, অর্থাৎ দিনের সংখ্যা কমবে।
সুতরাং, লোকসংখ্যা ও সময় ব্যস্ত সমানুপাতী।
∴ 30 : 25 :: ? : 15
বা, 25 জনের পুকুর কাটতে সময় লাগবে =15\times\frac{30}{25} দিন
=3\times6=18 দিন।

4. কাকিমা ঘণ্টায় 40 কিমি বেগে গাড়ি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় মামার বাড়ি পৌঁছে গেলেন। তিনি যদি ঘণ্টায় 50 কিমি বেগে গাড়ি চালাতেন তবে মামার বাড়ি পৌঁছাতে কত সময় লাগত ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

গতিবেগ (কিমি/ঘন্টা)	সময় (ঘন্টা)
40	5
50	?

দূরত্ব অপরিবর্তিত থাকলে গতিবেগ বাড়লে সময় কম লাগে।
সুতরাং, গতিবেগ ও সময় ব্যস্ত সমানুপাতী।
∴ 40 : 50 :: ? : 5
বা, মামার বাড়ি পৌঁছাতে সময় লাগবে =5\times\frac{40}{50} ঘন্টা = 4 ঘন্টা

5. মঙ্গলপুর গ্রামের একটি আশ্রয় শিবিরে 4000 জন লোকের 9 দিনের খাবার মজুত ছিল। 3 দিন পরে 1000 জন লোক অন্য জায়গায় চলে গেলেন। যারা রয়ে গেলেন অবশিষ্ট খাবারে তাদের কতদিন চলবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

লোকসংখ্যা (জন)	সময় (দিন)
4000	9 – 3 = 6
4000 – 1000 = 3000	?

একই পরিমান খাদ্যে বেশি সংখ্যক লোকের কম দিন চলবে।
সুতরাং, লোকসংখ্যা ও সময় ব্যস্ত সমানুপাতী।
∴ 4000 : 3000 :: ? : 6
বা, অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের চলবে =6\times\frac{4000}{3000} দিন
=2\times4=8 দিন

6. নসিবপুর গ্রামের একটি খামারের 42 জন সদস্য 24 দিনে খামারের সমস্ত জমি চাষ করতে পারেন। কিন্তু চাষের মরসুমে 6 জন সদস্য হঠাৎ অসুস্থ হয়ে পরেন। খামারের সমস্ত জমি চাষ করতে অবশিষ্ট জনের কতদিন সময় লাগবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

সদস্যসংখ্যা (জন)	সময় (দিন)
42	24
42 – 6 = 36	?

একই কাজ বেশি সংখ্যক লোক কম দিনে সম্পন্ন করবে।
সুতরাং, একই কাজের ক্ষেত্রে সদস্যসংখ্যা ও সময় ব্যস্ত সমানুপাতী।
∴ 42 : 36 :: ? : 24
বা, সমস্ত জমি চাষ করতে সময় লাগবে =24\times\frac{42}{36} দিন
=4\times7=28 দিন

7. একটি কারখানায় 1000 টি যন্ত্রাংশ তৈরি করতে 16 টি মেসিনের 27 দিন সময় লাগে। যদি ওই কারখানায় আরও 2 টি মেসিন বসানো হয় তাহলে একই সংখ্যক যন্ত্রাংশ তৈরি করতে কত দিন সময় লাগবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

মেশিনের সংখ্যা (টি)	সময় (দিন)
16	27
16 + 2 = 18	?

একই কাজে মেশিনের সংখ্যা বাড়লে দিন সংখ্যা কমবে।
সুতরাং, মেশিনের সংখ্যা ও দিন সংখ্যা ব্যস্ত সমানুপাতী।
∴ 16 : 18 :: ? : 27
বা, একই সংখ্যক যন্ত্রাংশ তৈরি করতে সময় লাগবে =27\times\frac{16}{18}দিন
=3\times8=24 দিন

8. নীচের পারস্পরিক সম্পর্কগুলি দেখি, গনিতের গল্প তৈরি করি ও ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে উত্তর খুঁজি।

(a)

পেনের সংখ্যা (টি)	মোট পেনের দাম (টাকা)
25	112.5
12	?

উত্তরঃ-

গনিতের গল্প –25 টি পেনের দাম 112.5 টাকা হলে 12 টি পেনের দাম কত?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
পেনের সংখ্যা বাড়লে মোট পেনের দাম ও বাড়বে।
সুতরাং, পেনের সংখ্যা ও মোট পেনের দামের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
12 টি পেনের দাম = 112.5\times\frac{12}{25} টাকা = 54 টাকা

(b)

গতিবেগ (কিমি/ঘন্টা)	দূরত্ব (কিমি.)
9	112.5
12	?

উত্তরঃ-

গনিতের গল্প – একটি সাইকেল ঘণ্টায় 9 কিমি. গতিবেগে চলে 112.5 কিমি. পথ যেতে পারে। যদি সাইকেলটি ঘণ্টায় 12 কিমি. বেগে চলে তাহলে কত পথ অতিক্রম করতে পারবে?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
সাইকেলের গতিবেগ বাড়লে বেশি দূরত্ব অতিক্রম করা যাবে।
সুতরাং, গতিবেগ ও দূরত্বের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
নির্ণেয় অতিক্রান্ত দূরত্ব = 112.5\times\frac{12}{9} কিমি. = 150 কিমি.

(c)

পাম্প সংখ্যা (টি)	সেচের জমির পরিমান (বিঘা)
6	31.2
13	?

উত্তরঃ-

গনিতের গল্প – 31.2 বিঘা জমিতে জলসেচ করতে টি পাম্পের প্রয়োজন হয়। টি পাম্পের দ্বারা মোট কত বিঘা জমিতে জলসেচ করা যাবে?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
পাম্পের সংখ্যা বাড়লে বেশি পরিমান জমিতে জলসেচ করা যাবে।
সুতরাং, পাম্পের সংখ্যা ও সেচের জমির পরিমানের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
সেচের জমির পরিমাণ = 31.2\times\frac{13}{6} বিঘা = 67.6 বিঘা

(d)

প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্য (গ্রাম)	ছাত্রসংখ্যা (জন)
306	425
?	458

উত্তরঃ-

গনিতের গল্প – 425 জন ছাত্রের ক্ষেত্রে প্রতি ছাত্রের জন্য দৈনিক বরাদ্দ 306 গ্রাম দানাশস্য। 458 জন ছাত্রের মোট কত পরিমাণ দানাশস্য লাগবে?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
ছাত্র সংখ্যা বাড়লে প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্যের পরিমান কমবে।
সুতরাং, ছাত্র সংখ্যা ও প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্যের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
নির্ণেয় দানাশস্যের পরিমাণ = 306\times\frac{425}{458} গ্রাম = 283.95 গ্রাম (প্রায়)

কষে দেখি – 10.2

1. গ্রামের রাস্তা বাঁধানোর কাজ শুরু হবে। ঠিক হয়েছে 14 জন লোক দৈনিক 4 ঘণ্টা কাজ করে 15 দিনে সম্পূর্ণ কাজটি করতে পারবেন। কিন্তু 24 জন লোক দৈনিক 7 ঘণ্টা করে কাজ শুরু করলে কত দিনে কাজটি করবেন ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

লোক (জন)	সময় (ঘণ্টা)	দিন
14	4	15
24	7	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
লোকসংখ্যা স্থির রেখে সময় বাড়ালে কাজের দিন কম লাগবে। সুতরাং, লোকসংখ্যা স্থির থাকলে সময়ের সাথে দিনসংখ্যার ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে লোকসংখ্যা বাড়ালে কাজের দিন কম লাগবে। সুতরাং, সময় স্থির থাকলে লোকসংখ্যার সাথে দিনসংখ্যার ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ কাজটি শেষ করতে লাগবে = 15\times\frac{4}{7}\times\frac{14}{24} দিন
= 5 দিন।

2. সুভাষ কাকার হাতে লেখা একটি 105 পৃষ্ঠার বইয়ের প্রতি পৃষ্ঠায় গড়ে 25টি করে লাইন আছে এবং প্রতি লাইনে গড়ে 8টি করে শব্দ আছে। এই বইটি যদি এমনভাবে ছাপাই যাতে প্রতি পৃষ্ঠায় 30টি লাইন থাকবে এবং প্রতি লাইনে গড়ে 10টি করে শব্দ থাকবে, তবে সেই ছাপা বইটি কত পৃষ্ঠার বই হবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

বইয়ের লাইন সংখ্যা (টি)	শব্দ সংখ্যা (টি)	পৃষ্ঠা সংখ্যা (টি)
25	8	105
30	10	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
বইয়ের লাইন সংখ্যা স্থির রেখে শব্দ সংখ্যা বাড়ালে পৃষ্ঠা সংখ্যা কমবে। সুতরাং, শব্দ সংখ্যা ও পৃষ্ঠা সংখ্যার মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
শব্দ সংখ্যা স্থির রেখে বইয়ের লাইন সংখ্যা বাড়ালে পৃষ্ঠা সংখ্যা কমবে। সুতরাং, বইয়ের লাইন সংখ্যা ও পৃষ্ঠা সংখ্যার মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ নির্ণেয় পৃষ্ঠা সংখ্যা = 105\times\frac{8}{10}\times\frac{25}{30} টি = 70 টি।

3. একটি কৃষি খামারের 540 বিঘা জমি 14 দিনে চাষ করতে হবে। প্রথম 4 দিনে সমক্ষমতা সম্পন্ন 5টি ট্রাক্টর 120 বিঘা জমি চাষ করল। সময়মতো চাষের কাজ শেষ করতে হলে আর কটি ট্রাক্টর লাগবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

জমি (বিঘা)	সময় (দিন)	ট্রাক্টর (টি)
120	4	5
540 – 120 = 420	14 – 4 = 10	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
জমির পরিমাণ স্থির রেখে সময় বাড়ালে ট্রাক্টর কম লাগবে। সুতরাং, সময় ও ট্রাক্টর সংখ্যার মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে জমির পরিমাণ বাড়ালে ট্রাক্টর বেশি লাগবে। সুতরাং, জমির পরিমাণ ও ট্রাক্টর সংখ্যার মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ মোট ট্রাক্টর লাগবে = 5\times\frac{4}{10}\times\frac{420}{120} টি = 7 টি ।

4. 30 জন লোক 15 দিনে একটি গ্রামের রাস্তার \frac37 অংশ সারান। যদি আরও 10 জন লোক কাজটি করতে আসেন তাহলে রাস্তাটির বাকি অংশ সারাতে কত দিন লাগবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

লোক (জন)	কাজ (অংশ)	সময় (দিন)
30	\frac37	15
30 + 10 = 40	1-\frac37=\frac47	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
লোকসংখ্যা স্থির রেখে কাজ বাড়ালে সময় বেশি লাগবে। সুতরাং, লোকসংখ্যা ও সময়ের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
কাজ স্থির রেখে লোকসংখ্যা বাড়ালে সময় কম লাগবে। সুতরাং, লোকসংখ্যা ও সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ বাকি রাস্তা সারাতে সময় লাগবে = 15\times\frac{\frac47}{\frac37}\times\frac{30}{40}=15\times\frac47\times\frac73\times\frac{30}{40} দিন = 15 দিন ।

5. 5 অশ্বক্ষমতা সম্পন্ন একটি পাম্প 36000 লিটার জল 8 ঘণ্টায় উপরে তুলতে পারে। 7 অশ্বক্ষমতা সম্পন্ন পাম্পের 63000 লিটার জল তুলতে কত সময় লাগবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

পাম্পের ক্ষমতা (অশ্বক্ষমতা)	জল (লিটার)	সময় (ঘন্টা)
5	36000	8
7	63000	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
পাম্পের ক্ষমতা স্থির রেখে জলের পরিমাণ বাড়ালে সময় বেশি লাগবে। সুতরাং, জলের পরিমাণ ও সময়ের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
জলের পরিমাণ স্থির রেখে পাম্পের ক্ষমতা বাড়ালে সময় কম লাগবে। সুতরাং, পাম্পের ক্ষমতা ও সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ জল তুলতে সময় লাগবে = 8\times\frac{63000}{36000}\times\frac57 ঘন্টা = 10 ঘন্টা।

6. একটি কারখানায় 5 অশ্বক্ষমতা ও 3 অশ্বক্ষমতার দুটি মোটর আছে। 5 অশ্বক্ষমতার মোটরটি 8 ঘণ্টা চালালে 20 একক বিদ্যুৎ খরচ হয়। 3 অশ্বক্ষমতার মোটরটি 10 ঘণ্টা চালালে কত একক বিদ্যুৎ খরচ হবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

মোটরের শক্তি (অশ্বক্ষমতা)	সময় (ঘন্টা)	বিদ্যুৎ খরচ (একক)
5	8	20
3	10	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
মোটরের শক্তি স্থির রেখে সময় বাড়ালে বিদ্যুৎ খরচ বেশি লাগবে। সুতরাং, সময় ও বিদ্যুৎ খরচের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে মোটরের শক্তি বাড়ালে বিদ্যুৎ খরচ বেশি লাগবে। সুতরাং, মোটরের শক্তি ও বিদ্যুৎ খরচের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ বিদ্যুৎ খরচ লাগবে = 20\times\frac{10}{8}\times\frac35 একক = 15 একক।

7. গোপালনগরের একটি তাঁত কারখানায় 14 জন তাঁতি 12 দিনে 210 টি শাড়ি বুনতে পারেন। পুজার সময়ে 10 দিনের মধ্যে 300 টি শাড়ি যোগান দেওয়ার অর্ডার এলো। সময় মতো সেই শাড়ি যোগান দিতে হলে আরও কত জন তাঁতি নিয়োগ করতে হবে ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

শাড়ি (টি)	সময় (দিন)	তাঁতি (জন)
210	12	14
300	10	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
শাড়ি সংখ্যা স্থির রেখে সময় বাড়ালে তাঁতি কম লাগবে। সুতরাং, সময় ও তাঁতির মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে শাড়ি সংখ্যা বাড়ালে তাঁতি বেশি লাগবে। সুতরাং, শাড়ি সংখ্যা ও তাঁতির মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ মোট তাঁতি প্রয়োজন = 14\times\frac{12}{10}\times\frac{300}{210} জন = 24 জন।
সুতরাং, সময় মতো শাড়ির যোগান দিতে হলে আরও (24 – 14) জন = 10 জন তাঁতি নিয়োগ করতে হবে।

8. একটি সংস্থা জাহাজ থেকে 10 দিনে জাহাজের মাল নামানোর বরাত পেয়েছে। সংস্থাটি তার জন্য 280 জন লোক নিয়োগ করেছে। 3 দিন পরে দেখা গেল কাজটির ¼ অংশ সম্পূর্ণ হয়েছে। আর কত জন লোক নিয়োগ করলে কাজটি সময় মতো শেষ হবে তা ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

সময় (দিন)	কাজ (অংশ)	লোকসংখ্যা (জন)
3	\frac14	280
10-3=7	1-\frac{1}{4}=\frac34	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
সময় স্থির রেখে কাজের পরিমাণ বাড়ালে লোকসংখ্যা বেশি লাগবে। সুতরাং, কাজের পরিমাণ ও লোকসংখ্যার মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
কাজের পরিমাণ স্থির রেখে সময় বাড়ালে লোকসংখ্যা কম লাগবে। সুতরাং, সময় ও লোকসংখ্যার মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ মোট লোক প্রয়োজন = 280\times\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}\times\frac37=280\times \frac34\times\frac41\times\frac37 জন = 360 জন।
∴ সময়মতো কাজ শেষ করতে হলে আরও ( 360 – 280) জন = 80 জন লোক নিয়োগ করতে হবে।

9. একটি যন্ত্রচালিত তাঁতের ক্ষমতা একটি হস্তচালিত তাঁতের খমতার 2¼ গুন। টি হস্তচালিত তাঁত 1080 মিটার দৈর্ঘ্যের কাপড় 18 দিনে তৈরি করে। 2700 মিটার দৈর্ঘ্যের কাপড় 15 দিনে তৈরি করতে কত গুলি যন্ত্র চালিত তাঁত লাগবে তা ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

কাপড় (মিটার)	সময় (দিন)	হস্তচালিত তাঁত (টি)
1080	18	12
2700	15	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
কাপড়ের পরিমাণ স্থির রেখে সময় বাড়ালে হস্তচালিত তাঁত কম লাগবে। সুতরাং, সময় ও হস্তচালিত তাঁতের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে কাপড়ের পরিমাণ বাড়ালে হস্তচালিত তাঁত বেশি লাগবে। সুতরাং, শাড়ি সংখ্যা ও হস্তচালিত তাঁতের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ মোট হস্তচালিত তাঁত প্রয়োজন = 12\times\frac{18}{15}\times\frac{2700}{1080} টি = 36 টি।

আবার দ্বিতীয় ক্ষেত্রে গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

হস্তচালিত তাঁত (টি)	যন্ত্র চালিত তাঁত (টি)
2\frac14=\frac94	1
36	?

হস্তচালিত তাঁতের সংখ্যা যত বাড়বে যন্ত্র চালিত তাঁতের সংখ্যা তত বাড়বে।
সুতরাং হস্তচালিত তাঁত ও যন্ত্র চালিত তাঁতের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ মোট যন্ত্র চালিত তাঁত প্রয়োজন = 1\times\frac{36}{\frac{9}{4}}=36\times\frac49 টি = 16 টি

10. 25 জন কৃষক একটি সমবায় সমিতির 2400 বিঘা জমি 36 দিনে চাষ করেন। সমিতি একটি ট্রাক্টর কেনায় দেখা যায় অর্ধেক জমি 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টরের ক্ষমতা কত জন কৃষকের চাষ করার খমতার সমান তা ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

চাষের জমি (বিঘা)	সময় (দিন)	কৃষক (জন)
2400	36	25
\frac{2400}{2}=1200	30	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
চাষের জমির পরিমাণ স্থির রেখে সময় বাড়ালে কৃষক কম লাগবে। সুতরাং, সময় ও কৃষকের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে চাষের জমির পরিমাণ বাড়ালে কৃষক বেশি লাগবে। সুতরাং, চাষের জমির পরিমাণ ও কৃষকের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ মোট হস্তচালিত তাঁত প্রয়োজন = 25\times\frac{36}{30}\times\frac{1200}{2400} জন = 15 জন।
সুতরাং, একটি ট্রাক্টরের ক্ষমতা 15 জন কৃষকের চাষ করার ক্ষমতার সমান।

11. একটি জাহাজের কলকাতা থেকে কোচিন যেতে 25দিন সময় লাগে। জাহাজ্টি 36 জন নাবিকসহ এবং প্রত্যেক নাবিকের জন্য প্রতিদিন 850 গ্রাম খাবারের ব্যবস্থা করে যাত্রা শুরু করল। কিন্তু 13 দিন পরে ওই জাহাজটি অপর একটি ডুবন্ত জাহাজ থেকে 15 জন নাবিককে উদ্ধার করল এবং জাহাজটির গতিবেগ বাড়িয়ে দিয়ে 10 দিনে কোচিন পৌঁছাল। এখন প্রত্যেক নাবিক প্রতিদিন কতটা পরিমান খাবার খেলে ওই মজুত খাবারে তারা কোচিন নিরাপদে পৌঁছাতে পারবে এবং সমস্ত খাবার ওই সময়ে শেষ হয়ে যাবে। ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

13 দিন পর খাবার অবশিষ্ট ছিল = (25 – 13 ) দিনের = 12 দিনের
13 দিন পর মোট নাবিক সংখ্যা = ( 36 + 15) জন = 51 জন

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

নাবিক (জন)	সময় (দিন)	খাদ্য (গ্রাম)
36	12	850
51	10	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
নাবিক সংখ্যা স্থির রেখে সময় বাড়ালে খাদ্যের পরিমাণ কমবে। সুতরাং, সময় ও খাদ্যের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে নাবিক সংখ্যা বাড়ালে খাদ্যের পরিমাণ কমবে। সুতরাং, নাবিক সংখ্যা ও খাদ্যের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ প্রতিদিন প্রত্যেক নাবিকের খাদ্য প্রয়োজন = 850\times \frac{36}{51}\times \frac{12}{10} গ্রাম = 720 গ্রাম ।

12. একটি গ্রামে 36 জন লোক প্রতিদিন 6 ঘণ্টা কাজ করে 8 দিনে 120 মিটার রাস্তা তৈরি করতে পারেন। আরও 6 জন লোক কাজটির সাথে যুক্ত হলো এবং দৈনিক কাজের পরিমান আরও 2 ঘণ্টা করে বাড়ানো হলো। এখন 9 দিনে কত দৈর্ঘ্যের রাস্তা তৈরি করা যাবে তা ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

লোক (জন)	সময় (ঘণ্টা)	রাস্তা (মিটার)
36	6 × 8 = 48	120
36 + 6 =42	(6 + 2) × 9 = 72	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
লোক সংখ্যা স্থির রেখে সময় বাড়ালে রাস্তার পরিমাণ বাড়বে। সুতরাং, সময় ও রাস্তার মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে লোক সংখ্যা বাড়ালে রাস্তার পরিমাণ বাড়বে। সুতরাং, লোক সংখ্যা ও রাস্তার মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ রাস্তা তৈরি করা যাবে = 120\times\frac{72}{48}\times\frac{42}{36} মিটার= 210 মিটার ।

13. 250 জন লোক 50 মিটার দীর্ঘ, 35 মিটার প্রশস্ত এবং 5.2 মিটার গভীর একটি পুকুর প্রতিদিন 10 ঘণ্টা কাজ করে 18 দিনে কাটতে পারেন। 65 মিটার দীর্ঘ, 40 মিটার প্রশস্ত এবং 5.6 মিটার গভীর অপর একটি পুকুর 300 জন লোক প্রতিদিন 8 ঘণ্টা কাজ করে কত দিনে কাটতে পারবেন তা ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করি।

উত্তরঃ-

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

লোক (জন)	পুকুরের আয়তন (ঘন মিটার)	সময় (ঘণ্টা)
250	50 × 35 × 5.2	18 × 10 = 180
300	60 × 40 × 5.6	?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
লোক সংখ্যা স্থির রেখে পুকুরের আয়তন বাড়ালে সময়ের পরিমাণ বাড়বে। সুতরাং, পুকুরের আয়তন ও সময়ের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
পুকুরের আয়তন স্থির রেখে লোক সংখ্যা বাড়ালে সময়ের পরিমাণ কমবে। সুতরাং, লোক সংখ্যা ও সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ দ্বিতীয় পুকুরটি কাটতে সময় লাগবে = 180\times\frac{60\times40\times 5.6}{50\times35\times 5.2}\times\frac{250}{300} ঘণ্টা= 240 ঘণ্টা ।
∴ প্রতিদিন 8 ঘণ্টা কাজ করে = \frac{240}{8} দিনে = 30 দিনে পুকুরটি কাটতে পারবেন

14. নীচের পারস্প্রিক সম্পর্কগুলি দেখে গণিতের গল্প তৈরি করি ও ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে উত্তর খুঁজি।

(a)

ক্ষমতা (অশ্বশক্তি)	সময় (ঘণ্টা)	বিদ্যুৎ খরচ (ইউনিট)
5	8	20
3	10	?

উত্তরঃ-

গনিতের গল্প – 5 অশ্বশক্তি ক্ষমতা সম্পন্ন মোটর দৈনিক 8 ঘণ্টা চললে 20 ইউনিট বিদ্যুৎ খরচ হয়। তাহলে 3 অশ্বশক্তি ক্ষমতা সম্পন্ন একটি মোটর দৈনিক 10 ঘণ্টা চললে কত ইউনিট বিদ্যুৎ খরচ হবে?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
ক্ষমতা স্থির রেখে সময় বাড়ালে বিদ্যুৎ খরচ বাড়বে। সুতরাং, সময় ও বিদ্যুৎ খরচের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে ক্ষমতা বাড়ালে বিদ্যুৎ খরচ বাড়বে। সুতরাং, ক্ষমতা ও বিদ্যুৎ খরচের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ বিদ্যুৎ খরচ হবে = 20\times\frac{10}{8}\times\frac{3}{5} ইউনিট = 15 ইউনিট।

(b)

ক্ষেতমজুরের সংখ্যা (জন)	সময় (দিন)	জমির পরিমান (বিঘা)
5	15	18
10	10	?

উত্তরঃ-

গনিতের গল্প – 5 জন খেতমজুর 15 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারে। তাহলে 10 জন খেতমজুর 10 দিনে কত বিঘা জমি চাষ করতে পারবে?

ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান –
ক্ষেতমজুরের সংখ্যা স্থির রেখে সময় বাড়ালে জমি চাষের পরিমাণ বাড়বে। সুতরাং, সময় ও জমি চাষের পরিমাণের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
সময় স্থির রেখে ক্ষেতমজুরের সংখ্যা বাড়ালে জমি চাষের পরিমাণ বাড়বে। সুতরাং, ক্ষেতমজুরের সংখ্যা ও জমি চাষের পরিমাণের মধ্যে সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
∴ জমি চাষ করতে পারবে = 18\times\frac{10}{15}\times\frac{5}{10} বিঘা = 24 বিঘা ।

;