অষ্টম শ্রেণি – অধ্যায় ১৯ : সমীকরণ গঠন ও সমাধান সম্পূর্ণ সমাধান

কষে দেখি- 19

প্রতিক্ষেত্রে সমীকরণ গঠন করি ও নিজে করি –

1. সীমা একটি সংখ্যা লিখেছে যার দ্বিগুনের সঙ্গে 2 যোগ করলে যা হয় তা সংখ্যাটির তিনগুণের চেয়ে 5 ছোটো। সীমার লেখা সংখ্যাটি লিখি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, সীমা x সংখ্যাটি লিখেছে
সংখ্যাটির দ্বিগুন = 2x এবং তিনগুন = 3x
প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,
3x – (2x + 2) = 5
বা, 3x – 2x – 2 = 5
বা, x = 5 + 2
∴ x = 7
সুতরাং, সীমা 7 লিখেছে।

2. তিনটি ক্রমিক সংখ্যা লিখি যাদের যোগফল থেকে 5 বিয়োগ করলে বিয়োগফলটি মাঝের সংখ্যার দ্বিগুনের চেয়ে 11 বেশি হয়। ক্রমিক সংখ্যা তিনটি লিখি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতমটি x
সুতরাং, পরবর্তী ক্রমিক সংখ্যা দুটি হল (x + 1) ও (x + 2)
প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,
x + (x + 1) + (x + 2) – 5 = 2(x + 1) + 11
বা, x + x + 1 + x + 2 – 5 = 2x + 2 + 11
বা, 3x – 2 = 2x + 13
বা, 3x – 2x = 13 + 2
∴ x = 15
সুতরাং, ক্রমিক সংখ্যা তিনটি হল 15, (15 + 1) = 16 এবং (15 + 2) = 17

3. আমি এমন একটি সংখ্যা খুঁজি যার এক-তৃতীয়াংশ থেকে তার এক-চতুর্থাংশ 1 কম।

উত্তরঃ-

মনেকরি, সংখ্যাটি = x
সংখ্যাটির এক-তৃতীয়াংশ \frac{x}{3}সংখ্যাটির এক-চতুর্থাংশ \frac{x}{4}
প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,
\frac{x}{3}-\frac{x}{4}=1
\Rightarrow \frac{4x-3x}{12}=1
\therefore x=12
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 12

4. আমি এমন একটি ভগ্নাংশ খুঁজি যার হর তার লব থেকে 2 বড়ো এবং লবের সঙ্গে 3 যোগ ও হর থেকে 3 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি \frac{7}{3}এর সমান হয়।

উত্তরঃ-

মনেকরি, ভগ্নাংশটির লব x
সুতরাং, ভগ্নাংশটির হর (x + 2)
∴ ভগ্নাংশটি হল = \frac{x}{x+2}
লবের সঙ্গে 3 যোগ করলে নতুন লব হবে = x + 3
হর থেকে 3 বিয়োগ করলে নতুন হর হবে =(x + 2) – 3 = x + 2 – 3
∴ নতুন ভগ্নাংশটি = \frac{x+3}{x+2-3}

প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[\frac{x+3}{x+2-3}=\frac{7}{3}\]

\[\Rightarrow \frac{x+3}{x-1}=\frac{7}{3}\]

\[\Rightarrow 7\left( x-1 \right)=3\left( x+3 \right)\]

\[\Rightarrow 7x-7=3x+9\]

\[\Rightarrow 7x-3x=9+7\]

\[\Rightarrow 4x=16\]

\[\therefore x=\frac{16}{4}=4\]

∴ আমার লেখা ভগ্নাংশটি = \frac{4}{4+2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

5. সুচেতা একটি ভগ্নাংশ লিখল যার হর তার লবের চেয়ে 3 বড়ো। আবার ভগ্নাংশটির লবের সঙ্গে 2 যোগ ও হর থেকে 1 বিয়োগ এবং লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সঙ্গে 2 যোগ করলে যে দুটি নতুন ভগ্নাংশ পাব তাদের গুণফল \frac{2}{5}। সুচেতার লেখা ভগ্নাংশটি লিখি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, সুচেতার লেখা ভগ্নাংশটির লব x
সুতরাং, ভগ্নাংশটির হর (x + 3)
∴ ভগ্নাংশটি হল = \frac{x}{x+3}

প্রথম ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে,
লবের সঙ্গে 2 যোগ করলে নতুন লব হবে = x + 2
হর থেকে 1 বিয়োগ করলে নতুন হর হবে =(x + 3) – 1 = x + 3 – 1
∴ প্রথম ভগ্নাংশটি = \frac{x+2}{x+3-1}

দ্বিতীয় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে,
লবের সঙ্গে 1 বিয়োগ করলে নতুন লব হবে = x – 1
হর থেকে 2 যোগ করলে নতুন হর হবে =(x + 3) + 2 = x + 3 + 2
∴ দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি =\frac{x-1}{x+3+2}

প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[\frac{x+2}{x+3-1}\times \frac{x-1}{x+3+2}=\frac{2}{5}\]

\[\Rightarrow \frac{x+2}{x+2}\times \frac{x-1}{x+5}=\frac{2}{5}\]

\[\Rightarrow \frac{x-1}{x+5}=\frac{2}{5}\]

\[\Rightarrow 5\left( x-1 \right)=2\left( x+5 \right)\]

\[\Rightarrow 5x-5=2x+10\]

\[\Rightarrow 5x-2x=10+5\]

\[\Rightarrow 3x=15\]

\[\therefore x=\frac{15}{3}=5\]

∴ সুচেতার লেখা ভগ্নাংশটি হল =\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}

6. রাজু দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা লিখল যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুন এবং অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যাটি তৈরি হবে তা মূল সংখ্যাটি থেকে 36 কম। রাজুর লেখা দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি লিখি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, একক স্থানীয় অঙ্কটি = x
সুতরাং, দশক স্থানীয় অঙ্কটি = 3x
∴ সংখ্যাটি হল = 10 × ( দশক স্থানীয় অঙ্ক ) + একক স্থানীয় অঙ্ক = 10 × (3x) + x = 30x + x = 31x
অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি হল = 10 × (x) + 3x = 10x + 3x = 13x

প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[\text{31x }\text{ 13x }=\text{ 36}\]

\[\Rightarrow \text{18x = 36}\]

\[\therefore \text{x = }\frac{36}{18}=2\]

∴ রাজুর লেখা দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি = 31 × 2 = 62

7. দুটি সংখ্যার যোগফল 89 এবং অন্তর 15 হলে সংখ্যা দুটির মান খুঁজি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, ছোটো সংখ্যাটি = x
সুতরাং, বড় সংখ্যাটি = (89 – x)
প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[\left( 89-x \right)-x=15\]

\[\Rightarrow 89-x-x=15\]

\[\Rightarrow -2x=15-89\]

\[\Rightarrow -2x=-74\]

\[\therefore x=\frac{-74}{-2}=37\]

সুতরাং, ছোটো সংখ্যাটি = 37, বড় সংখ্যাটি = (89 – 37) = 52

8. 830-কে এমন দুটি অংশে ভাগ করি যেন একটি অংশের 30% অপর অংশের 40% অপেক্ষা 4 বেশি হয়।

উত্তরঃ-

মনেকরি, প্রথম অংশটি = x
সুতরাং, দ্বিতীয় অংশটি = (830 – x)
প্রথম অংশের 30% = x\times \frac{30}{100}
দ্বিতীয় অংশের 40% = \left( 830-x \right)\times \frac{40}{100}

প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[x\times \frac{30}{100}-\left( 830-x \right)\times \frac{40}{100}=4\]

\[\Rightarrow \frac{3x}{10}-\left( 830-x \right)\times \frac{2}{5}=4\]

\[\Rightarrow \frac{3x}{10}-830\times \frac{2}{5}+\frac{2x}{5}=4\]

\[\Rightarrow \frac{3x}{10}-332+\frac{2x}{5}=4\]

\[\Rightarrow \frac{3x}{10}+\frac{2x}{5}=4+332\]

\[\Rightarrow \frac{3x+4x}{10}=336\]

\[\Rightarrow \frac{7x}{10}=336\]

\[\therefore x=336\times \frac{10}{7}=480\]

∴ প্রথম অংশটি =480 এবং দ্বিতীয় অংশটি = (830 – 480) = 350

9. 56-কে এমন দুটি অংশে ভাগ করি যেন প্রথম অংশের তিনগুন, দ্বিতীয় অংশের এক-তৃতীয়াংশ অপেক্ষা 48 বাশি হয়।

উত্তরঃ-

মনেকরি, প্রথম অংশটি = x
সুতরাং, দ্বিতীয় অংশটি = (56 – x)
প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[3x-\left( 56-x \right)\times \frac{1}{3}=48\]

\[\Rightarrow 3x-\frac{56}{3}+\frac{x}{3}=48\]

\[\Rightarrow \frac{9x-56+x}{3}=48\]

\[\Rightarrow 10x-56=144\]

\[\Rightarrow 10x=144+56\]

\[\Rightarrow 10x=200\]

\[\therefore x=\frac{200}{10}=20\]

∴ প্রথম অংশটি =20 এবং দ্বিতীয় অংশটি = (56 – 20) = 36

10. একটি দন্ডের \frac{1}{5}অংশ কাদায়, \frac{3}{5}অংশ জলে এবং অবশিষ্ট 5 মিটার জলের উপর আছে। দন্ডটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, দন্ডটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ কাদায় আছে = x\times \frac{1}{5}=\frac{x}{5}মিটার
এবং জলে আছে = x\times \frac{3}{5}=\frac{3x}{5}মিটার
∴ দন্ডটি জলের উপর আছে = x-\left( \frac{x}{5}+\frac{3x}{5} \right)মিটার

প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[x-\left( \frac{x}{5}+\frac{3x}{5} \right)=5\]

\[\Rightarrow x-\frac{4x}{5}=5\]

\[\Rightarrow \frac{5x-4x}{5}=5\]

\[\therefore x=25\]

সুতরাং, দন্ডটির দৈর্ঘ্য = 25 মিটার

11. আমার বাবার বর্তমান বয়স আমার বর্তমান বয়সের 7 গুন। 10 বছর পরে বাবার বয়স আমার বয়সের 3 গুন হবে। আমার ও বাবার বর্তমান বয়স লিখি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, আমার বর্তমান বয়স = x বছর
∴ আমার বাবার বর্তমান বয়স = 7x বছর
10 বছর পরে আমার বয়স হবে = (x + 10) বছর
এবং 10 বছর পরে বাবার বয়স হবে = (7x + 10) বছর
প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[\text{7x}+\text{1}0=3\left( x+10 \right)\]

\[\Rightarrow 7x+10=3x+30\]

\[\Rightarrow 7x-3x=30-10\]

\[\Rightarrow 4x=20\]

\[\therefore x=\frac{20}{4}=5\]

∴ আমার বর্তমান বয়স = 5 বছর এবং বাবার বর্তমান বয়স = 7 × 5 = 35 বছর

12. আমার মামা 1000 টাকার একটি চেক ব্যাংক থেকে ভাঙালেন। তিনি কয়েকটি পাঁচ টাকার নোট ও কয়েকটি দশ টাকার নোট পেলেন। যদি মামা মোট 137 টি নোট পেয়ে থাকেন তাহলে কতগুলি 5 টাকার নোট পেলেন দেখি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, তিনি 5 টাকার নোট পেলেন = x টি
∴ দশ টাকার নোট পেলেন = (137 – x) টি
5 টাকার নোটের মোট মূল্য = 5x টাকা
5 টাকার নোটের মোট মূল্য = 10(137 – x) টাকা
প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[\text{5x}+\text{1}0\left( \text{137 }\text{ x} \right)=\text{1}000\]

\[\Rightarrow 5x+1370-10x=1000\]

\[\Rightarrow -5x=1000-1370\]

\[\Rightarrow -5x=-370\]

\[\therefore x=\frac{-370}{-5}=74\]

∴ তিনি 5 টাকার নোট পেলেন = 74 টি

13. আমাদের গ্রামের সালেমচাচা সরকারি চাকুরি থেকে অবসর গ্রহণ করার পর তার সঞ্চয়ের \frac{1}{2}অংশ দিয়ে একটি বাড়ি কেনেন। হঠাৎ বিপদে পড়ে তিনি বাড়িটি বিক্রি করে কেনা দামের 5% বেশি পান। যদি তিনি বাড়িটি 3450 টাকা বেশি দামে বিক্রি করতেন তাহলে কেনা দামের উপর  8% বেশি পেতেন। সালেমচাচা কত টাকায় বাড়িটি কিনেছিলেন এবং তার সঞ্চয় কত ছিল দেখি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, সালেমচাচার সঞ্চয়ের পরিমাণ = x টাকা
তিনি বাড়ি কেনেন = x\times \frac{1}{2}=\frac{x}{2}টাকায়
কেনা দামের 5% = \frac{x}{2}\times \frac{5}{100}টাকা
কেনা দামের 8% = \frac{x}{2}\times \frac{8}{100} টাকা
প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[\frac{x}{2}\times \frac{8}{100}-\frac{x}{2}\times \frac{5}{100}=3450\]

\[\Rightarrow \frac{x}{25}-\frac{x}{40}=3450\]

\[\Rightarrow \frac{8x-5x}{200}=3450\]

\[\Rightarrow 3x=3450\times 200\]

\[\Rightarrow x=\frac{3450\times 200}{3}=2,30,000\]

সুতরাং, তার সঞ্চয় কত ছিল = 2,30,000 টাকা এবং বাড়িটি কিনেছিলেন = \frac{2,30,000}{2}=1,15,000 টাকায়

14. গোপালপুর গ্রামের আশ্রয় শিবিরে আশ্রয়প্রার্থীদের জন্য 20 দিনের খাবার মজুত ছিল। 7 দিন পরে আরও 100 জন আশ্রয়প্রার্থী সেই শিবিরে আশ্রয় নিলে 11 দিনের মাথায় সব খাবার শেষ হয়ে যায়। প্রথমে কতজন আশ্রয়প্রার্থী ছিল লিখি।

উত্তরঃ-

মনেকরি, প্রথমে x জন আশ্রয়প্রার্থী ছিল
7 দিন পরে x জনের খাবার আছে = (20 – 7) = 13 দিনের
7 দিন পরে আশ্রয়প্রার্থীর সংখ্যা = (x + 100) জন
প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

\[\frac{\left( 20-7 \right)x}{x+100}=11\]

\[\Rightarrow 13x=11x+1100\]

\[\Rightarrow 13x-11x=1100\]

\[\Rightarrow 2x=1100\]

\[\therefore x=\frac{1100}{2}=550\]

15. নীচের সমীকরণগুলির বীজ খুঁজি (সমাধান করি)

\[\left( i \right)\frac{3}{x+3}=\frac{5}{x+2}\]

\[\left( ii \right)\frac{5}{3x+4}=\frac{4}{5\left( x-3 \right)}\]

\[\left( iii \right)14\left( x-2 \right)+3\left( x+5 \right)=3\left( x+8 \right)+5\]

\[\left( iv \right)\frac{x}{2}+5=\frac{x}{3}+7\]

\[\left( v \right)\frac{x+1}{8}+\frac{x-2}{5}=\frac{x+3}{10}+\frac{3x-1}{20}\]

\[\left( vi \right)\frac{x+1}{4}+3=\frac{2x+4}{5}+2\]

\[\left( vii \right)\frac{x+1}{7}+x=\frac{3x-4}{14}+6\]

\[\left( viii \right)\frac{3}{5}\left( x-4 \right)-\frac{1}{3}\left( 2x-9 \right)=\frac{1}{4}\left( x-1 \right)-2\]

\[\left( ix \right)\frac{x+5}{3}+\frac{2x-1}{7}=4\]

\[\left( x \right)25+3\left( 4x-5 \right)+8\left( x+2 \right)=x+3\]

\[\left( xi \right)\frac{x-8}{3}+\frac{2x+2}{12}+\frac{2x-1}{18}=3\]

\[\left( xii \right)\frac{t+12}{6}-t=6\frac{1}{2}-\frac{1}{12}\]

\[\left( xiii \right)\frac{x+1}{2}-\frac{5x+9}{28}=\frac{x+6}{21}+5-\frac{x-12}{3}\]

\[\left( xiv \right)\frac{9x+5}{14}+\frac{8x-7}{7}=\frac{18x+11}{28}+\frac{5}{4}\]

\[\left( xv \right)\frac{3y+1}{16}+\frac{2y-3}{7}=\frac{y+3}{8}+\frac{3y-1}{14}\]

\[\left( xvi \right)5x-\left( 4x-7 \right)\left( 3x-5 \right)=6-3\left( 4x-9 \right)\left( x-1 \right)\]

\[\left( xvii \right)3{{\left( x-4 \right)}^{2}}+5{{\left( x-3 \right)}^{2}}=\left( 2x-5 \right)\left( 4x-1 \right)-40\]

\[\left( xviii \right)3{{\left( y-5 \right)}^{2}}+5y={{\left( 2y-3 \right)}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}+1\]

উত্তরঃ-

\[\left( i \right)\frac{3}{x+3}=\frac{5}{x+2}\]

\[\Rightarrow 5\left( x+3 \right)=3\left( x+2 \right)\]

\[\Rightarrow 5x+15=3x+6\]

\[\Rightarrow 5x-3x=6-15\]

\[\Rightarrow 2x=-9\]

\[\therefore x=\frac{-9}{2}=-4\frac{1}{2}\]

\[\left( ii \right)\frac{5}{3x+4}=\frac{4}{5\left( x-3 \right)}\]

\[\Rightarrow 25\left( x-3 \right)=4\left( 3x+4 \right)\]

\[\Rightarrow 25x-75=12x+16\]

\[\Rightarrow 25x-12x=16+75\]

\[\Rightarrow 13x=91\]

\[\therefore x=\frac{91}{13}=7\]

\[\left( iii \right)14\left( x-2 \right)+3\left( x+5 \right)=3\left( x+8 \right)+5\]

\[\Rightarrow 14x-28+3x+15=3x+24+5\]

\[\Rightarrow 17x-13=3x+29\]

\[\Rightarrow 17x-3x=29+13\]

\[\Rightarrow 14x=42\]

\[\therefore x=\frac{42}{14}=3\]

\[\left( iv \right)\frac{x}{2}+5=\frac{x}{3}+7\]

\[\Rightarrow \frac{x}{2}-\frac{x}{3}=7-5\]

\[\Rightarrow \frac{3x-2x}{6}=2\]

\[\therefore x=12\]

\[\left( v \right)\frac{x+1}{8}+\frac{x-2}{5}=\frac{x+3}{10}+\frac{3x-1}{20}\]

\[\Rightarrow \frac{5\left( x+1 \right)+8\left( x-2 \right)}{40}=\frac{2\left( x+3 \right)+3x-1}{20}\]

\[\Rightarrow \frac{5x+5+8x-16}{40}=\frac{2x+6+3x-1}{20}\]

\[\Rightarrow \frac{13x-11}{2}=5x+5\]

\[\Rightarrow 13x-11=10x+10\]

\[\Rightarrow 13x-10x=10+11\]

\[\Rightarrow 3x=21\]

\[\therefore x=\frac{21}{3}=7\]

\[\left( vi \right)\frac{x+1}{4}+3=\frac{2x+4}{5}+2\]

\[\Rightarrow \frac{x+1+12}{4}=\frac{2x+4+10}{5}\]

\[\Rightarrow \frac{x+13}{4}=\frac{2x+14}{5}\]

\[\Rightarrow 4\left( 2x+14 \right)=5\left( x+13 \right)\]

\[\Rightarrow 8x+56=5x+65\]

\[\Rightarrow 8x-5x=65-56\]

\[\Rightarrow 3x=9\]

\[\therefore x=\frac{9}{3}=3\]

\[\left( vii \right)\frac{x+1}{7}+x=\frac{3x-4}{14}+6\]

\[\Rightarrow \frac{x+1+7x}{7}=\frac{3x-4+84}{14}\]

\[\Rightarrow 8x+1=\frac{3x+80}{2}\]

\[\Rightarrow 2\left( 8x+1 \right)=3x+80\]

\[\Rightarrow 16x+2=3x+80\]

\[\Rightarrow 16x-3x=80-2\]

\[\Rightarrow 13x=78\]

\[\therefore x=\frac{78}{13}=6\]

\[\left( viii \right)\frac{3}{5}\left( x-4 \right)-\frac{1}{3}\left( 2x-9 \right)=\frac{1}{4}\left( x-1 \right)-2\]

\[\Rightarrow \frac{3x-12}{5}-\frac{2x-9}{3}=\frac{x-1}{4}-2\]

\[\Rightarrow \frac{3\left( 3x-12 \right)-5\left( 2x-9 \right)}{15}=\frac{x-1-8}{4}\]

\[\Rightarrow \frac{9x-36-10x+45}{15}=\frac{x-9}{4}\]

\[\Rightarrow \frac{-x+9}{15}=\frac{x-9}{4}\]

\[\Rightarrow 15x-135=-4x+36\]

\[\Rightarrow 15x+4x=36+135\]

\[\Rightarrow 19x=171\]

\[\therefore x=\frac{171}{19}=9\]

\[\left( ix \right)\frac{x+5}{3}+\frac{2x-1}{7}=4\]

\[\Rightarrow \frac{7\left( x+5 \right)+3\left( 2x-1 \right)}{21}=4\]

\[\Rightarrow \frac{7x+35+6x-3}{21}=4\]

\[\Rightarrow 13x+32=84\]

\[\Rightarrow 13x=84-32\]

\[\Rightarrow 13x=52\]

\[\therefore x=\frac{52}{13}=4\]

\[\left( x \right)25+3\left( 4x-5 \right)+8\left( x+2 \right)=x+3\]

\[\Rightarrow 25+12x-15+8x+16=x+3\]

\[\Rightarrow 20x+26=x+3\]

\[\Rightarrow 20x-x=3-26\]

\[\Rightarrow 19x=-23\]

\[\therefore x=\frac{-23}{19}=-1\frac{4}{19}\]

\[\left( xi \right)\frac{x-8}{3}+\frac{2x+2}{12}+\frac{2x-1}{18}=3\]

\[\Rightarrow \frac{12\left( x-8 \right)+3\left( 2x+2 \right)+2\left( 2x-1 \right)}{36}=3\]

\[\Rightarrow 12x-96+6x+6+4x-2=108\]

\[\Rightarrow 22x-92=108\]

\[\Rightarrow 22x=108+92\]

\[\Rightarrow 22x=200\]

\[\therefore x=\frac{200}{22}=\frac{100}{11}=9\frac{1}{11}\]

\[\left( xii \right)\frac{t+12}{6}-t=6\frac{1}{2}-\frac{1}{12}\]

\[\Rightarrow \frac{t+12-6t}{6}=\frac{13}{2}-\frac{1}{12}\]

\[\Rightarrow \frac{12-5t}{6}=\frac{78-1}{12}\]

\[\Rightarrow 12-5t=\frac{77}{2}\]

\[\Rightarrow 24-10t=77\]

\[\Rightarrow -10t=77-24\]

\[\Rightarrow -10t=53\]

\[\therefore t=\frac{53}{-10}=-5\frac{3}{10}\]

\[\left( xiii \right)\frac{x+1}{2}-\frac{5x+9}{28}=\frac{x+6}{21}+5-\frac{x-12}{3}\]

\[\Rightarrow \frac{14\left( x+1 \right)-5x-9}{28}=\frac{x+6+105-7\left( x-12 \right)}{21}\]

\[\Rightarrow \frac{14x+14-5x-9}{4}=\frac{x+111-7x+84}{3}\]

\[\Rightarrow \frac{9x+5}{4}=\frac{-6x+195}{3}\]

\[\Rightarrow 27x+15=-24x+780\]

\[\Rightarrow 27x+24x=780-15\]

\[\Rightarrow 51x=765\]

\[\therefore x=\frac{765}{51}=15\]

\[\left( xiv \right)\frac{9x+5}{14}+\frac{8x-7}{7}=\frac{18x+11}{28}+\frac{5}{4}\]

\[\Rightarrow \frac{9x+5+2\left( 8x-7 \right)}{14}=\frac{18x+11+35}{28}\]

\[\Rightarrow 9x+5+16x-14=\frac{18x+46}{2}\]

\[\Rightarrow 25x-9=\frac{18x+46}{2}\]

\[\Rightarrow 50x-18=18x+46\]

\[\Rightarrow 50x-18x=46+18\]

\[\Rightarrow 32x=64\]

\[\therefore x=\frac{64}{32}=2\]

\[\left( xv \right)\frac{3y+1}{16}+\frac{2y-3}{7}=\frac{y+3}{8}+\frac{3y-1}{14}\]

\[\Rightarrow \frac{3y+1}{16}-\frac{y+3}{8}=\frac{3y-1}{14}-\frac{2y-3}{7}\]

\[\Rightarrow \frac{3y+1-2\left( y+3 \right)}{16}=\frac{3y-1-2\left( 2y-3 \right)}{14}\]

\[\Rightarrow \frac{3y+1-2y-6}{8}=\frac{3y-1-4y+6}{7}\]

\[\Rightarrow \frac{y-5}{8}=\frac{-y+5}{7}\]

\[\Rightarrow 7y-35=-8y+40\]

\[\Rightarrow 7y+8y=40+35\]

\[\Rightarrow 15y=75\]

\[\therefore y=\frac{75}{15}=5\]

\[\left( xvi \right)5x-\left( 4x-7 \right)\left( 3x-5 \right)=6-3\left( 4x-9 \right)\left( x-1 \right)\]

\[\Rightarrow 5x-\left\{ 12{{x}^{2}}-20x-21x+35 \right\}=6-3\left\{ 4{{x}^{2}}-4x-9x+9 \right\}\]

\[\Rightarrow 5x-\left\{ 12{{x}^{2}}-41x+35 \right\}=6-3\left\{ 4{{x}^{2}}-13x+9 \right\}\]

\[\Rightarrow 5x-12{{x}^{2}}+41x-35=6-12{{x}^{2}}+39x-27\]

\[\Rightarrow 46x-12{{x}^{2}}+12{{x}^{2}}-39x=-21+35\]

\[\Rightarrow 7x=14\]

\[\therefore x=\frac{14}{7}=2\]

\[\left( xvii \right)3{{\left( x-4 \right)}^{2}}+5{{\left( x-3 \right)}^{2}}=\left( 2x-5 \right)\left( 4x-1 \right)-40\]

\[\Rightarrow 3\left( {{x}^{2}}-8x+16 \right)+5\left( {{x}^{2}}-6x+9 \right)=8{{x}^{2}}-2x-20x+5-40\]

\[\Rightarrow 3{{x}^{2}}-24x+48+5{{x}^{2}}-30x+45=8{{x}^{2}}-22x-35\]

\[\Rightarrow 8{{x}^{2}}-54x+93=8{{x}^{2}}-22x-35\]

\[\Rightarrow 8{{x}^{2}}-54x-8{{x}^{2}}+22x=-35-93\]

\[\Rightarrow -32x=-128\]

\[\therefore x=\frac{-128}{-32}=4\]

\[\left( xviii \right)3{{\left( y-5 \right)}^{2}}+5y={{\left( 2y-3 \right)}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}+1\]

\[\Rightarrow 3\left( {{y}^{2}}-10y+25 \right)+5y=4{{y}^{2}}-12y+9-{{y}^{2}}-2y-1+1\]

\[\Rightarrow 3{{y}^{2}}-30y+75+5y=3{{y}^{2}}-14y+9\]

\[\Rightarrow 3{{y}^{2}}-25y-3{{y}^{2}}+14y=9-75\]

\[\Rightarrow -11y=-66\]

\[\therefore y=\frac{-66}{-11}=6\]

;