কষে দেখি – 17.1
1. অমরদের কারখানায় 3 দিনে 216 টি যন্ত্রাংশ তৈরি হয়। 7 দিনে ওই কারখানায় কতগুলি যন্ত্রাংশ তৈরি হবে হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ-
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| সময় (দিন) | যন্ত্রাংশ (টি) |
| 3 | 216 |
| 7 | ? |
সময় বেশি হলে যন্ত্রাংশ বেশি তৈরি করা যাবে। অর্থাৎ সময় ও যন্ত্রাংশ সংখ্যা সরল সম্পর্কে আছে।
∴ 3 : 7 :: 216 : ?
∴ 7 দিনে যন্ত্রাংশ তৈরি হবে = 216\times \frac{7}{3}=504 টি
2. আঁটপুরে একটি তাঁত কারখানায় 12 টি তাঁত প্রতিমাসে 380টি শাড়ি বুনতে পারে। পুজোর মরসুমে বেশি কাজ করার জন্য নতুন 3 টি তাঁত বসানো হয়েছে। এখন মাসে কতগুলি শাড়ি বোনা যাবে সমানুপাত তৈরি করে হিসাব করি এবং সম্পর্ক লিখি।
উত্তরঃ-
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| তাঁত (টি) | শাড়ি (টি) |
| 12 | 380 |
| 12 + 3 = 15 | ? |
তাঁত বেশি হলে শাড়ি বেশি তৈরি করা যাবে। অর্থাৎ তাঁত ও শাড়ি সংখ্যা সরল সম্পর্কে আছে।
∴ 12 : 15 :: 380 : ?
∴ এখন মাসে শাড়ি বোনা যাবে = 380\times \frac{15}{12}=475টি
3. ছক দেখে গণিতের গল্প তৈরি করি ও সম্পর্ক তৈরি করে হিসাব করি।
| সময় (দিন) | কাজের পরিমাণ (দৈর্ঘ্য) |
| 25 | 45 |
| 15 | ? |
উত্তরঃ-
কিছু শ্রমিক 25 দিনে 45 একক রাস্তা তৈরি করতে পারেন। তারা একত্রে 15 দিনে কত একক রাস্তা তৈরি করতে পারবেন হিসাব করে লিখি।
শ্রমিক সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকলে সময় বাড়লে কাজের পরিমাণ বাড়বে। অর্থাৎ, সময়ের সাথে কাজের পরিমাণের সরল সম্পর্ক।
সরল সমানুপাতটি হল
25 : 15 :: 45 : ?
নির্ণেয় কাজের পরিমাণ = 45\times \frac{15}{25}=27একক
4. 1200 মিটার লম্বা একটি সেচের খাল কাটা শুরু হওয়ায় 15 দিন পর দেখা গেল খালটির \frac{3}{4}অংশ কাটা হয়েছে। বাকি অংশ কাটতে আর কতদিন সময় লাগবে হিসাব করে দেখি।
উত্তরঃ-
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| খালের দৈর্ঘ্য (মিটার) | সময় (দিন) |
| 1200\times \frac{3}{4}=900 | 15 |
| 1200 – 900 = 300 | ? |
খালের দৈর্ঘ্য বাড়লে প্রয়োজনীয় সময় ও বাড়বে অর্থাৎ খালের দৈর্ঘ্য ও সময় সরল সম্পর্কে আছে।
∴ 900 : 300 :: 15 : ?
∴ বাকি অংশ কাটতে সময় লাগবে = 15\times \frac{300}{900}=5দিন
5. 3 টি ট্রাক্টর দৈনিক 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারে। 7 টি ট্রাক্টর দৈনিক কত বিঘা জমি চাষ করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ-
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| ট্রাক্টর (টি) | জমি (বিঘা) |
| 3 | 18 |
| 7 | ? |
ট্রাক্টর সংখ্যা বাড়লে বেশি পরিমাণ জমি চাষ করা যাবে। অর্থাৎ ট্রাক্টর সংখ্যা ও জমি সরল সম্পর্কে আছে।
সরল সমানুপাতটি হল
∴ 3 : 7 :: 18 : ?
∴ 7 টি ট্রাক্টর দৈনিক চাষ করতে পারবে =18\times \frac{7}{3}=42 বিঘা
6. কুসুমদের কারখানায় 35 জন লোক এক সপ্তাহে 10 টন লোহার যন্ত্রাংশ ঢালাই করতে পারেন। মালিক এক সপ্তাহে 14 টন লোহার যন্ত্র ঢালাই করার বরাত পেয়েছেন। তাকে আর কতজন নতুন লোক নিয়োগ করতে হবে সমানুপাত তৈরি করে হিসাব করি ও সম্পর্ক লিখি।
উত্তরঃ-
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| লোহার যন্ত্রাংশ (টন) | লোক সংখ্যা (জন) |
| 10 | 35 |
| 14 | ? |
বেশি লোহার যন্ত্রাংশ তৈরি করতে বেশি লোক লাগবে। অর্থাৎ লোহার যন্ত্রাংশ ও লোক সংখ্যা সরল সম্পর্কে আছে।
সরল সমানুপাতটি হল
∴ 10 : 14 :: 35 : ?
∴ 14 টন লোহার যন্ত্র ঢালাই করবেন =35\times \frac{14}{10}=49 জন
∴ নতুন লোক নিয়োগ করতে হবে = (49 – 35 ) = 14 জন
7. আমি ছক দাখি, গণিতের গল্প তৈরি করি ও সম্পর্ক তৈরি করে হিসাব করি।
| লোক সংখ্যা (জন) | কাজের পরিমাণ (সাইকেলের সংখ্যা) |
| 9 | 6 |
| 72 | ? |
উত্তরঃ-
একটি সাইকেল তৈরির কারখানায় 9 জন লোক একত্রে কাজ করে 6 টি সাইকেল বানাতে পারে। ওই একই সময় কাজ করে 72 জন লোক একত্রে কতগুলি সাইকেল বানাতে পারবে হিসাব করে লিখি।
বেশি সংখ্যক লোক একত্রে কাজ করলে বেশি সাইকেল বানাতে পারবে। অর্থাৎ, লোক সংখ্যা ও কাজের পরিমাণ (সাইকেলের সংখ্যা) সরল সম্পর্কে আছে।
সরল সমানুপাতটি হল
∴ 9 : 72 :: 6 : ?
∴ 72 জন লোক একত্রে সাইকেল বানাতে পারবে = 6\times \frac{72}{9}=48টি
8. আমাদের পাড়ায় একটি পুকুর কাটতে হবে। 24 জন লোকের ওই পুকুর কাটতে 12 দিন সময় লাগে। 8 দিনে ওই পুকুর কাটতে কতজন লোকের দরকার সমানুপাত তৈরি করে হিসাব করি ও সম্পর্ক খুঁজি।
উত্তরঃ-
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| সময় (দিন) | লোক সংখ্যা (জন) |
| 12 | 24 |
| 8 | ? |
একই কাজে যত বেশি সময় লাগবে তত কম লোকের প্রয়োজন হবে। অর্থাৎ লোহার সময় ও লোক সংখ্যা ব্যস্ত সম্পর্কে আছে।
ব্যস্ত সমানুপাতটি হল
∴ 8 : 12 :: 24 : ?
∴ 8 দিনে ওই পুকুর কাটতে পারবেন =24\times \frac{12}{8}=36 জন
9. বালব তৈরির একটি সমবায় কারখানায় 45 জন সদস্য 12 দিনে 10,000 টি বালব তৈরি করতে পারেন। হঠাৎ একটি জরুরি বরাত পাওয়ায় 9 দিনে 10,000 বালব তৈরি করতে হবে। চুক্তিমতো বালব জোগান দিতে কতজন বাড়তি সদস্য নিয়োগ করতে হবে হিসাব করে দেখি।
উত্তরঃ-
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| সময় (দিন) | সদস্য সংখ্যা (জন) |
| 12 | 45 |
| 9 | ? |
একই কাজে যত বেশি সময় লাগবে তত কম লোকের প্রয়োজন হবে। অর্থাৎ সময় ও সদস্য সংখ্যা ব্যস্ত সম্পর্কে আছে।
ব্যস্ত সমানুপাতটি হল
∴ 12 : 9 :: 45 : ?
∴ 9 দিনে 10,000 বালব তৈরি করতে পারবেন =45\times \frac{12}{9}=60 জন
10. 250 জন লোকের 50 মিটার দীর্ঘ এবং 35 মিটার প্রশস্ত একটি পুকুর কাটতে 18 দিন সময় লাগে। একই গভীরতা বিশিষ্ট 70 মিটার দীর্ঘ এবং 40 মিটার প্রশস্ত অপর একটি পুকুর কাটতে 300 জন লোকের কতদিন সময় লাগবে হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ-
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| পুকুরের ক্ষেত্রফল (বর্গ মিটার) | লোক সংখ্যা (জন) | সময় (দিন) |
| 50 × 35 | 250 | 18 |
| 70 × 40 | 300 | ? |
পুকুরের ক্ষেত্রফল স্থির রেখে লোক সংখ্যা বাড়ালে সময় কম লাগবে ।অর্থাৎ সময় ও লোক সংখ্যা ব্যস্ত সম্পর্কে আছে।
আবার, লোক সংখ্যা স্থির রেখে পুকুরের ক্ষেত্রফল বাড়ালে সময় বেশি লাগবে। অর্থাৎ, পুকুরের ক্ষেত্রফল ও সময় সরল সম্পর্কে আছে।
∴ পুকুর কাটতে 300 জন লোকের সময় লাগবে =18\times \frac{250}{300}\times \frac{70\times 40}{50\times 35}=24দিন
কষে দেখি – 17.2
1. প্রিয়া ও দেবু প্রত্যেকে আলাদা ভাবে একটি কাজ যথাক্রমে 10 ঘণ্টায় ও 12 ঘণ্টায় করতে পারে। তারা যদি একসঙ্গে ওই কাজটি করে তবে কত ঘণ্টায় কাজটি শেষ করবে হিসাব করি।
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ।
প্রিয়া 10 ঘণ্টায় কাজটি শেষ করে।
∴ প্রিয়া 1 ঘণ্টায় কাজ করে \frac{1}{10}অংশ
দেবু 12 ঘণ্টায় কাজটি শেষ করে।
∴ দেবু 1 ঘণ্টায় কাজ করে \frac{1}{12}অংশ
প্রিয়া ও দেবু একত্রে 1 ঘণ্টায় কাজ করে = \left( \frac{1}{10}+\frac{1}{12} \right)=\frac{11}{60} অংশ
∴ 1 অংশ কাজটি প্রিয়া ও দেবু একত্রে সম্পূর্ণ করবে = 1\div \frac{11}{60}=\frac{60}{11}=5\frac{5}{11} ঘণ্টায়
2. আমি, আমার দাদা ও আমার দিদি তিনজনে মিলে বাড়ির জানালাগুলি রং করব। আমার দাদা, দিদি ও আমি আলাদাভাবে এই কাজটি যথাক্রমে 12, 4 ও 6 দিনে করতে পারি। আমরা তিনজন যদি একসাথে কাজটি করি তবে কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারব হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ।
আমি 12 দিনে কাজটি শেষ করি।
∴ আমি 1 দিনে কাজ করি \frac{1}{12}অংশ
দাদা 4 দিনে কাজটি শেষ করে।
∴ দাদা 1 দিনে কাজ করে \frac{1}{4}অংশ
দিদি 6 দিনে কাজটি শেষ করে।
∴ দিদি 1 দিনে কাজ করে \frac{1}{6}অংশ
∴ আমরা তিনজনে 1 দিনে একত্রে কাজ করি = \left( \frac{1}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6} \right)=\frac{2+6+4}{24}=\frac{1}{2}অংশ
∴ 1 অংশ কাজটি আমরা তিনজনে মিলে শেষ করব = 1\div \frac{1}{2}=2দিনে
3. কোনো একটি কাজ অবনী ও আনোয়ার আলাদাভাবে যথাক্রমে 20 এবং 25 দিনে করতে পারে। তারা একসঙ্গে কাজ শুরু করার 10 দিন পর দু-জনেই চলে গেল। সুখেন এসে বাকি কাজটি 3 দিনে শেষ করল। যদি সুখেন পুরো কাজটি একা করত তবে কতদিনে কাজটি করতে পারত হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ।
অবনী 20 দিনে কাজটি শেষ করে।
∴ অবনী 1 দিনে কাজ করে \frac{1}{20}অংশ
আনোয়ার 25 দিনে কাজটি শেষ করে।
∴ আনোয়ার 1 দিনে কাজ করে \frac{1}{25}অংশ
∴ অবনী ও আনোয়ার একত্রে 1 দিনে কাজ করে = \left( \frac{1}{20}+\frac{1}{25} \right)=\frac{5+4}{100}=\frac{9}{100}অংশ
∴ অবনী ও আনোয়ার একত্রে 1 দিনে কাজ করে =10\times \frac{9}{100}=\frac{9}{10}অংশ
∴ কাজ বাকি আছে = \left( 1-\frac{9}{10} \right)=\frac{1}{10}অংশ
সুখেন এসে বাকি কাজটি 3 দিনে শেষ করল।
∴ সুখেন\frac{1}{10}অংশ কাজ করে 3 দিনে
∴ সুখেন 1 অংশ কাজ করে = 3\div \frac{1}{10}=3\times 10=30দিনে
4. পৌরসভার একটি জলের ট্যাঙ্ক থেকে জল নেওয়ার দুটি নল আছে। নলদুটি দিয়ে আলাদাভাবে 4 ঘণ্টায় ট্যাঙ্কটি খালি করা যায়। দুটি নলকে একই সঙ্গে খুলে রাখলে কতক্ষণে জলপূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি হবে হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ।
4 ঘণ্টা = 4 × 60 = 240 মিনিট
1 টি নল দিয়ে 240 মিনিটে ট্যাঙ্কটি খালি হয়
∴ 1 টি নল দিয়ে 1 মিনিটে ট্যাঙ্কটি খালি হয় = \frac{1}{240}অংশ
∴ 2 টি নল দিয়ে 1 মিনিটে ট্যাঙ্কটি খালি হয় =2\times \frac{1}{240}=\frac{1}{120}অংশ
সুতরাং, 2 টি নল দিয়ে \frac{1}{120}অংশ ট্যাঙ্ক খালি হয় =1 মিনিটে
∴ 2 টি নল দিয়ে 1 অংশ ট্যাঙ্ক খালি হয় = 1\div \frac{1}{120}=120মিনিটে
∴ 2 টি নল একসঙ্গে খুলে রাখলে জলপূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি হবে 120 মিনিটে = 2 ঘণ্টায়।
5. আমাদের চৌবাচ্চায় 3 টি নল আছে। ওই তিনটি নল দিয়ে আলাদা আলাদা ভাবে যথাক্রমে 18, 21 ও 24 ঘণ্টায় চৌবাচ্চা পূর্ণ করা যায়।
(a) একসাথে 3 টি নল খোলা থাকলে কতক্ষণে চৌবাচ্চাটি জলপূর্ণ হবে সমানুপাত তৈরি করি ও হিসাব করে লিখি।
(b) যদি প্রথম দুটি নল খোলা থাকত তাহলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে কত সময় লাগত হিসাব করি।
(c) যদি শেষের দুটি নল খোলা থাকত তাহলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে কত সময় লাগত হিসাব করি।
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ।
প্রথম নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় 18 ঘণ্টায়
∴ প্রথম নল দিয়ে 1 ঘণ্টায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = \frac{1}{18}অংশ
দ্বিতীয় নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় 21 ঘণ্টায়
∴ দ্বিতীয় নল দিয়ে 1 ঘণ্টায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = \frac{1}{21}অংশ
তৃতীয় নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় 24 ঘণ্টায়
∴ তৃতীয় নল দিয়ে 1 ঘণ্টায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = \frac{1}{24}অংশ
সুতরাং, তিনটি নল একসাথে খোলা থাকলে 1 ঘণ্টায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = \left( \frac{1}{18}+\frac{1}{21}+\frac{1}{24} \right)=\frac{28+24+21}{504}=\frac{73}{504}অংশ
(a)
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| কাজ (অংশ) | সময় (ঘণ্টা) |
| \frac{73}{504} | 1 |
| 1 | ? |
কাজের পরিমাণ বাড়লে সময় বেশি লাগবে। অর্থাৎ, কাজ ও সময়ের মধ্যে সরল সম্পর্ক।
সরল সমানুপাতটি হল
∴ \frac{73}{504} : 1 :: 1 : ?
∴ তিনটি নল একসাথে খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = 1\times \frac{1}{\frac{73}{504}}=1\times \frac{504}{73}=6\frac{66}{73}ঘণ্টায়
(b)
প্রথম ও দ্বিতীয় নল দিয়ে একসাথে 1 ঘণ্টায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = \left( \frac{1}{18}+\frac{1}{21} \right)=\frac{7+6}{126}=\frac{13}{126}অংশ
∴ প্রথম ও দ্বিতীয় নল দিয়ে \frac{13}{126} অংশ পূর্ণ হয় =1 ঘণ্টায়
সুতরাং, প্রথম ও দ্বিতীয় নল দিয়ে 1 অংশ পূর্ণ হয় =1\div \frac{13}{126}=1\times \frac{126}{13}=9\frac{9}{13} ঘণ্টায়
(c)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় নল দিয়ে একসাথে 1 ঘণ্টায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = \left( \frac{1}{21}+\frac{1}{24} \right)=\frac{8+7}{168}=\frac{15}{168}=\frac{5}{56}অংশ
∴ দ্বিতীয় ও তৃতীয় নল দিয়ে \frac{5}{56} অংশ পূর্ণ হয় =1 ঘণ্টায়
সুতরাং, দ্বিতীয় ও তৃতীয় নল দিয়ে 1 অংশ পূর্ণ হয় =1\div \frac{5}{56}=1\times \frac{56}{5}=11\frac{1}{5} ঘণ্টায়
6. পৌরসভার জল সরবরাহের নলটি দিয়ে রেহানদের বাড়ির চৌবাচ্চাটি 30 মিনিটে পূর্ণ করা যায়। ওদের বাড়ির সব নলের কল খুলে ওরা 4 ঘণ্টায় ওই পূর্ণ চৌবাচ্চার সমস্ত জল দিয়ে কাজ করতে পারে। কোনো একদিন যদি জল সরবরাহের নলটি মাত্র 25 মিনিট খোলা থাকে তাহলে ওই জল দিয়ে কতক্ষণ ওরা বাড়ির কাজ করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ-
4 ঘণ্টা = 4 × 60 = 240 মিনিট
চৌবাচ্চার 30 মিনিটে ভরা জলে কাজ হয় = 240 মিনিট
∴ চৌবাচ্চার 1 মিনিটে ভরা জলে কাজ হয় = \frac{240}{30}মিনিট
∴ চৌবাচ্চার 25 মিনিটে ভরা জলে কাজ হয় = \frac{240\times 25}{30}=200মিনিট
∴ ওই জল দিয়ে 200 মিনিট বা 3 ঘণ্টা 20 মিনিট ওরা বাড়ির কাজ করতে পারবে।
7. কোনো একটি কাজ রমা ও রোহিত 20 দিনে, রোহিত ও সাব্বা 15 দিনে এবং রমা ও সাব্বা 20 দিনে করতে পারে। হিসাব করে লিখি তিনজনে একত্রে কতদিনে কাজটি শেষ করবে। রমা, রোহিত ও সাব্বা প্রত্যেকে আলাদা আলাদা কাজ করলে কে কতদিনে কাজটি করতে পারবে হিসাব করি।
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ।
রমা ও রোহিত কাজটি সম্পূর্ণ করে 20 দিনে
∴ রমা ও রোহিত 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{20}অংশ
রোহিত ও সাব্বা কাজটি সম্পূর্ণ করে 15 দিনে
∴ রোহিত ও সাব্বা 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{15}অংশ
রমা ও সাব্বা কাজটি সম্পূর্ণ করে 20 দিনে
∴ রমা ও সাব্বা 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{20}অংশ
(রমা + রোহিত) + (রোহিত + সাব্বা) + (রমা + সাব্বা) 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \left( \frac{1}{20}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20} \right)=\frac{3+4+3}{60}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6} অংশ
∴ 2(রমা + রোহিত + সাব্বা) 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{6}অংশ
∴ (রমা + রোহিত + সাব্বা) 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}অংশ
রমা, রোহিত ও সাব্বা তিনজন একত্রে \frac{1}{12} অংশ কাজ করে 1 দিনে
∴ রমা, রোহিত ও সাব্বা তিনজন একত্রে 1 অংশ কাজ করে 1\div \frac{1}{12}=1\times 12=12দিনে
রোহিত ও সাব্বা 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{15}অংশ
∴ রমা 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \left( \frac{1}{12}-\frac{1}{15} \right)=\frac{5-4}{60}=\frac{1}{60}অংশ
∴ রমা একা সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করবে = 1\div \frac{1}{60}=1\times 60=60দিনে
রমা ও সাব্বা 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{20}অংশ
∴ রোহিত 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \left( \frac{1}{12}-\frac{1}{20} \right)=\frac{5-3}{60}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}অংশ
∴ রোহিত একা সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করবে = 1\div \frac{1}{30}=1\times 30=30দিনে
রমা ও রোহিত 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{20}অংশ
∴ সাব্বা 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \left( \frac{1}{12}-\frac{1}{20} \right)=\frac{5-3}{60}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}অংশ
∴ সাব্বা একা সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করবে = 1\div \frac{1}{30}=1\times 30=30দিনে
8. অলোক, কালাম ও জোসেফ প্রত্যেকে কোন একটি কাজ যথাক্রমে 10, 12 ও 15 দিনে করতে পারে। তারা একসাথে কাজটি শুরু করল। 3দিন পরে কালামকে চলে যেতে হলো। বাকি কাজটি অলোক ও জোসেফ কতদিনে শেষ করতে পারবে সমানুপাত তৈরি করে হিসাব করি।
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ।
অলোক কাজটি সম্পূর্ণ করে 10 দিনে
∴ অলোক 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{10}অংশ
কালাম কাজটি সম্পূর্ণ করে 12 দিনে
∴ কালাম 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{12}অংশ
জোসেফ কাজটি সম্পূর্ণ করে 15 দিনে
∴ জোসেফ 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{15}অংশ
অলোক, কালাম ও জোসেফ একত্রে 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে =\left( \frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15} \right)=\frac{6+5+4}{60}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}অংশ
∴ অলোক, কালাম ও জোসেফ একত্রে 3 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = 3\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}
সুতরাং, দিন পর কাজ বাকি থাকে = \left( 1-\frac{3}{4} \right)=\frac{4-3}{4}=\frac{1}{4}অংশ
অলোক ও জোসেফ একত্রে 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \left( \frac{1}{10}+\frac{1}{15} \right)=\frac{3+2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6} অংশ
অলোক ও জোসেফ একত্রে \frac{1}{6}অংশ কাজ সম্পূর্ণ করে = 1 দিনে
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| কাজ (অংশ) | সময় (দিন) |
| \frac{1}{6} | 1 |
| \frac{1}{4} | ? |
কাজের পরিমাণ বাড়লে সময় বেশি লাগবে। অর্থাৎ, কাজ ও সময়ের মধ্যে সরল সম্পর্ক।
সরল সমানুপাতটি হল
∴ \frac{1}{6} : \frac{1}{4}:: 1 : ?
∴ অলোক ও জোসেফ একত্রে \frac{1}{4} অংশ কাজ সম্পূর্ণ করে = 1\times \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6}}=1\times \frac{1}{4}\times 6=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}দিনে
9. একটি কাজ মেরি ও ডেভিড একা একা যথাক্রমে 10 দিন ও 15 দিনে করতে পারে। প্রথমে মেরি একা 4 দিন ও পরে ডেভিড একা 5 দিন কাজ করে চলে গেল। মারিয়া এসে একা বাকি কাজটি 4 দিনে শেষ করল। যদি মেরি, ডেভিড ও মারিয়া একসাথে কাজটি করত তবে কতদিনে কাজটি শেষ করত হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ।
মেরি কাজটি সম্পূর্ণ করে 10 দিনে
∴ মেরি 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{10}অংশ
∴ মেরি 4 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে =4\times \frac{1}{10}=\frac{2}{5}অংশ
ডেভিড কাজটি সম্পূর্ণ করে 15 দিনে
∴ ডেভিড 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{15}অংশ
∴ ডেভিড 5 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = 5\times \frac{1}{15}=\frac{1}{3}অংশ
মেরি ও ডেভিড একা একা 4 ও 5 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \left( \frac{2}{5}+\frac{1}{3} \right)=\frac{6+5}{15}=\frac{11}{15}অংশ
∴ কাজ বাকি আছে = \left( 1-\frac{11}{15} \right)=\frac{15-11}{15}=\frac{4}{15}অংশ
∴ মারিয়া এসে একা বাকি \frac{4}{15} অংশ কাজটি 4 দিনে শেষ করল
∴ মেরি 1 অংশ কাজ সম্পূর্ণ করে =4\div \frac{4}{15}=4\times \frac{15}{4}=15দিনে
∴ মেরি 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে = \frac{1}{15}অংশ
মেরি, ডেভিড ও মারিয়া একত্রে 1 দিনে কাজ সম্পূর্ণ করে =\left( \frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15} \right)=\frac{3+2+2}{30}=\frac{7}{30}দিনে
মেরি, ডেভিড ও মারিয়া একত্রে সম্পূর্ণ কাজটি করে = 1\div \frac{7}{30}=\frac{30}{7}=4\frac{2}{7}দিনে
10. একটি পুরসভা পানীয় জল সংরক্ষণের জন্য একটি জলাধার নির্মাণ করে তাতে পাম্প যুক্ত করেছে। পাম্পগুলি আলাদা ভাবে যথাক্রমে 16, 20, 30 ঘণ্টায় খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে। আজ সকাল 7 টায় তিনটি পাম্প যখন একসঙ্গে চালু করা হলো, তখন জলাধারটির \frac{1}{3}অংশ জলপূর্ণ ছিল। 1 ঘণ্টা 36 মিনিট পর প্রথম পাম্পটি এবং তারও 2 ঘণ্টা পর তৃতীয় পাম্পটি বন্ধ হয়ে যায়।
(a) হিসাব করে দেখি জলাধারটি কখন সম্পূর্ণ জলপূর্ণ হয়েছিল।
(b) হিসাব করে দেখি দ্বিতীয় পাম্পটি জলাধারের কত অংশ পূর্ণ করেছিল।
(c) তৃতীয় পাম্পটি যখন বন্ধ হয়, তখন জলাধারটির কত অংশ জলপূর্ণ ছিল হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ।
প্রথম পাম্পটি খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে = 16 ঘণ্টায় = (16 × 60) মিনিটে = 960 মিনিটে
∴ প্রথম পাম্পটি 1 মিনিটে খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে = \frac{1}{960}অংশ
দ্বিতীয় পাম্পটি খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে = 20 ঘণ্টায় = (20 × 60) মিনিটে = 1200 মিনিটে
∴ দ্বিতীয় পাম্পটি 1 মিনিটে খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে = \frac{1}{1200}অংশ
তৃতীয় পাম্পটি খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে = 30 ঘণ্টায় = (30 × 60) মিনিটে = 1800 মিনিটে
∴ তৃতীয় পাম্পটি 1 মিনিটে খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে = \frac{1}{1800}অংশ
পাম্প তিনটি 1 মিনিটে খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে = \left( \frac{1}{960}+\frac{1}{1200}+\frac{1}{1800} \right)=\frac{15+12+8}{14400}=\frac{35}{14400}=\frac{7}{2880}অংশ
∴ পাম্প তিনটি দিয়ে 1 ঘণ্টা 36 মিনিট বা, (60 + 36) = 96 মিনিটে জল পূর্ণ হয় = 96\times \frac{7}{2880}=\frac{7}{30}অংশ
দ্বিতীয় ও তৃতীয় পাম্প দিয়ে 1 মিনিটে পূর্ণ হয় = \left( \frac{1}{1200}+\frac{1}{1800} \right)=\frac{3+2}{3600}=\frac{5}{3600}=\frac{1}{720}অংশ
∴ দ্বিতীয় ও তৃতীয় পাম্প দিয়ে 2 ঘণ্টা বা, 120 মিনিটে পূর্ণ হয় = 120\times \frac{1}{720}=\frac{1}{6}অংশ
(c) তৃতীয় পাম্প বন্ধ হওয়ার পর জলাধারটি পূর্ণ ছিল = \left( \frac{1}{3}+\frac{7}{30}+\frac{1}{6} \right)=\frac{10+7+5}{30}=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}অংশ
দ্বিতীয় পাম্পটি বাকি জলাধারটির পূর্ণ করেছিল = \left( 1-\frac{11}{15} \right)=\frac{15-11}{15}=\frac{4}{15} অংশ
∴ দ্বিতীয় পাম্পটি জলাধারটির \frac{4}{15}অংশ পূর্ণ করেছিল = \frac{4}{15}\times 1200=320মিনিটে
∴ জলাধারটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ হতে সময় লাগল = (96 + 120 + 320) = 536 মিনিটে = 6 ঘণ্টা 56 মিনিটে
(a) জলাধারটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ হয়েছিল সকাল 7 + 6 ঘণ্টা 56 মিনিট = বিকেল 3 টা 56 মিনিটে।
(b) দ্বিতীয় পাম্পটি জলাধার পূর্ণ করেছিল = \left( 96\times \frac{1}{1200}+120\times \frac{1}{1200}+\frac{4}{15} \right) অংশ<br>=\left( \frac{2}{25}+\frac{1}{10}+\frac{4}{15} \right)=\frac{12+15+40}{150}=\frac{67}{150} অংশ
11. আমার বন্ধু রীনা বাগানের কাজ একা 4 ঘণ্টায় করতে পারে। আমি ওই কাজ একা ……… ঘণ্টায় করতে পারি। কিন্তু দু-জনে একসাথে বাগানের ওই কাজ করলে কত সময় লাগবে হিসাব করে লিখি। (ফাঁকা ঘরে নিজে সংখ্যা বসাই)
উত্তরঃ-
মনেকরি কাজটি 1 অংশ এবং আমি ওই কাজটি 3 ঘণ্টায় করতে পারি।
∴ আমি 1 ঘণ্টায় কাজ করতে পারি = \frac{1}{3}অংশ
রীনা বাগানের কাজ একা 4 ঘণ্টায় করতে পারে।
∴ রীনা 1 ঘণ্টায় কাজ করতে পারে = \frac{1}{4}অংশ
আমরা দুই জন একসাথে 1 ঘণ্টায় কাজ করতে পারি = \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \right)=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}অংশ∴ আমরা দু-জনে একসাথে বাগানের ওই কাজ করলে সময় লাগবে = 1\div \frac{7}{12}=\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}ঘণ্টা।
